Сколько различных трехзначных чисел можно. Задачи по комбинаторике. Примеры решений. Задачи для решения на закрепление нового материала
Задачи для решения на закрепление нового материала
Задача № 1 . Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального
забега на 5-ти беговых дорожках?
Решение : Р 5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.
Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая
цифра входит в изображение числа только один раз?
Решение : Число всех перестановок из трех элементов равно Р 3 =3!, где 3!=1 * 2 * 3=6
Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.
Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести
девушек на танец?
Решение : два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И
варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,
считаются разными, поэтому:
Задача № 4 . Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только
один раз?
Решение : В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из
трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок
расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132)
и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти
элементов по три.
По формуле числа размещений находим:
Ответ:504 трехзначных чисел.
Задача №5 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3
Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все
возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7
человек. Искомое число способов равно
Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов
распределения призовых (1, 2, 3) мест?
Решение : А 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест.
Ответ: 1320 вариантов.
Задача № 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из
10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них
побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?
Решение:
Выбор из 10 по 4 с учётом порядка:
способов.
Ответ: 5040 способов.
Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и
зеленый шарики?
Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на
второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из
оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.
Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа.
Р 4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.
Задача № 9 . Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во
время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
Решение:
Выбор 6 из 10 без учёта порядка:
способов.
Ответ: 210 способов.
Задача № 10 . В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для
работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,
трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора
учащихся для работы на пришкольном участке?
Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из
первой совокупности (С 7 2) может сочетаться с каждым вариантом выбора из
второй (С 9 3)) и с каждым вариантом выбора третьей (С 8 1) по правилу
умножения получаем:
Ответ: 14 112 способов.
Задача № 11. Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и Оля побежали на
перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими
способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять
очередь для игры в настольный теннис?
Решение : Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из
оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым –
девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По
правилу умножения у пяти учащихся существует 5· 4321=120 способов
Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами….
К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.
Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.
Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило произведения .
- Правило суммы
Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.
Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами.
- Правило произведения
Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то пару А и В можно выбрать n m способами.
Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно 6 способами (2 3 = 6).
Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы нескольких множеств.
Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 3 4 = 24).
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториалом и обозначается символом n!
n! = 1 2 3 4 … n.
Например, 5! = 1 2 3 4 5 = 120.
Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зелёный, то выложить их в ряд можно 6 способами (3 2 1 = 3! = 6).
Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева возможных вариантов .
Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева.
Практикум по решению задач по комбинаторике.
ЗАДАЧИ и решения
1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?
Ответ: 15 вариантов.
2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 алые и 4 жёлтые розы?
Ответ: 9 вариантов.
3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?
Ответ: 15 путей.
4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной согласной букв слова «платок»?
гласные: а, о – 2 шт.
согласные: п, л, т, к – 4 шт.Ответ: 8 способами.
5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?
Ответ: 48 пар.
6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?
Ответ: 28 вариантов.
7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?
1 цифра – 3 способа
2 цифра – 3 способа
3 цифра – 3 способаОтвет: 9 различных двузначных чисел.
8. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться?
1 цифра – 2 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 2 способаОтвет: 8 различных чисел.
9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?
1 цифра – 3 способа
2 цифра – 4 способаОтвет: 12 различных чисел.
10. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные?
Чётные цифры – 0, 2, 4, 6, 8.
1 цифра – 4 способа
2 цифра – 5 способов
3 цифра – 5 способовОтвет: существует 100 чисел.
11. Сколько существует четных трёхзначных чисел?
1 цифра – 9 способов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифра – 10 способов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)9 10 5 = 450
Ответ: существует 450 чисел.
12.Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из трёх различных цифр 4, 5, 6?
1 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 1 способОтвет: 6 различных чисел.
13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А, В, С, D?
1 вершина – 4 способа
2 вершина – 3 способа
3 вершина – 2 способаОтвет: 24 способа.
14. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,при условии, что ни одна цифра не повторяется?
1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способаОтвет: 60 различных чисел.
15. Сколько различных трёхзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр может быть использована только один раз?
1 цифра – 2 способа
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способаОтвет: 24 различных числа.
16. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал шести цветов?
1 полоса – 6 способов
2 полоса – 5 способов
3 полоса – 4 способаОтвет: 120 способов.
17. Из класса выбирают 8 человек, имеющих лучшие результаты по бегу. Сколькими способами можно составить из них команду из трёх человек для участия в эстафете?
1 человек – 8 способов
2 человек – 7 способов
3 человек – 6 способовОтвет: 336 способов.
18. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?
1 урок – 4 способа
2 урок – 3 способа
3 урок – 2 способа
4 урок – 1 способ4 3 2 1 = 24
Ответ: 24 варианта.
19. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки разные?
1 урок – 8 вариантов
2 урок – 7 вариантов
3 урок – 6 вариантов
4 урок – 5 вариантов
5 урок – 4 варианта8 7 6 5 4 = 6720
Ответ: 6720 вариантов.
20. Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?
1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
4 цифра – 2 способа
5 цифра – 1 способ5 4 3 2 1 = 120
Ответ: 120 вариантов.
21. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?
6 5 4 3 2 1 = 720
Ответ: 720 способов.
22. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с нуля и 9?
1 цифра – 8 способов
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 10 способов
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 10 способов
6 цифра – 10 способов
7 цифра – 10 способов8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000
Ответ: 8.000.000 вариантов.
23. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана эта станция?
№ телефона 394
10 10 10 10 = 10.000
Ответ: 10.000 абонентов.
24. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?
Левые перчатки – 6 способов
Правые перчатки – 5 способов (6 перчатка того же размера, что и левая)Ответ: 30 способов.
25 . Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют пятизначные числа, в которых все цифры разные. Сколько таких чётных чисел?
5 цифра – 2 способа (две чётные цифры)
4 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
1 цифра – 1 способ2 4 3 2 1 = 48
Ответ: 48 чётных чисел.
26. Сколько существует четырёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр и делящихся на 5?
Нечётные цифр – 1, 3, 5, 7, 9.
Из них делятся на 5 – 5.
4 цифра – 1 способ (цифра 5)
3 цифра – 4 способа
2 цифра – 3 способа
1 цифра – 2 способа1 4 3 2 = 24
Ответ: 24 числа.
27. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра – 7, последняя цифра – чётная?
1 цифра – 9 способов (все, кроме 0)
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 1 способ (цифра 7)
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)9 10 1 10 5 = 4500
Ответ: 4500 чисел.
28. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2, четвёртая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечётные?
1 цифра – 5 вариантов (из 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифра – 1 вариант (цифра 2)
3 цифра – 5 вариантов
4 цифра – 1 вариант (цифра 4)
5 цифра – 5 вариантов
6 цифра – 1 вариант (цифра 6)5 1 5 1 5 1 = 125
Ответ: 125 чисел.
29.Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?
Однозначных – 2
Двузначных – 2 2 = 4
Трёхзначных – 2 2 2 = 8
Четырёхзначных – 2 2 2 2 =16
Пятизначных – 2 2 2 2 2 = 32
Шестизначных – 2 2 2 2 2 2 = 64Всего: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126
Ответ: 126 чисел.
30. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Капитан – 11 способов
Заместитель – 10 способовОтвет: 110 способов.
31.В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и ответственного за проездные билеты?
Староста – 30 способов
Ответ. за билеты – 29 способовОтвет: 870 способов.
32. В походе участвуют 12 мальчиков, 10 девочек и 2 учителя. Сколько вариантов групп дежурных из трёх человек (1 мальчик, 1 девочка, 1 учитель) можно составить?
12 10 2 = 240
Ответ: 240 способов.
33. Сколько комбинаций из четырёх букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными?
«11_алг_ср_комбинаторика Вариант 1 Сколько различных трехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр: 2, 5, 7, 8, 9? Сколько различных трехзначных чисел...»
11_алг_ср_комбинаторика
Вариант 1
Сколько различных трехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр: 2, 5, 7, 8, 9?
Сколько различных трехзначных чисел составить из цифр: 0, 2, 5, 7, 8, 9?
В классе 15 девочек и 17 мальчиков. Сколько существует способов выбора одного ведущего для школьного праздника?
У Оли 3 куклы и 4 плюшевых медведя. Сколько способов выбора одной игрушки есть у Оли?
В столовой есть 3 вида первого блюда, 5 видов второго блюда и 3 вида компота. Сколько существует вариантов обеда для студента, если обычно он покупает первое, второе и компот?
Сколькими способами могут занять очередь в кассу 5 человек?
На клумбе расцвели 15 красных, 10 белых, 12 розовых роз. Сколько существует способов составить букет из трех роз разного цвета?
В классе 20 учащихся. Сколькими способами можно выбрать старосту и заместителя старосты в этом классе?
Из 25 членов туристической группы 10 человек владеют английским языком, 8-немецким, а остальные- французским. Сколько существует способов выбора делегации из трех туристов так, чтобы они владели тремя языками?
Сколько существует нечетных трехзначных чисел, составленных из цифр 5, 6, 7, 9?
11_алг_ср_комбинаторика
Вариант 2
Сколько различных трехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5?
Сколько различных трехзначных чисел составить из цифр: 0, 1, 3, 5, 7, 9?
В классе 12 девочек и 5 мальчиков. Сколько существует способов выбора пары ведущих (разнополой) для школьного праздника?
У Юли 7 пупсиков и 5 плюшевых медведя. Сколько способов выбора одной игрушки есть у Юли?
В столовой есть 4 вида первого блюда, 6 видов второго блюда и 2 вида компота. Сколько существует вариантов обеда для студента, если обычно он покупает первое, второе и компот?
Сколькими способами могут занять очередь в кассу 6 человек?
На клумбе расцвели 8 красных, 10 белых, 14 розовых роз. Сколько существует способов составить букет из трех роз разного цвета?
В классе 25 учащихся. Сколькими способами можно выбрать старосту и физорга в этом классе?
Из 20 членов туристической группы 15 человек владеют английским языком, 3 - немецким, а остальные- французским. Сколько существует способов выбора делегации из трех туристов так, чтобы они владели тремя языками?
Сколько существует четных трехзначных чисел, составленных из цифр 4, 6, 7, 9, 0?
11_алг_ср_комбинаторика
Вариант 3
Сколько различных двухзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр: 2, 5, 7, 8, 9?
Сколько различных трехзначных чисел составить из цифр: 0, 1, 2, 5, 7, 8, 9?
В классе 11 девочек и 17 мальчиков. Сколько существует способов выбора одного ведущего для школьного праздника?
У Оли 22 куклы и 4 плюшевых медведя. Сколько способов выбора одной игрушки есть у Оли?
В столовой есть 5 видов первого блюда, 5 видов второго блюда и 2 вида компота. Сколько существует вариантов обеда для студента, если обычно он покупает первое, второе и компот?
Сколькими способами могут занять очередь в кассу 4 человека?
На клумбе расцвели 11 красных, 8 белых, 15 розовых роз. Сколько существует способов составить букет из трех роз разного цвета?
В классе 18 учащихся. Сколькими способами можно выбрать старосту и заместителя старосты в этом классе?
Из 30 членов туристической группы 10 человек владеют английским языком, 12 - немецким, а остальные- французским. Сколько существует способов выбора делегации из трех туристов так, чтобы они владели тремя языками?
Сколько существует нечетных трехзначных чисел, составленных из цифр 2, 5, 6, 8, 9? 11_алг_ср_комбинаторика
Вариант 4
Сколько различных двухзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5?
Сколько различных трехзначных чисел составить из цифр: 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9?
В классе 15 девочек и 5 мальчиков. Сколько существует способов выбора пары ведущих (разнополой) для школьного праздника?
У Юли 9 пупсиков и 8 плюшевых медведя. Сколько способов выбора одной игрушки есть у Юли?
В столовой есть 2 вида первого блюда, 7 видов второго блюда и 3 вида компота. Сколько существует вариантов обеда для студента, если обычно он покупает первое, второе и компот?
Сколькими способами могут занять очередь в кассу 7 человек?
На клумбе расцвели 18 красных, 6 белых, 8 розовых роз. Сколько существует способов составить букет из трех роз разного цвета?
В классе 24 учащихся. Сколькими способами можно выбрать старосту и физорга в этом классе?
Из 20 членов туристической группы 5 человек владеют английским языком, 3 - немецким, а остальные- французским. Сколько существует способов выбора делегации из трех туристов так, чтобы они владели тремя языками?
Сколько существует четных трехзначных чисел, составленных из цифр 4, 6, 8, 9, 0?
Ответы:
№ п/п Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4
1800 1120 1320 864
Похожие работы:
«Тема: Слова с удвоенной буквой согласного пришедшие к нам из других языков.Цели:1. Не только научить писать слова с удвоенной буквой согласного, но и попытаться объяснить ребятам, почему в этих словах есть удвоенные согласные.2. Воспитывать интерес к п...»
«Итоговая работа по русскому языку 6А класс Демонстрационный вариант1. Укажите ОШИБОЧНОЕ суждение.1) В слове НАРОЧНО сочетание согласных ЧН произносится как [шн].2) В слове ДВОЕ буква Е обозначае...»
«ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ фЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТвЕННОЕ Бюджетное ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "Санкт-Петербургский государственный университет" (СПбГУ)Выпускная квалификационная работа аспиранта на тему:ОТБОР И ОРГАНИЗАЦ...»
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра русского языка как иностранного и методики его преподавания Ли Ян Языковая реализация прагматических установок в деловых письмах на русском языке (на фоне китайского языка) Выпускная квалификационная работа магистра лингвистики Н...»
«ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ"САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" (СПбГУ)Выпускная квалификационная работа аспиранта на тем...»
« ЛЕКСИКОГРАФ, ВРАЧ, МОРЯК Владимир Иванович Даль – человек поистине необыкновенной судьбы. Прежде чем прославиться на всю Россию в качестве составителя "Толкового словаря живого великорусского языка", он несколько раз круто менял свою жизнь. Последние годы Даля, ознаменованные написанием главного его труда, прошли на П...»