Как найти площадь четырехугольника с разными углами. Как найти площадь четырехугольника

I. Предисловие

Вот ведь незадача: проболев две недели, вы пришли в школу и узнали, что пропустили очень важную тему, задачи по которой будут на экзаменах в 9 классе - "Треугольники, четырехугольники и их площадь". Вот тут бы кинуться к учителю геометрии с вопросами: "Как найти площадь четырехугольника?" Но половина учеников боится подходить к учителям, чтобы их не сочли отстающими, а вторая половина встречает от учителей "помощь", похожую на "Посмотри в учебник, там все написано!" или "Не надо было пропускать уроки!" Но в учебнике вообще нет никакой информации по поводу правил нахождения площади треугольников и четырехугольников. А уроки были пропущены по уважительной причине, есть справка от врача. Но многие учителя только махнут на эти доводы рукой. Конечно, их можно понять: им не платят за дополнительное вбивание материала урока в головы ничего не понимающих учеников. Многие ученики бросают это бесполезное дело и через год проваливаются на экзамене, не добрав десяток баллов за задачу по нахождению площади треугольников и четырехугольников. И только некоторые ходят в библиотеки и к знакомым с вопросом: "Как найти площадь четырехугольника?" А разные люди и книги дают разные ответы, и получается большая путаница правил. Ниже я назову основные способы нахождения площадей треугольников и четырехугольников.

II. Четырехугольники

Начнем с четырехугольников. В школах и на экзаменах рассматриваются только выпуклые четырехугольники, так что поговорим о них. На среднем уровне образования изучают площади параллелограммов и трапеции. Параллелограммы бывают нескольких видов: прямоугольник, квадрат, ромб и произвольный параллелограмм, в котором соблюдаются только основные его признаки: стороны попарно параллельны и равны, сумма соседних углов 180 о. Но способы нахождения площадей у всех этих фигур разные. Рассмотрим каждую по отдельности.

1. Прямоугольник

S прямоугольника находится по формуле: S = а * b, где а - горизонтальная сторона, b - вертикальная сторона.*

2. Площадь квадратов

S квадрата находится по формуле: S = а * а, где a - сторона квадрата.

3. Площадь ромбов

S ромба находится по формуле: S = 0,5 * (d 1 * d 2), где d 1 - большая дианогональ,** d 2 - меньшая диагональ.

4. Площадь произвольного параллелограмма

S произвольного параллелограмма находится по формуле: S = a * h a , a - сторона параллелограмма, h a

Еще не все?

С параллелограммами мы закончили. "Надо выучить всего лишь это?" - облегченно спросите вы. Отвечаю: из параллелограммов - да, всего лишь это. Но еще остались трапеция и треугольники. Так что продолжаем.

III. Трапец ия

Площадь трапеции

S трапеции можно находить одной формулой, будь она обычной или равнобедренной: S = ((а + b) : 2) * h, где a, b - ee основания, h - ee высота. Это все, что касается трапеции. Теперь на вопрос: "Как найти площадь четырехугольника?" - вы можете не только ответить сами, но и просветить других. А теперь переходим к треугольникам.

IV. Треугольник

В геометрии для нахождения их площади выделили три формулы: для прямоугольного, равностороннего и произвольного треугольников.

1. Площадь треугольника

S произвольного треугольника вычисляется по формуле: S = 0,5а * h a, a - сторона треугольника, h a - высота, проведенная к этой стороне.

2. Площадь равносторонних треугольников

S равностороннего треугольника можно найти по формуле: S = 0,5a * h, где a - основание треугольника, h - высота этого треугольника.

3. Площадь прямоугольных треугольников

Площадь прямоугольных треугольников находится по формуле: S = (а * b) : 2, где а - 1-й катет, b - 2-й катет.

Заключение

Ну вот, это, по-моему, все. Про треугольники тоже немного учить надо, не правда ли? А теперь обозрите все, что я здесь написала. "Елки-палки, чтобы это выучить, месяц понадобится!" - наверное, восклицаете вы. А кто говорил, что всё учится быстро? Но зато, когда вы все это выучите, вам не будут страшны вопросы по теме "Как найти площадь четырехугольника" или "Площадь произвольного треугольника" на аттестации в 9 классе. Так что, если вы хотите вообще хоть куда-нибудь поступить, учите, учитесь и будьте учеными!

___________________________________

Примечание

* - a и b не обязательно должны быть на поставленных мною местах. При решении задач можно вертикальную сторону назвать a , а горизонтальную - b;

** - диагонали можно поменять местами и изменить их названия так же, как и в примечании. *

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти можно найти по сторонам, легко вычисляется по диагоналям. В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними. Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:

Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.

Пусть дан четырехугольник с двумя диагоналями d1 =5 см;d2 =4см. Острый угол между ними равен α = 30°. Формула площади четырехугольника через диагонали легко применяется для известных условий. Подставим данные:

На примере расчета площади четырехугольника через диагонали понимаем, что формула очень похожа на расчет .

Площадь четырехугольника по сторонам

Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам. Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры. Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон. Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:
Зная стороны, выводим формулу. Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:

Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через стороны. Дан произвольный четырехугольник со сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для начала найдем полупериметр:

используем найденное значение для расчета площади:

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY .

Дан квадрат ABCD , расположенный в системе координат XY . Найти площадь фигуры, если координаты вершин A (2;10); B (10;8); C (8;0); D (0;2).

Мы знаем, что все стороны фигуры равны, и формула площади квадрата находится по формуле:
Найдем одну из сторон, к примеру, AB :
Подставим значения в формулу:
Знаем, что все стороны одинаковые. Подставляем значение в формулу расчета площади:

Если на плоскости последовательно начертить несколько отрезков так, чтобы каждый следующий начинался в том месте, где закончился предыдущий, то получится ломаная линия. Эти отрезки называют звеньями, а места их пересечения — вершинами. Когда конец последнего отрезка пересечется с начальной точкой первого, то получится замкнутая ломаная линия, делящая плоскость на две части. Одна из них является конечной, а вторая бесконечной.

Простая замкнутая линия вместе с заключенной в ней частью плоскости (той, которая конечна) называют многоугольником. Отрезки являются сторонами, а образованные ими углы — вершинами. Количество сторон любого многоугольника равно числу его вершин. Фигура, которая имеет три стороны, называется треугольником, а четыре — четырехугольником. Многоугольник численно характеризуется такой величиной, как площадь, которая показывает размер фигуры. Как найти площадь четырехугольника? Этому учит раздел математики — геометрия.

Чтобы найти площадь четырехугольника, нужно знать к какому типу он относится - выпуклому или невыпуклому? весь лежит относительно прямой (а она обязательно содержит какую-либо из его сторон) по одну сторону. Кроме того, есть и такие виды четырехугольников, как параллелограмм с попарно равными и параллельными противоположными сторонами (разновидности его: прямоугольник с прямыми углами, ромб с равными сторонами, квадрат со всеми прямыми углами и четырьмя равными сторонами), трапеция с двумя параллельными противоположными сторонами и дельтоид с двумя парами смежных сторон, которые равны.

Площади любого многоугольника находят, применяя общий метод, который заключается в том, чтобы разбить его на треугольники, для каждого вычислить площадь произвольного треугольника и сложить полученные результаты. Любой выпуклый четырехугольник делится на два треугольника, невыпуклый — на два или три его в этом случае может складываться из суммы и разности результатов. Площадь любого треугольника вычисляют как половину произведения основания (a) на высоту (ħ), проведенную к основанию. Формула, которая применяется в этом случае для вычисления, записывается как: S = ½ . a . ħ.

Как найти площадь четырехугольника, например, параллелограмма? Нужно знать длину основания (a), длину боковой стороны (ƀ) и найти синус угла α, образованного основанием и боковой стороной (sinα), формула для расчета будет выглядеть: S = a . ƀ . sinα. Так как синус угла α есть произведение основания параллелограмма на его высоту (ħ = ƀ) — линию перпендикулярная основанию, то его площадь вычисляют, умножив на высоту его основание: S = a . ħ. Для расчета площади ромба и прямоугольника также подходит эта формула. Так как у прямоугольника боковая сторона ƀ совпадает с высотой ħ, то его площадь вычисляют по формуле S = a . ƀ. потому что a = ƀ, будет равняться квадрату его стороны: S = a . a = a². вычисляется как половина суммы его сторон, умноженная на высоту (она проводится к основанию трапеции перпендикулярно): S = ½ . (a + ƀ) . ħ.

Как найти площадь четырехугольника, если неизвестны длины его сторон, но известны его диагонали (e) и (f), а также синус угла α? В этом случай площадь вычисляют, как половину произведения его диагоналей (линии, которые соединяют вершины многоугольника), умноженное на синус угла α. Формула может быть записана в таком виде: S = ½ . (e . f) . sinα. В частности в этом случае будет равняться половине произведения диагоналей (линии, соединяющие противоположные углы ромба): S = ½ . (e . f).

Как найти площадь четырехугольника, который не является параллелограммом или трапецией, его обычно принято называть произвольный четырехугольник. Площадь такой фигуры выражают через его полупериметр (Ρ — сумма двух сторон с общей вершиной), стороны a, ƀ, c, d и сумму двух противоположных углов (α + β): S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ - c) . (Ρ - d) - a . ƀ . c . d . cos² ½ (α + β)].

Если а φ = 180о, то для расчета его площади используют формулу Брахмагупты (индийский астроном и математик, живший в 6—7 веках нашей эры): S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ - c) . (Ρ - d)]. Если четырехугольник описан окружностью, то (a + c = ƀ + d), а его площадь вычисляют: S = √[ a . ƀ . c . d] . sin ½ (α + β). Если четырехугольник одновременно является описанным одной окружностью и вписанным в другую окружность, то для вычисления площади используют следующую формулу: S = √.

В школьных математических заданиях часто требуется определить площадь четырёхугольника. Все довольно просто, если задан частный случай фигуры - квадрат, ромб, прямоугольник, трапеция, параллелограмм, ромбоид. В случае же произвольного четырёхугольника все несколько сложнее, но также вполне доступно для среднего школьника. Ниже мы изучим различные методы расчётов площади произвольных четырёхугольников, запишем формулы и рассмотрим различные вспомогательные примеры.

В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений .

Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами

Узнаем как найти площадь четырёхугольника когда даны его диагонали и образуемый при их пересечении острый угол . Тогда площадь четырёхугольника будет вычисляться по формуле: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).

Рассмотрим пример . Пусть d1 = 15 сантиметров, d2 = 12 сантиметров, и угол между ними 30 градусов. Определим S. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 сантиметров квадратных.

Теперь пусть даны стороны и противолежащие углы четырёхугольника .

Пусть a, b, c, d известные стороны многоугольника; p — его полупериметр. Корень квадратный выражения условимся обозначать как rad (от латинского radical). Формула площади четырёхугольника будет находиться по формуле: S = rad((p − a) (p − b) (p − c) (p − d) − a b c d ⋅ c o s^2((a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d).

На первый взгляд, формула кажется очень сложной и вычурной. Однако ничего сложного здесь нет, что мы и докажем, рассмотрев пример. Пусть данные нашего условия следующие: a = 18 миллиметров, b = 23 миллиметра, c = 22 миллиметра, d = 17 миллиметров. Противолежащие углы будут равны (a,b) = 0,5 градуса и (c,d) = 1,5 градуса. Для начала находим полупериметр: p = 1/2*(18 + 23 + 22 + 17) = 1/2*80 = 40 миллиметров.

Теперь найдём квадрат косинуса полусуммы противолежащих углов: c o s^2((a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.

Подставим полученные данные в нашу формулу, получим: S = rad((40 — 18)*(40 — 23)*(40 — 22)*(40 — 17) — 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 — 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 — 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 миллиметра квадратного.

Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей . При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным.

Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид:

S = ((a + b+ c + d)/2)*r

Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим:

S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.

Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой:

S = rad((p − a)*(p − b)*(p − c)*(p − d), где p равно половине длины периметра. Пускай в нашем случае стороны имеют следующие значения a = 26 дециметров, b = 35 дециметров, c = 39 дециметров, d = 30 дециметров.

Первым делом определим полупериметр , p = (26 + 35 + 39 + 30)/2 = 65 дециметров. Подставим найденное значение в нашу формулу. Получим:

S = rad((65 — 26)*(65 — 35)*(65 — 39)*(65 — 30)) = rad(39*30*26*35) = 1032 (округлённо) дециметров квадратных.

Заключение

Внимательно изучив все вышеизложенное, можно сделать вывод - определение площади произвольного четырёхугольника с разными сторонами сложнее, чем у них же специальных видов — квадрата, прямоугольника, ромба, трапеции, параллелограмма. Однако внимательно изучив все приведённые методы, можно с лёгкостью решать задачи необходимые для школьников. Сведём все наши формулы в одну таблицу:

1. S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2) ;
2. S = rad((p − a)*(p − b)*(p − c)*(p − d) − a*b*c*d*c o s^2((a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d) ;
3. S = ((a + b+ c + d)/2)*r

S = rad((p − a)*(p − b)*(p − c)*(p − d), где p равно половине периметра ​.

Таким образом , реально сложной является только формула номер 2, но и она вполне доступна, при условии хорошего понимания данных в статье определений и соглашений.

Видео

Разобраться в этой теме вам поможет видео.

​

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.