Что такое обратные равенства. способа решить уравнение. Верные и неверные равенства

50. Свойства равенств, на которых основывается решение уравнений . Возьмем какое-нибудь уравнение, не очень сложное, например:

7x – 24 = 15 – 3x

x/2 – (x – 3)/3 – (x – 5)/6 = 1

Мы видим в каждом уравнении знак равенства: все то, что написано слева от знака равенства, называется левою или первою частью уравнения (в первом уравнении 7x – 24 является левою или первою частью, а во втором x/2 – (x – 3)/3 – (x – 5)/6 есть первая, или левая, часть); все то, что написано справа от знака равенства, называется правою или второю частью уравнения (15 – 3x есть правая часть первого уравнения, 1 является правою, или вторю, частью 2-го уравнения).

Каждая часть любого уравнения выражает собою некоторое число. Числа, выражаемые левою и правою частью уравнения, должны быть равны между собою. Нам ясно: если мы к каждому из этих чисел прибавим по одинаковому числу, либо вычтем из них по одинаковому числу, либо каждое из них умножим на одинаковое число, либо, наконец, разделим на одно и то же число, то результаты этих действий должны также быть равными между собою. Другими словами: если a = b, то a + c = b + c, a – c = b – c, ac = bc и a/c = b/c. По поводу деления следует, однако, иметь в виду, что в арифметике не имеется деления на нуль - мы не умеем, например, число 5 разделить на нуль. Поэтому в равенстве a/c = b/c число c не может быть равным нулю.

К обеим частям уравнения можно прибавить или из них вычесть по одинаковому числу.
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, исключая случай, когда это число может оказаться равным нулю.

Пользуясь этими свойствами уравнения, мы можем найти удобный способ решать уравнения. Выясним этот случай на примерах.

Пример 1. Пусть надо решить уравнение

5x – 7 = 4x + 15.

Мы видим, что первая часть уравнения содержит два члена; один из них 5x, содержащий неизвестный множитель x, можно назвать неизвестным членом, а другой –7 – известным. Во второй части уравнения также 2 члена: неизвестный 4x и известный +15. Сделаем так, чтобы в левой части уравнения оказались только неизвестные члены (а известный член –7 уничтожился бы), а в правой части оказались бы только известные члены (а неизвестный член +4x уничтожился бы). Для этой цели прибавим к обеим частям уравнения одинаковые числа: 1) прибавим по +7 (чтобы уничтожился член –7) и 2) прибавим по –4x (чтобы уничтожился член +4x). Тогда получим:

5x – 7 + 7 – 4x = 4x + 15 + 7 – 4x

Сделав в каждой части уравнения приведение подобных членов, получим

Это равенство и является решением уравнения, так как оно указывает, что для x надо взять число 22.

Пример 2. Решить уравнение:

8x + 11 = 7 – 4x

Опять прибавим к обеим частям уравнения по –11 и по +4x, получим:

8x + 11 – 11 + 4x = 7 – 4x – 11 + 4x

Выполнив приведение подобных членов, получим:

Разделим теперь обе части уравнения на +12, получим:

x = –4/12 или x = –1/3

(первую часть уравнения 12x разделить на 12 – получим 12x/12 или просто x; вторую часть уравнения –4 разделить на +12 – получим –4/12 или –1/3).

Последнее равенство и является решением уравнения, так как оно указывает, что для x надо взять число –1/3.

Пример 3. Решить уравнением

x – 23 = 3 · (2x – 3)

Раскроем сначала скобки, получим:
x – 23 = 6x – 9

Прибавим к обеим частям уравнения по +23 и по –6x, – получим:

x – 23 + 23 – 6x = 6x – 9 + 23 – 6x.

Теперь, для того, чтобы впоследствии ускорить процесс решения уравнения, не будем сразу выполнять приведение всех подобных членов, а только заметим, что члены –23 и +23 в левой части уравнения взаимно уничтожаются, также члены +6x и –6x в первой части взаимно уничтожаются – получим:

x – 6x = –9 + 23.

Сравним это уравнение с начальным: вначале было уравнение:

x – 23 = 6x – 9

Теперь получили уравнение:

x – 6x = –9 + 23.

Мы видим, что в конце концов оказалось, что член –23, находившийся сначала в левой части уравнения, теперь как бы перешел в правую часть уравнения, причем у него переменился знак (в левой части начального уравнения был член –23, теперь его там нет, но зато в правой части уравнения имеется член + 23, которого там раньше не было). Так же точно в правой части уравнения был член +6x, теперь его там нет, но появился зато в левой части уравнения член –6x, которого раньше там не было. Рассматривая с этой точки зрения примеры 1 и 2, мы придем к общему заключению:

Можно любой член уравнения перенести из одной части в другую, меняя знак у этого члена (в дальнейших примерах мы будем этим пользоваться).

Итак, возвращаясь к нашему примеру, мы получили уравнение

x – 6x = –9 + 23

Разделим обе части уравнения на –5. Тогда получим:

[–5x: (–5) получим x] – это и есть решение нашего уравнения.

Пример 4. Решить уравнение:

Сделаем так, чтобы в уравнении не было дробей. Для этой цели найдем общего знаменателя для наших дробей – общим знаменателем служит число 24 – и умножим на него обе части нашего уравнения (можно, ведь, чтобы равенство не нарушалось, умножить на одно и то же число только обе части уравнения). В первой части 3 члена, причем каждый член является дробью - надо, следовательно, каждую дробь умножить на 24: вторая часть уравнения есть 0, а нуль умножить на 24 - получим нуль. Итак,

Мы видим, что каждая из наших трех дробей, благодаря тому, что она умножена на общее наименьшее кратное знаменателей этих дробей, сократится и сделается целым выражением, а именно получим:

(3x – 8) · 4 – (2x – 1) · 6 + (x – 7) · 3 = 0

Конечно, желательно все это выполнить в уме: надо вообразить, что, например, числитель первой дроби заключается в скобки и умножается на 24, после чего воображение поможет нам увидеть сокращение это дроби (на 6) и конечный результат, т. е. (3x – 8) · 4. Тоже имеет место и для остальных дробей. Раскроем теперь в полученном уравнении (в его левой части) скобки:

12x – 32 – 12x + 6 + 3x – 21 = 0

(обратим внимание, что здесь понадобилось двучлен 2x – 1 умножить на 6 и полученное произведение 12x – 6 вычесть из предыдущего, благодаря чему знаки членов этого произведения должны перемениться - выше и написано –12x + 6). Перенесем известные члены (т. е. –32, +6 и –21) из левой части уравнения в его правую часть, причем (как мы уже знаем) знаки этих членов должны перемениться - получим:

12x – 12x + 3x = 32 – 6 + 21.

Выполним приведение подобных членов:

(при навыке должно сразу выполняться и перенесение нужных членов из одной части уравнения в другую и приведение подобных членов), разделим, наконец, обе части уравнения на 3 - получим:

x = 15(2/3) - это и есть решение уравнения.

Пример 5. Решить уравнение:

5 – (3x + 1)/7 = x + (2x – 3)/5

Здесь две дроби, и их общий знаменатель равен 35. Умножим, чтобы освободить уравнение от дробей, обе части уравнения на общего знаменателя 35. В каждой части нашего уравнения 2 члена. При умножении каждой части на 35 должно каждый член умножить на 35 - получим:

Дроби сократятся - получим:

175 – (3x + 1) · 5 = 35x + (2x – 3) · 7

(конечно, можно было бы при навыке написать сразу это уравнение).

Выполним все действия:

175 – 15x – 5 = 35x + 14x – 21.

Перенесем все неизвестные члены из правой части (т. е. члены +35x и +14x) в левую, а все известные члены из левой части (т. е. члены +175 и –5) в правую - следует при этом не забывать у переносимых членов менять знак:

–15x – 35x – 14x = –21 – 175 + 5

(член –15x, как раньше был в левой части, так и теперь в ней остался - у него поэтому отнюдь не следует менять знака; аналогичное имеет место и для члена –21). Сделав приведение подобных членов, получим:

–64x = –191.

[Возможно сделать так, чтобы не было знака минус в обеих частях уравнения; для этого умножим обе части уравнения на (–1), получим 64x = 191, но этого можно и не делать.]
Разделим затем обе части уравнения на (–64), получим решение нашего уравнения

[Если умножили обе части уравнения на (–1) и получили уравнение 64x = 191, то теперь надо обе части уравнения разделить на 64.]

На основании того, что пришлось выполнять в примерах 4 и 5, мы можем установить: можно освободить уравнение от дробей - для этого надо найти общего знаменателя для всех дробей, входящих в уравнение (или наименьшее общее кратное знаменателей всех дробей) и на него умножить обе части уравнения - тогда дроби должны исчезнуть.

Пример 6. Решить уравнение:

Перенеся член 4x из правой части уравнения в левую, получим:

5x – 4x = 0 или x = 0.

Итак, решение найдено: для x надо взять число нуль. Если мы заменим в данном уравнении x нулем, получим 5 · 0 = 4 · 0 или 0 = 0, что указывает на выполнение требования, выражаемого данным уравнением: найти такое число для x, чтобы одночлен 5x оказался равен тому же самому числу, как и одночлен 4x.

Если кто-либо подметит с самого начала, что обе части уравнения 5x = 4x можно разделить на x и выполнит это деление, то получится явная несообразность 5 = 4! Причиною этого является то обстоятельство, что деление 5x/x в данном случае выполнить нельзя, так как, мы видели выше, вопрос, выражаемый нашим уравнением, требует, чтобы x = 0, а деление на нуль не выполнимо.

Заметим еще, что и умножение на нуль требует некоторой внимательности: умножая на нуль и два неравных числа, мы получим в результате этих умножений равные произведения, а именно - нули.

Если, например, мы имеем уравнение

x – 3 = 7 – x (его решение: x = 5)

и если кто-либо захочет к нему применить свойство «обе части уравнения можно умножить на одно и тоже число» и умножить обе части на x, то получит:

x 2 – 3x = 7x – x 2 .

После этого может обратить на себя внимание, что все члены уравнения содержат множителя x, из чего можно сделать заключение, что для решения этого уравнения можно взять число нуль, т. е. положить x = 0. И в самом деле, тогда получим:
0 2 – 3 · 0 = 7 · 0 – 0 2 или 0 = 0.

Однако, это решение x = 0, очевидно, не годится для данного уравнения x – 3 = 7 – x; заменяя в нем x нулем, получим явную несообразность: 3 = 7!

В этой статье собрана информация, формирующая представление о равенстве в контексте математики. Здесь мы выясним, что такое равенство с математической точки зрения, и какие они бывают. Также поговорим о записи равенств и знаке равно. Наконец, перечислим основные свойства равенств и для наглядности приведем примеры.

Навигация по странице.

Что такое равенство?

Понятие равенства неразрывно связано со сравнением – сопоставлением свойств и признаков с целью выявлением схожих черт. А сравнение в свою очередь предполагает наличие двух предметов или объектов, один из которых сравнивается с другим. Если, конечно, не проводить сравнение предмета с самим собой, и то, это можно рассматривать как частный случай сравнения двух предметов: самого предмета и его «точной копии».

Из приведенных рассуждений понятно, что равенство не может существовать без наличия, по крайней мере, двух объектов, иначе нам просто нечего будет сравнивать. Понятно, что можно взять три, четыре и большее число объектов для сравнения. Но оно естественным образом сводится к сравнению всевозможных пар, составленных из этих объектов. Иными словами, оно сводится к сравнению двух объектов. Итак, равенство требует два объекта.

Суть понятия равенства в самом общем смысле наиболее отчетливо передается словом «одинаковые». Если взять два одинаковых объекта, то о них можно сказать, что они равные . В качестве примера приведем два равных квадрата и . Отличающиеся объекты, в свою очередь, называют неравными .

Понятие равенства может относиться как объектам в целом, так и к их отдельным свойствам и признакам. Объекты равны в целом, когда они равны по всем присущим им параметрам. В предыдущем примере мы говорили о равенстве объектов в целом – оба объекта квадраты, они одинакового размера, одинакового цвета, и вообще они полностью одинаковые. С другой стороны, объекты могут быть неравными в целом, но могут иметь некоторые равные характеристики. В качестве примера рассмотрим такие объекты и . Очевидно, они равны по форме –они оба являются кругами. А по цвету и по размеру – неравны, один из них синий, а другой – красный, один маленький, а другой - большой.

Из предыдущего примера для себя отметим, что нужно наперед знать, о равенстве чего именно мы говорим.

Все приведенные рассуждения применяются и к равенствам в математике, только здесь равенство относится к математическим объектам. То есть, изучая математику, мы будем говорить о равенстве чисел, равенстве значений выражений, равенстве каких-либо величин, например, длин, площадей, температур, производительностей труда и т.п.

Запись равенств, знак равно

Пришло время остановиться на правилах записи равенств. Для этого используется знак равно (его также называют знаком равенства), который имеет вид =, то есть, представляет собой две одинаковые черточки, расположенные горизонтально одна над другой. Знак равно = считается общепринятым.

При записи равенств записывают равные объекты и между ними ставят знак равно. Например, запись равных чисел 4 и 4 будет выглядеть следующим образом 4=4 , и ее можно прочитать как «четыре равно четырем». Еще пример: равенство площади S ABC треугольника ABC семи квадратным метрам запишется как S ABC =7 м 2 . По аналогии можно привести другие примеры записи равенств.

Стоит отметить, что в математике рассмотренные записи равенств часто используют как определение равенства.

Определение.

Записи, в которых используется знак равно, разделяющий два математических объекта (два числа, выражения и т.п.), называют равенствами .

Если письменно требуется обозначить неравенство двух объектов, то используется знак не равно ≠. Мы видим, что он представляет собой перечеркнутый знак равно. В качестве примера приведем запись 1+2≠7 . Ее можно прочитать так: «Сумма единицы и двойки не равна семи». Другой пример |AB|≠5 см. – длина отрезка AB не равна пяти сантиметрам.

Верные и неверные равенства

Записанные равенства могут отвечать смыслу понятия равенства, а могут и противоречить ему. В зависимости от этого равенства подразделяются на верные равенства и неверные равенства . Разберемся с этим на примерах.

Запишем равенство 5=5 . Числа 5 и 5 , вне всякого сомнения, равны, поэтому 5=5 – это верное равенство. А вот равенство 5=2 – неверное, так как числа 5 и 2 не равны.

Свойства равенств

Из того, как вводится понятие равенства, естественным образом вытекают характерные для него результаты – свойства равенств. Основными являются три свойства равенств :

Свойство рефлексивности, утверждающее, что объект равен самому себе.
Свойство симметричности, утверждающее, что если первый объект равен второму, то второй равен первому.
И, наконец, свойство транзитивности, утверждающее, что если первый объект равен второму, а второй – третьему, то первый равен третьему.

Запишем озвученные свойства на языке математики с помощью букв:

a=a ;
если a=b , то b=a ;
если a=b и b=c , то a=c .

Отдельно стоит отметить заслугу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – в том, что они позволяют говорить о равенстве трех и большего числа объектов через их попарное равенство.

Двойные, тройные равенства и т.д.

Наряду с обычными записями равенств, примеры которых мы привели в предыдущих пунктах, используются так называемые двойные равенства , тройные равенства и так далее, представляющие собой как бы цепочки равенств. Например, запись 1+1+1=2+1=3 является двойным равенством, а |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF| - пример четверного равенства.

С помощью двойных, тройных и т.д. равенств удобно записывать равенство трех, четырех и т.д. объектов соответственно. Эти записи по своей сути обозначают равенство любых двух объектов, составляющих исходную цепочку равенств. К примеру, указанное выше двойное равенство 1+1+1=2+1=3 по сути означает равенство 1+1+1=2+1 , и 2+1=3 , и 1+1+1=3 , а в силу свойства симметричности равенств и 2+1=1+1+1 , и 3=2+1 , и 3=1+1+1 .

В виде таких цепочек равенств удобно оформлять пошаговое решение примеров и задач, при этом решение выглядит кратко и видны промежуточные этапы преобразования исходного выражения.

Список литературы.

Моро М. И. . Математика. Учеб. для 1 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 1. (Первое полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова.- 6-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 112 с.: ил.+Прил. (2 отд. л. ил.). - ISBN 5-09-014951-8.
Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.

1) качественное понятие, используемое в экономической науке в смысле "равенство доходов", "имущественное равенство", "равенство возможностей", чтобы подчеркнуть наличие равенства и неравенства в положении отдельных социальных групп; 2) математическое тождество, уравнение.

Отличное определение

Неполное определение ↓

РАВЕНСТВО

один из принципов права. Понятие Р. - определенная абстракция, т.е. результат сознательного (мыслительного) абстрагирования от тех различий, которые присущи уравниваемым объектам. Правовое Р. не столь абстрактно. Основанием (и критерием) правового уравнения различных людей является свобода индивидов в общественных отношениях, признаваемая и утверждаемая в форме их правоспособности и правосубъектности. В этом специфика правового Р. и права вообще. Р. имеет рациональный смысл, логически и практически возможно в социальном мире именно и только правовое (формально-правовое, формальное) Р. История права - это история прогрессирующей эволюции содержания, объема, масштаба и меры формального (правового) Р. при сохранении самого этого принципа как принципа любой системы права, права вообще. Таким образом, принцип формального Р. представляет собой постоянно присущий праву принцип с исторически изменяющимся содержанием. В целом историческая эволюция содержания, объема, сферы действия принципа формального Р. не опровергает, а, наоборот, подкрепляет значение данного принципа в качестве отличительной особенности права в его соотношении с иными видами социальной регуляции (моральной, религиозной и т.д.). Исходные фактические различия между людьми, рассмотренные и урегулированные с точки зрения правового принципа Р. (равной меры), предстают в итоге в виде неравенства в уже приобретенных правах (по их структуре, содержанию и объему прав различных субъектов права). Право как форма отношений по принципу Р. не уничтожает (и не может уничтожить) исходных различий между разными субъектами права, оно лишь формализует и упорядочивает эти различия по единому основанию, трансформирует неопределенные фактические различия в формально- определенные права свободных, независимых друг от друга, равных личностей. В этом, по существу, состоит специфика, смысл и ценность правовой формы опосредования, регуляции и упорядочения общественных отношений. Правовое Р. и правовое неравенство однопорядко- вые правовые определения. Принцип правового Р. различных субъектов предполагает, что приобретаемые ими реальные субъективные права будут неравны. Благодаря праву хаос различий преобразуется в правовой порядок равенств и неравенств, согласованных по единому основанию и общей норме. Признание различных индивидов формально равными означает признание их равной правоспособности, возможности приобрести те или иные права на соответствующие блага, конкретные объекты и т.д. Формальное право - это лишь способность, абстрактная возможность приобрести, в согласии с общим масштабом и равной мерой правовой регуляции, свое, индивидуально-определенное право на данный объект. Различие в приобретенных правах у разных лиц является необходимым результатом именно соблюдения, а не нарушения принципа формального (правового) Р. этих лиц, не нарушает и не отменяет принципа формального (правового) Р. Для всех, чьи отношения опосредуются правовой формой, право выступает как всеобщая форма, как общезначимый и равный для всех этих лиц (различных по своему фактическому, физическому, умственному, имущественному положению и т.д.) одинаковый масштаб и мера. Само Р. состоит в том, что поведение и положение субъектов данного общего круга отношений и явлений подпадают под действие единого для всех закона, единой (общей, равной) меры. Лит.: Нерсесянц В.С. Право и закон. Из истории правовых учений. М, 1983; Его же. Право - математика свободы. М, 1996; Его же. Ценность права как триединства свободы, равенства и справедливости / / Проблемы ценностного подхода в праве: традиции и обновление. М., 1996. В.С. Нерсесянц

Получив общее представление о равенствах в математике , можно переходить к более детальному изучению этого вопроса. В этой статье мы, во-первых, разъясним, что такое числовые равенства, а, во-вторых, изучим .

Навигация по странице.

Что такое числовое равенство?

Знакомство с числовыми равенствами начинается на самом начальном этапе изучения математики в школе. Обычно это происходит в 1 классе сразу после того, как становятся известными первые числа от 1 до 9 и после того, как обретает смысл фраза «столько же». Тогда то и появляются первые числовые равенства, например, 1=1 , 3=3 и т.п., которые на этом этапе обычно называют просто равенствами без уточняющего определения «числовые».

Равенствам указанного вида на этом этапе придается количественный или порядковый смысл, который вкладывается в . К примеру, числовое равенство 3=3 отвечало картинке, на которой изображены две ветки дерева, на каждой из которых сидят по 3 птицы. Или когда в двух очередях третьими по порядку стоят наши товарищи Петя и Коля.

После изучения арифметических действий, появляются более разнообразные записи числовых равенств, например, 3+1=4 , 7−2=5 , 3·2=6 , 8:4=2 и т.п. Дальше начинают встречаться числовые равенства еще более интересного вида, содержащие в своих частях различные , к примеру, (2+1)+3=2+(1+3) , 4·(4−(1+2))+12:4−1=4·1+3−1 и тому подобные. Дальше происходит знакомство с другими видами чисел, и числовые равенства приобретают все более и более разнообразный вид.

Итак, достаточно ходить вокруг да около, пора уже дать определение числового равенства:

Определение.

Числовое равенство – это равенство, в обеих частях которого находятся числа и/или числовые выражения.

Свойства числовых равенств

Принципы работы с числовыми равенствами определяются их свойствами. А на свойствах числовых равенств в математике завязано очень многое: от свойств решения уравнений и некоторых методов решения систем уравнений до правил работы с формулами, связывающими различные величины. Этим объясняется необходимость подробного изучения свойства числовых равенств.

Свойства числовых равенств полностью согласуются с тем, как определены действия с числами, а также находятся в согласии с определением равных чисел через разность : число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность a−b равна нулю. Ниже при описании каждого свойства мы будем прослеживать эту связь.

Основные свойства числовых равенств

Обзор свойств числовых равенств стоит начать с трех основных свойств, характерных всем без исключения равенствам. Итак, основные свойства числовых равенств это:

свойство рефлексивности: a=a ;
свойство симметричности: если a=b , то b=a ;
и свойство транзитивности: если a=b и b=c , то a=c ,

где a , b и c – произвольные числа.

Свойство рефлексивности числовых равенств относится к тому факту, что число равно самому себе. Например, 5=5 , −2=−2 , и т.п.

Несложно показать, что для любого числа a справедливо равенство a−a=0 . Действительно, разность a−a можно переписать в виде суммы a+(−a) , а из свойств сложения чисел мы знаем, что для любого числа a существует единственное −a , и сумма противоположных чисел равна нулю.

Свойство симметричности числовых равенств утверждает, что если число a равно числу b , то число b равно числу a . Например, если 2 3 =8 (смотрите ), то 8=2 3 .

Обоснуем это свойство через разность чисел. Условию a=b отвечает равенство a−b=0 . Покажем, что b−a=0 . Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус, позволяет переписать разность b−a как −(a−b) , она в свою очередь равна −0 , а число, противоположное нулю, есть нуль. Следовательно, b−a=0 , откуда следует, что b=a .

Свойство транзитивности числовых равенств утверждает равенство двух чисел, когда они оба равны третьему числу. Например, из равенств (смотрите ) и 4=2 2 следует, что .

Это свойство также согласуется с определением равных чисел через разность и свойствами действий с числами. Действительно, равенствам a=b и b=c отвечают равенства a−b=0 и b−c=0 . Покажем, что a−c=0 , откуда будет следовать равенство чисел a и c . Так как прибавление нуля не изменяет число, то a−c можно переписать как a+0−c . Нуль заменим суммой противоположных чисел −b и b , при этом последнее выражение примет вид a+(−b+b)−c . Теперь можно выполнить группировку слагаемых следующим образом: (a−b)+(b−c) . А разности в скобках есть нули, следовательно, и сумма (a−b)+(b−c) равна нулю. Этим доказано, что при условии a−b=0 и b−c=0 справедливо равенство a−c=0 , откуда a=c .

Другие важные свойства

Из основных свойств числовых равенств, разобранных в предыдущем пункте, вытекает еще ряд свойств, имеющих ощутимую практическую ценность. Давайте разберем их.

Начнем с такого свойства: если к обеим частям верного числового равенства прибавить (или вычесть) одно и то же число, то получится верное числовое равенство. С помощью букв оно может быть записано так: если a=b , где a и b – некоторые числа, то a+c=b+c для любого числа c .

Для обоснования составим разность (a+c)−(b+c) . Ее можно преобразовать к виду (a−b)+(c−c) . Так как a=b по условию, то a−b=0 , и c−c=0 , поэтому (a−b)+(c−c)=0+0=0 . Этим доказано, что (a+c)−(b+c)=0 , следовательно, a+c=b+c .

Идем дальше: если обе части верного числового равенства умножить на любое число или разделить на отличное от нуля число, то получится верное числовое равенство. То есть, если a=b , то a·c=b·c для любого числа c , и если c отличное от нуля число, то и a:c=b:c .

Действительно, a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0 , откуда следует равенство произведений a·c и b·c . А деление на отличное от нуля число c можно рассматривать как умножение на 1/c .

Из разобранного свойства числовых равенств вытекает одно полезное следствие: если a и b отличные от нуля и равные числа, то обратные им числа тоже равны. То есть, если a≠0 , b≠0 и a=b , то 1/a=1/b . Последнее равенство легко доказывается: для этого достаточно обе части исходного равенства a=b разделить на отличное от нуля число, равное произведению a·b .

И остановимся еще на двух свойствах, позволяющих складывать и умножать соответствующие части верных числовых равенств.

Если почленно сложить верные числовые равенства, то получится верное равенство. То есть, если a=b и c=d , то a+c=b+d для любых чисел a , b , c и d .

Обоснуем это свойство числовых равенств, отталкиваясь от уже известных нам свойств. Известно, что к обеим частям верного равенства мы можем прибавить любое число. В равенстве a=b прибавим число c , а в равенстве c+d прибавим число b , в результате получим верные числовые равенства a+c=b+c и c+b=d+b , последнее из которых перепишем как b+c=b+d . Из равенств a+c=b+c и b+c=b+d по свойству транзитивности следует равенство a+c=b+d , которое и требовалось доказать.

Заметим, что можно почленно складывать не только два верных числовых равенства, но и три, и четыре, и любое конечное их число.

Завершаем обзор свойств числовых равенств следующим свойством: если почленно перемножить два верных числовых равенства, то получится верное равенство. Сформулируем его формально: если a=b и c=d , то a·c=b·d .

Доказательство озвученного свойства похоже на доказательство предыдущего. Мы можем умножить обе части равенства на любое число, умножим a=b на c , а c=d на b , получаем верные числовые равенства a·c=b·c и c·b=d·b , последнее из которых перепишем в виде b·c=b·d . Тогда по свойству транзитивности из равенств a·c=b·c и b·c=b·d следует доказываемое равенство a·c=b·d .

Заметим, что озвученное свойство справедливо для почленного умножения трех и большего числа верных числовых равенств. Из этого утверждения следует, что если a=b , то a n =b n для любых чисел a и b , и любого натурального числа n .

В заключение этой статьи запишем все разобранные свойства числовых равенств в таблицу:

Список литературы.

Моро М. И. . Математика. Учеб. для 1 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 1. (Первое полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова.- 6-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 112 с.: ил.+Прил. (2 отд. л. ил.). - ISBN 5-09-014951-8.
Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.

На данном уроке вы вместе с лягушкой познакомитесь с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство», а также со знаками сравнения. На веселых и интересных примерах научитесь сравнивать группы фигур с помощью составления пар и сравнивать числа с помощью числового луча.

Тема: Знакомство с основными понятиями в математике

Урок: Равенство и неравенство

На данном уроке мы познакомимся с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство» .

Попробуйте ответить на вопрос:

У стены стоят кадушки,

В каждой ровно по лягушке.

Если б было пять кадушек,

Сколько б было в них лягушек? (рис. 1)

Рис. 1

В стихотворении говорится, что кадушек было 5, в каждой кадушке по 1 лягушке, никто не остался без пары, значит число лягушек равно числу кадушек.

Обозначим кадушки буквой К, а лягушек - буквой Л.

Запишем равенство: К = Л. (рис. 2)

Рис. 2

Сравните по количеству две группы фигур. Фигур много, они разного размера, расположены без порядка. (рис. 3)

Рис. 3

Составим из этих фигур пары. Каждый квадрат соединим с треугольником. (рис. 4)

Рис. 4

Два квадрата остались без пары. Значит, количество квадратов не равно количеству треугольников. Обозначим квадраты буквой К, а треугольники - буквой Т.

Запишем неравенство: К ≠ Т. (рис. 5)

Рис. 5

Вывод : сравнивать количество элементов в двух группах можно, составляя пары. Если всем элементам хватает пары, то соответствующие числа равны , в этом случае ставим между цифрами или буквами знак равно . Эта запись называется равенством . (рис. 6)

Рис. 6

Если не хватает пары, то есть остаются лишние предметы, то эти числа неравны . Ставим между числами или буквами знак неравно . Эта запись называется неравенством. (рис. 7)

Рис. 7

Оставшиеся без пары элементы показывают, какое из двух чисел больше и на сколько. (рис. 8)

Рис. 8

Способ сравнения групп фигур с помощью составления пар не всегда удобен и занимает много времени. Можно сравнивать числа с помощью числового луча. (рис. 9)

Рис. 9

Сравните данные числа с помощью числового луча и поставьте знак сравнения.

Нужно сравнить числа 2 и 5. Посмотрим на числовой луч. Число 2 находится ближе к 0, чем число 5, или говорят, число 2 на числовом луче левее, чем число 5. Значит, 2 не равно 5. Это неравенство.

Знак «≠» (не равно) лишь фиксирует неравенство чисел, но не указывает, какое из них больше, а какое - меньше.

Из двух чисел на числовом луче меньшее расположено левее, а большее - правее. (рис. 10)

Рис. 10

Можно данное неравенство записать по-другому, используя знак меньше « < » или знак больше « > » :

На числовом луче число 7 находится правее, чем число 4, следовательно:

7 ≠ 4 и 7 > 4

Числа 9 и 9 равны, поэтому ставим знак =, это равенство:

Сравните количество точек и число и поставьте соответствующий знак. (рис. 11)

Рис. 11

На первом рисунке нам необходимо поставить знак = или ≠ .

Сравниваем две точки и число 2, ставим между ними знак =. Это равенство.

Сравниваем одну точку и число 3, на числовом луче число 1 находится левее, чем число 3, ставим знак ≠.

Сравниваем четыре точки и 4. Между ними ставим знак =. Это равенство.

Сравниваем три точки и число 4. Три точки - это число 3. На числовом луче оно левее, ставим знак ≠. Это неравенство. (рис. 12)

Рис. 12

На втором рисунке между точками и числами надо поставить знаки = , <, >.

Сравним пять точек и число 5. Между ними ставим знак =. Это равенство.

Сравним три точки и число 3. Здесь тоже можно поставить знак =.

Сравним пять точек и число 6. На числовом луче число 5 левее, чем число 6. Ставим знак <. Это неравенство.

Сравним две точки и единицу, число 2 правее на числовом луче, чем число 1. Ставим знак >. Это неравенство. (рис. 13)

Рис. 13

Вставьте в окошко число, чтобы полученное равенство и неравенство стали верными.

Это неравенство. Посмотрим на числовой луч. Раз мы ищем число меньше, чем число 7, значит оно должно быть левее числа 7 на числовом луче. (рис. 14)

Рис. 14

В окошко можно вставить несколько чисел. Сюда подходят числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Любое из них можно подставить в окошко и получить несколько верных неравенства. Например, 5 < 7 или 2 < 7

На числовом луче найдём числа, которые будут меньше 5. (рис. 15)

Рис. 15

Это числа 4, 3, 2, 1, 0. Следовательно, любое из этих чисел можно подставить в окошко, мы получим несколько верных неравенств. Например, 5 >4, 5 >3

В можно подставить только одно число 8.

На данном уроке мы познакомились с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство», научились правильно расставлять знаки сравнения, потренировались сравнивать группы фигур с помощью составления пар и сравнивать числа с помощью числового луча, что поможет в дальнейшем изучении математики.

Список литературы

Александрова Л.А., Мордкович А.Г. Математика 1 класс. - М: Мнемозина, 2012.
Башмаков М.И., Нефедова М.Г. Математика. 1 класс. - М: Астрель, 2012.
Беденко М.В. Математика. 1 класс. - М7: Русское слово, 2012.

Igraem.pro ().
Slideshare.net ().
Iqsha.ru ().

Домашнее задание

1. Какие знаки сравнения вы знаете, в каких случаях они используются? Запишите знаки сравнения чисел.

2. Сравните количество предметов на рисунке и поставьте знак «<», «>» или «=».

3. Сравни числа, поставив знак «<», «>» или «=».