Что значит математическая модель. Математическое моделирование. Классификация по способу представления Макарова Н.А.)

ЭВМ прочно вошла в нашу жизнь, и практически нет такой области человеческой деятельности, где не применялась бы ЭВМ. ЭВМ сейчас широко используется в процессе создания и исследования новых машин, новых технологических процессов и поиске их оптимальных вариантов; при решении экономических задач, при решении задач планирования и управления производством на различных уровнях. Создание же крупных объектов в ракетотехнике, авиастроении, судостроении, а также проектирование плотин, мостов, и др. вообще невозможно без применения ЭВМ.

Для использования ЭВМ при решении прикладных задач, прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель.

Слово "Модель" происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом Б. Замещаемый объект А называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б - моделью. Другими словами, модель - это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.

Математическое моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.

Математическое моделирование - процесс построения и изучения математических моделей реальных процессов и явлений. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его моделью и затем изучают последнюю. Как и в случае любого моделирования, математическая модель не описывает полностью изучаемое явление, и вопросы о применимости полученных таким образом результатов являются весьма содержательными. Математическая модель - это упрощенное описание реальности с помощью математических понятий.

Математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Собственно говоря, сама математика обязана своим существованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира.

При математическом моделировании исследование объекта осуществляется посредством модели, сформулированной на языке математики с использованием тех или иных математических методов.

Путь математического моделирования в наше время гораздо более всеобъемлющ, нежели моделирования натурного. Огромный толчок развитию математического моделирования дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад.

Математическое моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограниченны и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных.

Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала. Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи

Все модели можно разделить на два класса:

1. вещественные,
2. идеальные.

В свою очередь вещественные модели можно разделить на:

1. натурные,
2. физические,
3. математические.

Идеальные модели можно разделить на:

1. наглядные,
2. знаковые,
3. математические.

Вещественные натурные модели - это реальные объекты, процессы и системы, над которыми выполняются эксперименты научные, технические и производственные.

Вещественные физические модели - это макеты, муляжи, воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые, электрические, световые модели).

Вещественные математические - это аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические модели.

Идеальные наглядные модели - это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги, структурные и геометрические модели.

Идеальные знаковые модели - это символы, алфавит, языки программирования, упорядоченная запись, топологическая запись, сетевое представление.

Идеальные математические модели - это аналитические, функциональные, имитационные, комбинированные модели.

В приведенной классификации некоторые модели имеют двойное толкование (например - аналоговые). Все модели, кроме натурных, можно объединить в один класс мысленных моделей, т.к. они являются продуктом абстрактного мышления человека.

Элементы теории игры

В общем случае решение игры представляет довольно трудную задачу, причем сложность задачи и объем необходимых для решения вычислений резко возрастает с увеличением . Однако это трудности не носят принципиального характера и связаны только сочень большим объемом расчетов, который в ряде случаев может оказаться практически невыполнимым. Принципиальная сторона метода отыскания решения остается при любом одной и той же.

Проиллюстрируем это на примере игры . Дадим ей геометрическую интерпретацию - уже пространственную. Три наши стратегии , изобразим тремя точками на плоскости ; первая лежит в начале координат (рис.1). вторая и третья - на осях Ох и Оу на расстояниях 1 от начала.

Через точки проводятся оси I-I, II-II и III-III, перпендикулярные к плоскости . На оси I-I откладываются выигрыши при стратегии на осях II-II и III-III - выигрыши при стратегиях . Каждая стратегия противника изобразится плоскостью, отсекающей на осях I-I, II-II и III-III, отрезки, равные выигрышам

при соответствующих стратегия и стратегия . Построив, таким образом, все стратегии противника, мы по­лучим семейство плоскостей над треугольником (рис2) .

Для этого семейства также можно построить нижнюю границу выигрыша, как мы это делали в случае, и найти на этой границе точку N с максимальной высотой нал плоскостью . Эта высота и будет ценой игры .

Частоты стратегий в оптимальной стра­тегии будут определяться координатами (x, у) точки N, а именно:

Однако такое геометрическое построение даже для случая нелегко осуществимо и требует большой затраты времени и усилий воображения. В общем же случае игры оно переносится в - мерное пространство и теряет всякую наглядность, хотя употребление геометрической терминологии в ряде случаев может оказаться полезным. При решении игр на практике удобнее пользоваться не геометрическими аналогиями, а расчетными аналитическими методами, тем более, что для решения задачи на вычислительных машинах эти методы единственно пригодны.

Все эти методы по существу сводятся к решению задачи путем последовательных проб, но упорядочение последо­вательности проб позволяет построить алгоритм, приводящий к решению наиболее экономичным способом.

Здесь мы вкратце остановимся на одном расчетном методе решения игр - на так называемом методе «линейного программирования».

Для этого дадим сначала общую постановку задачи о нахождении решения игры . Пусть дана игра с т стратегиями игрока А и n стра­тегиями игрока В и задана платежная ма­трица

Требуется найти решение игры, т. е. две оптимальные смешанные стратегии игроков А и В

где (некоторые из чисел и могут быть равными нулю).

Наша оптимальная стратегия S* A должна обеспечивать нам выигрыш, не меньший , при любом поведении про­тивника, и выигрыш, равный , при его оптимальном пове­дении (стратегия S* B ).Аналогично стратегия S* B должна обе­спечивать противнику проигрыш, не больший , при любом нашем поведении и равный при нашем оптимальном пове­дении (стратегия S* A ).

Величина цены игры в данном случае нам неизвестна; будем считать, что она равна некоторому положительному числу. Полагая так, мы не нарушаем общности рассуждений; для того чтобы было > 0, очевидно, достаточно, чтобы все элементы матрицы были неотрицательными. Этого всегда можно добиться, прибавляя к элементам доста­точно большую положительную величину L;при этом цена игры увеличится на L, а решение не изменится.

Пусть мы выбрали свою оптимальную стратегию S* A . Тогда наш средний выигрыш при стратегии противника будет равен:

Наша оптимальная стратегия S* A обладает тем свойством, что при любом поведении противника обеспечивает выигрыш не меньший, чем ; следовательно, любое из чисел не может быть меньше . Получаем ряд условий:

(1)

Разделим неравенства (1) на положительную величину и обозначим:

Тогда условие (1) запишется виде

(2)

где - неотрицательные числа. Так как величины удовле­творяют условию

Мы хотим сделать свой гарантированный выигрыш максимально возможным; очевидно, при этом правая часть равенства (3) принимает минимальное значение.

Таким образом, задача нахождения решения игры сво­дится к следующей математической задаче: определить не­отрицательные величины , удовлетворяющие условиям (2), так, чтобы их сумма

была минимальной.

Обычно при решении задач, связанных с нахождением экстремальных значений (максимумов и минимумов), функцию дифференцируют и приравнивают производные нулю. Но такой прием в данном случае бесполезен, так как функ­ция Ф, которую нужно обратить в минимум, линейна, и ее производные по всем аргументам равны единице, т. е. нигде не обращаются в нуль. Следовательно, максимум функции достигается где-то на границе области изменения аргумен­тов, которая определяется требованием неотрицательности аргументов и условиями (2). Прием нахождения экстре­мальных значений при помощи дифференцирования непри­годен и в тех случаях, когда для решения игры опреде­ляется максимум нижней (или минимум верхней) границы выигрыша, как мы. например, делали при решении игр .Действительно, нижняя граница составлена из участков прямых линий, и максимум достигается не в точке, где производная равна нулю (такой точки вообще нет), а на границе интер­вала или в точке пересечения прямолинейных участков.

Для решения подобных задач, довольно часто встречаю­щихся на практике, в математике разработан специальный аппарат линейного программирования.

Задача линейного программирования ставится следующим образом.

Дана система линейных уравнений:

(4)

Требуется найти неотрицательные значения величин удовлетворяющие условиям (4) и вместе с тем обращающие в минимум заданную однородную линейную функцию величин (линейную форму):

Легко убедиться, что поставленная выше задача теории игр является частным случаем задачи линейного программирование при

С первого взгляда может показаться, что условия (2) не эквивалентны условиям (4), так как вместо знаков равенства они содержат знаки неравенства. Однако от знаков неравенства легко избавиться, вводя новые фиктивные неотрицательные переменные и записывая условия (2) в виде:

(5)

Форма Ф, которую нужно обратить в минимум, равна

Аппарат линейного программирования позволяет путем сравнительно небольшого числа последовательных проб подобрать величины , удовлетворяющие поставленным требованиям. Для большей ясности мы здесь продемонстрируем применение этого аппарата прямо на материале решения конкретных игр.

Пример 1.5.1.

Пусть некоторый экономический регион производит несколько (n) видов продуктов исключительно своими силами и только для населения данного региона. Предполагается, что технологический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой объем выпуска продуктов, с учетом того, что этот объем должен обеспечить как конечное, так и производственное потребление.

Составим математическую модель этой задачи. По ее условию даны: виды продуктов, спрос на них и технологический процесс; требуется найти объем выпуска каждого вида продукта.

Обозначим известные величины:

c i – спрос населения на i -й продукт (i =1,...,n ); a ij – количество i -го продукта, необходимое для выпуска единицы j -го продукта по данной технологии (i =1,...,n ; j =1,...,n );

х i – объем выпуска i -го продукта (i =1,...,n ); совокупность с =(c 1 ,..., c n ) называется вектором спроса, числа a ij – технологическими коэффициентами, а совокупность х =(х 1 ,..., х n ) – вектором выпуска.

По условию задачи вектор х распределяется на две части: на конечное потребление (вектор с ) и на воспроизводство (вектор х-с ). Вычислим ту часть вектора х которая идет на воспроизводство. По нашим обозначениям для производства х j количества j-го товара идет a ij · х j количества i -го товара.

Тогда сумма a i1 · х 1 +...+ a in · х n показывает ту величину i -го товара, которая нужна для всего выпуска х =(х 1 ,..., х n ).

Следовательно, должно выполняться равенство:

Распространяя это рассуждение на все виды продуктов, приходим к искомой модели:

Решая эту систему из n линейных уравнений относительно х 1 ,...,х n и найдем требуемый вектор выпуска.

Для того, чтобы написать эту модель в более компактной (векторной) форме, введем обозначения:

Квадратная (
) -матрицаА называется технологической матрицей. Легко проверить, что наша модель теперь запишется так:х-с=Ах или

(1.6)

Мы получили классическую модель «Затраты – выпуск », автором которой является известный американский экономист В. Леонтьев.

Пример 1.5.2.

Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти: сортом А в количестве 10 единиц, сортом В - 15 единиц. При переработке из нефти получаются два материала: бензин (обозначим Б ) и мазут (М ). Имеется три варианта технологического процесса переработки:

I : 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М

II: 2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М

III : 2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М

Цена бензина - 10 долл. за единицу, мазута - 1 долл. за единицу.

Требуется определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.

Перед моделированием уточним следующие моменты. Из условия задачи следует, что «выгодность» технологического процесса для завода следует понимать в смысле получения максимального дохода от реализации своей готовой продукции (бензина и мазута). В связи с этим понятно, что «выбор (принятие) решения» завода состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить. Очевидно, что таких возможных вариантов достаточно много.

Обозначим неизвестные величины:

х i – количество использованияi -го технологического процесса(i=1,2,3) . Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута)известны .

Теперь одно конкретное решение завода сводится к выбору одного вектора х =(х 1 ,х 2 ,х 3 ) , для которого выручка завода равна(32х 1 +15х 2 +12х 3 ) долл. Здесь 32 долл. – это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. ·3ед.Б + 1 долл. ·2ед.М = 32 долл.). Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего технологических процессов соответственно. Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:

для сорта А :

для сорта В :,

где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 – это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I ,II ,III соответственно. Коэффициенты второго неравенства имеют аналогичный смысл для нефти сорта В.

Математическая модель в целом имеет вид:

Найти такой вектор х = (х 1 ,х 2 ,х 3 ) , чтобы максимизировать

f(x) =32х 1 +15х 2 +12х 3

при выполнении условий:

Сокращенная форма этой записи такова:

при ограничениях

(1.7)

Мы получили так называемую задачу линейного программирования.

Модель (1.7.) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).

Пример1.5.3.

Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j - го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b .

Заметим, что для правильного моделирования этой задачи от математика требуются определенные базовые знания в области портфельной теории ценных бумаг.

Обозначим известные параметры задачи:

n – число разновидностей ценных бумаг; а j – фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида ценной бумаги; – ожидаемая прибыль отj -го вида ценной бумаги.

Обозначим неизвестные величины :

y j - средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида j .

По нашим обозначениям вся инвестированная сумма выражается как . Для упрощения модели введем новые величины

.

Таким образом, х i - это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг видаj .

Ясно, что

Из условия задачи видно, что цель инвестора - достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском. Содержательно риск - это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией прибыли для ценных бумаг вида i и вида j. Здесь М - обозначение математического ожидания.

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

при ограничениях

,
,
,
. (1.8)

Мы получили известную модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг.

Модель (1.8.) является примеров оптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).

Пример1.5.4.

На базе торговой организации имеется n типов одного из товаров ассортиментного минимума. В магазин должен быть завезен только один из типов данного товара. Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно завести в магазин. Если товар типа j будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыльр j , если же он не будет пользоваться спросом - убытокq j .

Перед моделированием обсудим некоторые принципиальные моменты. В данной задаче лицом, принимающим решение (ЛПР), является магазин. Однако исход (получение максимальной прибыли) зависит не только от его решения, но и от того, будет ли завезенный товар пользоваться спросом, т. е. будет ли выкуплен населением (предполагается, что по какой-то причине у магазина нет возможности изучить спрос населения). Поэтому население может рассматриваться как второе ЛПР, выбирающее тип товара согласно своего предпочтения. Наихудшим для магазина «решением» населения является: «завезенный товар не пользуется спросом». Так что, для учета всевозможных ситуаций, магазину нужно считать население своим «противником» (условно), преследующим противоположную цель – минимизировать прибыль магазина.

Итак, имеем задачу принятия решения с двумя участниками, преследующими противоположные цели. Уточним, что магазин выбирает один из типов товаров для продажи (всего n вариантов решений), а население - один из типов товаров, который пользуется наибольшим спросом (n вариантов решений).

Для составления математической модели нарисуем таблицу с n строками и n столбцами (всего n 2 клеток) и условимся, что строки соответствуют выбору магазина, а столбики - выбору населения. Тогда клетка (i, j) соответствует той ситуации, когда магазин выбирает i -й тип товара (i -ю строку), а население выбирает j -й тип товара (j- ю столбик). В каждую клетку запишем числовую оценку (прибыль или убыток) соответствующей ситуации с точки зрения магазина:

Числа q i написаны с минусом для отражения убытка магазина; в каждой ситуации «выигрыш» населения (условно) равен «выигрышу» магазина, взятому с обратным знаком.

Сокращенный вид этой модели таков:

(1.9)

Мы получили так называемую матричную игру. Модель (1.9.) является примером игровых моделей принятия решения.

Четыре седьмых класса.

В 7А учатся 15 девочек и 13 мальчиков,

в 7Б - 12 девочек и 12 мальчиков,

в 7В - 9 девочек и 18 мальчиков,

в 7Г - 20 девочек и 10 мальчиков.

Если нам нужно ответить на вопрос, сколько учеников в каждом из седьмых классов, то нам 4 раза придется осуществлять одну и ту же операцию сложения:

в 7А 15 + 13 = 28 учеников;
в 7Б 12 +12 = 24 ученика;
в 7В 9 + 18 = 27 учеников;
в 7Г 20 + 10 = 30 учеников.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

В предложенной вашему вниманию статье мы предлагаем примеры математических моделей. Кроме этого, мы обратим внимание на этапы создания моделей и разберем некоторые задачи, связанные с математическим моделированием.

Еще один наш вопрос - это математические модели в экономике, примеры, определение которых мы рассмотрим немного позже. Начать наш разговор мы предлагаем с самого понятия «модель», кратко рассмотрим их классификацию и перейдем к основным нашим вопросам.

Понятие «модель»

Мы часто слышим слово «модель». Что же это такое? Данный термин имеет множество определений, вот только три из них:

• специфический объект, который создается для получения и хранения информации, отражающий некоторые свойства или характеристики и так далее оригинала данного объекта (этот специфический объект может выражаться в разной форме: мысленный, описание при помощи знаков и так далее);
• еще под моделью подразумевается отображение какой-либо конкретной ситуации, жизненной или управленческой;
• моделью может служить уменьшенная копия какого-либо объекта (они создаются для более подробного изучения и анализа, так как модель отражает структуру и взаимосвязи).

Исходя из всего, что было сказано ранее, можно сделать небольшой вывод: модель позволяет подробно изучить сложную систему или объект.

Все модели можно классифицировать по ряду признаков:

• по области использования (учебные, опытные, научно-технические, игровые, имитационные);
• по динамике (статические и динамические);
• по отрасли знаний (физические, химические, географические, исторические, социологические, экономические, математические);
• по способу представления (материальные и информационные).

Информационные модели, в свою очередь, делятся на знаковые и вербальные. А знаковые - на компьютерные и некомпьютерные. Теперь перейдем к подробному рассмотрению примеров математической модели.

Математическая модель

Как не трудно догадаться, математическая модель отражает какие-либо черты объекта или явления при помощи специальных математических символов. Математика и нужна для того, чтобы моделировать закономерности окружающего мира на своем специфическом языке.

Метод математического моделирования зародился достаточно давно, тысячи лет назад, вместе с появлением данной науки. Однако толчок для развития данного способа моделирования дало появление ЭВМ (электронно-вычислительных машин).

Теперь перейдем к классификации. Ее так же можно провести по некоторым признакам. Они представлены в таблице ниже.

Мы предлагаем остановиться и подробнее рассмотреть последнюю классификацию, так как она отражает общие закономерности моделирования и цели создаваемых моделей.

Дескриптивные модели

В данной главе мы предлагаем остановиться подробнее на дескриптивных математических моделях. Для того чтобы было все предельно понятно, будет приведен пример.

Начнем с того, что этот вид можно назвать описательным. Это связано с тем, что мы просто делаем расчеты и прогнозы, но никак не можем повлиять на исход события.

Ярким примером описательной математической модели является вычисление траектории полета, скорости, расстояния от Земли кометы, которая вторглась в просторы нашей Солнечной системы. Эта модель является описательной, так как все полученные результаты могут только предупредить нас о какой-либо опасности. Повлиять на исход события, увы, мы не можем. Однако, основываясь на полученных расчетах, можно предпринять какие-либо меры для сохранения жизни на Земле.

Оптимизационные модели

Сейчас мы немного поговорим об экономико-математических моделях, примерами которых могут служить разные сложившиеся ситуации. В данном случае речь идет о моделях, которые помогают найти верный ответ в определенных условиях. Они обязательно имеют некие параметры. Чтобы стало предельно понятно, рассмотрим пример из аграрной части.

У нас есть зернохранилище, но зерно очень быстро портится. В этом случае нам необходимо правильно подобрать температурный режим и оптимизировать процесс хранения.

Таким образом, мы можем дать определение понятию «оптимизационная модель». В математическом смысле это система уравнений (как линейных, так и нет), решение которой помогает найти оптимальное решение в конкретной экономической ситуации. Пример математической модели (оптимизационной) мы рассмотрели, но хочется еще добавить: данный вид относится к классу экстремальных задач, они помогают описать функционирование экономической системы.

Отметим еще один нюанс: модели могут носить разный характер (см. таблицу ниже).

Многокритериальные модели

Сейчас предлагаем вам поговорить немного о математической модели многокритериальной оптимизации. До этого мы привели пример математической модели оптимизации процесса по какому-либо одному критерию, но что делать, если их много?

Ярким примером многокритериальной задачи служит организация правильного, полезного и одновременно экономного питания больших групп людей. С такими задачами часто встречаются в армии, школьных столовых, летних лагерях, больницах и так далее.

Какие критерии нам даны в данной задаче?

1. Питание должно быть полезным.
2. Расходы на пищу должны быть минимальными.

Как видите, эти цели совсем не совпадают. Значит, при решении задачи необходимо искать оптимальное решение, баланс между двумя критериями.

Игровые модели

Говоря об игровых моделях, необходимо понимать понятие «теория игр». Если говорить просто, то данные модели отражают математические модели настоящих конфликтов. Только стоит понимать, что, в отличие от реального конфликта, игровая математическая модель имеет свои определенные правила.

Сейчас будет приведен минимум информации из теории игр, которая поможет вам понять, что такое игровая модель. И так, в модели обязательно присутствуют стороны (две или более), которых принято называть игроками.

Все модели имеют некие характеристики.

Игровая модель может быть парной или множественной. Если у нас есть два субъекта, то конфликт парный, если больше - множественный. Также можно выделить антагонистическую игру, ее еще называют игрой с нулевой суммой. Это модель, в которой выигрыш одного из участников равняется проигрышу другого.

Имитационные модели

В данном разделе мы обратим внимание на имитационные математические модели. Примерами задач могут служить:

• модель динамики численности микроорганизмов;
• модель движения молекул, и так далее.

В данном случае мы говорим о моделях, которые максимально приближены к реальным процессам. По большому счету, они имитируют какое-либо проявление в природе. В первом случае, например, мы можем моделировать динамику численности муравьев в одной колонии. При этом можно наблюдать за судьбой каждой отдельной особи. В данном случае математическое описание используют редко, чаще присутствуют письменные условия:

• через пять дней женская особь откладывает яйца;
• через двадцать дней муравей погибает, и так далее.

Таким образом, используются для описания большой системы. Математическое заключение - это обработка полученных статистических данных.

Требования

Очень важно знать, что к данному виду модели предъявляют некоторые требования, среди которых - приведенные в таблице ниже.

Универсальность	Это свойство позволяет использовать одну и ту же модель при описании однотипных групп объектов. Важно отметить, что универсальные математические модели совершенно не зависят от физической природы исследуемого объекта
Адекватность	Здесь важно понимать, что данное свойство позволяет максимально правильно воспроизводить реальные процессы. В задачах эксплуатации очень важно данное свойство математического моделирования. Примером модели может служить процесс оптимизации использования газовой системы. В данном случае сопоставляются расчетные и фактические показатели, в результате проверяется правильность составленной модели
Точность	Данное требование подразумевает совпадение значений, которые мы получаем при расчете математической модели и входных параметров нашего реального объекта
Экономичность	Требование экономичности, предъявляемое к любой математической модели, характеризуется затратами на реализацию. Если работа с моделью осуществляется ручным способом, то необходимо рассчитать, сколько времени уйдет на решение одной задачи при помощи данной математической модели. Если речь идет об автоматизированном проектировании, то рассчитываются показатели затрат времени и памяти компьютера

Этапы моделирования

Всего в математическом моделировании принято выделять четыре этапа.

1. Формулировка законов, связывающих части модели.
2. Исследование математических задач.
3. Выяснение совпадений практических и теоретических результатов.
4. Анализ и модернизация модели.

Экономико-математическая модель

В этом разделе кратко осветим вопрос Примерами задач могут служить:

• формирование производственной программы выпуска мясной продукции, обеспечивающей максимальную прибыль производства;
• максимизация прибыли организации путем расчета оптимального количества выпуска столов и стульев на мебельной фабрике, и так далее.

Экономико-математическая модель отображает экономическую абстракцию, которая выражена при помощи математических терминов и знаков.

Компьютерная математическая модель

Примерами компьютерной математической модели являются:

• задачи гидравлики при помощи блок-схем, диаграмм, таблиц, и так далее;
• задачи на механику твердого тела, и так далее.

Компьютерная модель - это образ объекта или системы, представленный в виде:

• таблицы;
• блок-схемы;
• диаграммы;
• графика, и так далее.

При этом данная модель отражает структуру и взаимосвязи системы.

Построение экономико-математической модели

Мы уже ранее сказали о том, что такое экономико-математическая модель. Пример решения задачи будет рассмотрен прямо сейчас. Нам необходимо произвести анализ производственной программы для выявления резерва повышения прибыли при сдвиге в ассортименте.

Полностью рассматривать задачу мы не будем, а только построим экономико-математическую модель. Критерий нашей задачи - максимизация прибыли. Тогда функция имеет вид: Л=р1*х1+р2*х2…, стремящееся к максимуму. В данной модели р - это прибыль за единицу, х - это количество производимых единиц. Далее, основываясь на построенной модели, необходимо произвести расчеты и подвести итог.

Пример построения простой математической модели

Задача. Рыбак вернулся со следующим уловом:

• 8 рыб - обитатели северных морей;
• 20% улова - обитатели южных морей;
• из местной реки не обнаружилось ни одной рыбы.

Сколько рыб он купил в магазине?

Итак, пример построения математической модели данной задачи выглядит следующим образом. Обозначаем общее количество рыб за х. Следуя условию, 0,2х - это количество рыб, обитающих в южных широтах. Теперь объединяем всю имеющуюся информацию и получаем математическую модель задачи: х=0,2х+8. Решаем уравнение и получаем ответ на главный вопрос: 10 рыб он купил в магазине.

Проследить динамику развития объекта, внутреннюю сущность соотношений его элементов и различные со­стояния в процессе проектирования можно только с по­мощью моделей, использующих принцип динамической аналогии, т. е. с помощью математических моделей.

Математическая модель - это система математиче­ских соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление. Для составления математической модели мож­но использовать любые математические средства - тео­рию множеств, математическую логику, язык дифферен­циальных или интегральных уравнений. Процесс состав­ления математической модели называется математическим моделированием . Как и другие виды моделей, ма­тематическая модель представляет задачу в упрощен­ном виде и описывает только свойства и закономер­ности, которые наиболее важны для данного объекта или процесса. Математическая модель позволяет осуществ­лять многосторонний количественный анализ. Изменяя исходные данные, критерии, ограничения, каждый раз можно получать оптимальное по заданным условиям ре­шение и определять дальнейшее направление поиска.

Создание математических моделей требует от их раз­работчиков, кроме знания формально-логических мето­дов, тщательного анализа изучаемого объекта с целью строгого формулирования основных идей и правил, а также с целью выявления достаточного объема досто­верных фактических, статистических и нормативных данных.

Следует отметить, что все используемые в настоя­щее время математические модели относятся к предпи­сывающим . Цель разработки предписывающих моде­лей - указание направления поиска решения, в то время как цель разработки описывающих моделей - отражение действительных процессов мышления человека.

Достаточно широко распространена точка зрения, что с помощью математики можно получить только некото­рые числовые данные по изучаемому объекту или про­цессу. «Разумеется, многие математические дисциплины направлены на получение конечного численного резуль­тата. Но сводить математические методы только к зада­че получения числа - значит бесконечно обеднять мате­матику, обеднять возможность того могучего оружия, которое сегодня есть в руках исследователей…

Математическая модель, записанная на том или ином частном языке (например, дифференциальные уравне­ния), отражает определенные свойства реальных физиче­ских процессов. В результате анализа математических моделей мы получаем, прежде всего, качественные пред­ставления об особенностях изучаемых процессов, уста­навливаем закономерности, определяющие динамический ряд последовательных состояний, получаем возможность предсказать течение процесса и определять его количе­ственные характеристики».

Математические модели используются во многих известных способах моделирования. Среди них можно назвать разработку моделей, описывающих статическое и динамическое состояние объекта, оптимизационные модели.

Примером математических моделей, описывающих статическое и динамическое состояние объекта, могут служить различные методы традиционных расчетов конструкций. Процесс расчета, представленный в виде последовательности математических операций (алгоритм), позволяет сказать, что составлена математическая модель для расчета определенной конструкции.

В оптимизационных моделях присутствуют три элемента:

Целевая функция, отражающая принятый критерий качества;

Регулируемые параметры;

Налагаемые ограничения.

Все эти элементы должны быть описаны математически в виде уравнений, логических условий и т.д. Решение оптимизационной задачи представляет собой процесс поиска минимального (максимального) значения целевой функции при соблюдении заданных ограничений. Результат решения считается оптимальным, если функция цели достигает своего экстремального значения.

Пример оптимизационной модели – математическое описание критерия «длина связи» в методике вариантного проектирования промышленных зданий.

Целевая функция отражает общую взвешенную протяженность всех функциональных связей, которая должны стремиться к минимуму:

где – весовое значение связи элемента с ;

– длина связи между и элементами;

– общее число размещаемых элементов.

Поскольку площади размещаемых элементов помещений во всех вариантах проектного решения равны, то варианты отличаются один от другого только различными расстояниями между элементами и их расположением относительно друг друга. Следовательно, регулируемыми параметрами служат в данном случае координаты элементов, размещаемых на планах этажей.

Налагаемые ограничения на расположение элементов (в заранее фиксированном месте плана, у наружного периметра, друг над другом и т.д.) и на длину связей (значения длины связей между и ым элементами заданы жестко, заданы минимальные или максимальные пределы значений, заданы границы изменения значений) записываются формально.

Вариант считается оптимальным (по данному критерию), если значение функции цели, вычисленной для этого варианта, будет минимальным.

Разновидность математических моделей – экономико-математическая модель – представляет собой модель связи экономических характеристик и параметров системы.

Примером экономико-математических моделей служит математическое описание критериев затрат в упомянутой выше методике вариантного проектирования промышленных зданий. В математических моделях, полученных на основе использования методов математической статистики, отражена зависимость стоимости каркаса, фундаментов, земляных работ одноэтажных и многоэтажных промышленных зданий и их высоты, пролета и шага несущих конструкций.

По способу учета влияния случайных факторов на принятие решения математические модели подразделяются на детерминированные и вероятностные. Детерминированная модель не учитывает влияние случайных факторов в процессе функционирования системы и основана на аналитическом представлении закономерностей функционирования. Вероятностная (стохастическая) модель учитывает влияние случайных факторов в процессе функционирования системы и основана на статистической, т.е. количественной оценке массовых явлений, позволяющей принимать в расчет их нелинейность, динамику, случайные возмущения, описываемые разными законами распределения.

Используя приведенные выше примеры, можно сказать, что математическая модель, описывающая критерий «длина связей», относится к детерминированным, а математические модели, описывающие группу критериев «затраты», - к вероятностным моделям.

Лингвистические, семантические и информационные модели

Математические модели имеют очевидные достоинства, так как количественная оценка аспектов задачи дает ясное представление о приоритетах целей. Немаловажно, что специалист всегда может обосновать принятие того или иного решения, представив соответствующие численные данные. Однако полное математическое описание проектной деятельности невозможно, поэтому большинство задач, решаемых на начальной стадии архитектурно-строительного проектирования, относится к слабоструктурированным .

Одна из особенностей слабоструктурированных задач - словесное описание используемых в них критериев. Введение критериев, описанных на естественном языке (такие критерии называют лингвистическими ), позволяет использовать менее сложные методы для поиска оптимальных проектных решений. При наличии таких критериев проектировщик принимает решение на основании привычных, не вызывающих сомнения выражениях целей.

Содержательное описание всех аспектов задачи вносит систематизацию в процесс ее решения, с одной стороны, а с другой, значительно облегчает работу специалистов, которые без изучения соответствующих разделов математики могут более рационально решать свои профессиональные задачи. На рис. 5.2 приведена лингвистическая модель , описывающая возможности создания условий для естественной вентиляции в различных вариантах планировочных решений хлебозавода.

Другие преимущества содержательного описания проблем заключаются в следующем:

Возможность описания всех критериев, которыми определяется эффективность проектного решения. При этом важно, что в описание могут быть введены слож­ные понятия и в поле зрения специалиста наряду с ко­личественными, измеряемыми факторами попадут и ка­чественные, не измеряемые. Таким образом, на момент принятия решения будет использована вся субъективная и объективная информация;

Рис. 5.2 Описание содержания критерия «вентиляция» в виде лингвистической модели

Возможность однозначной оценки степени достижения цели в вариантах по данному признаку на основе фор­мулировок, принятых специалистами, что обеспечивает достоверность полученной информации;

Возможность учета неопределенности, связанной с не­полным знанием всех последствий принимаемых реше­ний, а так же информации прогнозного характера.

К моделям, которые используют естественный язык для описания объекта исследования, относятся и семан­тические модели.

Семантическая модель - есть такое представление объекта, при котором отражается степень взаимосвязан­ности (близости) между различными составными частя­ми, аспектами, свойствами объекта. Под взаимосвязан­ностью понимается не относительное пространственное расположение, а связь по смыслу.

Так, в семантическом смысле связь между коэффи­циентом естественной освещенности и площадью света прозрачных ограждений будет представлена как более близкая, чем связь между оконными проемами и смеж­ными с ними глухими участками стены.

Совокупность отношений связанности показывает, что представляет собой каждый выделяемый в объекте эле­мент и объект в целом. В то же время семантическая модель отображает помимо степени связанности различ­ных сторон в объекте также содержание понятий. Элементарными моделями служат понятия, выраженные естественным языком.

Построение семантических моделей основывается на принципах, в соответствии с которыми понятия и связи не изменяются в течение всего времени использования модели; содержание одного понятия не переходит в дру­гое; связи между двумя понятиями имеют равное по отношению к ним и неориентированное взаимодействие.

Каждый анализ модели направлен на выбор элемен­тов модели, имеющих общее определенное качество. Это дает основание для построения алгоритма, учитывающе­го только непосредственные связи. При преобразовании модели в неориентированный граф ищется путь между двумя элементами, который прослеживает движение из одного элемента в другой, с использованием каждого элемента только один раз. Порядок следования элемен­тов называется последовательностью этих двух элемен­тов. Последовательности могут иметь разную длину. Самые короткие из них называются отношениями эле­ментов. Последовательность двух элементов существует и в том случае, если между ними существует непосред­ственная связь, но в таком случае не существует от­ношения.

В качестве примера семантической модели приведем описание планировки квартиры вместе с коммуникацион­ными связями. Понятие - это помещения квартиры. Не­посредственная связь означает функциональное соедине­ние двух помещений, например дверью (см. табл. 5.1).

Преобразование модели в форму неориентированного графа позволяет получить последовательность элементов (рис. 5.3).

Примеры последовательности, образованной между элементом 2 (ванная) и элементом 6 (кладовая), приведены в табл. 5.2. Как видно из таблицы, последовательность 3 пред­ставляет отношение этих двух элементов.

Таблица 5.1

Описание планировки квартиры

Рис. 5.3 Описание планировочного решения в виде неориентирован­ного графа