Когда появились отрицательные числа. Положительные и отрицательные числа: определение, примеры. Что такое положительные и отрицательные числа

Эта статья посвящена такому вопросу, как нахождение наибольшего общего делителя. Сначала мы объясним, что это такое, и приведем несколько примеров, введем определения наибольшего общего делителя 2 , 3 и более чисел, после чего остановимся на общих свойствах данного понятия и докажем их.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое общие делители

Чтобы понять, что из себя представляет наибольший общий делитель, сначала сформулируем, что вообще такое общий делитель для целых чисел.

В статье о кратных и делителях мы говорили, что у целого числа всегда есть несколько делителей. Здесь же нас интересуют делители сразу некоторого количества целых чисел, особенно общие (одинаковые) для всех. Запишем основное определение.

Определение 1

Общим делителем нескольких целых чисел будет такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества.

Пример 1

Вот примеры такого делителя: тройка будет общим делителем для чисел - 12 и 9 , поскольку верны равенства 9 = 3 · 3 и − 12 = 3 · (− 4) . У чисел 3 и - 12 есть и другие общие делители, такие, как 1 , − 1 и − 3 . Возьмем другой пример. У четырех целых чисел 3 , − 11 , − 8 и 19 будет два общих делителя: 1 и - 1 .

Зная свойства делимости, мы можем утверждать, что любое целое число можно разделить на единицу и минус единицу, значит, у любого набора целых чисел уже будет как минимум два общих делителя.

Также отметим, что если у нас есть общий для нескольких чисел делитель b , то те же числа можно разделить и на противоположное число, то есть на - b . В принципе, мы можем взять лишь положительные делители, тогда все общие делители также будут больше 0 . Такой подход также можно использовать, однако совсем игнорировать отрицательные числа не следует.

Что такое наибольший общий делитель (НОД)

Согласно свойствам делимости, если b является делителем целого числа a , которое не равно 0, то модуль числа b не может быть больше, чем модуль a , следовательно, любое число, не равное 0 , имеет конечное число делителей. Значит, число общих делителей нескольких целых чисел, хотя бы одно из которых отличается от нуля, также будет конечным, и из всего их множества мы всегда можем выделить самое большое число (ранее мы уже говорили о понятии наибольшего и наименьшего целого числа, советуем вам повторить данный материал).

В дальнейших рассуждениях мы будем считать, что хотя бы одно из множества чисел, для которых нужно найти наибольший общий делитель, будет отлично от 0 . Если они все равны 0 , то их делителем может быть любое целое число, а поскольку их бесконечно много, выбрать наибольшее мы не сможем. Иначе говоря, найти наибольший общий делитель для множества чисел, равных 0 , нельзя.

Переходим к формулировке основного определения.

Определение 2

Наибольшим общим делителем нескольких чисел является самое большое целое число, которое делит все эти числа.

На письме наибольший общий делитель чаще всего обозначается аббревиатурой НОД. Для двух чисел его можно записать как НОД (a , b) .

Пример 2

Какой можно привести пример НОД для двух целых чисел? Например, для 6 и - 15 это будет 3 . Обоснуем это. Сначала запишем все делители шести: ± 6 , ± 3 , ± 1 , а потом все делители пятнадцати: ± 15 , ± 5 , ± 3 и ± 1 . После этого мы выбираем общие: это − 3 , − 1 , 1 и 3 . Из них надо выбрать самое большое число. Это и будет 3 .

Для трех и более чисел определение наибольшего общего делителя будет почти таким же.

Определение 3

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Для чисел a 1 , a 2 , … , a n делитель удобно обозначать как НОД (a 1 , a 2 , … , a n) . Само значение делителя записывается как НОД (a 1 , a 2 , … , a n) = b .

Пример 3

Приведем примеры наибольшего общего делителя нескольких целых чисел: 12 , - 8 , 52 , 16 . Он будет равен четырем, значит, мы можем записать, что НОД (12 , - 8 , 52 , 16) = 4 .

Проверить правильность данного утверждения можно с помощью записи всех делителей этих чисел и последующего выбора наибольшего из них.

На практике часто встречаются случаи, когда наибольший общий делитель равен одному из чисел. Это происходит тогда, когда на данное число можно разделить все остальные числа (в первом пункте статьи мы привели доказательство этого утверждения).

Пример 4

Так, наибольший общий делитель чисел 60 , 15 и - 45 равен 15 , поскольку пятнадцать делится не только на 60 и - 45 , но и на само себя, и большего делителя для всех этих чисел не существует.

Особый случай составляют взаимно простые числа. Они представляют собой целые числа с наибольшим общим делителем, равным 1 .

Основные свойства НОД и алгоритм Евклида

У наибольшего общего делителя есть некоторые характерные свойства. Сформулируем их в виде теорем и докажем каждое из них.

Отметим, что данные свойства сформулированы для целых чисел больше нуля, а делители мы рассмотрим только положительные.

Определение 4

Числа a и b имеют наибольший общий делитель, равный НОД для b и a , то есть НОД (a , b) = НОД (b , a) . Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Данное свойство следует из самого определения НОД и не нуждается в доказательствах.

Определение 5

Если число a можно разделить на число b , то множество общих делителей этих двух чисел будет аналогично множеству делителей числа b , то есть НОД (a , b) = b .

Докажем это утверждение.

Доказательство 1

Если у чисел a и b есть общие делители, то на них можно разделить любое из них. В то же время если a будет кратным b, то любой делитель b будет делителем и для a , поскольку у делимости есть такое свойство, как транзитивность. Значит, любой делитель b будет общим для чисел a и b . Это доказывает, что если мы можем разделить a на b , то множество всех делителей обоих чисел совпадет с множеством делителей одного числа b . А поскольку наибольший делитель любого числа есть само это число, то наибольший общий делитель чисел a и b будет также равен b , т.е. НОД (a , b) = b . Если a = b , то НОД (a , b) = НОД (a , a) = НОД (b , b) = a = b , например, НОД (132 , 132) = 132 .

Используя это свойство, мы можем найти наибольший общий делитель двух чисел, если одно из них можно разделить на другое. Такой делитель равен одному из этих двух чисел, на которое можно разделить второе число. К примеру, НОД (8 , 24) = 8 , так как 24 есть число, кратное восьми.

Определение 6 Доказательство 2

Попробуем доказать данное свойство. У нас изначально есть равенство a = b · q + c , и любой общий делитель a и b будет делить и c , что объясняется соответствующим свойством делимости. Поэтому любой общий делитель b и c будет делить a . Значит, множество общих делителей a и b совпадет с множеством делителей b и c , в том числе и наибольшие из них, значит, равенство НОД (a , b) = НОД (b , c) справедливо.

Определение 7

Следующее свойство получило название алгоритма Евклида. С его помощью можно вычислить наибольший общий делитель двух чисел, а также доказать другие свойства НОД.

Перед тем, как сформулировать свойство, советуем вам повторить теорему, которую мы доказывали в статье о делении с остатком. Согласно ей, делимое число a можно представить в виде b · q + r , причем b здесь является делителем, q – некоторым целым числом (его также называют неполным частным), а r – остатком, который удовлетворяет условию 0 ≤ r ≤ b .

Допустим, у нас есть два целых числа больше 0 , для которых будут справедливы следующие равенства:

a = b · q 1 + r 1 , 0 < r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Эти равенства заканчиваются тогда, когда r k + 1 становится равен 0 . Это случится обязательно, поскольку последовательность b > r 1 > r 2 > r 3 , … представляет собой ряд убывающих целых чисел, который может включать в себя только конечное их количество. Значит, r k является наибольшим общим делителем a и b , то есть, r k = НОД (a , b) .

В первую очередь нам надо доказать, что r k – это общий делитель чисел a и b , а после этого – то, что r k является не просто делителем, а именно наибольшим общим делителем двух данных чисел.

Просмотрим список равенств, приведенный выше, снизу вверх. Согласно последнему равенству,
r k − 1 можно разделить на r k . Исходя из этого факта, а также предыдущего доказанного свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что r k − 2 можно разделить на r k , так как
r k − 1 делится на r k и r k делится на r k .

Третье снизу равенство позволяет нам сделать вывод, что r k − 3 можно разделить на r k , и т.д. Второе снизу – что b делится на r k , а первое – что a делится на r k . Из всего этого заключаем, что r k – общий делитель a и b .

Теперь докажем, что r k = НОД (a , b) . Что для этого нужно сделать? Показать, что любой общий делитель a и b будет делить r k . Обозначим его r 0 .

Просмотрим тот же список равенств, но уже сверху вниз. Исходя из предыдущего свойства, можно заключить, что r 1 делится на r 0 , значит, согласно второму равенству r 2 делится на r 0 . Идем по всем равенствам вниз и из последнего делаем вывод, что r k делится на r 0 . Следовательно, r k = НОД (a , b) .

Рассмотрев данное свойство, заключаем, что множество общих делителей a и b аналогично множеству делителей НОД этих чисел. Это утверждение, которое является следствием из алгоритма Евклида, позволит нам вычислить все общие делители двух заданных чисел.

Перейдем к другим свойствам.

Определение 8

Если a и b являются целыми числами, не равными 0 , то должны существовать два других целых числа u 0 и v 0 , при которых будет справедливым равенство НОД (a , b) = a · u 0 + b · v 0 .

Равенство, приведенное в формулировке свойства, является линейным представлением наибольшего общего делителя a и b . Оно носит название соотношения Безу, а числа u 0 и v 0 называются коэффициентами Безу.

Доказательство 3

Докажем данное свойство. Запишем последовательность равенств по алгоритму Евклида:

Первое равенство говорит нам о том, что r 1 = a − b · q 1 . Обозначим 1 = s 1 и − q 1 = t 1 и перепишем данное равенство в виде r 1 = s 1 · a + t 1 · b . Здесь числа s 1 и t 1 будут целыми. Второе равенство позволяет сделать вывод, что r 2 = b − r 1 · q 2 = b − (s 1 · a + t 1 · b) · q 2 = − s 1 · q 2 · a + (1 − t 1 · q 2) · b . Обозначим − s 1 · q 2 = s 2 и 1 − t 1 · q 2 = t 2 и перепишем равенство как r 2 = s 2 · a + t 2 · b , где s 2 и t 2 также будут целыми. Это объясняется тем, что сумма целых чисел, их произведение и разность также представляют собой целые числа. Точно таким же образом получаем из третьего равенства r 3 = s 3 · a + t 3 · b , из следующего r 4 = s 4 · a + t 4 · b и т.д. В конце заключаем, что r k = s k · a + t k ·b при целых s k и t k . Поскольку r k = НОД (a , b) , обозначим s k = u 0 и t k = v 0 , В итоге мы можем получить линейное представление НОД в требуемом виде: НОД (a , b) = a · u 0 + b · v 0 .

Определение 9

НОД (m · a , m · b) = m · НОД (a , b) при любом натуральном значении m .

Доказательство 4

Обосновать это свойство можно так. Умножим на число m обе стороны каждого равенства в алгоритме Евклида и получим, что НОД (m · a , m · b) = m · r k , а r k – это НОД (a , b) . Значит, НОД (m · a , m · b) = m ·НОД (a , b) . Именно это свойство наибольшего общего делителя используется при нахождении НОД методом разложения на простые множители.

Определение 10

Если у чисел a и b есть общий делитель p , то НОД (a: p , b: p) = НОД (a , b) : p . В случае, когда p = НОД (a , b) получим НОД (a: НОД (a , b) , b: НОД (a , b) = 1 , следовательно, числа a: НОД (a , b) и b: НОД (a , b) являются взаимно простыми.

Поскольку a = p · (a: p) и b = p · (b: p) , то, основываясь на предыдущем свойстве, можно создать равенства вида НОД (a , b) = НОД (p · (a: p) , p · (b: p)) = p ·НОД (a: p , b: p) , среди которых и будет доказательство данного свойства. Это утверждение мы используем, когда приводим обыкновенные дроби к несократимому виду.

Определение 11

Наибольшим общим делителем a 1 , a 2 , … , a k будет число d k , которое можно найти, последовательно вычисляя НОД (a 1 , a 2) = d 2 , НОД (d 2 , a 3) = d 3 , НОД (d 3 , a 4) = d 4 , … , НОД (d k - 1 , a k) = d k .

Это свойство полезно при нахождении наибольшего общего делителя трех и более чисел. С помощью него можно свести это действие к операциям с двумя числами. Его основой является следствие из алгоритма Евклида: если множество общих делителей a 1 , a 2 и a 3 совпадает с множеством d 2 и a 3 , то оно совпадет и с делителями d 3 . Делители чисел a 1 , a 2 , a 3 и a 4 совпадут с делителями d 3 , значит, они совпадут и с делителями d 4 , и т.д. В конце мы получим, что общие делители чисел a 1 , a 2 , … , a k совпадут с делителями d k , а поскольку наибольшим делителем числа d k будет само это число, то НОД (a 1 , a 2 , … , a k) = d k .

Это все, что мы хотели бы рассказать о свойствах наибольшего общего делителя.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Ланцинова Айса

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Задачи на НОД и НОК чисел Работа ученицы 6 класса МКОУ «Камышовская ООШ» Ланциновой Айсы Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учитель математики с. Камышово, 2013г

Пример нахождения НОД чисел 50, 75 и 325. 1) Разложим числа 50, 75 и 325 на простые множители. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Из множителей входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение других. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Найдём произведение оставшихся множителей 5 ∙ 5 = 25 Ответ: НОД (50, 75 и 325)= 25 Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Пример нахождения НОК чисел 72, 99 и 117. 1) Разложим на простые множители числа 72, 99 и 117. 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Выписать множители, входящих в разложение одного из чисел 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 и добавить к ним недостающие множители остальных чисел. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3)Найдите произведение получившихся множителей. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Ответ: НОК (72, 99 и 117) = 10296 Наименьшим общим кратным натуральных чисел a и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно a и b .

Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см., а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько? Решение: 1) S = a ∙ b – площадь прямоугольника. S= 48 ∙ 40 = 1960 см ² . – площадь картона. 2) a – сторона квадрата 48: a – число квадратов, которое можно уложить по длине картона. 40: а – число квадратов, которое можно уложить по ширине картона. 3) НОД (40 и 48) = 8(см) – сторона квадрата. 4) S = a² – площадь одного квадрата. S = 8² = 64 (см ² .) – площадь одного квадрата. 5) 1960: 64 = 30 (количество квадратов). Ответ: 30 квадратов со стороной 8 см каждый. Задачи на НОД

Камин в комнате необходимо выложить отделочной плиткой в форме квадрата. Сколько плиток понадобится для камина размером 195 ͯ 156 см и каковы наибольшие размеры плитки? Решение: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (см ²) – S поверхности камина. 2) НОД (195 и 156) = 39 (см) – сторона плитки. 3) S = a² = 39² = 1521 (см ²) – площадь 1 плитки. 4) 30420: = 20 (штук). Ответ: 20 плиток размером 39 ͯ 39 (см). Задачи на НОД

Садовый участок размером 54 ͯ 48 м по периметру необходимо оградить забором, для этого через равные промежутки надо поставить бетонные столбы. Сколько столбов необходимо привезти для участка, и на каком максимальном расстоянии друг от друга будут стоять столбы? Решение: 1) P = 2(a + b) – периметр участка. P = 2(54 + 48) = 204 м. 2) НОД (54 и 48) = 6 (м) – расстояние между столбами. 3) 204: 6 = 34 (столба). Ответ: 34 столба, на расстоянии 6 м. Задачи на НОД

Из 210 бордовых, 126 белых, 294 красных роз собрали букеты, причём в каждом букете количество роз одного цвета поровну. Какое наибольшее количество букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого цвета в одном букете? Решение: 1) НОД (210, 126 и 294) = 42 (букета). 2) 210: 42 = 5 (бордовых роз). 3) 126: 42 = 3 (белых роз). 4) 294: 42 = 7 (красных роз). Ответ: 42 букета: 5 бордовых, 3 белых, 7 красных роз в каждом букете. Задачи на НОД

Таня и Маша купили одинаковое число почтовых наборов. Таня заплатила 90 руб., а Маша на 5 руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила каждая? Решение: 1) 90 + 5 = 95 (руб.) заплатила Маша. 2) НОД (90 и 95) = 5 (руб.) – цена 1 набора. 3) 980: 5 = 18 (наборов) – купила Таня. 4) 95: 5 = 19 (наборов) – купила Маша. Ответ: 5 рублей, 18 наборов, 19 наборов. Задачи на НОД

В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй – 20 и третий – 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трём маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание? Какое количество рейсов сделает каждый теплоход? Решение: 1) НОК (15,20 и 12) = 60 (суток) – время встречи. 2) 60: 15 = 4 (рейса) – 1 теплоход. 3) 60: 20 = 3 (рейса) – 2 теплоход. 4) 60: 12 = 5 (рейсов) – 3 теплоход. Ответ: 60 суток, 4 рейса, 3 рейса, 5 рейсов. Задачи на НОК

Маша для Медведя купила в магазине яйца. По дороге в лес она сообразила, что число яиц делится на 2,3,5,10 и 15. Сколько яиц купила Маша? Решение: НОК (2;3;5;10;15) = 30 (яиц) Ответ: Маша купила 30 яиц. Задачи на НОК

Требуется изготовить ящик с квадратным дном для укладки коробок размером 16 ͯ 20 см. Какова должна быть наименьшая длина стороны квадратного дна, чтобы уместить коробки в ящик вплотную? Решение: 1) НОК (16 и 20) = 80 (коробок). 2) S = a ∙ b – площадь 1 коробки. S = 16 ∙ 20 = 320 (см ²) – площадь дна 1 коробки. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (см ²) – площадь квадратного дна. 4) S = а² = а ∙ а 25600 = 160 ∙ 160 – размеры ящика. Ответ: 160 см- сторона квадратного дна. Задачи на НОК

Вдоль дороги от пункта К стоят столбы электролинии через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Сколько столбов было и сколько будут стоять? Решение: 1) НОК (45 и 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 –было столбов. 3) 180: 60 = 3 – стало столбов. Ответ: 4 столба, 3 столба. Задачи на НОК

Сколько солдат маршируют на плацу, если они будут маршировать строем по 12 человек в шеренге и перестраиваться в колонну по 18 человек в шеренге? Решение: 1)НОК (12 и 18) = 36 (человек) – маршируют. Ответ: 36 человек. Задачи на НОК

Второе число: b=

Разделитель разрядов Без разделителя пробел " ´

Результат:

Наибольший общий делитель НОД(a ,b )=6

Наименьшее общее кратное НОК(a ,b )=468

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называется наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел. Обозначается НОД(a,b), (a,b), gcd(a,b) или hcf(a,b).

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел a и b есть наименьшее натуральное число, которое делится на a и b без остатка. Обозначается НОК(a,b), или lcm(a,b).

Целые числа a и b называются взаимно простыми , если они не имеют никаких общих делителей кроме +1 и −1.

Наибольший общий делитель

Пусть даны два положительных числа a 1 и a 2 1). Требуется найти общий делитель этих чисел, т.е. найти такое число λ , которое делит числа a 1 и a 2 одновременно. Опишем алгоритм.

1) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Пусть a 1 ≥ a 2 , и пусть

где m 1 , a 3 некоторые целые числа, a 3 <a 2 (остаток от деления a 1 на a 2 должен быть меньше a 2).

Предположим, что λ делит a 1 и a 2 , тогда λ делит m 1 a 2 и λ делит a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Утверждение 2 статьи "Делимость чисел. Признак делимости"). Отсюда следует, что всякий общий делитель a 1 и a 2 является общим делителем a 2 и a 3 . Справедливо и обратное, если λ общий делитель a 2 и a 3 , то m 1 a 2 и a 1 =m 1 a 2 +a 3 также делятся на λ . Следовательно общий делитель a 2 и a 3 есть также общий делитель a 1 и a 2 . Так как a 3 <a 2 ≤a 1 , то можно сказать, что решение задачи по нахождению общего делителя чисел a 1 и a 2 сведено к более простой задаче нахождения общего делителя чисел a 2 и a 3 .

Если a 3 ≠0, то можно разделить a 2 на a 3 . Тогда

где m 1 и a 4 некоторые целые числа, (a 4 остаток от деления a 2 на a 3 (a 4 <a 3)). Аналогичными рассуждениями мы приходим к выводу, что общие делители чисел a 3 и a 4 совпадают с общими делителями чисел a 2 и a 3 , и также с общими делителями a 1 и a 2 . Так как a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... числа, постоянно убывающие, и так как существует конечное число целых чисел между a 2 и 0, то на каком то шаге n , остаток от деления a n на a n+1 будет равен нулю (a n+2 =0).

Каждый общий делитель λ чисел a 1 и a 2 также делитель чисел a 2 и a 3 , a 3 и a 4 , .... a n и a n+1 . Справедливо и обратное, общие делители чисел a n и a n+1 являются также делителями чисел a n−1 и a n , .... , a 2 и a 3 , a 1 и a 2 . Но общий делитель чисел a n и a n+1 является число a n+1 , т.к. a n и a n+1 без остатка делятся на a n+1 (вспомним, что a n+2 =0). Следовательно a n+1 является и делителем чисел a 1 и a 2 .

Отметим, что число a n+1 является наибольшим из делителей чисел a n и a n+1 , так как наибольший делитель a n+1 является сам a n+1 . Если a n+1 можно представить в виде произведения целых чисел, то эти числа также являются общими делителями чисел a 1 и a 2 . Число a n+1 называют наибольшим общим делителем чисел a 1 и a 2 .

Числа a 1 и a 2 могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Если один из чисел равен нулю, то наибольший общий делитель этих чисел будет равен абсолютной величине другого числа. Наибольший общий делитель нулевых чисел не определен.

Вышеизложенный алгоритм называется алгоритмом Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Пример нахождения наибольшего общего делителя двух чисел

Найти наибольший общий делитель двух чисел 630 и 434.

Шаг 1. Делим число 630 на 434. Остаток 196.
Шаг 2. Делим число 434 на 196. Остаток 42.
Шаг 3. Делим число 196 на 42. Остаток 28.
Шаг 4. Делим число 42 на 28. Остаток 14.
Шаг 5. Делим число 28 на 14. Остаток 0.

На шаге 5 остаток от деления равен 0. Следовательно наибольший общий делитель чисел 630 и 434 равен 14. Заметим, что числа 2 и 7 также являются делителями чисел 630 и 434.

Взаимно простые числа

Определение 1. Пусть наибольший общий делитель чисел a 1 и a 2 равен единице. Тогда эти числа называются взаимно простыми числами , не имеющими общего делителя.

Теорема 1. Если a 1 и a 2 взаимно простые числа, а λ какое то число, то любой общий делитель чисел λa 1 и a 2 является также общим делителем чисел λ и a 2 .

Доказательство. Рассмотрим алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя чисел a 1 и a 2 (см. выше).

Из условия теоремы следует, что наибольшим общим делителем чисел a 1 и a 2 , и следовательно a n и a n+1 является 1. Т.е. a n+1 =1.

Умножим все эти равенства на λ , тогда

Пусть общий делитель a 1 λ и a 2 есть δ . Тогда δ входит множителем в a 1 λ , m 1 a 2 λ и в a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (см. "Делимость чисел",Утверждение 2). Далее δ входит множителем в a 2 λ и m 2 a 3 λ , и, следовательно, входит множителем в a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Рассуждая так мы убеждаемся, что δ входит множителем в a n−1 λ и m n−1 a n λ , и, следовательно, в a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Так как a n+1 =1, то δ входит множителем в λ . Следовательно число δ является общим делителем чисел λ и a 2 .

Рассмотрим частные случаи теоремы 1.

Следствие 1. Пусть a и c простые числа относительно b . Тогда их произведение ac является простым числом относительно b .

Действительно. Из теоремы 1 ac и b имеют тех же общих делителей, что и c и b . Но числа c и b взаимно простые, т.е. имеют единственный общий делитель 1. Тогда ac и b также имеют единственный общий делитель 1. Следовательно ac и b взаимно простые.

Следствие 2. Пусть a и b взаимно простые числа и пусть b делит ak . Тогда b делит и k .

Действительно. Из условия утверждения ak и b имеют общий делитель b . В силу теоремы 1, b должен быть общим делителем b и k . Следовательно b делит k .

Следствие 1 можно обобщить.

Следствие 3. 1. Пусть числа a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m простые относительно числа b . Тогда a 1 a 2 , a 1 a 2 ·a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ···a m , произведение этих чисел простое относительно числа b .

2. Пусть имеем два ряда чисел

таких, что каждое число первого ряда простое по отношению каждого числа второго ряда. Тогда произведение

Требуется найти такие числа, которые делятся на каждое из этих чисел.

Если число делится на a 1 , то оно имеет вид sa 1 , где s какое-нибудь число. Если q есть наибольший общий делитель чисел a 1 и a 2 , то

где s 1 - некоторое целое число. Тогда

является наименьшим общим кратным чисел a 1 и a 2 .

a 1 и a 2 взаимно простые, то наименьшее общее кратное чисел a 1 и a 2:

Нужно найти наименьшее общее кратное этих чисел.

Из вышеизложенного следует, что любое кратное чисел a 1 , a 2 , a 3 должно быть кратным чисел ε и a 3 , и обратно. Пусть наименьшее общее кратное чисел ε и a 3 есть ε 1 . Далее, кратное чисел a 1 , a 2 , a 3 , a 4 должно быть кратным чисел ε 1 и a 4 . Пусть наименьшее общее кратное чисел ε 1 и a 4 есть ε 2 . Таким образом выяснили, что все кратные чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m совпадают с кратными некоторого определенного числа ε n , которое называют наименьшим общим кратным данных чисел.

В частном случае, когда числа a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m взаимно простые, то наименьшее общее кратное чисел a 1 , a 2 как было показано выше имеет вид (3). Далее, так как a 3 простое по отношению к числам a 1 , a 2 , тогда a 3 простое по отношению числа a 1 ·a 2 (Следствие 1). Значит наименьшее общее кратное чисел a 1 ,a 2 ,a 3 является число a 1 · a 2 ·a 3 . Рассуждая аналогичным образом мы приходим к следующим утверждениям.

Утверждение 1. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m равен их произведению a 1 ·a 2 ·a 3 ···a m .

Утверждение 2. Любое число, которое делится на каждое из взаимно простых чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m делится также на их произведение a 1 ·a 2 ·a 3 ···a m .

Состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.

Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем ноль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля . Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка , позволяющее сравнивать одно целое число с другим.

Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n , которое дополняет n до нуля:

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).

Знаменитые отрицательные числа

См. также

Литература

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. - М .: АСТ, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
Глейзер Г. И. История математики в школе . - М .: Просвещение, 1964. - 376 с.

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Камень
Озон (значения)

Смотреть что такое "Отрицательное число" в других словарях:

ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО - действительное число а, меньшее нуля, т. е. удовлетворяющее неравенству а … Большая политехническая энциклопедия - 1.50. отрицательное биномиальное распределение Распределение вероятностей дискретной случайной величины Х такое, что при x = 0, 1, 2, ... и параметрах c > 0 (целое положительное число), 0 < p < 1, где Примечания 1. Название… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Число Вольфа - (W) количественная характеристика степени солнечной активности; представляет собой число солнечных пятен и их групп, выраженное в форме условного показателя: W=k(m+10n), где m общее число всех пятен, оформленных в виде групп или расположенных… … Экология человека

Отрицательные числа — зачем дети изучают то, что не существует?

Я глубоко убеждён, что все (или почти все) проблемы современного человечества возникли вследствие отрыва от ПРИРОДЫ.

Современные люди оторвались от природы как в физическом плане (городами и домами), так и в ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОМ плане.

Например, это выражается в том, что почти вся школьная программа не имеет никакого отношения к природе и к РЕАЛЬНОСТИ.

Я приведу всего лишь один пример — это так называемые отрицательные числа.

В природе нет и не может быть ничего отрицательного.

Вы можете представить себе минус 1 автомобиль? А минус 3 белки?

Нормальный, психически здоровый человек не может представить себе такого!

Чуть ли не единственный случай, когда мы имеем дело с отрицательными величинами — это термометр. Например, зимой можем увидеть температуру -10 градусов по Цельсию.

Но, давайте посмотрим, что же нам покажет термометр, использующий шкалу градусов по Кельвину. Он нам покажет, примерно, 263 градуса по Кельвину (вместо -10 по Цельсию).

О чём это говорит? Это говорит о том, что стоит изменить расчётную шкалу и отрицательные числа чудесным образом превращаются в положительные.

Ещё хочу привести несколько примеров из РЕАЛЬНОГО мира, когда здравый смысл побеждает «отрицательные числа».

Пример №1 Измерение высоты гор, а также глубин морей и океанов.

Условным нулём выступает уровень моря. Всё что выше — говорят «столько то метров выше уровня моря». Всё что ниже — мы говорим «столько то метров ниже уровня моря».

Например, максимальная глубина Чёрного моря = 2 210 метров. Или 2210 метров НИЖЕ уровня моря. Но мы не говорим, что глубина моря — (минус) 2210 метров (т.к. это бред).

Пример №2 Хронография.

Сейчас в европейских странах принято вести летосчисление от Рождества Христова. Это базовая точка отсчёта. Всё что было после этого события — записывается, например, как 2017 год от Рождества Христова (или 2017 год Нашей Эры).

Всё что было до этого, записывается как «до нашей эры». Например, египетский фараон жил 1000 лет до нашей эры. Обратите внимание, что он жил не в «минус» 1000 лет, а 1000 лет до нашей эры. Это важная фраза — «до нашей эры» подчёркивает УСЛОВНОСТЬ измерительной шкалы.

Т.е. у историков, хвала духам, никаких отрицательных чисел в годах не возникает!

Но у математиков есть минусы (отрицательные числа) и они даже учат детей как складывать, вычитать, делить и умножать отрицательные числа!

Раз это явление имеет место быть, значит оно кому то выгодно!

Понятное дело, детям это не выгодно. Ибо если изучать то, чего нет в природе, то это может привести к нервному напряжению и, даже, к психическому расстройству.

Но кому это выгодно? Зачем детей заставляют изучать отрицательные числа?

В поисках ответов я обратился к википедии (она, как известно, никогда не врёт). Вот, что там написано:

Отрица́тельное число́ - элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Основной целью расширения было желание сделать вычитание такой же полноценной операцией, как сложение.

Всё это очень интересно! Но я так и не нашёл ответа но свой вопрос — «Зачем это?»

Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата.

Ага, вот нашёл, ответ на свой вопрос:

Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача),