Какой ряд называется сходящимся. Абсолютная и условная сходимость рядов. Что такое сумма ряда

Основные определения.

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называетсячисловым рядом .

При этом числа
будем называть членами ряда, аu n – общим членом ряда.

Определение. Суммы
,n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S 1 , S 2 , …, S n , …

Определение. Ряд
называетсясходящимся , если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

Свойства рядов.

1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

2) Рассмотрим два ряда
и
, где С – постоянное число.

Теорема. Если ряд
сходится и его сумма равна S , то ряд
тоже сходится, и его сумма равна С S . (C  0)

3) Рассмотрим два ряда
и
.Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд
, где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Теорема. Если ряды
и
сходятся и их суммы равны соответственно S и  , то ряд
тоже сходится и его сумма равна S +  .

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

Критерий Коши.

(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)

Для того, чтобы последовательность
была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовал такой номер N , что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:

.

Доказательство. (необходимость)

Пусть
, тогда для любого числа
найдется номер N такой, что неравенство

выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство
. Учитывая оба неравенства, получаем:

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

Сформулируем критерий Коши для ряда.

Для того, чтобы ряд
был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовал номер N такой, что при n > N и любом p >0 выполнялось бы неравенство

.

Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:

1) Если ряд
сходится, то необходимо, чтобы общий член u n стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Найдем
- необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.

Однако, этот признак также не является достаточным.

Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что

Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к.
при любомn .

Ряды с неотрицательными членами.

При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.

Теорема. Для сходимости ряда
с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены .

Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.

Пусть даны два ряда
и
приu n , v n  0 .

Теорема. Если u n  v n при любом n , то из сходимости ряда
следует сходимость ряда
, а из расходимости ряда
следует расходимость ряда
.

Доказательство. Обозначим через S n и  n частные суммы рядов
и
. Т.к. по условию теоремы ряд
сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всехn  n  M, где М – некоторое число. Но т.к. u n  v n , то S n   n то частные суммы ряда
тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к.
, а гармонический рядрасходится, то расходится и ряд
.

Пример.

Т.к.
, а ряд
сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд
тоже сходится.

Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если
и существует предел
, где h – число, отличное от нуля, то ряды
и
ведут одинаково в смысле сходимости.

Признак Даламбера.

(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)

Если для ряда
с положительными членами существует такое число q <1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд
сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие

то ряд
расходится.

Предельный признак Даламбера.

Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.

Если существует предел
, то при  < 1 ряд сходится, а при  > 1 – расходится. Если  = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

Пример. Определить сходимость ряда .

Вывод: ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда

Вывод: ряд сходится.

Признак Коши. (радикальный признак)

Если для ряда
с неотрицательными членами существует такое число q <1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

,

то ряд
сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд
расходится.

Следствие. Если существует предел
, то при<1 ряд сходится, а при >1 ряд расходится.

Пример. Определить сходимость ряда
.

Вывод: ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда
.

Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.

,

таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

Интегральный признак Коши.

Если  (х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке и
то интегралы
и
ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Знакопеременные ряды.

Знакочередующиеся ряды.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

где

Признак Лейбница.

Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины u i убывают
и общий член стремится к нулю
, то ряд сходится.

Абсолютная и условная сходимость рядов.

Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

(1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

(2)

Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого >0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:

По свойству абсолютных величин:

То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Определение. Ряд
называетсяабсолютно сходящимся , если сходится ряд
.

Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Определение. Ряд
называетсяусловно сходящимся , если он сходится, а ряд
расходится.

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

Пусть
- знакопеременный ряд.

Признак Даламбера. Если существует предел
, то при<1 ряд
будет абсолютно сходящимся, а при>

Признак Коши. Если существует предел
, то при<1 ряд
будет абсолютно сходящимся, а при>1 ряд будет расходящимся. При =1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Свойства абсолютно сходящихся рядов.

1) Теорема. Для абсолютной сходимости ряда
необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами .

Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.

2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.

3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда .

5) Если ряды исходятся абсолютно и их суммы равны соответственноS и , то ряд, составленный из всех произведений вида
взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равнаS  - произведению сумм перемножаемых рядов.

Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.

Функциональные последовательности.

Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х , то ряд называется функциональным .

Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х , при которых ряд сходится.

Совокупность таких значений называется областью сходимости .

Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

Определение. Последовательность {f n (x ) } сходится к функции f (x ) на отрезке , если для любого числа >0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(, x), такой, что неравенство

выполняется при n>N.

При выбранном значении >0 каждой точке отрезка соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка , будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка , т.е. будет общим для всех точек.

Определение. Последовательность {f n (x ) } равномерно сходится к функции f (x ) на отрезке , если для любого числа >0 существует номер N = N(), такой, что неравенство

выполняется при n>N для всех точек отрезка .

Пример. Рассмотрим последовательность

Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f (x )=0 , т.к.

Построим графики этой последовательности:

sinx

Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х .

Функциональные ряды.

Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда
называются функции

Определение. Функциональный ряд
называетсясходящимся в точке (х=х 0 ), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности
называетсясуммой ряда
в точкех 0 .

Определение. Совокупность всех значений х , для которых сходится ряд
называетсяобластью сходимости ряда.

Определение. Ряд
называетсяравномерно сходящимся на отрезке , если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для равномерной сходимости ряда
необходимо и достаточно, чтобы для любого числа  >0 существовал такой номер N ( ), что при n > N и любом целом p >0 неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке [ a , b ].

Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

Ряд
сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [ a , b ], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами:

т.е. имеет место неравенство:

.

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд
мажорируется числовым рядом
.

Пример. Исследовать на сходимость ряд
.

Так как
всегда, то очевидно, что
.

При этом известно, что общегармонический ряд при=3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

На отрезке [-1,1] выполняется неравенство
т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-, -1)  (1, ) расходится.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

Если члены ряда
- непрерывные на отрезке [ a , b ] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S (x ) есть непрерывная функция на отрезке [ a , b ].

2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

Равномерно сходящийся на отрезке [ a , b ] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [ a , b ] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку .

3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

Если члены ряда
сходящегося на отрезке [ a , b ] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных
сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х , можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.

На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.

Степенные ряды.

Определение. Степенным рядом называется ряд вида

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при
и расходится при
.

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1:
ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница. ).

При х = -1:
ряд расходится (гармонический ряд).

Теоремы Абеля.

(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)

Теорема. Если степенной ряд
сходится при x = x 1 , то он сходится и притом абсолютно для всех
.

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

где k - некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Из этого неравенства видно, что при x < x 1 численные величины членов нашего ряда будут меньше (во всяком случае не больше) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.

Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд
сходится, а значит ряд
сходится абсолютно.

Таким образом, если степенной ряд
сходится в точкех 1 , то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2с центром в точкех = 0.

Следствие. Если при х = х 1 ряд расходится, то он расходится для всех
.

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что
ряд абсолютно сходится, а при всех
ряд расходится. При этом числоR называется радиусом сходимости . Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости .

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

Пример. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости
.

Следовательно, данный ряд сходится прилюбом значении х . Общий член этого ряда стремится к нулю.

Теорема. Если степенной ряд
сходится для положительного значениях=х 1 , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри
.

Действия со степенными рядами.

Ответ : ряд расходится.

Пример №3

Найти сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}. $$

Почему я пишу именно $\frac{2}{3\cdot 5}$, а не $\frac{2}{15}$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $\lim_{n\to\infty}S_n$, но если мы просто запишем:

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}\right), $$

то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.

Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$ на элементарные дроби, будем иметь:

$$ \frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n+3}=\frac{A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}. $$

Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем - будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0\cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.

Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:

$$ \left\{\begin{aligned} & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end{aligned}\right. $$

Доказательство будем проводить методом математической индукции. На первом шаге нужно проверить, выполнено ли доказываемое равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ при $n=1$. Мы знаем, что $S_1=u_1=\frac{2}{15}$, но даст ли выражение $\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ значение $\frac{2}{15}$, если подставить в него $n=1$? Проверим:

$$ \frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2\cdot 1+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}. $$

Итак, при $n=1$ равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ выполнено. На этом первый шаг метода математической индукции закончен.

Предположим, что при $n=k$ равенство выполнено, т.е. $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$. Докажем, что это же равенство будет выполнено при $n=k+1$. Для этого рассмотрим $S_{k+1}$:

$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}. $$

Так как $u_n=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$, то $u_{k+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}$. Согласно сделанному выше предположению $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому формула $S_{k+1}=S_k+u_{k+1}$ примет вид:

$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2(k+1)+3}. $$

Вывод: формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при $n=k+1$. Следовательно, согласно методу математической индукции, формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при любом $n\in N$. Равенство доказано.

В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются "вычёркиванием" сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Найдём значение $\lim_{n\to\infty}S_n$:

Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.

Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.

Честно говоря, я сам предпочитаю именно этот способ:) Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}. $$

Мы получили ранее, что $u_k=\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right). $$

Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $\frac{1}{2k+1}$, а уж затем переходить к слагаемым вида $\frac{1}{2k+3}$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:

$$ S_n =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}=\\ =\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+3}\right). $$

Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство можно оформить более компактно:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}. $$

Теперь преобразуем выражения $\frac{1}{2k+1}$ и $\frac{1}{2k+3}$ к одному виду. Я полагаю удобным приводить к виду большей дроби (хотя можно и к меньшей, это дело вкуса). Так как $\frac{1}{2k+1}>\frac{1}{2k+3}$ (чем больше знаменатель, тем меньше дробь), то будем приводить дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$.

Выражение в знаменателе дроби $\frac{1}{2k+3}$ я представлю в таком виде:

$$ \frac{1}{2k+3}=\frac{1}{2k+2+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}. $$

И сумму $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}$ теперь можно записать так:

$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$

Если равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.

Как мы получили преобразованную сумму? показать\скрыть

У нас был ряд $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$. Давайте вместо $k+1$ введём новую переменную, - например, $t$. Итак, $t=k+1$.

Как изменялась старая переменная $k$? А изменялась она от 1 до $n$. Давайте выясним, как же будет изменяться новая переменная $t$. Если $k=1$, то $t=1+1=2$. Если же $k=n$, то $t=n+1$. Итак, выражение $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$ теперь стало таким: $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$.

$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}. $$

У нас есть сумма $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$. Вопрос: а не всё ли равно, какую букву использовать в этой сумме? :) Банально записывая букву $k$ вместо $t$, получим следующее:

$$ \sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$

Вот так и получается равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$.

Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$

Заметьте, что суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ и $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. "Забирая" первый элемент из суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ будем иметь:

$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{2\cdot 1+1}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}. $$

"Забирая" последний элемент из суммы $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$, получим:

$$\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(n+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}.$$

Тогда выражение для частичной суммы примет вид:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$

Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:

$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)} =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\\ =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$

Напомню, что мы приводили дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $\frac{1}{2k+1}$ в виде $\frac{1}{2k+3}$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.

Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показать\скрыть

$$ S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2n+3}\right) =\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$

Итак, $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Находим предел $\lim_{n\to\infty}S_n$:

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}. $$

Заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.

Ответ : $S=\frac{1}{3}$.

Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.

На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда.

Необходимый признак сходимости ряда

ТЕОРЕМА 1

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при
, т.е.
.

Кратко : если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

Доказательство. Пусть ряд сходится и его сумма равна . Для любого частичная сумма

.

Тогда . 

Из доказанного необходимого признака сходимости вытекает достаточный признак расходимости ряда: если при
общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

Пример 4.

Для этого ряда общий член
и
.

Следовательно, данный ряд расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Очевидно, что общий член этого ряда, вид которого не указан ввиду громоздкости выражения, стремится к нулю при
, т.е. необходимый признак сходимости ряда выполняется, однако этот ряд расходится, так как его сумма стремится к бесконечности.

Знакоположительные числовые ряды

Числовой ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным.

ТЕОРЕМА 2 (Критерий сходимости знакоположительного ряда)

Для сходимости знакоположительного ряда необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху одним и тем же числом.

Доказательство. Так как для любого
, то, т.е. последовательность
– монотонно возрастающая, поэтому для существования предела необходимо и достаточно ограничение последовательности сверху каким-либо числом.

Эта теорема в большей степени имеет теоретическое, чем практическое значение. Далее приведены другие признаки сходимости, имеющие большее применение.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

ТЕОРЕМА 3 (Первый признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных ряда:

(1)

(2)

причем, начиная с некоторого номера
, для любого
выполняется неравенство
Тогда:

Схематическая запись первого признака сравнения:

сход.сход.

расх.расх.

Доказательство. 1) Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, докажем теорему для случая
. Пусть для любого
имеем

, (3)

где
и
- соответственно частичные суммы рядов (1) и (2).

Если ряд (2) сходится, то существует число
. Поскольку при этом последовательность
- возрастающая, ее предел больше любого из ее членов, т.е.
для любого . Отсюда из неравенства (3) следует
. Таким образом, все частичные суммы ряда (1) ограничены сверху числом . Согласно теореме 2 этот ряд сходится.

2) Действительно, если бы ряд (2) сходился, то по признаку сравнения сходился бы и ряд (1). 

Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:

3) - ряд Дирихле (он сходится при
и расходится при
).

Кроме этого часто используют ряды, которые можно получить с помощью следующих очевидных неравенств:

,

,
,
.

Рассмотрим на конкретных примерах схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.

Пример 6. Исследовать ряд
на сходимость.

Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда:
для

Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда:
. Так как
, то

(если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить).

Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Для этого подберем для данного ряда ряд-эталон. Так как
, то в качестве эталона можно взять ряд
, т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так как показатель степени
. Следовательно, согласно первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.

Пример 7. Исследовать ряд
на сходимость.

1) Данный ряд знакоположительный, так как
для

2) Необходимый признак сходимости ряда выполняется, ибо

3) Подберем ряд-эталон. Так как
, то в качестве эталона можно взять геометрический ряд

. Этот ряд сходится, следовательно, сходится и исследуемый ряд.

ТЕОРЕМА 4 (Второй признак сравнения)

Если для знакоположительных рядов и существует отличный от нуля конечный предел
, то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Пусть ряд (2) сходится; докажем, что тогда сходится и ряд (1). Выберем какое-нибудь число , большее, чем . Из условия
вытекает существование такого номера , что для всех
справедливо неравенство
, или, что то же,

(4)

Отбросив в рядах (1) и (2) первые членов (что не влияет на сходимость), можно считать, что неравенство (4) справедливо для всех
Но ряд с общим членом
сходится в силу сходимости ряда (2). Согласно первому признаку сравнения, из неравенства (4) следует сходимость ряда (1).

Пусть теперь сходится ряд (1); докажем сходимость ряда (2). Для этого следует просто поменять ролями заданные ряды. Так как

то, по доказанному выше, из сходимости ряда (1) должна следовать сходимость ряда (2). 

Если
при
(необходимый признак сходимости), то из условия
, следует, чтои– бесконечно малые одного порядка малости (эквивалентные при
). Следовательно, если дан ряд , где
при
, то для этого ряда можно брать ряд-эталон , где общий член имеет тот же порядок малости, что и общий член данного ряда.

При выборе ряда-эталона можно пользоваться следующей таблицей эквивалентных бесконечно малых при
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

.

для любого
.

Так как
, то возьмем в качестве ряда-эталона гармонический расходящийся ряд
. Поскольку предел отношения общих членовиконечен и отличен от нуля (он равен 1), то на основании второго признака сравнения данный ряд расходится.

Пример 9.
по двум признакам сравнения.

Данный ряд знакоположительный, так как
, и
. Поскольку
, то в качестве ряда-эталона можно брать гармонический ряд. Этот ряд расходится и следовательно, по первому признаку сравнения, исследуемый ряд также расходится.

Так как для данного ряда и ряда-эталона выполняется условие
(здесь использован 1-й замечательный предел), то на основании второго признака сравнения ряд
– расходится.

ТЕОРЕМА 5 (Признак Даламбера)

существует конечный предел
, то ряд сходится при
и расходится при
.

Доказательство. Пусть
. Возьмем какое-либо число, заключенное между и 1:
. Из условия
следует, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

;
;
(5)

Рассмотрим ряд

Согласно (5) все члены ряда (6) не превосходят соответствующих членов бесконечной геометрической прогрессии
Поскольку
, эта прогрессия является сходящейся. Отсюда в силу первого признака сравнения вытекает сходимость ряда

Случай
рассмотрите самостоятельно.

Замечания :

следует, что остаток ряда

.

Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера.

Данный ряд знакоположительный и

.

(Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя).

то по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 11. .

Данный ряд знакоположительный и
. Поскольку

то данный ряд сходится.

ТЕОРЕМА 6 (Признак Коши)

Если для знакоположительного ряда существует конечный предел
, то при
ряд сходится, а при
ряд расходится.

Доказательство аналогично теореме 5.

Замечания :

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд
.

Данный ряд знакоположительный, так как
для любого
. Поскольку вычисление предела
вызывает определенные трудности, то проверку выполнимости необходимого признака сходимости ряда опускаем.

то по признаку Коши данный ряд расходится.

ТЕОРЕМА 7 (Интегральный признак сходимости Маклорена - Коши)

Пусть дан ряд

члены которого положительны и не возрастают:

Пусть, далее
- функция, которая определена для всех вещественных
, непрерывна, не возрастает и

Числовой ряд является некой последовательностью, которая рассматривается совместно с другой последовательностью (ее еще называют последовательностью частичных сумм). Подобные понятия применяются в математическом и комплексном анализе.

Сумму числового ряда можно легко вычислить в Excel с помощью функции РЯД.СУММ. Рассмотрим на примере, как работает данная функция, а после построим график функций. Научимся применять числовой ряд на практике при подсчете роста капитала. Но для начала немного теории.

Сумма числового ряда

Числовой ряд можно рассматривать как систему приближений к числам. Для его обозначения применяют формулу:

Здесь показана начальная последовательность чисел ряда и правило суммирования:

• ∑ - математический знак суммы;
• a i - общий аргумент;
• i - переменная, правило для изменения каждого последующего аргумента;
• ∞ - знак бесконечности, «предел», до которого проводится суммирование.

Запись обозначает: суммируются натуральные числа от 1 до «плюс бесконечности». Так как i = 1, то подсчет суммы начинается с единицы. Если бы здесь стояло другое число (например, 2, 3), то суммировать мы начинали бы с него (с 2, 3).

В соответствии с переменной i ряд можно записать развернуто:

А 1 + а 2 + а 3 + а 4 + а 5 + … (до «плюс бесконечности).

Определение суммы числового ряда дается через «частичные суммы». В математике они обозначаются Sn. Распишем наш числовой ряд в виде частичных сумм:

S 2 = а 1 + а 2

S 3 = а 1 + а 2 + а 3

S 4 = а 1 + а 2 + а 3 + а 4

Сумма числового ряда – это предел частичных сумм S n . Если предел конечен, говорят о «сходящемся» ряде. Бесконечен – о «расходящемся».

Сначала найдем сумму числового ряда:

Теперь построим в Excel таблицу значений членов ряда:

Общий первый аргумент берем из формулы: i=3.

Все следующие значения i находим по формуле: =B4+$B$1. Ставим курсор в нижний правый угол ячейки В5 и размножаем формулу.

Найдем значения. Делаем активной ячейку С4 и вводим формулу: =СУММ(2*B4+1). Копируем ячейку С4 на заданный диапазон.

Значение суммы аргументов получаем с помощью функции: =СУММ(C4:C11). Комбинация горячих клавиш ALT+«+» (плюс на клавиатуре).



Функция РЯД.СУММ в Excel

Для нахождения суммы числового ряда в Excel применяется математическая функция РЯД.СУММ. Программой используется следующая формула:

Аргументы функции:

• х – значение переменной;
• n – степень для первого аргумента;
• m – шаг, на который увеличивается степень для каждого последующего члена;
• а – коэффициенты при соответствующих степенях х.

Важные условия для работоспособности функции:

• все аргументы обязательные (то есть все должны быть заполнены);
• все аргументы – ЧИСЛОвые значения;
• вектор коэффициентов имеет фиксированную длину (предел в «бесконечность» не подойдет);
• количество «коэффициентов» = числу аргументов.

Вычисление суммы ряда в Excel

Та же функция РЯД.СУММ работает со степенными рядами (одним из вариантов функциональных рядов). В отличие от числовых, их аргументы являются функциями.

Функциональные ряды часто используются в финансово-экономической сфере. Можно сказать, это их прикладная область.

Например, положили в банк определенную сумму денег (а) на определенный период (n). Имеем ежегодную выплату х процентов. Для расчета наращенной суммы на конец первого периода используется формула:

S 1 = a (1 + x).

На конец второго и последующих периодов – вид выражений следующий:

S 2 = a (1 + x) 2 ; S 3 = a (1 + x) 2 и т.д.

Чтобы найти общую сумму:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Частичные суммы в Excel можно найти с помощью функции БС().

Исходные параметры для учебной задачи:

Используя стандартную математическую функцию, найдем накопленную сумму в конце срока сумму. Для этого в ячейке D2 используем формулу: =B2*СТЕПЕНЬ(1+B3;4)

Теперь в ячейке D3 решим эту же задачу с помощью встроенной функции Excel: =БС(B3;B1;;-B2)

Результаты одинаковые, как и должно быть.

Как заполнить аргументы функции БС():

1. «Ставка» - процентная ставка, под которую оформлен вклад. Так как в ячейке В3 установлен процентный формат, мы в поле аргумента просто указали ссылку на эту ячейку. Если было бы указано число, то прописывали бы его сотую долю (20/100).
2. «Кпер» - число периодов для выплат процентов. В нашем примере – 4 года.
3. «Плт» - периодические выплаты. В нашем случае их нет. Поэтому поле аргумента не заполняем.
4. «Пс» - «приведенная стоимость», сумма вклада. Так как мы на время расстаемся с этими деньгами, параметр указываем со знаком «-».

Таким образом, функция БС помогла найти нам сумму функционального ряда.

В Excel есть и другие встроенные функции для нахождения разных параметров. Обычно это функции для работы с инвестиционными проектами, ценными бумагами и амортизационными платежами.

Построение графика функций суммы числового ряда

Построим график функций, отражающий рост капитала. Для этого нам нужно построить график функции являющейся суммой построенного ряда. За пример, возьмем те же данные по вкладу:

В первой строке показана накопленная сумма через год. Во второй – через два. И так далее.

Сделаем еще один столбец, в котором отразим прибыль:

Как мы считали – в строке формул.

На основании полученных данных построим график функций.

Выделим 2 диапазона: A5:A9 и C5:C9. Переходим на вкладку «Вставка» - инструмент «Диаграммы». Выбираем первый график:

Сделаем задачу еще более "прикладной". В примере мы использовали сложные проценты. Они начисляются на наращенную в предыдущем периоде сумму.

Возьмем для сравнения простые проценты. Формула простых процентов в Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

Добавим полученные значения в график «Рост капитала».

Какие именно выводы сделает инвестор – очевидно.

Математическая формула частичной суммы функционального ряда (с простыми процентами): S n = a (1 + x*n), где а – первоначальная сумма вклада, х – проценты, n – период.

Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена .

Методические указания по теме 1.4:

Числовые ряды:

Числовым рядом называется сумма вида

где числа u 1 , u 2 , u 3 , n n , называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член un называется общим членом ряда.

. . . . . . . . .

составленные из первых членов ряда (27.1), называются частными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S 1 , S 2 , S 3 . Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда S n стремится к пределу S , то ряд называется сходящимся, а число S - суммой сходящегося ряда, т.е.

Эта запись равносильна записи

Если частичная сумма S n ряда (27.1) при неограниченном возрастании n не имеет конченого предела (в частности, стремится к + ¥ или к - ¥), то такой ряд называется расходящимся

Если ряд сходится, то значение S n при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S .

Разность r n = S - S n называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. r n = 0, и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Ряд вида называется геометрическим рядом.

называется гармоническим.

если N ®¥, то S n ®¥, т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 1. Записать ряд по его заданному общему члену:

1) полагая n = 1, n = 2, n = 3, имеем бесконечную последовательность чисел: , , , Сложив ее члены, получим ряд

2) Поступая так же, получим ряд

3) Придавая n значения 1, 2, 3, и учитывая,что 1! = 1, 2! = 1 × 2, 3! = 1 × 2 × 3, получим ряд

Пример 2. Найти n -й член ряда по его данным первым числам:

1) ; 2) ; 3) .

Пример 3. Найти сумму членов ряда:

2) .

1) Находим частичные суммы членов ряда:

; ;

… .

Запишем последовательность частичных сумм: …, , … .

Общий член этой последовательности есть . Следовательно,

.

Последовательность частичных сумм имеет предел, равный . Итак, ряд сходится и его сумма равна .

2) Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, в которой a 1 = , q= . Используя формулу получим Значит, ряд сходится и его сумма равна 1.

Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера :

Необходимый признак сходимости ряда. Ряд может сходиться только при условии, что его общий член u n при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю:

Если , то ряд расходится - это достаточный признак растворимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признак сравнения рядов с положительными членами. Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда.

При исследовании рядов на сходимость и растворимость по этому признаку часто используется геометрический ряд

который сходится при |q|

,

являющийся расходящимся.

При исследовании рядов используется также обобщенный гармонический ряд

.

Если p = 1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если p < 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p > 1 имеем геометрический ряд, в котором |q | < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при p £1.

Признак Даламбера . Если для ряда с положительными членами

(u n >0)

выполняется условие , то ряд сходится при l l > 1.

Признак Даламбера не дает ответа, если l = 1. В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Знакопеременные ряды.

Абсолютная и условная сходимость рядов:

Числовой ряд

u 1 + u 2 + u 3 + u n

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак сходимости для знакочередующихся рядов . Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член u n стремится к нулю при n ® ,то ряд сходится.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно. Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем поскольку . Следовательно, данный ряд сходится. Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Попробуем применить признак Лейбница: Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n → ∞ . Поэтому данный ряд расходится. Пример 6. Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся.

Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствующих членов, находим Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Пример 7. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

1) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают и . Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходятся ли этот ряд абсолютно или условно.

2) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: , но

.

Функциональные ряды:

Обычный числовой ряд состоит из чисел:

Все члены ряда - это числа.

Функциональный же ряд состоит из функций:

В общий член ряда помимо многочленов, факториалов и т.д. непременно входит буква «икс». Выглядит это, например, так: . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда - это функции .

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд .

Степенные ряды:

Степенным рядом называется ряд вида

,

где числа а 0 , а 1 , а 2 , а n называется коэффициентами ряда, а член a n x n - общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений x , при которых данный ряд сходится.

Число R называется радиусом сходимости ряда, если при |x| ряд сходится.

Пример 8. Дан ряд

Исследовать его сходимость в точках x = 1 и х = 3, x = -2.

При х = 1 данный ряд превращается в числовой ряд

.

Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера. Имеем

т.е. ряд сходится.

При х = 3 получим ряд

Который расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда

При х = -2 получим

Это знакочередующийся ряд, который, согласно признаку Лейбница, сходится.

Итак, в точках x = 1 и х = -2. ряд сходится, а в точке x = 3 расходится.

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена:

Рядом Тейлора для функции f(x) называется степенной ряд вида