В этой статье собрана информация, формирующая представление о равенстве в контексте математики. Здесь мы выясним, что такое равенство с математической точки зрения, и какие они бывают. Также поговорим о записи равенств и знаке равно. Наконец, перечислим основные свойства равенств и для наглядности приведем примеры.

Навигация по странице.

Что такое равенство?

Понятие равенства неразрывно связано со сравнением – сопоставлением свойств и признаков с целью выявлением схожих черт. А сравнение в свою очередь предполагает наличие двух предметов или объектов, один из которых сравнивается с другим. Если, конечно, не проводить сравнение предмета с самим собой, и то, это можно рассматривать как частный случай сравнения двух предметов: самого предмета и его «точной копии».

Из приведенных рассуждений понятно, что равенство не может существовать без наличия, по крайней мере, двух объектов, иначе нам просто нечего будет сравнивать. Понятно, что можно взять три, четыре и большее число объектов для сравнения. Но оно естественным образом сводится к сравнению всевозможных пар, составленных из этих объектов. Иными словами, оно сводится к сравнению двух объектов. Итак, равенство требует два объекта.

Суть понятия равенства в самом общем смысле наиболее отчетливо передается словом «одинаковые». Если взять два одинаковых объекта, то о них можно сказать, что они равные . В качестве примера приведем два равных квадрата и . Отличающиеся объекты, в свою очередь, называют неравными .

Понятие равенства может относиться как объектам в целом, так и к их отдельным свойствам и признакам. Объекты равны в целом, когда они равны по всем присущим им параметрам. В предыдущем примере мы говорили о равенстве объектов в целом – оба объекта квадраты, они одинакового размера, одинакового цвета, и вообще они полностью одинаковые. С другой стороны, объекты могут быть неравными в целом, но могут иметь некоторые равные характеристики. В качестве примера рассмотрим такие объекты и . Очевидно, они равны по форме –они оба являются кругами. А по цвету и по размеру – неравны, один из них синий, а другой – красный, один маленький, а другой - большой.

Из предыдущего примера для себя отметим, что нужно наперед знать, о равенстве чего именно мы говорим.

Все приведенные рассуждения применяются и к равенствам в математике, только здесь равенство относится к математическим объектам. То есть, изучая математику, мы будем говорить о равенстве чисел, равенстве значений выражений, равенстве каких-либо величин, например, длин, площадей, температур, производительностей труда и т.п.

Запись равенств, знак равно

Пришло время остановиться на правилах записи равенств. Для этого используется знак равно (его также называют знаком равенства), который имеет вид =, то есть, представляет собой две одинаковые черточки, расположенные горизонтально одна над другой. Знак равно = считается общепринятым.

При записи равенств записывают равные объекты и между ними ставят знак равно. Например, запись равных чисел 4 и 4 будет выглядеть следующим образом 4=4 , и ее можно прочитать как «четыре равно четырем». Еще пример: равенство площади S ABC треугольника ABC семи квадратным метрам запишется как S ABC =7 м 2 . По аналогии можно привести другие примеры записи равенств.

Стоит отметить, что в математике рассмотренные записи равенств часто используют как определение равенства.

Определение.

Записи, в которых используется знак равно, разделяющий два математических объекта (два числа, выражения и т.п.), называют равенствами .

Если письменно требуется обозначить неравенство двух объектов, то используется знак не равно ≠. Мы видим, что он представляет собой перечеркнутый знак равно. В качестве примера приведем запись 1+2≠7 . Ее можно прочитать так: «Сумма единицы и двойки не равна семи». Другой пример |AB|≠5 см. – длина отрезка AB не равна пяти сантиметрам.

Верные и неверные равенства

Записанные равенства могут отвечать смыслу понятия равенства, а могут и противоречить ему. В зависимости от этого равенства подразделяются на верные равенства и неверные равенства . Разберемся с этим на примерах.

Запишем равенство 5=5 . Числа 5 и 5 , вне всякого сомнения, равны, поэтому 5=5 – это верное равенство. А вот равенство 5=2 – неверное, так как числа 5 и 2 не равны.

Свойства равенств

Из того, как вводится понятие равенства, естественным образом вытекают характерные для него результаты – свойства равенств. Основными являются три свойства равенств :

• Свойство рефлексивности, утверждающее, что объект равен самому себе.
• Свойство симметричности, утверждающее, что если первый объект равен второму, то второй равен первому.
• И, наконец, свойство транзитивности, утверждающее, что если первый объект равен второму, а второй – третьему, то первый равен третьему.

Запишем озвученные свойства на языке математики с помощью букв:

• a=a ;
• если a=b , то b=a ;
• если a=b и b=c , то a=c .

Отдельно стоит отметить заслугу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – в том, что они позволяют говорить о равенстве трех и большего числа объектов через их попарное равенство.

Двойные, тройные равенства и т.д.

Наряду с обычными записями равенств, примеры которых мы привели в предыдущих пунктах, используются так называемые двойные равенства , тройные равенства и так далее, представляющие собой как бы цепочки равенств. Например, запись 1+1+1=2+1=3 является двойным равенством, а |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF| - пример четверного равенства.

С помощью двойных, тройных и т.д. равенств удобно записывать равенство трех, четырех и т.д. объектов соответственно. Эти записи по своей сути обозначают равенство любых двух объектов, составляющих исходную цепочку равенств. К примеру, указанное выше двойное равенство 1+1+1=2+1=3 по сути означает равенство 1+1+1=2+1 , и 2+1=3 , и 1+1+1=3 , а в силу свойства симметричности равенств и 2+1=1+1+1 , и 3=2+1 , и 3=1+1+1 .

В виде таких цепочек равенств удобно оформлять пошаговое решение примеров и задач, при этом решение выглядит кратко и видны промежуточные этапы преобразования исходного выражения.

Список литературы.

• Моро М. И. . Математика. Учеб. для 1 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 1. (Первое полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова.- 6-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 112 с.: ил.+Прил. (2 отд. л. ил.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.

«Равенство» - это тема, которую ученики проходят еще в начальной школе. Сопутствует ей также ей «Неравенства». Эти два понятия тесно взаимосвязаны. Кроме того, с ними связывают такие термины, как уравнения, тождества. Итак, что такое равенство?

Понятие равенства

Под этим термином понимают высказывания, в записи которых есть знак «=». Равенства разделяются на верные и неверные. Если в записи вместо = стоит <, >, тогда речь идет о неравенствах. Кстати, первый признак равенства говорит о том, что обе части выражения идентичны по своему результату или записи.

Кроме понятия равенства, в школе изучают также тему «Числовое равенство». Под этим высказыванием понимают два числовых выражения, которые стоят по обе стороны от знака =. К примеру, 2*5+7=17. Обе части записи равны между собой.

В числовых выражениях подобного типа могут использоваться скобки, влияющие на порядок действий. Итак, существует 4 правила, которые следует учесть при вычислении результатов числовых выражений.

1. Если в записи нет скобок, тогда действия выполняются с высшей ступени: III→II→I. Если есть несколько действий одной категории, тогда они выполняются слева направо.
2. Если в записи есть скобки, тогда действие выполняется в скобках, а затем с учетом ступеней. Возможно, в скобках будет несколько действий.
3. Если выражение представлено в виде дроби, тогда вычислять нужно сначала числитель, потом знаменатель, затем числитель делится на знаменатель.
4. Если в записи есть вложенные скобки, тогда вычисляется сначала выражение во внутренних скобках.

Итак, теперь понятно, что такое равенство. В дальнейшем будут рассмотрены понятия уравнения, тождества и способы их вычисления.

Свойства числовых равенств

Что такое равенство? Изучение этого понятия требует знания свойств числовых тождеств. Приведенные ниже текстовые формулы позволяют лучше изучить данную тему. Конечно, эти свойства больше подходят для изучения математики в старших классах.

1. Числовое равенство не будет нарушено, если в обеих его частях прибавить одно и то же число к существующему выражению.

А = В ↔ А + 5 = В + 5

2. Не будет нарушено уравнение, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число или выражение, которые отличны от нуля.

Р = О ↔ Р ∙ 5 = О ∙ 5

Р = О ↔ Р: 5 = О: 5

3. Прибавив к обеим частям тождества одинаковую функцию, которая имеет смысл при любых допустимых значениях переменной, мы получим новое равенство, равносильное первоначальному.

F(X) = Ψ (X) ↔ F(X) + R(X) = Ψ (X) + R(X)

4. Любое слагаемое или выражение можно перенести по другую сторону знака равенства, при этом нужно поменять знаки на противоположные.

Х + 5 = У - 20 ↔ Х = У - 20 - 5 ↔ Х = У - 25

5. Умножив или разделив обе части уравнения на одну и ту же функцию, отличную от нуля и имеющую смысл для каждого значения Х из ОДЗ, мы получим новое уравнение, равносильное первоначальному.

F(X) = Ψ(X) ↔ F(X) ∙ R(X) = Ψ(X) ∙ R(X)

F(X) = Ψ (X) ↔ F(X) : G(X) = Ψ (X) : G(X)

Приведенные правила в явной степени указывают на принцип равенства, который существует при определенных условиях.

Понятие пропорции

В математике существует такое понятие, как равенство отношений. В этом случае подразумевается определение пропорции. Если разделить А на В, то результатом будет отношение числа А к числу В. Пропорцией называют равенство двух отношений:

Иногда пропорция записывается следующим образом: A: B = C: D. Отсюда вытекает основное свойство пропорции: A * D = D * C , где A и D - крайние члены пропорции, а В и С - средние.

Тождества

Тождеством называют равенство, которое будет верно при всех допустимых значениях тех переменных, которые входят в задание. Тождества могут быть представлены как буквенные или числовые равенства.

Тождественно равными называются выражения, содержащие в обеих частях равенства неизвестную переменную, которая способна приравнять две части одного целого.

Если проводить замены одного выражения другим, которое будет равно ему, тогда речь идет о тождественном преобразовании. В этом случае можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, законами арифметики и прочими тождествами.

Чтобы сократить дробь, нужно провести тождественные преобразования. К примеру, дана дробь. Чтобы получить результат, следует воспользоваться формулами сокращенного умножения, разложением на множители, упрощением выражений и сокращением дробей.

При этом стоит учесть, что данное выражение будет тождественным тогда, когда знаменатель не будет равен 3.

5 способов доказать тождество

Чтобы доказать равенство тождественное, нужно провести преобразование выражений.

I способ

Необходимо провести равносильные преобразования в левой части. В результате получается правая часть, и можно говорить о том, что тождество доказано.

II способ

Все действия по преобразованию выражения происходят в правой части. Итогом проделанных манипуляций является левая часть. Если обе части идентичны, то тождество доказано.

III способ

«Трансформации» происходят в обеих частях выражения. Если в результате получатся две идентичные части, тождество доказано.

IV способ

Из левой части вычитается правая. В результате равносильных преобразований должен получиться нуль. Тогда можно говорить о тождественности выражения.

V способ

Из правой части вычитается левая. Все равносильные преобразования сводятся к тому, чтобы в ответе стоял нуль. Только в таком случае можно говорить о тождественности равенства.

Основные свойства тождеств

В математике зачастую используют свойства равенств, чтобы ускорить процесс вычисления. Благодаря основным алгебраическим тождествам процесс вычисления некоторых выражений займет считанные минуты вместо долгих часов.

• Х + У = У + Х
• Х + (У + С) = (Х + У) + С
• Х + 0 = Х
• Х + (-Х) = 0
• Х ∙ (У + С) = Х∙У + Х∙С
• Х ∙ (У - С) = Х∙У - Х∙С
• (Х + У) ∙ (С + Е) = Х∙С + Х∙Е + У∙С + У∙Е
• Х + (У + С) = Х + У + С
• Х + (У - С) = Х + У - С
• Х - (У + С) = Х - У - С
• Х - (У - С) = Х - У + С
• Х ∙ У = У ∙ Х
• Х ∙ (У ∙ С) = (Х ∙ У) ∙ С
• Х ∙ 1 = Х
• Х ∙ 1/Х = 1, где Х ≠ 0

Формулы сокращенного умножения

По своей сути формулы сокращенного умножения являются равенствами. Они помогают решить множество задач в математике благодаря своей простоте и легкости в обращении.

• (А + В) 2 = А 2 + 2∙А∙В + В 2 - квадрат суммы пары чисел;

• (А - В) 2 = А 2 - 2∙А∙В + В 2 - квадрат разности пары чисел;

• (С + В) ∙ (С - В) = С 2 - В 2 - разность квадратов;

• (А + В) 3 = А 3 + 3∙А 2 ∙В + 3∙А∙В 2 + В 3 - куб суммы;

• (А - В) 3 = А 3 - 3∙А 2 ∙В + 3∙А∙В 2 - В 3 - куб разности;

• (Р + В) ∙ (Р 2 - Р∙В + В 2) = Р 3 + В 3 - сумма кубов;

• (Р - В) ∙ (Р 2 + Р∙В + В 2) = Р 3 - В 3 - разность кубов.

Формулы сокращенного умножения зачастую применяются, если необходимо привести многочлен к привычному виду, упростив его всеми возможными способами. Представленные формулы доказываются просто: достаточно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Уравнения

После изучения вопроса, что такое равенство, можно приступать к следующему пункту: Под уравнением понимается равенство, в котором присутствуют неизвестные величины. Решением уравнения называют нахождение всех значений переменной, при которых обе части всего выражения будут равны. Также встречаются задания, в которых нахождение решений уравнения невозможно. В таком случае говорят, что корней нет.

Как правило, равенства с неизвестными в качестве решения выдают целые числа. Однако возможны случаи, когда корнем являются вектор, функция и другие объекты.

Уравнение является одним из важнейших понятий в математике. Большинство научных и практических задач не позволяют измерить или вычислить какую-либо величину. Поэтому необходимо составлять соотношение, которое удовлетворит все условия поставленной задачи. В процессе составления такого соотношения появляется уравнение или система уравнений.

Обычно решение равенства с неизвестным сводится к преобразованию сложного уравнения и сведению его к простым формам. Необходимо помнить, что преобразования нужно проводить относительно обеих частей, в противном случае на выходе получится неверный результат.

4 способа решить уравнение

Под решением уравнения понимают замену заданного равенства другим, которое равносильно первому. Подобная подмена известна как тождественное преобразование. Чтобы решить уравнение, необходимо воспользоваться одним из способов.

1. Одно выражение заменяется другим, которое в обязательном порядке будет тождественно первому. Пример: (3∙х+3) 2 =15∙х+10. Это выражение можно преобразовать в 9∙х 2 +18∙х+9=15∙х+10.

2. Перенесение членов равенства с неизвестным из одной стороны в другую. В таком случае необходимо правильно менять знаки. Малейшая ошибка сгубит всю проделанную работу. В качестве примера возьмем предыдущий «образец».

9∙х 2 + 12∙х + 4 = 15∙х + 10

9∙х 2 + 12∙х + 4 - 15∙х - 10 = 0

3. Перемножение обеих частей равенства на равное число или выражение, которые не равняются 0. Однако стоит напомнить, что если новое уравнение не будет равносильным равенству до преобразований, тогда количество корней может существенно измениться.

4. Возведение в квадрат обеих частей уравнения. Этот способ просто замечательный, особенно когда в равенстве есть иррациональные выражения, то есть и выражение под ним. Тут есть один нюанс: если возвести уравнение в четную степень, тогда могут появиться посторонние корни, которые исказят суть задания. И если неправильно извлечь корень, тогда смысл вопроса в задаче будет неясен. Пример: │7∙х│=35 → 1) 7∙х = 35 и 2) - 7∙х = 35 → уравнение будет решено верно.

Итак, в этой статье упоминаются такие термины, как то уравнения и тождества. Все они происходят от понятия «равенство». Благодаря различного рода равносильным выражениям решение некоторых задач в значительной мере облегчено.

Интерактивный список. Начните вводить искомое слово.

РАВЕНСТВО

РА́ВЕНСТВО, -а, ср.

1. Полное сходство, подобие (по величине, качеству, достоинству). Р. сил.

2. Положение людей в обществе, обеспечивающее их одинаковое отношение к закону, одинаковые политические и гражданские права, равноправие. Социальное р.

3. В математике: соотношение между величинами, показывающее, что одна величина равна другой. Знак равенства (=). Ставить знак равенства между кем-чем-н. (перен. : признавать равноценным, уравнивать).

| прил. равенственный , -ая, -ое (ко 2 знач. ; устар. ).

Что такое РАВЕНСТВО , РАВЕНСТВО это, значение слова РАВЕНСТВО , происхождение (этимология) РАВЕНСТВО , синонимы к РАВЕНСТВО , парадигма (формы слова) РАВЕНСТВО в других словарях

Парадигма, формы слова РАВЕНСТВО - Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку

Синонимы к РАВЕНСТВО - Словарь русских синонимов 4

РАВЕНСТВО синонимы

равенство

Синонимы:

альтернат, единство, муссават, общность, одинаковость, паритет, паритетность, подобие, равновеликость, равноправие, равноправность, совпадение, соответствие, сходство, тождество, уравнение, эквивалентность

РАВЕНСТВА С КОЛИЧЕСТВАМИ.

После того, как ребёнок познакомится с карточками-количествами от 1 до 20, Вы можете добавить к первому этапу обучения второй этап - равенства с количествами.

Что такое равенство? Это арифметическое действие и его результат.

Вы начинаете этот этап обучения с темы «Сложение».

Сложение.

К показу двух наборов карточек-количеств Вы добавляете равенства на сложение.

Научить этой операции очень легко. Фактически Ваш ребёнок уже несколько недель готов к этому. Ведь каждый раз, когда Вы показываете ему новую карточку, он видит, что на ней появилась одна дополнительная точка.

Малыш ещё не знает, как это называется, но уже имеет представление о том, что это такое и как оно действует.

Материал для примеров на сложение у Вас уже есть на обратной стороне каждой карточки.

Технология показа равенств выглядит примерно так: Вы хотите дать ребенку равенство: 1 +2 = 3. Как его можно показать?

Перед началом урока положите себе на колени лицевой стороной вниз, одна на другую, три карточки. Поднимая верхнюю карточку с одной спицей-костяшкой, говорите «один», затем откладываете её, говорите «плюс», показываете карточку с двумя костяшками, произносите «два», откладываете её и после слова «будет», показываете карточку с тремя костяшками, произнося «три».

В день Вы проводите три занятия с равенствами и на каждом занятии показываете по три разных равенства. Итого, в день малыш видит девять разных равенств.

Ребёнок без всяких объяснений понимает, что означает слово «плюс», его значение он сам выводит из контекста. Производя действия, Вы тем самым быстрее всяких объяснений демонстрируете подлинный смысл сложения. Рассказывая о равенствах, всегда придерживайтесь одной и той же манеры изложения, употребляя одни и те же термины. Сказав «Один плюс два будет три», не говорите потом «К одному прибавить два будет три». Когда Вы учите ребёнка фактам, он сам делает выводы и постигает правила. Если Вы меняете термины, то ребёнок имеет все основания думать, что и правила тоже изменились.

Заранее готовьте все карточки, необходимые для того или иного равенства. Не думайте, что Ваш ребёнок будет спокойно сидеть и смотреть, как Вы будете рыться в стопке карточек, подбирая нужные. Он просто удерёт и будет прав, поскольку его время стоит не меньше Вашего.

Старайтесь не составлять равенства, которые бы имели нечто общее и позволяли бы ребёнку предугадывать их заранее (такие равенства можно будет использовать позже). Вот пример таких равенств:

Гораздо лучше использовать такие:

1 +2 = 3 5+6=11 4 + 8 = 12

Ребенок должен увидеть математическую суть, у него вырабатываются математические навыки и представления. Примерно через две недели малыш делает открытие, что такое сложение: ведь за это время Вы показали ему 126 разных равенств на сложение.

Проверка.

Проверка на данном этапе представляет собой решение примеров.

Чем отличается пример от равенства?
Равенство - это действие с показанным ребёнку результатом.

Пример - это действие, которое надо выполнить. В нашем случае, Вы показываете ребёнку два ответа, а он выбирает правильный, т.е. решает пример.

Пример Вы можете выложить после обычного занятия с тремя равенствами на сложение. Пример Вы показываете так же, как до этого демонстрировали равенство. То есть перекладываете карточки в руках, проговаривая каждую вслух. Например, «двадцать плюс десять будет тридцать или сорок пять?» и показываете малышу две карточки, одна из которых с правильным ответом.

Карточки с ответами нужно держать на одинаковом расстоянии от глаз малыша и не допускать никаких подсказывающих действий.

При правильном выборе ребёнка Вы бурно выражаете свой восторг, целуете и хвалите его.

При ошибочном выборе ответа, не высказывая огорчения, Вы пододвигаете к малышу карточку с правильным ответом и задаёте вопрос: «Будет тридцать, не правда ли?». На подобный вопрос ребёнок обычно отвечает утвердительно. Обязательно похвалите ребёнка за этот правильный ответ.

Ну а если из десяти примеров Ваш малыш верно решает хотя бы шесть, значит, Вам точно пора переходить к равенствам на вычитание!

Если Вы не считаете нужным проверять ребёнка (и правильно!), то через 10-14 дней всё равно переходите к равенствам на вычитание!

Рассмотрим -Вычитание.

Вы перестаёте заниматься сложением и полностью переключаетесь на вычитание. Проводите по три ежедневных урока с тремя различными равенствами в каждом.

Озвучиваете равенства на вычитание так: «Двенадцать минус семь будет пять».

При этом Вы одновременно продолжаете показывать карточки-количества (два набора, по пять карточек в каждом) тоже три раза в день. Итого, у Вас будет девять ежедневных очень коротких уроков. Так Вы работаете не более двух недель.

Проверка

Проверка так же, как и в случае со сложением, может представлять собой решение примеров с выбором одного ответа из двух.

Рассмотрим-Умножение.

Умножение - это не что иное, как многократное сложение, так что это действие не станет большим открытием для Вашего ребёнка. Поскольку Вы продолжаете изучение карточек- количеств (два набора по пять карточек в каждом), у Вас есть возможность составления равенств на умножение.

Озвучиваете равенства на умножение так: «Два умножить на три будет шесть».

Ребёнок поймет слово «умножить» так же быстро, как он понял до этого слова «плюс» и «минус».

Вы по-прежнему проводите в день по три урока, в каждом из которых - по три разных равенства на умножение. Такая работа продолжается не более двух недель.

Продолжайте избегать предсказуемых равенств. Например таких, как:

Необходимо постоянно держать своего ребёнка в состоянии удивления и ожидания чего-то нового. Главным для него должен стать вопрос: «Что дальше?»- и на каждом занятии он должен получать на него новый ответ.

Проверка

Решение примеров Вы проводите так же, как в теме «Сложение» и «Вычитание». Если малышу понравились игры-проверя-лочки с карточками-количествами, Вы можете продолжать играть в них, повторяя таким образом новые, большие количества.

Придерживаясь предложенной нами схемы, Вы к этому времени уже можете завершить первый этап обучения математике - изучите количества в пределах 100. Теперь настало время познакомиться с карточкой, которая больше всего нравится детям.

Рассмотрим-Понятие нуля.

Говорят, что математики уже пятьсот лет изучают идею нуля. Правда это или нет, но дети, едва познав идею количества, тут же понимают и смысл его полного отсутствия. Они просто обожают ноль, и Ваше путешествие в мир чисел будет неполным, если Вы не покажете малышу карточку, на которой вообще не будет никаких точек (т.е. это будет абсолютно пустая карточка).

Чтобы знакомство малыша с нулём прошло весело и интересно, можно сопроводить показ карточки загадкой:

Дома - семеро бельчат, На тарелке - семь опят. Все грибочки съели белки. Что осталось на тарелке?

Произнося последнюю фразу, показываем карточку «ноль».

Вы будете использовать её практически каждый день. Она пригодится Вам для операций сложения, вычитания и умножения.

Работать с карточкой «нуль» Вы можете одну неделю. Эту тему ребёнок осваивает быстро. Как и прежде, в течение дня, Вы проводите три занятия. На каждом занятии Вы показываете малышу по три различных равенства на сложение, вычитание и умножение с нулём. Итого у Вас получится девять равенств в день.

Проверка

Решение примеров с нулём проходит по знакомой Вам схеме.

Рассмотрим -Деление.

Когда Вы прошли все карточки-количества от 0 до 100, у Вас есть весь необходимый материал для примеров на деление с количествами.

Технология показа равенств данной темы прежняя. Каждый день Вы проводите три занятия. На каждом занятии Вы показываете малышу по три разных равенства. Хорошо, если прохождение этого материала не будет превышать двух недель.

Проверка

Проверка представляет собой решение примеров с выбором одного ответа из двух.

Когда Вы прошли все количества и знакомы с четырьмя правилами арифметики, то можете всячески разнообразить и усложнить свои занятия. Для начала покажите равенства, где ис- пользуется одно арифметическое действие: только сложение, вычитание, умножение или деление.

Затем - равенства, где сочетаются сложение и вычитание или умножение и деление:

20 + 8-10=18 9-2 + 26 = 33 47+11-50 = 8

Чтобы не запутаться в карточках, Вы можете сменить способ проведения занятий. Теперь не обязательно показывать каждую карточку спиц- костяшек, можно показывать только ответ, а сами действия лишь проговаривать. В результате Ваши занятия станут короче. Вы просто говорите ребёнку: «Двадцать два разделить на одиннадцать, разделить на два будет один», - и показываете ему карточку «один».

В этой теме можно использовать равенства, между которыми есть какая-либо закономерность.

Например:

2*2*3= 12 2*2*6=24 2*2*8=32

При сочетании в равенстве четырёх арифметических действий, помните, что умножение и деление должны быть вынесены в начало равенства:

Не бойтесь демонстрировать равенства, которых больше ста, например,

промежуточный результат в

42 * 3 - 36 = 90,

где промежуточный результат равен 126 (42 * 3 = 126)

Ваш малыш отлично с ними справится!

Проверка представляет собой решение примеров с выбором одного ответа из двух. Вы можете продемонстрировать пример, показав все карточки равенства и две карточки для выбора ответа или просто проговорить всё равенство, показав малышу лишь две карточки для ответа.

Помните! Чем дольше Вы занимаетесь, тем быстрее нужно вводить новые темы. Как только Вы заметили первые признаки невнимания ребёнка или скуки - переходите к новой теме. Спустя время Вы можете вернуться к прежней теме (но для знакомства с ещё не показанными равенствами).

Последовательности

Последовательности - это те же самые равенства. Опыт работы родителей с этой темой показал, что последовательности детям очень интересны.

Последовательности на плюс - это возрастающие последовательности. Последовательности на минус - убывающие.

Чем разнообразнее будут последовательности, тем они интереснее малышу.

Приведём несколько примеров последовательностей:

3,6,9,12,15,18,2 (+3)

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 (+4)

5,10,15,20,25,30,35 (+5)

100,90,80,70,60,50,40 (-10)

72, 70, 68, 66, 64, 62, 60 (-2)

95,80,65,50,35,20,5 (-15)

Технология показа последовательностей может быть такой. Вы подготовили три последовательности на плюс.

Объявляете малышу тему урока, на полу выкладываете одну за другой карточки первой последовательности, озвучивая их.

Перемещаетесь с ребёнком в другой угол комнаты и точно так же выкладываете вторую последовательность.

В третьем углу комнаты Вы выкладываете третью последовательность, при этом озвучивая её.

Выкладывать последовательности можно и друг под другом, оставляя между ними промежутки.

Старайтесь всегда идти вперёд, двигаясь от простого к сложному. Варьируйте занятия: иногда произнося вслух то, что Вы показываете, а иногда показывайте карточки молча. В любом случае ребёнок видит развёрнутую перед ним последовательность.

Для каждой последовательности нужно использовать не менее шести карточек, иногда больше, для того чтобы ребёнку легче было определить сам принцип последовательности.

Как только Вы увидели блеск в глазах ребёнка, попробуйте добавить к трём последовательностям пример (т.е. проверьте его знания).

Пример показываете так: сначала выкладываете всю последовательность, как Вы обычно это делаете, а в конце поднимаете две карточки (одна карточка - та, которая идёт следующей в последовательности, а другая - случайная) и спрашиваете ребёнка: «Какая следующая?»

На первых порах карточки в последовательностях выкладывайте друг за другом, затем формы выкладывания можно менять: кладите карточки по кругу, по периметру комнаты и т.д.

Когда будет получаться всё лучше и лучше, не бойтесь использовать в последовательностях умножение и деление.

Примеры последовательностей:

4; 6; 8; 10; 12; 14 - в данной последовательности каждое следующее число увеличивается на 2;

2; 4; 7; 14; 17; 34 - в данной последовательности чередуется умножение и сложение (х 2; + 3);

2; 4; 8; 16; 32; 64 - в данной последовательности каждое следующее число увеличивается в 2 раза;

22; 18; 14; 10; 6; 2 - в данной последовательности каждое следующее число уменьшается на 4;

84; 42; 40; 20; 18; 9 - в данной последовательности чередуется деление и вычитание (: 2; - 2);

Знаки «больше», «меньше»

Эти карточки находятся в составе 110 карточек цифр и знаков (вторая составляющая часть методики АНАСТА).

Уроки знакомства малыша с понятиями «больше-меньше» будут очень короткими. Всё, что Вам нужно, - это показать три карточки.

Технология показа

Садитесь на пол и выкладываете каждую карточку перед ребёнком так, чтобы он мог видеть сразу все три карточки. Каждую карточку называете.

Озвучить можно так: «шесть больше трёх» или «шесть больше, чем три».

На каждом занятии Вы показываете ребёнку по три разных варианта неравенств с

карточками «больше» - «меньше». неравенств в день.

Таким образом, Вы демонстрируете девять разных

Как и прежде, Вы показываете каждое неравенство только один раз.

Через несколько дней к трём показам можно добавить пример. Это уже проверка, и проводится она так:

Положите на пол приготовленные заранее карточки, например, карточку с количеством «68» и карточку со знаком «больше». Спросите малыша: «Шестьдесят восемь больше какого числа?» или «Шестьдесят восемь больше пятидесяти или девяносто пяти?». Предложите ребёнку выбрать из двух карточек нужную. Верно указанную малышом карточку, Вы (или он сам) кладёте после знака «больше».

Можно положить перед ребёнком две карточки с количествами и дать ему возможность выбрать знак, который подходит, то есть > или <.

Равенства и неравенства

Обучить равенствам и неравенствам так же просто, как и понятиям «больше» и «меньше».

Вам понадобятся шесть карточек с арифметическими знаками. Их Вы тоже найдёте в составе 110 карточек цифр и знаков (вторая составляющая часть методики АНАСТА).

Технология показа

Вы решили показать ребёнку такие два неравенства и одно равенство:

8-6<10 −7 11-3= 9 −1 55-12^50 −13

Вы выкладываете их на полу последовательно так, чтобы ребёнок мог видеть сразу каждое из них. При этом Вы всё проговариваете, например: «Восемь минус шесть не равно десять минус семь».

Точно так же Вы проговариваете во время выкладывания оставшиеся равенство и неравенство.

На начальном этапе обучения этой теме выкладываются все карточки.

Затем можно будет показывать только карточки «равно» и «не равно».

В один прекрасный день Вы даёте возможность малышу показать свои знания. Выкладываете карточки с количествами, а ему предлагаете выбрать, карточку с каким знаком надо положить: «равно» или «не равно».

Прежде, чем начать изучать алгебру с малышом,надо познакомить его с понятием переменной величины, представленной буквой.

Обычно в математике используется буква x, но поскольку ее легко спутать со знаком умножения, рекомендуется использовать y.

Вы кладете сначала карточку с пятью бусинками — костяшек, затем знак +плюс (+), после него со знаком y, потом знак равенства и, наконец, карточку с семью бусинками- костяшками. Затем вы ставите вопрос: «Что означает здесь у?»

И сами отвечаете на него: «В этом уравнении означает два»

Проверка:

Примерно через одну - полторы недели занятий на данном этапе, Вы можете дать возможность малышу выбрать ответ.

ЧЕТВЁРТЫЙ ЭТАП РАВЕНСТВА С ЦИФРАМИ И КОЛИЧЕСТВАМИ

Когда Вы прошли цифры от 1 до 20, настало время для «наведения мостов» между цифрами и количествами. Для этого есть множество способов. Одним из самых простых является использование равенств и неравенств, отношений «больше» и «меньше», демонстрируемых с помощью карточек с цифрами и костяшками.

Технология показа.

Возьмите карточку с цифрой 12, положите её на пол, затем положите рядом с ней знак «больше», а затем карточку-количество 10, проговаривая при этом: «Двенадцать больше десяти».

Неравенства (равенства) могут выглядеть следующим образом:

Каждый (равенств) день состоит из трёх занятий, а каждое занятие - из трёх неравенств количествами и цифрами. Общее количество ежедневных равенств будет равно девяти. При этом Вы одновременно продолжаете изучать цифры с помощью двух наборов по пять карточек в каждом, тоже три раза в день.

Проверка.

Можно предоставлять ребёнку возможность выбора карточек «больше», «меньше», «равно» или составлять пример таким образом, чтобы малыш сам мог его закончить. Например, кладём карточку-количество 7, затем знак «больше» и предоставляем ребёнку возможность закончить пример, то есть выбрать карточку-количество, например, 9 или карточку-цифру, например, 5.

После того, как малыш понял связь между количествами и цифрами, можно приступать к решению равенств, используя карточки как с цифрами, так и с количествами.

Равенства с цифрами и количествами.

Используя карточки с цифрами и количествами, Вы проходите уже знакомые темы: сложение, вычитание, умножение, деление, последовательности, равенства и неравенства, дроби, уравнения, равенства в два и более действий.

Если Вы внимательно посмотрите примерную схему обучения математике, (стр. 20) то увидите, что конца занятиям нет. Придумывайте свои примеры для развития устного счёта ребёнка, соотносите количества с реальными предметами (орехи, ложки для гостей, кусочки порезанного банана, хлеба и т.д.) - словом, дерзайте, творите, выдумывайте, пробуйте! И у Вас всё получится!

После получения общих сведений о равенствах в математике переходим к более узким темам. Материал этой статьи даст представление о свойствах числовых равенств.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое числовое равенство

Первый раз мы сталкиваемся с числовыми равенствами еще в начальной школе, когда происходит знакомство с числами и понятием «столько же». Т.е. самые примитивные числовые равенства это: 2 = 2 , 5 = 5 и т.д. И на том уровне изучения мы называли их просто равенствами, без уточнения «числовые», и закладывали в них количественный или порядковый смысл (который несут натуральные числа). Например, равенство 2 = 2 будет соответствовать изображению, на котором – два цветка и на каждом сидит по две шмеля. Или, к примеру, две очереди, где вторыми по порядку стоят Вася и Ваня.

По мере появления знаний об арифметических действиях числовые равенства становятся сложнее: 5 + 7 = 12 ; 6 - 1 = 5 ; 2 · 1 = 2 ; 21: 7 = 3 и т.п. Затем начинают встречаться равенства, в записи которых участвуют числовые выражения разного рода. Например, (2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2) ; 4 · (4 − (1 + 2)) + 12: 4 − 1 = 4 · 1 + 3 − 1 и т.п. Дальше мы знакомимся с прочими видами чисел, и числовые равенства приобретают все более и более интересный и разнообразный вид.

Определение 1

Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.

Свойства числовых равенств

Сложно переоценить значимость свойств числовых равенств в математике: они являются опорой многому, определяют принцип работы с числовыми равенствами, методы решений, правила работы с формулами и многое другое.Очевидно, что существует необходимость детального изучения свойств числовых равенств.

Свойства числовых равенств абсолютно согласованы с тем, как определяются действия с числами, а также с определением равных чисел через разность: число a равно числу b только в тех случаях, когда разность a − b есть нуль. Далее в описании каждого свойства мы проследим эту связь.

Основные свойства числовых равенств

Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:

• свойство рефлексивности: a = a ;
• свойство симметричности: если a = b , то b = a ;
• свойство транзитивности: если a = b и b = c , то a = c ,где a , b и c – произвольные числа.

Определение 2

Свойство рефлексивности обозначает факт равенства числа самому себе: к примеру, 6 = 6 , − 3 = − 3 , 4 3 7 = 4 3 7 и т.п.

Доказательство 1

Нетрудно продемонстрировать справедливость равенства a − a = 0 для любого числа a: разность a − a можно записать как сумму a + (− a) , а свойство сложения чисел дает нам возможность утверждать, что любому числу a соответствует единственное противоположное число − a , и сумма их есть нуль.

Определение 3

Согласно свойству симметричности числовых равенств: если число a равно числу b ,
то число b равно числу a . К примеру, 4 3 = 64 , тогда 64 = 4 3 .

Доказательство 2

Обосновать данное свойство можно через разность чисел. Условию a = b соответствует равенство a − b = 0 . Докажем, что b − a = 0 .

Запишем разность b − a в виде − (a − b) , опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус. Новая запись выражения равна - 0 , а число, противоположное нулю, это нуль. Таким образом, b − a = 0 , следовательно: b = a .

Определение 4

Свойство транзитивности числовых равенств гласит, что два числа равны друг другу в случае их одновременного равенства третьему числу. К примеру, если 81 = 9 и 9 = 3 2 , то 81 = 3 2 .

Свойству транзитивности также отвечает определение равных чисел через разность и свойства действий с числами. Равенствам a = b и b = c соответствуют равенства a − b = 0 и b − c = 0 .

Доказательство 3

Докажем справедливость равенства a − c = 0 , из чего последует равенство чисел a и c . Посколькусложение числа с нулем не меняет само число, то a − c запишем в виде a + 0 − c . Вместо нуля подставим сумму противоположных чисел − b и b , тогда крайнее выражение станет таким: a + (− b + b) − c . Выполним группировку слагаемых: (a − b) + (b − c) . Разности в скобках равны нулю, тогда и сумма (a − b) + (b − c) есть нуль. Это доказывает, что, когда a − b = 0 и b − c = 0 , верно равенство a − c = 0 , откуда a = c .

Прочие важные свойства числовых равенств

Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:

Определение 5

Прибавив к (или убавив от) обеим частям числового равенства, являющегося верным, одно и то же число, получим верное числовое равенство. Запишем буквенно: если a = b , где a и b – некоторые числа, то a + c = b + c при любом c .

Доказательство 4

В качестве обоснования запишем разность (a + c) − (b + c) .
Это выражение легко преобразуется в вид (a − b) + (c − c) .
Из a = b по условию следует, что a − b = 0 и c − c = 0 , тогда (a − b) + (c − c) = 0 + 0 = 0 . Это доказывает, что (a + c) − (b + c) = 0 , следовательно, a + c = b + c ;

Определение 6

Если обе части верного числового равенства перемножить с любым числом или разделить на число, не равное нулю, тогда получим верное числовое равенство.
Запишем буквенно: когда a = b , то a · c = b · c при любом числе c . Если c ≠ 0 , тогда и a: c = b: c .

Доказательство 5

Равенство верно: a · c − b · c = (a − b) · c = 0 · c = 0 , и из него следует равенство произведений a · c и b · c . А деление на отличное от нуля число c возможно записать как умножение на обратное число 1 c ;

Определение 7

При a и b , отличных от нуля и равных между собой, обратные им числа также равны.
Запишем: когда a ≠ 0 , b ≠ 0 и a = b , то 1 a = 1 b . Крайнее равенство нетрудно доказать: с этой целью разделим обе части равенства a = b на число, равное произведению a · b и не равное нулю.

Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:

Определение 8

При почленном сложении верных числовых равенств получается верное равенство. Запись этого свойства такова: если a = b и c = d , то a + c = b + d для любых чисел a , b , c и d .

Доказательство 6

Обосновать это полезное свойство возможно, опираясь на указанные ранее свойства. Мы знаем, что к обеим частям верного равенства возможно прибавить любое число.
К равенству a = b прибавим число c , а к равенству c = d - число b , итогом станут верные числовые равенства: a + c = b + c и c + b = d + b . Крайнее запишем в виде: b + c = b + d . Из равенств a + c = b + c и b + c = b + d согласно свойству транзитивности следует равенство a + c = b + d . Что и нужно было доказать.

Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и три, и более;

Определение 7

Наконец, опишем такое свойство: почленное перемножение двух верных числовых равенств дает верное равенство. Запишем при помощи букв: если a = b и c = d , то a · c = b · d .

Доказательство 7

Доказательство этого свойства подобно доказательству предыдущего. Умножим обе части равенства на любое число, умножим a = b на c , а c = d на b , получим верные числовые равенства a · c = b · c и c · b = d · b . Крайнее запишем как b · c = b · d . Свойство транзитивности дает возможность из равенства a · c = b · c и b · c = b · d вывести равенство a · c = b · d , которое нам необходимо было доказать.

И вновь уточним, что данное свойство применимо для двух, трех и более числовых равенств.
Так, можно записать: если a = b , то a n = b n для любых чисел a и b , и любого натурального числа n .

Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:

Если a = b , то b = a .

Если a = b и b = c , то a = c .

Если a = b , то a + c = b + c .

Если a = b , то a · c = b · c .

Если a = b и с ≠ 0 , то a: c = b: c .

Если a = b , a = b , a ≠ 0 и b ≠ 0 , то 1 a = 1 b .

Если a = b и c = d , то a · c = b · d.

Если a = b , то a n = b n .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter