Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200...), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто
2. Производная независимой переменной. Чаще всего "икса". Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго
3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.
4. Производная переменной в степени -1
5. Производная квадратного корня
6. Производная синуса
7. Производная косинуса
8. Производная тангенса
9. Производная котангенса
10. Производная арксинуса
11. Производная арккосинуса
12. Производная арктангенса
13. Производная арккотангенса
14. Производная натурального логарифма
15. Производная логарифмической функции
16. Производная экспоненты
17. Производная показательной функции

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные - в статье "Производная произведения и частного функций " .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u "v , в котором u - число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка - механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями ".

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие "Производные простых тригонометрических функций".

Пошаговые примеры - как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями" .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок "Производные простых тригонометрических функций" .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем.

ции, в силу чего равенство (3.10) играет большую роль как в теоретических исследованиях, так и в приближенных вычислениях.

Операции нахождения производной и дифференциала функции называются дифференцированием этой функции. Общее название обеих операций объясняется их очевидной зависимостью. В силу формулы (3.8) дифференциал функции получается простым умножением ее произ-

носительную погрешности, которые возникают при замене приращения функции ее дифференциалом.

Найдём приращение и дифференциал функции

y = 3(x+ x) 2 + (x+ x) − 3 x2 − x= 6 x x+ 3(x) 2 + x= (6 x+ 1) x+ (x) 2 .

Тогда dy = (6 x + 1) x . Вычислимy иdy в точкеx = 1 , еслиx = 0 , 1 y = 7 0 , 1 + 3 0 , 01 = 0 , 73 ; dy = 7 0 , 1 = 0 , 7 .

Абсолютная погрешность y − dy = 0 , 73 − 0 , 7 = 0 , 03 , а относительная погрешность

y = 0 0 , , 03 73 ≈0 ,04 .

3.5. Производная суммы, произведения и частного функций

Напомним известные из курса средней школы правила дифференцирования, которые позволяют в некоторых случаях находить производные функций, не прибегая непосредственно к определению.

Теорема 3.3. Если функцииu = u (x ) иv = v (x )

в точке x , то в этой точке
				(u+ v)
				(uv )		U v+ v u;
					u v − v u				V =v (x ) ≠0 .

дифференцируемы

Умножив эти равенства почленно на dx , получим те же правила, записанные в терминах дифференциалов

d (u+ v) = du+ dv;
d (uv) = udv+ vdu;

					udv − vdu

Доказательство. Так как для всех частей теоремы доказательство проводится совершенно единообразно, докажем одну из них, например, вторую.

Обозначим y = uv . Придадимx приращениеx , и пусть

u ,Δ v ,Δ y будут приращения функцийu , v , y в точке									x , соответствую-
щие приращению		x , аргумента. Тогда
y = (u+ u)(v+ v) − uv= v u+ u v+ u v.
Учитывая, что u	и v - значения функций в точке							x не зависят от при-
ращения аргумента		x , в силу определения (3.1) и свойств предельного
перехода (см. формулы (2.14),(2.15) находим
y ′ =lim		V lim		U lim	v + lim
x→ 0		x→ 0		x→ 0		x→ 0		x→ 0
Функция v = v (x )	в рассматриваемой точке					x по условию теоремы диф-

ференцируема, а значит, и непрерывна (теорема 3.2), следовательно

	v = 0 (определение непрерывности 2.17) и предыдущее равенство
x→ 0					y ′ = vu ′+ uv ′+ u ′ 0 . Подставив сюда
дает выражение для производной:
y = uv , придем к формуле (3.12).							y = C (здесь
	Производная и дифференциал постоянной функции
С -	постоянное число при всех x X )					равны нулю.
	x X C
					dC = C dx= 0 .
Действительно, в любых точках множества X такая функция имеет одно
и то же значение, в силу чего для нее						y ≡ 0 при любых	x иx таких
	x , x + x X . Отсюда,			в силу определения производной и диффе-
ренциала, следуют формулы (3.17).
	Формула (3.11) обобщается на случай любого конечного числа сла-
гаемых функций.
	При u = C , где	C − const , формулы (3.12) и (3.15),					в силу (3.17),
				d (Cv ) = Cdv . То есть, постоянный множи-
дают равенства: (Cv )

тель можно выносить за знаки производной и дифференциала.

Для случая трех сомножителей, последовательно применяя формулу

(3.12), находим

(uvw) ′ = ((uv) w) ′ = (uv) ′ w+ (uv) w′+ (u′ v+ uv′ ) w+ uvw′ = = u ′ vw + uv ′ w + uvw ′.

Аналогичное правило справедливо при дифференцировании произведения любого числа сомножителей.

В следующих пунктах будут получены производные основных элементарных функций.

3.6. Производные от тригонометрических функций

Найдем производные от тригонометрических функций, а именно

		Cosx						= − sinx
	(sin x )					(cos x )
	(tgx) ′ =					(ctgx) ′
			cos2 x						sin2 x

Получим первую из них. Приращение функции y = sin x в точкеx , со-

	ответствующее приращение				аргумента, будет
	y = sin(x+		x )− sinx = 2sin				x cos(x +		x ) .
	Учитывая, что sin 2 x		2 x при
						x → 0	и используя определение произ-
	водной, находим				2sin 2 x cos(x +			2x )
	y ′ =lim		y = lim
		x→ 0		x→ 0
		2 2 x cos(x +		2x )		Limcos(x +		x )= cosx .
	x→ 0					x→ 0

Вторая формула доказывается аналогично. Третья и четвертая формулы получаются, если тангенс и котангенс выразить через синус и косинус и воспользоваться формулой (3.13).

3.7. Дифференцирование логарифмических функций

	Имеют место формулы
					loga e
		(loga x )				2. (lnx )

Докажем первую из них. Приращение функции y = log a x в точкеx , со-

ответствующее приращению x		аргумента, будет
y = loga (x + x )− loga x = loga		x + x	Loga (1+	x )= loga e ln(1+	x ) ;

(мы воспользовались здесь тождеством log a A = log a e ln A ).

Так как ln(1 + x x ) x x		x → 0		То по определению производной
получаем:	y = loga e lim								x )=
y ′ =lim							ln(1+
x→ 0			x→ 0
Loga e lim								loga e .
	x→ 0

3.8. Дифференцирование сложной функции.

Производные от степенной и показательной функций

Пусть сложная функция y аргументаx задана формуламиy = f (u ) ,

u = ϕ (x ) (см. пункт 1.4.3)

Теорема 3.4 (о производной сложной функции). Если функции

y = f (u ) , u = ϕ (x ) дифференцируемы		в соответствующих	друг другу
точках u иx , то сложная функция		f [ ϕ (x )] тоже дифференцируема в
	x , причем	y ′x =y ′u u ′x .
	y ′ =f ′(u ) u ′или
Доказательство. Независимой переменнойx придадим прираще-
	x , тогда функцияu = ϕ (x ) получит приращениеu ,		что вызовет

приращение y функцииy = f (u ) . Так как функцияy = f (u ) по условию теоремы дифференцируема в рассматриваемой точкеu , то ее приращение в этой точке можно представить в виде (см.определение 3.4)

			u , гдеα (		u ) → o приu → 0 .
y = f(u) u+ α (u)
				f (u)	x + α (u )
Функция u = ϕ (x )			дифференцируема, а значит и непрерывна в точ-
ке x , соответствующей рассмотренной выше точкеu							(теорема 3.2).
Следовательно,				непрерывности		lim u = 0,	а поэтому
						x→ 0
lim α (u )= 0.
x→ 0
Учитывая это,		переходе в			последнем	равенстве к	пределу при

x → 0 , придем к (3.18).

Умножив равенство (3.18) почленно на dx , получим выражение для дифференциала сложной функции

dy = f′ (u) du.

Замечание. Дифференциал функцииy = f (u ) имел бы точно такой же вид и в том случае, если бы аргументu был не функцией, а независимой переменной. В этом состоит так называемоесвойство инвариантности (независимости) формы дифференциала по отношению к аргументу. Следует иметь в виду, что еслиu - независимая переменная, тоdu = u есть ее произвольное приращение, если жеu - промежуточный аргумент (то есть функция), тоdu - дифференциал этой функции, то есть величина, не совпадающая с ее приращениемu .

С помощью последней теоремы легко получить формулы дифференци-

рования степенной и показательной функции:

α− 1

2). (a

ln a ;

3). (e

1). (x

) = α x

Действительно,

предполагая

x > 0 ,

прологарифмируем обе части

формулы y = x α ; ln y = α ln x . Здесьy

Это функция от x , в силу чего

левая часть последнего равенства является сложной функцией отx . Продифференцировав обе части последнего равенства поx (левую - как сложную функцию), получим

1 y y ′ =a 1 x ,

y ′ =ay x =ax x a =ax a − 1 .

Легко показать, что этот результат верен и при x < 0 , если только при

этом x α имеет смысл. Ранее был получен результат для случаяα = n . Аналогично получается и вторая формула, из которой в частном случае приa = e вытекает последняя формула.

Замечание. Прием предварительного логарифмирования, который был использован при получении формулы дифференцирования степенной функции, имеет самостоятельное значение и называется в совокупности с последующим нахождением производной логарифма функции

lnx ) "= cosx lnx + sin x x .

Следовательно,

y ′ = x sin x (cosx lnx + sin x x )

Замечание. Правило дифференцирования сложной функции может быть применено и для отыскания производной функции, заданной неявно.

Действительно, если зависимость между x иy задана в формеF (x , y ) = 0 и это уравнение разрешимо относительноy , то производнуюy ′ можно найти из уравнения

					(F (x , y (x ))= 0.
Пример 3.4.								y = f (x ) , заданной не-
		Найти производную функции
явно уравнением		arctg(y) − y+ x= 0 .				y функцией отx :
Дифференцируем равенство по x , считая
	y′						1 +y
			− y ′+ 1= 0, откуда			y ′ =
	1 +y 2

3.9. Дифференцирование обратной функции.

Дифференцирование обратных тригонометрических функций

Пусть даны две взаимно обратные функции y = f (x ) иx = ϕ (y )

(см.п. 1.4.8).

Теорема 3.5 (о производной обратной функции). Если функции

y = f(x) ,

x = ϕ (y)

возрастают (убывают) и в точке x функцияf (x )

дифференцируема,

f ′ (x) ≠ 0 , то в соответствующей точке

функция ϕ (y ) тоже дифференцируема (поy ), причем

Доказательство.

зададим приращение

x = ϕ (y)

возрастает

(убывает)

x = ϕ (y + y )− ϕ (y )≠ 0и

В условиях теоремы

x = ϕ (y)

x → 0

y → 0

непрерывна (теорема 3.2), в силу чего

Сформулируем необходимое условие существования производной.

Теорема.

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна.

Заметим, что обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной.

Например, функция непрерывна при
, но не дифференцируема для этого значения, так как в точке
графика функции
не существует касательной.

Таким образом, непрерывность функции необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости функции.

4.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Нахождение производной функции непосредственно по определению (п.4.1) часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Теорема.

Если функции
и
дифференцируемы в точкех , то в этой точке дифференцируемы функции
,
,(при условии, что
) и при этом

;

;

,
.

Следствия

1.
, где
.

2. Если
, то.

3.
, где
.

4.6. Производная сложной функции

Пусть
и
, тогда
− сложная функция с промежуточным аргументомu и независимым аргументом х .

Теорема.

Если функции
имеет производную
в точке х , а функция
имеет производную
в соответствующей точке
, то сложная функция
в точкех имеет производную
, которая находится по формуле:

или
=.

Кратко это можно сформулировать так (правило цепочки ): производная сложной функции равна произведению производных от функций ее составляющих .

Данное правило распространяется на сложные функции при любом (определенном) числе промежуточных аргументов.

Так, если
,
,
,
, то

4.7. Производная обратной функции

Если
и
− взаимо-обратные дифференцируемые функции и
, то

или
,

т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции .

Записывают:

или .

Пример

Найти производную функции
.

,
, тогда
,
. Имеем
.

.

Итак,
.

4.8. Таблица производных

Для удобства и упрощения процесса дифференцирования формулы производных основных элементарных функций и правила дифференцирования сведены в таблицу.

дифференцирования		дифференцирования
			,
	,
	, .
	,
	, если ,
	, если ,

4.9. Примеры отыскания производных сложных функций

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Покажем на примерах, как находить производные от таких функций.

1.
,k − число.

;

2.
.

;

3.
.

;

4.
.

;

.

5.
.

;

6.
.

;

;

.

7.
.

.

8.
.

9.
.

10.
.

.

Для случая дифференцирования сложных функций, таблицу производных можно переписать в более общем виде.

Формулы дифференцирования основных элементарных функций от промежуточного аргумента (
)

4.10. Производная функции, заданной параметрически

Зависимость между переменными х и y может быть задана параметрически в виде двух уравнений:

где t − вспомогательная переменная (параметр).

Функцию
, определяемую этими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию
, где
.

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

.

Так как
, то

.

Примеры

Найти производные функций:

1.

.

2.

.

4.11 Производная неявной функции

Если неявная функция задана уравнением
, то для нахождения производной оту по х надо продифференцировать это уравнение по х , рассматривая при этом у как функцию от х , и затем, полученное уравнение разрешить относительно , выразивчерезх и у .

Пример

Найти производную функции:
.

;

.

4.12. Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев, когда приходится дифференцировать произведение многих сомножителей или частное, в котором и числитель и знаменатель состоят из нескольких сомножителей, а также при нахождении производных от показательно-степенной функции
, применяютлогарифмическое дифференцирование .

Метод логарифмического дифференцирования заключается в том, что от заданной функции у сначала находится натуральный логарифм, а затем результат дифференцируется:

.

Из полученного равенства определяется :

.

Примеры

Найти производные функций:

1.
.

;

;

2.
.

;

;

;

.

4.13. Производные высших порядков

Производная
от функции
называетсяпроизводной первого порядка (или первой производной) и представляет собой функцию от х .

Производную от первой производной называют производной второго порядка или второй производной и обозначают
,
,.

Итак, по определению

.

Вторая производная играет роль ускорения изменения функции .

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается
,
,.

Таким образом,

.

Производной n -го порядка (или n -й производной) называется производная от производной (n -1) порядка:

.

Число n , указывающее порядок производной, заключают в скобки, чтобы не путать с показателем степени.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков .

Порядок производной, начиная с четвертого, обозначают римскими цифрами или арабскими цифрами в скобках, например, или
и т.д.

Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx :

Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f (x ) = x 2 + (2x + 3) · e x · sin x . Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.

Производные элементарных функций

Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Итак, производные элементарных функций:

Название	Функция	Производная
Константа	f (x ) = C , C ∈ R	0 (да-да, ноль!)
Степень с рациональным показателем	f (x ) = x n	n · x n − 1
Синус	f (x ) = sin x	cos x
Косинус	f (x ) = cos x	− sin x (минус синус)
Тангенс	f (x ) = tg x	1/cos 2 x
Котангенс	f (x ) = ctg x	− 1/sin 2 x
Натуральный логарифм	f (x ) = ln x	1/x
Произвольный логарифм	f (x ) = log a x	1/(x · ln a )
Показательная функция	f (x ) = e x	e x (ничего не изменилось)

Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:

(C · f )’ = C · f ’.

В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:

(2x 3)’ = 2 · (x 3)’ = 2 · 3x 2 = 6x 2 .

Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

Производная суммы и разности

Пусть даны функции f (x ) и g (x ), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

1. (f + g )’ = f ’ + g ’
2. (f − g )’ = f ’ − g ’

Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h )’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g , и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

f (x ) = x 2 + sin x; g (x ) = x 4 + 2x 2 − 3.

Функция f (x ) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:

f ’(x ) = (x 2 + sin x )’ = (x 2)’ + (sin x )’ = 2x + cos x;

Аналогично рассуждаем для функции g (x ). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):

g ’(x ) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · (x 2 + 1).

Ответ:
f ’(x ) = 2x + cos x;
g ’(x ) = 4x · (x 2 + 1).

Производная произведения

Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike ">равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

(f · g ) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

Задача. Найти производные функций: f (x ) = x 3 · cos x; g (x ) = (x 2 + 7x − 7) · e x .

Функция f (x ) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

f ’(x ) = (x 3 · cos x )’ = (x 3)’ · cos x + x 3 · (cos x )’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x )

У функции g (x ) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g (x ) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

g ’(x ) = ((x 2 + 7x − 7) · e x )’ = (x 2 + 7x − 7)’ · e x + (x 2 + 7x − 7) · (e x )’ = (2x + 7) · e x + (x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x ) · e x = x (x + 9) · e x .

Ответ:
f ’(x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x );
g ’(x ) = x (x + 9) · e x .

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

Если есть две функции f (x ) и g (x ), причем g (x ) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h (x ) = f (x )/g (x ). Для такой функции тоже можно найти производную:

Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g 2 ? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.

Задача. Найти производные функций:

В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:

По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:

Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f (x ) = sin x и заменить переменную x , скажем, на x 2 + ln x . Получится f (x ) = sin (x 2 + ln x ) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.

Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:

f ’(x ) = f ’(t ) · t ’, если x заменяется на t (x ).

Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.

Задача. Найти производные функций: f (x ) = e 2x + 3 ; g (x ) = sin (x 2 + ln x )

Заметим, что если в функции f (x ) вместо выражения 2x + 3 будет просто x , то получится элементарная функция f (x ) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t , f (x ) = f (t ) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:

f ’(x ) = f ’(t ) · t ’ = (e t )’ · t ’ = e t · t ’

А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:

f ’(x ) = e t · t ’ = e 2x + 3 · (2x + 3)’ = e 2x + 3 · 2 = 2 · e 2x + 3

Теперь разберемся с функцией g (x ). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t . Имеем:

g ’(x ) = g ’(t ) · t ’ = (sin t )’ · t ’ = cos t · t ’

Обратная замена: t = x 2 + ln x . Тогда:

g ’(x ) = cos (x 2 + ln x ) · (x 2 + ln x )’ = cos (x 2 + ln x ) · (2x + 1/x ).

Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.

Ответ:
f ’(x ) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x ) = (2x + 1/x ) · cos (x 2 + ln x ).

Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.

Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:

(x n )’ = n · x n − 1

Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x 0,5 . А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

Задача. Найти производную функции:

Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:

f (x ) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Теперь делаем замену: пусть x 2 + 8x − 7 = t . Находим производную по формуле:

f ’(x ) = f ’(t ) · t ’ = (t 0,5)’ · t ’ = 0,5 · t −0,5 · t ’.

Делаем обратную замену: t = x 2 + 8x − 7. Имеем:

f ’(x ) = 0,5 · (x 2 + 8x − 7) −0,5 · (x 2 + 8x − 7)’ = 0,5 · (2x + 8) · (x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Наконец, возвращаемся к корням: