Степенные или показательные уравнения. Формулы степеней и корней 3 в разных степенях

y(x) = e x , производная которой равна самой функции.

Экспоненту обозначают так , или .

Число e

Основанием степени экспоненты является число e . Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045...

Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел :
.

Также число e можно представить в виде ряда:
.

График экспоненты

График экспоненты, y = e x .

На графике представлена экспонента, е в степени х .
y(x) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Формулы

Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .

;
;
;

Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.

Частные значения

Пусть y(x) = e x . Тогда
.

Свойства экспоненты

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
- ∞ < x + ∞ .
Ее множество значений:
0 < y < + ∞ .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера :
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

; ;
.

Выражения через тригонометрические функции

; ;
;
.

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Степень

Число c {\displaystyle c} называется n -й степенью числа a {\displaystyle a} , если

c = a ⋅ a ⋅ . . . ⋅ a ⏟ n {\displaystyle c=\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{n}} .

Свойства:

(a b) n = a n b n {\displaystyle \left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}}
(a b) n = a n b n {\displaystyle \left({a \over b}\right)^{n}={{a^{n}} \over {b^{n}}}}
a n a m = a n + m {\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m}}
a n a m = a n − m {\displaystyle \left.{a^{n} \over {a^{m}}}\right.=a^{n-m}}
(a n) m = a n m {\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}}
запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности (a n) m ≠ a (n m) {\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}} , результат будет зависеть от последовательности действий, например, (2 2) 3 = 4 3 = 64 {\displaystyle (2^{2})^{3}=4^{3}=64} , а 2 (2 3) = 2 8 = 256 {\displaystyle 2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256} . Принято считать запись a n m {\displaystyle a^{n^{m}}} равнозначной a (n m) {\displaystyle a^{\left({n^{m}}\right)}} , а вместо (a n) m {\displaystyle (a^{n})^{m}} можно писать просто a n m {\displaystyle a^{nm}} , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения (см. );
возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности) : вообще говоря, a b ≠ b a {\displaystyle a^{b}\neq b^{a}} , например, 2 5 = 32 {\displaystyle 2^{5}=32} , но 5 2 = 25 {\displaystyle 5^{2}=25} .

Вещественная степень

Пусть a ⩾ 0 , r {\displaystyle a\geqslant 0,r} - вещественные числа, причём r {\displaystyle r} - иррациональное число . Определим значение следующим образом.

Как известно, любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для r {\displaystyle r} рациональный интервал [ p , q ] {\displaystyle } с любой степенью точности. Тогда общая часть всех соответствующих интервалов [ a p , a q ] {\displaystyle } состоит из одной точки, которая и принимается за a r {\displaystyle a^{r}} .

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов (см. ).

Потенцирование

Комплексная степень

Сначала покажем, как вычисляется экспонента e z {\displaystyle e^{z}} , где e - число Эйлера , z - произвольное комплексное число , z = x + y i {\displaystyle z=x+yi} .

e z = e x e y i = e x (cos ⁡ y + i sin ⁡ y) = e x cos ⁡ y + i e x sin ⁡ y . {\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y.}

Теперь рассмотрим общий случай , где a , b {\displaystyle a,b} оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив a {\displaystyle a} в экспоненциальной форме и используя тождество a b = e b Ln ⁡ (a) {\displaystyle a^{b}=e^{b\ \operatorname {Ln} (a)}} , где Ln {\displaystyle \operatorname {Ln} } - комплексный логарифм :

a b = (r e θ i) b = (e Ln ⁡ (r) + θ i) b = e (Ln ⁡ (r) + θ i) b . {\displaystyle a^{b}=(re^{{\theta }i})^{b}=(e^{\operatorname {Ln} (r)+{\theta }i})^{b}=e^{(\operatorname {Ln} (r)+{\theta }i)b}.}

Следует иметь в виду, что комплексный логарифм - многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Степень как функция

Поскольку в выражении используются два символа ( x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} ), то его можно рассматривать как одну из трёх функций:

Полезные формулы

X y = a y log a ⁡ x {\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x}} x y = e y ln ⁡ x {\displaystyle x^{y}=e^{y\ln x}} x y = 10 y lg ⁡ x {\displaystyle x^{y}=10^{y\lg x}}

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции x y {\displaystyle x^{y}} .

Употребление в устной речи

Запись a n {\displaystyle a^{n}} обычно читается как «a в n {\displaystyle n} -ой степени» или «a в степени n ». Например, 10 4 {\displaystyle 10^{4}} читается как «десять в четвёртой степени», 10 3 / 2 {\displaystyle 10^{3/2}} читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, 10 2 {\displaystyle 10^{2}} читается как «десять в квадрате», 10 3 {\displaystyle 10^{3}} читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики . Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры (англ.) русск. . В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади a 3 {\displaystyle a^{3}} - это «a умноженное само на себя три раза» , имея в виду, что берётся три множителя a {\displaystyle a} . Это не совсем точно, и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: a 3 = a ⋅ a ⋅ a {\displaystyle a^{3}=a\cdot a\cdot a} (три множителя, но две операции умножения). Часто когда говорят, « изображалось как и x I V {\displaystyle x^{IV}} соответственно . Начиная с Декарта , степень обозначали «двухэтажной» записью вида a b {\displaystyle a^{b}} .

С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки .

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах.

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

Степенной называется функция вида y=x n (читается как y равно х в степени n), где n – некоторое заданное число. Частными случаями степенных функций является функции вида y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x и многие другие. Расскажем подробнее о каждой из них.

Линейная функция y=x 1 (y=x)

График прямая линия, проходящая через точку (0;0) под углом 45 градусов к положительному направлению оси Ох.

График представлен ниже.

Основные свойства линейной функции:

Функция возрастающая и определена на всей числовой оси.
Не имеет максимального и минимального значений.

Квадратичная функция y=x 2

Графиком квадратичной функции является парабола.

Основные свойства квадратичной функции:

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0
2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке }