Радиус сходимости степенного ряда находится из выражения. Область сходимости ряда. Функциональные ряды. Степенные ряды. Область сходимости ряда
Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда:
а) ; б);
в)
; г)
;
д)
.
а)
Найдем радиус сходимости R
.
Так как
,
,
то
.
x
,
то есть интервал сходимости ряда
.
При
получаем
числовой ряд
.
Этот ряд сходится, так как является
обобщенным гармоническим рядомпри
.
При
получаем
числовой ряд
.
Этот ряд абсолютно сходящийся, так как
ряд, составленный из абсолютных величин
его членов,
сходящийся.
.
б)
Найдем радиус
сходимости R
.
Так как
,
то
.
Итак, интервал
сходимости ряда
.
Исследуем на сходимость данный ряд на концах интервала сходимости.
При
имеем числовой ряд
.
При
имеем числовой ряд
.
Этот ряд расходящийся, так как
не существует.
Итак, область
сходимости данного ряда
.
в)
Найдем радиус
сходимости R
.
Так как
,
то
.
Итак, интервал
сходимости
.
Область сходимости данного ряда совпадает
с интервалом сходимости, то есть ряд
сходится при любом значении переменнойx
.
г)
Найдем радиус сходимости R
.
Так как
,
то
.
Так как
,
то ряд сходится только в точке
.
Значит, область сходимости данного ряда
представляет собой одну точку
.
д) Найдем радиус сходимости R .
Так как
,
,
то
.
Итак, ряд сходится
абсолютно для всех x
,
удовлетворяющих неравенству
,
то есть
.
Отсюда
− интервал сходимости,
− радиус сходимости.
Исследуем данный ряд на сходимость на концах интервала сходимости.
При
получаем числовой ряд
,
который расходится (гармонический ряд).
При
получаем числовой ряд
,
который сходится условно (ряд сходится
по признаку Лейбница, а ряд, составленный
их абсолютных величин его членов,
расходится, так как является гармоническим).
Итак, область
сходимости ряда
.
2.3. Ряды Тейлора и Маклорена.
Разложение функций в степенной ряд.
Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям
Примеры решения задач
Пример 1. Разложить в степенной ряд функции:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
Заменив в формуле
x
на
,
получим искомое разложение:
Где
б) Заменяя в равенстве
Где
x
на
,
получим искомое разложение:
в)
Данную функцию можно записать так:
.
Чтобы найти искомый ряд, достаточно в
разложение
Где
подставить
.
Тогда получим:
г) Данную функцию можно переписать так: .
Функцию
можно разложить в степенной ряд, положив
в биномиальном ряде
,
получим .
Где
.
Чтобы получить искомое разложение, достаточно перемножить полученные ряды (ввиду абсолютной сходимости этих рядов).
Следовательно,
,
где
.
Пример 2. Найти приближенные значения данных функций:
а)
с точностью до 0,0001;
б)
с точностью до 0,00001.
а)
Так как
,
то в разложение функции ,
где
подставим
:
или
Так как
,
то требуемая точность будет обеспечена,
если ограничиться только первыми двумя
членами полученного разложения.
.
Используем биномиальный ряд
Где
.
Полагая
и
,
получим следующее разложение:
Если в последнем
знакочередующемся ряде учитывать только
первые два члена, а остальные отбросить,
то погрешность при вычислении
не превысит по абсолютной величине
0,000006. Тогда погрешность при вычислении
не превысит числа .
Следовательно,
Пример 3. Вычислить с точностью до 0,001:
а)
; б)
.
а)
.
Разложим
подынтегральную функцию в степенной
ряд. Для этого подставим в биномиальный
ряд
и заменим x
на :
.
Так как отрезок
интегрирования
принадлежит области сходимости
полученного ряда
,
то будем интегрировать почленно в
указанных пределах:
.
В полученном знакочередующемся ряде четвертый член по абсолютной величине меньше 0,001. Следовательно, требуемая точность будет обеспечена, если учитывать только первые три члена ряда.
.
Так как первый из отброшенных членов имеет знак минус, то полученное приближенное значение будет с избытком. Поэтому ответ с точностью до 0,001 равен 0,487.
б) Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменим в разложении функции
Где
x
на
,
получим:
Тогда
.
Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Четвертый член ряда по абсолютной величине меньше 0,001. Чтобы обеспечить требуемую точность, достаточно найти сумму первых трех членов.
Следовательно,
.
Функциональные ряды. Степенные ряды.
Область сходимости ряда
Смех без причины – признак Даламбера
Вот и пробил час функциональных рядов. Для успешного освоения темы, и, в частности, этого урока, нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует хорошо понимать, что такое ряд, уметь применять признаки сравнения для исследования ряда на сходимость. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимо последовательно проработать три урока: Ряды для чайников , Признак Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница . Обязательно все три! Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много.
На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 90% практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее рекомендую рассмотреть материал о разложении функций в степенные ряды , и «скорая помощь» начинающему будет оказана. Немного отдышавшись, переходим на следующий уровень:
Также в разделе функциональных рядов есть их многочисленные приложения к приближённым вычислениям , и некоторым особняком идут Ряды Фурье , которым в учебной литературе, как правило, выделяется отдельная глава. У меня всего лишь одна статья, но зато длиннющая и много-много дополнительных примеров!
Итак, ориентиры расставлены, поехали:
Понятие функционального ряда и степенного ряда
Если в пределе получается бесконечность , то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при » (или при либо »). Смотрите случай №3 предыдущего параграфа.
Если в пределе получается не ноль и не бесконечность , то у нас самый распространенный на практике случай №1 – ряд сходится на некотором интервале.
В данном случае предел равен . Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство:
В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела , а в правой части неравенства – строго единица . Не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже очень хорошо, что от моих рассказов не повесился профессорско-преподавательский состав стали понятнее некоторые теоремы.
Техника работы с модулем и решения двойных неравенств подробно рассматривалась на первом курсе в статье Область определения функции , но для удобства я постараюсь максимально подробно закомментировать все действия. Раскрываем неравенство с модулем по школьному правилу . В данном случае:
Половина пути позади.
На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.
Сначала берём левый конец интервала и подставляем его в наш степенной ряд :
При
Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).
1) Ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю. При этом каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , значит, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится.
С помощью ряда, составленного из модулей, выясним, как именно:
– сходится («эталонный» ряд из семейства обобщенного гармонического ряда).
Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно .
при – сходится.
! Напоминаю , что любой сходящийся положительный ряд тоже является абсолютно сходящимся.
Таким образом, степенной ряд сходится, причём абсолютно, на обоих концах найденного интервала.
Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:
Имеет право на жизнь и другое оформление ответа: Ряд сходится, если
Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере .
Пример 2
Найти область сходимости степенного ряда
Решение: интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера (но не ПО признаку! – для функциональных рядов такого признака не существует) :
Ряд сходится при
Слева
нам нужно оставить только
, поэтому умножаем обе части неравенства на 3:
– Ряд является знакочередующимся.
– – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , значит, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится.
Исследуем его на характер сходимости:
Сравним данный ряд с расходящимся рядом .
Используем предельный признак сравнения :
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с рядом .
Таким образом, ряд сходится условно .
2) При – расходится (по доказанному).
Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: . При ряд сходится условно.
В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала степенной ряд сходится абсолютно , а в точке , как выяснилось – условно .
Пример 3
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала
Это пример для самостоятельного решения.
Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.
Пример 4
Найти область сходимости ряда:
Решение:
с помощью признака Даламбера найдем интервал сходимости данного ряда:
(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Кубы и по правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень , т.е. раскладываем таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на . Факториалы расписываем подробно.
(4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что . В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множитель выносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, что принимает неотрицательные значения при любом «икс».
В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ:
Ответ: Ряд сходится при
А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!
Пример 5
Найти область сходимости ряда
Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны;-) Полное решение ответ в конце урока.
Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.
Пример 6
Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала
Решение: В общий член степенного ряда входит множитель , обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении предела мы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».
Интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера:
Составляем стандартное неравенство:
Ряд сходится при
Слева
нам нужно оставить только модуль
, поэтому умножаем обе части неравенства на 5:
Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:
В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
1) Подставляем значение в наш степенной ряд :
Будьте предельно внимательны, множитель не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн» . Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.
Еще раз заметьте , что в ходе подстановки значения в общий член степенного ряда у нас сократился множитель . Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.
Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.
Итак, ряд сходится при
Умножаем обе части неравенства на 9:
Извлекаем из обеих частей корень, при этом помним старый школьный прикол :
Раскрываем модуль:
и прибавляем ко всем частям единицу:
– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:
1) Если , то получается следующий числовой ряд:
Множитель бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении «эн» .
Функциональные ряды
Определение. Рассмотрим последовательность функций , имеющих общую область определения D . Ряд вида
, (2.1.1)
называется функциональным .
При каждом частном значении x=x 0 такой ряд превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться. Множество всех значений аргумента x , при которых функциональный ряд превращается в сходящийся числовой ряд, называется областью сходимости функционального ряда.
Пример 1.
Область определения всех этих функций: . Все члены ряда >0 Þ ряд знакоположительный. Для нахождения области сходимости применим радикальный признак Коши:
, т.к. не зависит от п .
Ряд сходится, если , т.е.
Ряд расходится, если , т.е. ;
При х =0 получим числовой ряд 1+1+1+…+…, который расходится.
Таким образом, областью сходимости является промежуток (рис.2.1.1).
Например, при х
=1 получим числовой ряд
Это геометрическая прогрессия со знаменателем Þ сходится. При х
=-1 ряд имеет вид Это прогрессия со знаменателем Þ расходится.
Пример 2. . ООФ: . Раскроем модуль.
При
- гармонический ряд, расходится.
При
- ряд Лейбница, сходится.
Область сходимости (рис.2.1.2).
Частичная сумма функционального ряда
Это функция от х , т.к. при любом х будет своё выражение . Последовательность частичных сумм при каждом х будет иметь свой предел, следовательно:
сумма сходящегося функционального ряда является некоторой функцией аргумента x , определённой в области его сходимости. Символическая запись
означает, что S (x ) является суммой ряда в области D .
По определению сумма ряда S (x ) является пределом последовательности его частичных сумм при :
Для сходящихся рядов справедливо равенство:
где - остаток ряда.
Из выражения (2.1.3) следует равносильность предельных соотношений:
Степенные ряды. Основные понятия и определения
Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды .
Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:
где - постоянные, называемые коэффициентами ряда ; x 0 - известное число.
При ряд приобретает вид
, (2.2.2)
При x=x 0 ряд превращается в свой первый коэффициент . Тогда сумма ряда равна этому числу, и он сходится. Поэтому точка x=x 0 называется центром сходимости степенного ряда (2.2.1). Таким образом, степенной ряд всегда сходится хотя бы в одной точке. Сделав замену x-x 0 =Х , можно свести общий случай степенного ряда (2.2.1) к частному случаю (2.2.2). В дальнейшем мы будем в основном рассматривать ряды типа (2.2.2). Этот ряд всегда сходится по крайней мере в точке х =0.
Придавая х различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество значений х , при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Очевидно, что частичная сумма степенного ряда
является функцией переменной х . Поэтому и сумма ряда является некоторой функцией переменной х , определенной в области сходимости ряда:
. (2.2.4)
Теорема Абеля
Исследование сходимости функциональных рядов при заданном значении х можно производить при помощи известных признаков сходимости числовых рядов. Характер же сходимости именно степенных рядов определяется следующей основной теоремой.
Теорема Абеля.
|
1) Если степенной ряд (2.2.2) сходится при x=x 0 ¹ 0, то он сходится, причем абсолютно, при любом значении x , удовлетворяющем условию , т.е. в интервале .
2) Если ряд (2.2.2) расходится при x=x 1 , то он расходится и при всех x , удовлетворяющих условию (рис.2.3.1).
Точки, в которых степенной ряд сходится, называются точками сходимости , а где он расходится – точками расходимости .
Радиус сходимости и интервал сходимости
Степенного ряда
Используя теорему Абеля, можно показать, что для каждого степенного ряда вида (2.2.2), имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости (т.е. сходящегося не только в точке и не на всей числовой прямой), существует такое положительное число R , что для всех x , удовлетворяющих условию , ряд абсолютно сходится; а при ряд расходится. При x =± R возможны различные случаи: а) ряд может сходиться в обеих точках ± R ; б) ряд может расходиться в обеих точках ± R ; в) ряд может сходиться в одной из них абсолютно или условно и расходиться в другой (рис.2.4.1). Чтобы выяснить сходимость ряда на границах интервала, нужно подставить значения x =± R в ряд (2.2.2) и исследовать полученные числовые ряды:
|
с помощью известных признаков сходимости. В одних случаях могут получаться знакоположительные ряды, в других – знакочередующиеся.
Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, а интервал - интервалом сходимости. После исследования границ получим уточнённый интервал сходимости, называемый областью сходимости .
Предельные случаи, когда ряд (2.2.2) сходится только при x =0 или сходится при всех значениях x , символически записывают так: R =0 или R =¥.
Так как внутри интервала сходимости степенной ряд сходится абсолютно, то для нахождения интервала сходимости этого ряда достаточно найти те значения аргумента x , при которых сходится ряд, составленный из модулей членов степенного (в общем случае знакопеременного) ряда. Для этого можно применить признак Д’Аламбера. Это равносильно тому, чтобы к исходному ряду применить общий признак Д’Аламбера.
Пример 1. Найти интервал сходимости ряда
По общему признаку Д’Аламбера вычисляем предел модуля отношения последующего члена к предыдущему:
Þ ряд абсолютно сходится, если Длина интервала сходимости равна двум единицам, радиус сходимости . Проверим сходимость ряда при x =-1 и x =1. При x =-1:
Полученный числовой ряд сходится абсолютно, т.к. ряд, составленный из модулей его членов (он находится в скобках), является обобщённым гармоническим с . При x =1:
ряд сходится абсолютно по той же причине.
|
Итак, областью сходимости ряда является промежуток -1£x £1, или .
Замечание. Радиус сходимости ряда с последовательно возрастающими степенями (нулевая, первая, вторая, и.т.д) можно также найти по формуле:
, (2.4.1)
где и – коэффициенты при степенях х . Подчеркнём, что она годится лишь в случае, когда в ряде вида (2.2.2) или (2.2.1) присутствуют все степени х .
.