Определение обратной тригонометрической функции. Формирование понятий обратных тригонометрических функций у учащихся на уроках алгебры. Графики обратных тригонометрических функций

В ряде задач математики и её приложений требуется по известному значению тригонометрической функции найти соответствующее значение угла, выраженное в градусной или в радианной мере. Известно, что одному и тому же значению синуса соответствует бесконечное множество углов, например, если $\sin α=1/2,$ то угол $α$ может быть равен и $30°$ и $150°,$ или в радианной мере $π/6$ и $5π/6,$ и любому из углов, который получается из этих прибавлением слагаемого вида $360°⋅k,$ или соответственно $2πk,$ где $k$ - любое целое число. Это становится ясным и из рассмотрения графика функции $y=\sin x$ на всей числовой прямой (см. рис. $1$): если на оси $Oy$ отложить отрезок длины $1/2$ и провести прямую, параллельную оси $Ox,$ то она пересечет синусоиду в бесконечном множестве точек. Чтобы избежать возможного разнообразия ответов, вводятся обратные тригонометрические функции, иначе называемые круговыми, или аркфункциями (от латинского слова arcus - «дуга»).

Основным четырем тригонометрическим функциям $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm{tg}\,x$ и $\mathrm{ctg}\,x$ соответствуют четыре аркфункции $\arcsin x,$ $\arccos x,$ $\mathrm{arctg}\,x$ и $\mathrm{arcctg}\,x$ (читается: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс). Рассмотрим функции \arcsin x и \mathrm{arctg}\,x, поскольку две другие выражаются через них по формулам:

$\arccos x = \frac{π}{2} − \arcsin x,$ $\mathrm{arcctg}\,x = \frac{π}{2} − \mathrm{arctg}\,x.$

Равенство $y = \arcsin x$ по определению означает такой угол $y,$ выраженный в радианной мере и заключенный в пределах от $−\frac{π}{2}$ до $\frac{π}{2},$ синус которого равен $x,$ т. е. $\sin y = x.$ Функция $\arcsin x$ является функцией, обратной функции $\sin x,$ рассматриваемой на отрезке $\left[−\frac{π}{2},+\frac{π}{2}\right],$ где эта функция монотонно возрастает и принимает все значения от $−1$ до $+1.$ Очевидно, что аргумент $y$ функции $\arcsin x$ может принимать значения лишь из отрезка $\left[−1,+1\right].$ Итак, функция $y=\arcsin x$ определена на отрезке $\left[−1,+1\right],$ является монотонно возрастающей, и её значения заполняют отрезок $\left[−\frac{π}{2},+\frac{π}{2}\right].$ График функции показан на рис. $2.$

При условии $−1 ≤ a ≤ 1$ все решения уравнения $\sin x = a$ представим в виде $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0,±1,± 2,… .$ Например, если

$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ то $x = (−1)^n \frac{π}{4}+πn,$ $n = 0, ±1, ±2, … .$

Соотношение $y=\mathrm{arcctg}\,x$ определено при всех значениях $x$ и по определению означает, что угол $y,$ выраженный в радианной мере, заключей в пределах

$−\frac{π}{2}

и тангенс этого угла равен x, т. е. $\mathrm{tg}\,y = x.$ Функция $\mathrm{arctg}\,x$ определена на всей числовой прямой, является функцией, обратной функции $\mathrm{tg}\,x$, которая рассматривается лишь на интервале

$−\frac{π}{2}

Функция $у = \mathrm{arctg}\,x$ монотонно возрастающая, её график дан на рис. $3.$

Все решения уравнения $\mathrm{tg}\,x = a$ могут быть записаны в виде $x=\mathrm{arctg}\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… .$

Заметим, что обратные тригонометрические функции широко используются в математическом анализе. Например, одной из первых функций, для которых было получено представление бесконечным степенным рядом, была функция $\mathrm{arctg}\,x.$ Из этого ряда Г. Лейбниц при фиксированном значении аргумента $x=1$ получил знаменитое представление числа к бесконечным рядом

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции-это математические функции, являющиеся обратными тригонометрическим функциям.

Функция y=arcsin(x)

Арксинусом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], синус которого равен α.
График функции
Функция у= sin⁡(x) на отрезке [-π/2;π/2], строго возрастает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию, строго возрастающую и непрерывную.
Функция, обратная для функции у= sin⁡(x), где х ∈[-π/2;π/2], называется арксинусом и обозначается y=arcsin(x),где х∈[-1;1].
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арксинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений - отрезок [-π/2;π/2].
Отметим, что график функцииy=arcsin(x),где х ∈[-1;1].симметричен графику функции у= sin(⁡x), где х∈[-π/2;π/2],относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arcsin(x).

Пример№1.

Найти arcsin(1/2)?

Так как область значений функцииarcsin(x)принадлежит промежутку [-π/2;π/2], то подходит только значениеπ/6 .Следовательноarcsin(1/2) =π/6.
Ответ:π/6

Пример №2.
Найти arcsin(-(√3)/2)?

Так как область значений arcsin(x) х ∈[-π/2;π/2], то подходит только значение -π/3.Следовательноarcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Функция y=arccos(x)

Арккосинусом числа α называют такое число α из промежутка , косинус которого равен α.

График функции

Функция у= cos(⁡x) на отрезке , строго убывает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию, строго убывающую и непрерывную.
Функция, обратная для функции у= cos⁡x, где х ∈, называется арккосинусом и обозначается y=arccos(x),где х ∈[-1;1].
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арккосинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений - отрезок .
Отметим, что график функцииy=arccos(x),где х ∈[-1;1] симметричен графику функции у= cos(⁡x), где х ∈,относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arccos(x).

Пример №3.

Найти arccos(1/2)?

Так как область значений arccos(x) х∈, то подходит только значение π/3.Следовательно arccos(1/2) =π/3.
Пример №4.
Найти arccos(-(√2)/2)?

Так как область значений функции arccos(x) принадлежит промежутку , то подходит только значение 3π/4.Следовательноarccos(-(√2)/2) =3π/4.

Ответ: 3π/4

Функция y=arctg(x)

Арктангенсом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], тангенс которого равен α.

График функции

Функция тангенс непрерывная и строго возрастающая на интервале(-π/2;π/2); следовательно, она имеет обратную функцию, которая непрерывна и строго возрастает.
Функция, обратная для функции у= tg⁡(x), где х∈(-π/2;π/2); называется арктангенсом и обозначается y=arctg(x),где х∈R.
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арктангенса является интервал(-∞;+∞), а множеством значений - интервал
(-π/2;π/2).
Отметим, что график функции y=arctg(x),где х∈R, симметричен графику функции у= tg⁡x, где х ∈ (-π/2;π/2), относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arctg(x).

Пример№5?

Найти arctg((√3)/3).

Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение π/6 .Следовательноarctg((√3)/3) =π/6.
Пример№6.
Найти arctg(-1)?

Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение -π/4 .Следовательноarctg(-1) = - π/4.

Функция y=arcctg(x)

Арккотангенсом числа α называют такое число α из промежутка (0;π), котангенс которого равен α.

График функции

На интервале (0;π),функция котангенс строго убывает; кроме того,она непрерывна в каждой точке этого интервала; следовательно, на интервале (0;π), эта функция имеет обратную функцию, которая является строго убывающей и непрерывной.
Функция, обратная для функции у=ctg(x), где х ∈(0;π), называется арккотангенсом и обозначается y=arcctg(x),где х∈R.
Итак, согласно определению обратной функции, областью определения арккотангенса будет R,а множеством значений –интервал (0;π).График функции y=arcctg(x),где х∈R симметричен графику функции y=ctg(x) х∈(0;π),относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arcctg(x).

Пример№7.
Найти arcctg((√3)/3)?

Так как область значений arcctg(x) х ∈(0;π), то подходит только значение π/3.Следовательно arccos((√3)/3) =π/3.

Пример№8.
Найти arcctg(-(√3)/3)?

Так как область значений arcctg(x) х∈(0;π), то подходит только значение 2π/3.Следовательноarccos(-(√3)/3) =2π/3.

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin и arcsin , у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

Функция определена на отрезке [-1; 1].
ОДЗ для arccos — .
График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
Y = 0 при x = 1.
Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
Y = 0 при x = 0.
Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

Интервал определения функции – бесконечность.
Область допустимых значений – промежуток (0; π).
F(x) не является ни четной, ни нечетной.
На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α , то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов... Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс - это просто какие-то углы. Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4. Или arctg(-1,3). Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно - через его синус, косинус, тангенс и котангенс...

Что означает выражение

arcsin 0,4 ?

Это угол, синус которого равен 0,4 ! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 - это угол, синус которого равен 0,4.

И всё.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина - арксинус:

arc sin 0,4
угол, синус которого равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc означает дуга (слово арка знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 - это угол, косинус которого равен 1,8... Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!!

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого - свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно - арки. Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам? - слышу осторожный вопрос.)

Почему - нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки - штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку: arcsin 0,5 - это угол, синус которого равен 0,5. Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов . Вот и все дела: arcsin 0,5 - это угол 30°. Можно смело записать:

arcsin 0,5 = 30°

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус... Что такое арктангенс, арккотангенс... То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да...) А сведущий вспомнит расшифровку: арксинус - это угол, синус которого... Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов... Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1) - это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё... Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)... Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного значения внутри арккосинуса к положительному по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Вот и всё.

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

С примерами 7 - 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.)

Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции

09.07.2015 8936 0

Цель: рассмотреть обратные тригонометрические функции, их использование для записи решений тригонометрических уравнений.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

1. Обратные тригонометрические функции

Рассмотрение этой темы начнем со следующего примера.

Пример 1

Решим уравнение: a ) sin x = 1/2; б) sin x = а.

а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x 1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x 1 . По таблице значений тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда Учтем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения: где k ∈ Z .

б) Очевидно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Разумеется, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость каким-то образом обозначить угол х1. Условились такой угол обозначать символом arcsin а. Тогда решения данного уравнения можно записать в виде Эти две формулы можно объединить в одну: при этом

Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.

Очень часто бывает необходимо определить величину угла по известному значению его тригонометрической функции. Такая задача является многозначной - существует бесчисленное множество углов, тригонометрические функции которых равны одному и тому же значению. Поэтому, исходя из монотонности тригонометрических функций, для однозначного определения углов вводят следующие обратные тригонометрические функции.

Арксинус числа a (arcsin , синус которого равен а, т. е.

Арккосинус числа a (arccos а) - такой угол а из промежутка , косинус которого равен а, т. е.

Арктангенс числа a (arctg а) - такой угол а из промежутка тангенс которого равен а, т. е. tg а = а.

Арккотангенс числа a (arcctg а) - такой угол а из промежутка (0; π), котангенс которого равен а, т. е. ctg а = а.

Пример 2

Найдем:

Учитывая определения обратных тригонометрических функций получим:

Пример 3

Вычислим

Пусть угол а = arcsin 3/5, тогда по определению sin a = 3/5 и . Следовательно, надо найти cos а. Используя основное тригонометрическое тождество, получим: Учтено, что и cos a ≥ 0. Итак,

Свойства функции	Функция
Свойства функции	у = arcsin х	у = arccos х	у = arctg х	у = arcctg х
Область определения	х ∈ [-1; 1]	х ∈ [-1; 1]	х ∈ (-∞; +∞)	х ∈ (-∞ +∞)
Область значений	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Четность	Нечетная	Ни четная, ни нечетная	Нечетная	Ни четная, ни нечетная
Нули функции (y = 0)	При х = 0	При х = 1	При х = 0	у ≠ 0
Промежутки знакопостоянства	у > 0 при х ∈ (0; 1], у < 0 при х ∈ [-1; 0)	у > 0 при х ∈ [-1; 1)	у > 0 при х ∈ (0; +∞), у < 0 при х ∈ (-∞; 0)	у > 0 при x ∈ (-∞; +∞)
Монотонность	Возрастает	Убывает	Возрастает	Убывает
Связь с тригонометрической функцией	sin у = х	cos у = х	tg у = х	ctg у = х
График

Приведем еще ряд типичных примеров, связанных с определениями и основными свойствами обратных тригонометрических функций.

Пример 4

Найдем область определения функции

Для того чтобы функция у была определена, необходимо выполнение неравенства которое эквивалентно системе неравенств Решением первого неравенства является промежуток х ∈ (-∞; +∞), второго - Этот промежуток и является решением системы неравенств, а следовательно, и областью определения функции

Пример 5

Найдем область изменения функции

Рассмотрим поведение функции z = 2х - х2 (см. рисунок).

Видно, что z ∈ (-∞; 1]. Учитывая, что аргумент z функции арккотангенса меняется в указанных пределах, из данных таблицы получим, что Таким образом, область изменения

Пример 6

Докажем, что функция у = arctg х нечетная. Пусть Тогда tg а = -х или х = - tg а = tg (- a ), причем Следовательно, - a = arctg х или а = - arctg х. Таким образом, видим, что т. е. у(х) - функция нечетная.

Пример 7

Выразим через все обратные тригонометрические функции

Пусть Очевидно, что Тогда Так как

Введем угол Так как то

Аналогично поэтому и

Итак,

Пример 8

Построим график функции у = cos (arcsin х).

Обозначим а = arcsin x , тогда Учтем, что х = sin а и у = cos а, т. е. x 2 + у2 = 1, и ограничения на х (х ∈ [-1; 1]) и у (у ≥ 0). Тогда графиком функции у = cos (arcsin х) является полуокружность.

Пример 9

Построим график функции у = arccos (cos x ).

Так как функция cos х изменяется на отрезке [-1; 1], то функция у определена на всей числовой оси и изменяется на отрезке . Будем иметь в виду, что у = arccos (cos x ) = х на отрезке ; функция у является четной и периодической с периодом 2π. Учитывая, что этими свойствами обладает функция cos x , теперь легко построить график.

Отметим некоторые полезные равенства:

Пример 10

Найдем наименьшее и наибольшее значения функции Обозначим тогда Получим функцию Эта функция имеет минимум в точке z = π/4, и он равен Наибольшее значение функции достигается в точке z = -π/2, и оно равно Таким образом, и

Пример 11

Решим уравнение

Учтем, что Тогда уравнение имеет вид: или откуда По определению арктангенса получим:

2. Решение простейших тригонометрических уравнений

Аналогично примеру 1 можно получить решения простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение	Решение


tgx = а
ctg х = а

Пример 12

Решим уравнение

Так как функция синус нечетная, то запишем уравнение в виде Решения этого уравнения: откуда находим

Пример 13

Решим уравнение

По приведенной формуле запишем решения уравнения: и найдем

Заметим, что в частных случаях (а = 0; ±1) при решении уравнений sin х = а и cos х = а проще и удобнее использовать не общие формулы, а записывать решения на основании единичной окружности:

для уравнения sin х = 1 решения

для уравнения sin х = 0 решения х = π k ;

для уравнения sin х = -1 решения