Растровый алгоритм брезенхема для построения линии. Алгоритм Брезенхема для генерации окружности. Простой пошаговый алгоритм

Алгоритм вывода прямой линии

Поскольку экран растрового дисплея с электронно-лучевой трубкой (ЭЛТ) можно рассматривать как матрицу дискретных элементов (пикселов), каждый из которых может быть подсвечен, нельзя непосредственно провести отрезок из одной точки в другую. Процесс определения пикселов, наилучшим образом аппроксимирующих заданный отрезок, называется разложением в растр. В сочетании с процессом построчной визуализации изображения он известен как преобразование растровой развертки. Для горизонтальных, вертикальных и наклоненных под углом 45°. отрезков выбор растровых элементов очевиден. При любой другой ориентации выбрать нужные пикселы труднее, что показано на рис.1.

Рис.1.1. Разложение в растр отрезков прямых.

Общие требования к алгоритмам вычерчивания отрезков следующие: Отрезки должны выглядеть прямыми, начинаться и заканчиваться в заданных точках, яркость вдоль отрезка должна быть постоянной и не зависеть от длины и наклона, рисовать нужно быстро.

Постоянная вдоль всего отрезка яркость достигается лишь при проведении горизонтальных, вертикальных и наклоненных под углом 45° прямых. Для всех других ориентаций разложение в растр приведет к неравномерности яркости, как это показано на рис. 1.

В большинстве алгоритмов вычерчивания отрезков для упрощения вычислений используется пошаговый алгоритм. Приведем пример подобного алгоритма:

Простой пошаговый алгоритм

позиция = начало

шаг = приращение

1. if позиция - конец < точность then 4

if позици > конец then 2

if позиция < конец then 3

2. позиция = позиция - шаг

3. позиция = позиция + шаг

4. finish

Алгоритм Брезенхема.

Хотя алгоритм Брезенхема был первоначально разработан для цифровых графопостроителей, однако он в равной степени подходит для использования растровыми устройствами с ЭЛТ. Алгоритм выбирает оптимальные растровые координаты для представления отрезка. В процессе работы одна из координат - либо x, либо y (в зависиимости от углового коэффициента) - изменяется на единицу. Изменение другой координаты (на 0 или 1) зависит от расстояния между действительным положением отрезка и ближайшими координатами сетки. Такое расстояние мы назовем ошибкой.

Алгоритм построен так, что требуется проверить лишь знак этой ошибки. На рис.3.1 это иллюстрируется для отрезка в первом октанте, т.е. для отрезка с угловым коэффициентом, лежащим в диапазоне от 0 до 1. Из рисунка можно заметить, что если угловой коэффициент отрезка из точки (0,0) больше, чем 1/2, то пересечение с прямой x = 1 будет расположено ближе к прямой y = 1, чем к прямой y = 0. Следовательно, точка растра (1,1) лучше аппроксимирует ход отрезка, чем точка (1,0). Если угловой коэффициент меньше 1/2, то верно обратное. для углового кэффициента, равного 1/2, нет какого либо предпочтительного выбора. В данном случае алгоритм выбирает точку (1,1).

Рис.3.2. График ошибки в алгоритме Брезенхема.

Так как желательно проверять только знак ошибки, то она первоначально устанавливается равной -1/2. Таким образом, если угловой коэффициент отрезка больше или равен 1/2, то величина ошибки в следующей точке растра с координатами (1,0) может быть вычислена как

e = e + m

где m - угловой коэффициент. В нашем случае при начальном значении ошибки -1/2

e = 1/2 + 3/8 = -1/8

Так как е отрицательно, отрезок пройдет ниже середины пиксела. Следовательно, пиксел на том же самом горизонтальном уровне лучше аппроксимирует положение отрезка, поэтому у не увеличивается. Аналогично вычисляем ошибку

e = -1/8 + 3/8 = 1/4

в следующей точке растра (2,0). Теперь е положительно, значит отрезок пройдет выше средней точки. Растровый элемент (2,1) со следующей по величине координатой у лучше аппроксимирует положение отрезка. Следовательно у увеличивается на 1. Прежде чем рассматривать следующий пиксел, необходимо откорректировать ошибку вычитанием из нее 1. Имеем

e = 1/4 - 1 = -3/4

Заметим, что пересечение вертикальной прямой x = 2 с заданным отрезком лежит на 1/4 ниже прямой у = 1. Еслиже перенести отрезок 1/2 вниз, мы получим как раз величину -3/4. Продолжение вычислений для следующего пиксела дает

e = -3/4 + 3/8 = -3/8

Так как е отрицательно, то у не увеличивается. Из всего сказанного следует, что ошибка - это интервал, отсекаемый по оси у рассматриваемым отрезком в каждом растровом элементе (относительно -1/2).

Приведем алгоритм Брезенхема для первого октанта, т.е. для случая 0 =< y =< x.

Алгоритм Брезенхема разложения в растр отрезка для первого октанта

Integer - функция преобразования в целое

x, y, x, y - целые

е - вещественное

инициализация переменных

Инициализация с поправкой на половину пиксела

е = y/x - 1/2

начало основного цикла

for i = 1 to x

while (e => 0)

e = e + y/x

Блок-схема алгоритма приводится на рис.3.3. Пример приведен ниже.

Рис. 3.3. Блок-схема алгоритма Брезенхема.

Пример 3.1. Алгоритм Брезенхема.

Рассмотрим отрезок проведенный из точки (0,0) в точку (5,5). Разложение отрезка в растр по алгоритму Брезенхема приводит к такому результату:

начальные установки

е = 1 - 1/2 = 1/2

Результат показан на рис.3.4 и совпадает с ожидаемым. Заметим, что точка растра с координатами (5,5) не активирована. Эту точку можно активировать путем изменения цикла for-next на 0 to x. Активацию точки (0,0) можно устранить, если поставить оператор Plot непосредственно перед строкой next i.

Рис. 3.4. Результат работы алгоритма Брезенхема в первом октанте.

В следующем разделе описан общий алгоритм Брезенхема.

4. Общий алгоритм Брезенхема.

Чтобы реализация алгоритма Брезенхема была полной необходимо обрабатывать отрезки во всех октантах. Модификацию легко сделатть, учитывая в алгоритме номер квадранта, в котором лежит отрезок и его угловой коэффициепт. Когда абсолютная величина углового коэффициента больше 1, у постоянно изменяется на единицу, а критерий ошибки Брезенхема используется для принятия решения об изменении величины x . Выбор постоянно изменяющейся (на +1 или -1) кооординаты зависит от квадранта (рис.4.1.). Общий алгоритм может быть оформлен в следующем виде:

Обобщенный целочисленный алгоритм Брезенхема квадрантов

предполагается, что концы отрезка (x1,y1) и (x2,y2) не совпадают

все переменные считаются целыми

Sign - функция, возвращающая -1, 0, 1 для отрицательного, нулевого и положительного аргумента соответственно

инициализация переменных

x = abs(x2 - x1)

y = abs(y2 - y1)

s1 = Sign (x2 - x1)

s2 = Sign (y2 - y1)

обмен значений x и y в зависимости от углового коэффициента наклона отрезка

if y < x then

end if

инициализация  с поправкой на половину пиксела

 = 2*y - x

основной цикл

for i = 1 to x

Plot (x,y)

while ( =>0)

if Обмен = 1 then

 =  - 2*x

end while

if Обмен = 1 then

 =  + 2*y

Рис.4.1. Разбор случаев для обобщенного алгоритма Брезенхема.

Пример 4.1. обобщенный алгоритм Брезенхема.

Для иллюсрации рассмотрим отрезок из точки (0,0) в точку (-8, -4).

начальные установки

результаты работы пошагового цикла

Рис.4.2. Результат работы обобщенного алгоритма Брезенхема в третьем квадранте.

На рис.4.2 продемонстрирован результат. Сравнение с рис. 2.2 показывает, что результаты работы двух алгоритмов отличаются.

В следующем разделе рассматривается алгоритм Брезенхема для генерации окружности.

Алгоритм Брезенхема для генерации окружности.

В растр нужно разлагать не только линейные, но и другие, более сложные функции. Разложению конических сечений, т. е. окружностей, эллипсов, парабол, гипербол, было посвящено значительное число работ. Наибольшее внимание, разумеется, уделено окружности. Один из наиболее эффективных и простых для понимания алгоритмов генерации окружности принадлежит Брезенхему. Для начала заметим, что необходимо сгенерировать только одну восьмую часть окружности. Остальные ее части могут быть получены последовательными отражениями, как это показано на рис. 5.1. Если сгенерирован первый октант (от 0 до 45° против часовой стрелки), то второй октант можно получить зеркальным отражением относительно прямой у = х, что дает в совокупности первый квадрант. Первый квадрант отражается относительно прямой х = 0 для получения соответствующей части окружности во втором квадранте. Верхняя полуокружность отражается относительно прямой у = 0 для завершения построения. На рис. 5.1 приведены двумерные матрицы соответствующих преобразований.

Рис. 5.1. Генерация полной окружности из дуги в первом октанте.

Для вывода алгоритма рассмотрим первую четверть окружности с центром в начале координат. Заметим, что если работа алгоритма начинается в точке х = 0, у = R, то при генерации окружности по часовой стрелке в первом квадранте у является монотонно убывающей функцией аргументам (рис. 5.2). Аналогично, если исходной точкой является у = 0, х == R, то при генерации окружности против часовой стрелки х будет монотонно убывающей функцией аргумента у. В нашем случае выбирается генерация по часовой стрелке с началом в точке х = 0, у = R. Предполагается, что центр окружности и начальная точка находятся точно в точках растра.

Для любой заданной точки на окружности при генерации по часовой стрелке существует только три возможности выбрать следующий пиксел, наилучшим образом приближающий окружность: горизонтально вправо, по диагонали вниз и вправо, вертикально вниз. На рис. 5.3 эти направления обозначены соответственно m H , m D , m V . Алгоритм выбирает пиксел, для которого минимален квадрат расстояния между одним из этих пикселов и окружностью, т. е. минимум из

m H = |(x i + 1) 2 + (y i) 2 -R 2 |

m D = |(x i + 1) 2 + (y i -1) 2 -R 2 |

m V = |(x i) 2 + (y i -1) 2 -R 2 |

Вычисления можно упростить, если заметить, что в окрестности точки (xi,yi,) возможны только пять типов пересечений окружности и сетки растра, приведенных на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Пересечение окружности и сетки растра.

Разность между квадратами расстояний от центра окружности до диагонального пиксела (x i , + 1, у i - 1) и от центра до точки на окружности R 2 равна

 i = (x i + 1) 2 + (y i -1) 2 -R 2

Как и в алгоритме Брезенхема для отрезка, для выбора соответствующего пиксела желательно использовать только знак ошибки, а не ее величину.

При  i < 0 диагональная точка (x i , + 1, у i - 1) находится внутри реальной окружности, т. е. это случаи 1 или 2 на рис. 5.4. Ясно, что в этой ситуации следует выбрать либо пиксел (x i , + 1, у i), т. е. m H , либо пиксел (x i , + 1, у i - 1), т. е. m D . Для этого сначала рассмотрим случай 1 и проверим разность квадратов расстояний от окружности до пикселов в горизонтальном и диагональном направлениях:

 = |(x i + 1) 2 + (y i) 2 -R 2 | - |(x i + 1) 2 + (y i -1) 2 -R 2 |

При  < 0 расстояние от окружности до диагонального пиксела больше, чем до горизонтального. Напротив, если  > 0, расстояние до горизонтального пиксела больше. Таким образом,

при  <= 0 выбираем m H в (x i , + 1, у i - 1)

при  > 0 выбираем m D в (x i , + 1, у i - 1)

При  = 0, когда расстояние от окружности до обоих пикселов одинаковы, выбираем горизонтальный шаг.

Количество вычислений, необходимых для оценки величины , можно сократить, если заметить, что в случае 1

(x i + 1) 2 + (y i) 2 -R 2 >= 0

так как диагональный пиксел (x i , + 1, у i - 1) всегда лежит внутри окружности, а горизонтальный (x i , + 1, у i ) - вне ее. Таким образом,  можно вычислить по формуле

= (x i + 1) 2 + (y i) 2 -R 2 + (x i + 1) 2 + (y i -1) 2 -R 2

Дополнение до полного квадрата члена (y i) 2 с помощью добавления и вычитания - 2y i + 1 дает

= 2[(x i + 1) 2 + (y i -1) 2 -R 2 ] + 2y i - 1

В квадратных скобках стоит по определению  i и его подстановка

 = 2( i + y i ) - 1

существенно упрощает выражение.

Рассмотрим случай 2 на рис. 5.4 и заметим, что здесь должен быть выбран горизонтальный пиксел (x i , + 1, у i), так как.у является монотонно убывающей функцией. Проверка компонент  показывает, что

(x i + 1) 2 + (y i) 2 -R 2 < 0

(x i + 1) 2 + (y i -1) 2 -R 2 < 0

поскольку в случае 2 горизонтальный (x i , + 1, у i) и диагональный (x i , + 1, у i -1) пикселы лежат внутри окружности. Следовательно,  < 0, и при использовании того же самого критерия, что и в случае 1, выбирается пиксел (x i , + 1, у i).

Если  i > 0, то диагональная точка (x i , + 1, у i -1) находится вне окружности, т. е. это случаи 3 и 4 на рис. 5.4. В данной ситуации ясно, что должен быть выбран либо пиксел (x i , + 1, у i -1), либо (x i , у i -1). Аналогично разбору предыдущего случая критерий выбора можно получить, рассматривая сначала случай 3 и проверяя разность между квадратами расстояний от окружности до диагонального m D и вертикального m V пикселов,

т. е. " = |(x i + 1) 2 + (y i -1) 2 -R 2 | - |(x i) 2 + (y i -1) 2 -R 2 |

При" < 0 расстояние от окружности до вертикального пиксела (x i , у i -1) больше и следует выбрать диагональный шаг к пикселу (x i , + 1, у i -1). Напротив, в случае" > 0 расстояние от окружности до диагонального пиксела больше и следует выбрать вертикальное движение к пикселу (x i , у i -1). Таким образом,

при " <= 0 выбираем m D в (x i +1, у i -1)

при " > 0 выбираем m V в (x i , у i -1)

Здесь в случае " = 0, т. е. когда расстояния равны, выбран диагональный шаг.

Проверка компонент " показывает, что

(x i) 2 + (y i -1) 2 -R 2 >= 0

(x i + 1) 2 + (y i -1) 2 -R 2 < 0

поскольку для случая 3 диагональный пиксел (x i +1, у i -1) находится вне окружности, тогда как вертикальный пиксел (x i , у i -1) лежит внутри ее. Это позволяет записать " в виде

" = (x i +1) 2 + (y i -1) 2 -R 2 + (x i) 2 + (y i -1) 2 -R 2

Дополнение до полного квадрата члена (x i) 2 с помощью добавления и вычитания 2x i + 1 дает

" = 2[(x i +1) 2 + (y i -1) 2 -R 2 ] - 2x i - 1

Использование определения  i приводит выражение к виду

" = 2( i - x i )- 1

Теперь, рассматривая случай 4, снова заметим, что следует выбрать вертикальный пиксел (x i , у i -1), так как у является монотонно убывающей функцией при возрастании х.

Проверка компонент " для случая 4 показывает, что

(x i +1) 2 + (y i -1) 2 -R 2 > 0

(x i) 2 + (y i -1) 2 -R 2 > 0

поскольку оба пиксела находятся вне окружности. Следовательно, " > 0 и при использовании критерия, разработанного для случая 3, происходит верный выбор m V .

Осталось проверить только случай 5 на рис. 5.4, который встречается, когда диагональный пиксел (x i , у i -1) лежит на окружности, т. е.  i = 0. Проверка компонент  показывает, что

(x i +1) 2 + (y i) 2 -R 2 > 0

Следовательно,  > 0 и выбирается диагональный пиксел (x i +1 , у i -1) . Аналогичным образом оцениваем компоненты " :

(x i +1) 2 + (y i -1) 2 -R 2 = 0

(x i +1) 2 + (y i -1) 2 -R 2 < 0

и " < 0, что является условием выбора правильного диагонального шага к (x i +1 , у i -1) . Таким образом, случай  i = 0 подчиняется тому же критерию, что и случай  i < 0 или  i > 0. Подведем итог полученных результатов:

 <= 0выбираем пиксел (x i +1 , у i) - m H

 > 0 выбираем пиксел (x i +1 , у i -1) - m D

" <= 0 выбираем пиксел (x i +1 , у i -1) - m D

Если пространство недискретно, то почему Ахиллес обгоняет черепаху? Если же пространство дискретно, то как частицы реализуют алгоритм Брезенхема?

Я давно задумываюсь над тем, что собою представляет Вселенная в целом и законы её работы в частности. Порою описания некоторых физических явлений на той же Википедии достаточно запутаны, чтобы оставаться непонятными даже для человека, который не шибко далёк от данной области. Тем более не повезло мне подобным - тем, кто от этой области по крайней мере был весьма далёк. Однако, с несколько другой плоскостью - алгоритмами, я, будучи программистом, сталкиваюсь почти ежедневно. И однажды, в процессе реализации некоего подобия 2d-физики в консоли, я подумал: «А ведь Вселенная - это по сути такая же консоль неизвестной размерности. Есть ли причины думать, что для линейного движения на, так сказать, экране этой консоли, частицы не должны реализовывать алгоритм Брезенхема?». И кажется, причин нет.

Всех, кому интересно, что вообще такое алгоритм Брезенхема, как он может быть связан с физикой и как это может повлиять на её интерпретацию - добро пожаловать под кат. Возможно, Вы найдёте там косвенное подтверждение существования параллельных Вселенных. Или даже вложенных друг в друга Вселенных.

Алгоритм Брезенхема

Говоря простым языком, чтобы нарисовать на тетрадном листке в клеточку линию толщиной в одну клетку, Вам понадобится закрашивать последовательно идущие клетки, стоящие в ряд. Предположим, что плоскость тетрадного листка дискретна по клеткам, то есть Вы не можете закрасить две соседних половинки соседних клеток и сказать, что закрасили клетку со смещением в 0.5, ибо дискретность заключается в непозволении подобного действия. Таким образом, закрашивая последовательно клетки, стоящие в ряд, Вы получите отрезок желаемой длины. Теперь представим, что Вам необходимо повернуть его на 45 градусов в любом направлении - теперь уже Вы будете закрашивать клетки по диагонали. По сути это - прикладное применение нашим мозгом двух простейших функций:

F(x) = 0
и

F(x) = x
А теперь представим, что отрезок необходимо повернуть ещё на 10 градусов, например. Тогда мы получим классическую однородную линейную функцию:

F(x) = x * tan(55)
И нарисовать график этой функции обычной ручкой на обычном листке не составит труда для любого ученика 7 класса. Однако что делать в случае с нашим предполагаемым листком бумаги, который дискретен по клеткам? Ведь тогда возникает необходимость выбирать, какие именно клетки закрашивать при рисовании линии. Тут нам на помощь и приходит алгоритм Брезенхема.

Сей аглоритм был разработан Джеком Брезенхемом в 1962 году, когда тот работал в IBM. Он до сих пор используется для реализации виртуальной графики во многих прикладных и системных комплексах, начиная с оборудования на производстве и заканчивая OpenGL. Используя этот алгоритм, можно рассчитать максимально подходящее приближение для заданной прямой при заданном уровне дискретности плоскости, на которой эта прямая располагается.

Реализация на Javascript для общего случая

А теперь представьте, что пространство, которое окружает нас, всё таки дискретно. Причём не важно, заполнено ли оно ничем, частицами, переносчиками, полем Хиггса или ещё чем - есть некое понятие минимального количества пространства, меньше которого ничто не может быть. И не важно, относительно ли оно и верна ли теория относительности касательно него - если пространство искривлено, то локально там, где оно искривлено, оно всё равно будет дискретно, даже если с другой позиции может показаться, будто имело место быть изменение того самого минимального порога в любую сторону. При таком предположении получается, что некое явление, или сущность, или правило, должно реализовывать алгоритм Брезенхема для любого рода движения как частиц материи, так и переносчиков взаимодействий. В какой-то мере это объясняет квантование движения частиц в микромире - они принципиально не могут двигаться линейно, не «телепортируясь» из кусочка пространства в другой кусочек, ибо тогда получится, что пространство вовсе не дискретно.

Ещё одним косвенным подтверждением дискретности пространства может служить суждение, исходящее из вышеописанного: если при определённом уменьшении масштабов наблюдаемого, сие теряет способность быть описанным с помощью евклидовой геометрии, то очевидно, что при преодолении минимального порога расстояния метод геометрического описания субъекта всё равно должен быть. Пусть в такой геометрии одной параллельной прямой может соответствовать более одной другой прямой, проходящей через точку, не принадлежащую исходной прямой, или в такой геометрии вообще нет понятия параллельности прямых или даже вовсе понятия прямых, однако имеет место быть любой, гипотетически представляемый метод описания геометрии объекта меньше минимальной длины. И, как известно, есть одна теория, претендующая на способность описать такую геометрию в пределах известного минимального порога. Это теория струн. Она предполагает существование чего-то , что учёные зовут струнами или бранами, сразу в 10/11/26 измерениях в зависимости от интерпретации и математической модели. Мне лично кажется, что примерно так всё и обстоит и для обоснования своих слов я проведу с Вами мысленный эксперимент: на двумерной плоскости при полной «евклидности» её геометрии работает уже упоминавшееся правило: через одну точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. Теперь масштабируем это правило на трёхмерное пространство и получим два из него вытекающих новых правила:

Аналогичное - через одну точку можно провести только одну прямую, параллельную данной
На указанном расстоянии от данной прямой может быть бесконечность-X прямых, и эта бесконечность-X в Y раз меньше бесконечности-Z всех прямых, параллельных данной, независимо от расстояния, где Y - это, грубо говоря, возможное количество толщин прямой в пределах пространства

Говоря проще, если добавить измерение при построении прямых, но не добавлять измерение при расчёте подчинения прямых правилам евклидовой геометрии, то вместо двух возможных параллельных прямых, получим «цилиндр» возможных прямых вокруг центра - исходной прямой. А теперь представьте, будто мы живём в мире Супер Марио и пытаемся спроецировать такой цилиндр на собственное двумерное пространство - по рассчётам параллельных прямых быть не может, но по наблюдениям их целая бесконечность-X. Что мы предположим? Правильно, мы введём ещё одно измерение для построения прямых, но не станем добавлять его для расчёта подчинения прямых правилам евклидовой геометрии. По сути, увидев проекцию такого цилиндра на родное двумерное пространство мы придумаем теорию струн в своём двумерном мире.

Параллельные и вложенные Вселенные?

Может оказаться так, что древние философы, которые видели в модели атома поведение небесных тел и наоборот, были, скажем, не шибко дальше от истины, чем те, кто утверждал, будто это полная чушь. Ведь если освободиться от всяких знаний и рассудить логически - теоретически нижний предел есть не более чем фикция, придуманная нами для ограничения действия привычной нам евклидовой геометрии. Говоря другими словами - всё, что меньше планковской длины, а точней, так сказать настоящей планковской длины , просто не поддаётся исчислению методами евклидовой геометрии, однако же это не значит, будто оное не существует! Вполне может оказаться так, что каждая брана - это набор мультивселенных и так сложилось, что в пределах от планковской длины до неизвестного X геометрия реальности евклидова, ниже планковской длины - например главенствует геометрия Лобачевского или сферическая геометрия, или ещё какая, никак не ограничивая наш полёт фантазии, а выше предела X - например одновременно недезаргова и сферическая геометрия. Мечтать не вредно - могли бы сказать Вы, коли б не тот факт, что даже для однозначно квантового движения, не говоря уже о линейном (которое всё равно квантуется на уровне микромира) частицы должны реализовывать алгоритм Брезенхема, если пространство дискретно.

Иначе говоря, или Ахиллес никогда не догонит черепаху, или мы в Матрице вся обозримая Вселенная и известная физика, скорей всего - лишь капля в огромном океане возможного разнообразия реальности.

Сложно сегодня найти человека, который бы не сталкивался с машинной графикой в тех или иных проявлениях. Если человек начинает интересоваться алгоритмами, лежащими в её основе, то одними из первых будут алгоритмы Брезенхема. Беда лишь в том, что мне до сих пор не попадалось простого и вразумительного описания этих алгоритмов, а уж тем более — реализации. В этой статье я попытаюсь по возможности просто рассказать о семействе алгоритмов Брезенхема, а также приведу готовый к использованию код на JavaScript, который практически не отличается от кода на C/C++ . Код можно брать и использовать, предварительно написав автору благодарственное письмо.

Хотелось бы выразить свои глубокие и искренние чувства к разработчикам стандартов www и тем, кто их реализует. Вариант JavaScript-кода, работающий во всех доступных броузерах, т.е. IE 6.0, NN 7.0 и Opera 6.0x, не отличается красотой и изысканностью. Впрочем, «к науке, которую я в настоящий момент представляю, это отношения не имеет».

Итак, назначение алгоритмов Брезенхема — нарисовать линию на растровом устройстве, как правило, на мониторе. Как можно видеть на рисунке 1, не все пиксели, входящие в изображение линии, лежат на этой линии, то есть задача алгоритма — найти наиболее близкие пиксели. Главное достоинство алгоритма Брезенхема в том, что в нём не используется в цикле дорогостоящая операция умножения. Алгоритм подходит для прямых или кривых второго порядка*. Существуют модификации алгоритма для четырёхсвязной (т.е. соседними считаются точки, отличающиеся на 1 по одной координате) и восьмисвязной (т.е. соседними считаются точки, обе координаты которых отличаются не больше, чем на 1) линий. Здесь приведён второй вариант — более сложный, но и дающий лучший результат.

Основная идея алгоритма в том, что линия, которую надо нарисовать, делит плоскость на две части. Уравнение кривой записывается в виде Z = f (x,y) . Во всех точках кривой Z = 0 , в точках, лежащих над кривой Z > 0 , а в точках под кривой Z < 0 . Нам известны координаты начала отрезка, то есть точки, заведомо лежащей на искомой кривой. Ставим туда первый пиксель и принимаем Z = 0 . От текущего пикселя можно сделать два шага — либо по вертикали (по горизонтали), либо по диагонали на один пиксель. Конкретные направления шагов выбираются в зависимости от типа линии, которую надо нарисовать. Делая шаг, мы мы вычисляем, как изменятся значение Z:

ΔZ = Z" x Δx + Z" y Δy

При одном из возможных шагов Z растёт, при другом — уменьшается. Каждый шаг выбирается с тем расчётом, чтобы значение Z для нового пикселя было как можно ближе к 0. Таким образом, мы будем двигаться вдоль линии, создавая её изображение.

Рисование отрезка

Сразу договоримся, что алгоритм для прямой не рисует горизонтальные и вертикальные линии. Это связано с тем, что рисование таких линий можно реализовать гораздо более простым способом, часто на уровне BIOS или драйвера.

Оставшиеся отрезки делятся на две группы: горизонтальные и вертикальные. Если представить уравнение прямой в виде y = kx , то горизонтальными считаются отрезки, у которых |k| ≤ 1 , а вертикальными — у которых |k| > 1 . Отнеся отрезок к одной из групп, мы можем поменять местами координаты концов так, чтобы горизонтальные отрезки всегда рисовались слева направо, а вертикальные — сверху вниз.

Для горизонтальных отрезков каждый новый пиксель будет правее предыдущего на 1, при этом он может также быть выше (ниже), т.е. возможны два шага — вправо и вправо-по диагонали. Для вертикальных отрезков возможные шаги — вниз и вниз-по диагонали.

Если координаты концов отрезка (x 1 ,y 1) и (x 2 ,y 2) соответственно, то при каждом шаге по оси x Z изменяется на 1, а по оси y — на (x 2 -x 1)/(y 2 -y 1) . Чтобы не связываться с делением и остаться в пределах целочисленной арифметики, переменную Z будем изменять соответственно на y2-y1 и x2-x1 . Вот, собственно, и вся математика, остальное можно понять из кода.

Рисование окружности

Алгоритм рисования дуги останется за рамками статьи, а вот алгоритм для рисования окружности получился значительно проще, чем для прямой. Связано это со многими причинами.

Во-первых, мы рисуем только одну восьмую часть окружности — от π/2 до π/4 , причём в обратном направлении, то есть по часовой стрелке. Вся остальная окружность получается путём отражения этой части относительно центра окружности, горизонтальной и вертикальной осей, а также прямых y = x + b и y = -x + b , проходящих через центр окружности.

Во-вторых из-за симметрии отклонения линии от окружности не так заметны, как отклонения от прямой, поэтому Z можно сравнивать с нулём, не вычисляя максимально допустимого отклонения.

Допустимые шаги — вправо и вправо-по диагонали, а изменение Z зависит от значений x и y , но зависимость линейная, поэтому операция умножения не требуется.

Вот, собственно, и всё. Ниже вы найдёте скрипт, демонстрирующий работу описанных алгоритмов, а для того, чтобы понять, как он работает, просто посмотрите исходный текст страницы.

Удачи!

Если хотите увидеть демонстрацию работы алгоритмов в окне броузера, включите JavaScript!

x1:		y1:
x2:		y2:

x0:		y0:
R:

Значительная часть школьного курса геометрии посвящена задачам на построение. Вопросы, связанные с алгоритмами построения геометрических фигур, интересовали еще математиков древности. Более поздние исследования показали их тесную связь с фундаментальными вопросами математики (достаточно вспомнить классические задачи о трисекции угла и квадратуре круга). Появление ЭВМ поставило перед математиками принципиально новые вопросы, которые не могли возникнуть в докомпьютерную эпоху. К их числу относятся задачи построения элементарных графических объектов - линий и окружностей.

Любая геометрическая фигура может быть определена как некоторое множество точек плоскости. В геометрии это множество, как правило, бесконечно; даже отрезок содержит бесконечно много точек.

В компьютерной графике дело обстоит иначе. Элементарная составляющая всех фигур - точка - обретает реальные физические размеры, а вопросы вида "сколько точек содержит данная фигура?" никого не удивляют. Мы попадаем в конечный мир, где все можно сравнить, измерить, подсчитать. Даже само слово "точка" употребляется редко. Его заменяет термин пиксель (pixel - от picture element - элемент картинки). Если взглянуть на экран дисплея сквозь увеличительное стекло, то можно увидеть, что фрагмент изображения, который невооруженному глазу кажется сплошным, на самом деле состоит из дискретного множества пикселей. Впрочем, на дисплеях с невысокой разрешающей способностью это можно наблюдать и без увеличительного стекла.

Пиксель нельзя разделить, так как он является минимальным элементом изображения - не бывает "двух с половиной пикселей". Таким образом, в компьютерной графике мы фактически располагаем целочисленной координатной сеткой, в узлах которой ставятся точки. Во всех алгоритмах, обслуживающих компьютерную графику, должно быть учтено это обстоятельство .

Имеется и другой аспект проблемы. Допустим, вы хотите съесть яблоко. Имеет ли для вас значение, съедите вы все яблоко целиком или разделите его на 2 половинки и съедите каждую из них отдельно? Скорее всего, если яблоко достаточно вкусное, вы охотно согласитесь на оба варианта. А вот с точки зрения программиста, поделив прекрасное целое яблоко пополам, вы совершаете огромную ошибку. Ведь вместо замечательного целого числа вам приходится иметь дело с двумя дробными, а это значительно хуже. По той же самой причине из двух равенств 1+1=2 и 1,5+0,5=2 программист всегда выберет первое - ведь в нем нет этих непрятных дробных чисел. Такой выбор связан с соображениями повышения эффективности работы программ. В нашем случае, когда речь идет об алгоритмах построения элементарных графических объектов, которые предполагают многократное применение, эффективность является обязательным требованием. Большинство микропроцессоров имеет лишь средства целочисленной арифметики и не располагает встроенными возможностями для операций над вещественными числами. Безусловно, такие операции реализуются, но при этом бывает, что одна операция требует выполнения компьютером до десятка и более команд, что существенным образом влияет на время выполнения алгоритмов.

Статья посвящена рассмотрению одного из шедевров искусства программирования - алгоритму построения окружности, предложенному Брезенхемом (Brezenham). Требуется разработать метод построения окружности на целочисленной координатной сетке по координатам центра и радиусу. Мы должны также максимально сократить время выполнения алгоритма, что заставляет оперировать по возможности целыми числами. Каким графическим инструментарием мы располагаем? Практически никаким. Безусловно, мы должны уметь ставить точку (pixel) в нужном месте экрана. К примеру, языки программирования фирмы Borland содержат процедуру putpixel, с помощью которой можно оставить на экране точку, имеющую нужные координаты и цвет. Цвет для нас значения не имеет, для определенности пусть он будет белым.

1. От чего придется отказаться...

Представим себе, что мы не ограничены в средствах. Что мы не только можем оперировать с дробными числами, но и использовать трансцендентные тригонометрические функции (такое, кстати, вполне возможно на машинах, оснащенных математическим сопроцессором, который берет на себя подобные вычисления). Задача все та же - построить окружность. Что мы станем делать? Вероятно, мы вспомним формулы, параметрически определяющие окружность. Эти формулы достаточно просты и могут быть получены непосредственно из определения тригонометрических функций. Согласно им окружность радиуса R с центром в точке (x 0 , y 0) может быть определена как множество точек M (x , y ), координаты которых удовлетворяют системе уравнений

x = x 0 + R cos a

y = y 0 + R sin a ,

где a О = 2x 2 i +1 +2y 2 i +1 +4x i +1 -2y i +1 +3-2R 2 = 2(x i +1) 2 +2y i 2 +4(x i +1)-2y i +3-2R 2 = D i +4x i +6.

D i +1 [при y i +1 = y i -1] = 2x 2 i +1 +2y 2 i +1 +4x i +1 -2y i +1 +3-2R 2 = 2(x i +1) 2 +2(y i -1) 2 +4(x i +1)-2(y i -1)+3-2R 2 = D i +4(x i -y i )+10.

Теперь, когда получено рекуррентное выражение для D i +1 через D i , остается получить D 1 (контрольную величину в начальной точке.) Она не может быть получена рекуррентно, ибо не определено предшествующее значение, зато легко может быть найдена непосредственно

x 1 = 0, y 1 = R Ю D 1 1 = (0+1) 2 +(R -1) 2 -R 2 = 2-2R ,

D 1 2 = (0+1) 2 +R 2 -R 2 = 1

D 1 = D 1 1 +D 1 2 = 3-2R .

Таким образом, алгоритм построения окружности, реализованный в bres_circle, основан на последовательном выборе точек; в зависимости от знака контрольной величины D i выбирается следующая точка и нужным образом изменяется сама контрольная величина. Процесс начинается в точке (0, r ), а первая точка, которую ставит процедура sim, имеет координаты (xc , yc +r ). При x = y процесс заканчивается.

На что вы сейчас смотрите? Если вы не из параллельной вселенной, где все сидят за векторными мониторами, то перед вами растровое изображение. Поглядите на эту полоску: /. Если придвинуться поближе к монитору, то можно увидеть пиксельные ступеньки, которые пытаются притвориться векторной линией. Для этой цели существует целая куча всевозможных алгоритмов растеризации, но я бы хотел рассказать об алгоритме Брезенхема и алгоритме У, которые находят приближение векторного отрезка в растровых координатах.

С проблемой растеризации мне довелось столкнуться во время работы над процедурным генератором планов зданий. Мне нужно было представить стены помещения в виде ячеек двумерного массива. Похожие задачи могут встретиться в физических расчётах, алгоритмах поиска пути или расчёте освещения, если используется разбиение пространства. Кто бы мог подумать, что знакомство с алгоритмами растеризации однажды может пригодиться?

Принцип работы алгоритма Брезенхема очень простой. Берётся отрезок и его начальная координата x . К иксу в цикле прибавляем по единичке в сторону конца отрезка. На каждом шаге вычисляется ошибка - расстояние между реальной координатой y в этом месте и ближайшей ячейкой сетки. Если ошибка не превышает половину высоты ячейки, то она заполняется. Вот и весь алгоритм.

Это была суть алгоритма, на деле всё выглядит следующим образом. Сначала вычисляется угловой коэффициент (y1 - у0)/(x1 - x0) . Значение ошибки в начальной точке отрезка (0,0) принимается равным нулю и первая ячейка заполняется. На следующем шаге к ошибке прибавляется угловой коэффициент и анализируется её значение, если ошибка меньше 0.5 , то заполняется ячейка (x0+1, у0) , если больше, то заполняется ячейка (x0+1, у0+1) и из значения ошибки вычитается единица. На картинке ниже жёлтым цветом показана линия до растеризации, зелёным и красным - расстояние до ближайших ячеек. Угловой коэффициент равняется одной шестой, на первом шаге ошибка становится равной угловому коэффициенту, что меньше 0.5 , а значит ордината остаётся прежней. К середине линии ошибка пересекает рубеж, из неё вычитается единица, а новый пиксель поднимается выше. И так до конца отрезка.

Ещё один нюанс. Если проекция отрезка на ось x меньше проекции на ось y или начало и конец отрезка переставлены местами, то алгоритм не будет работать. Чтобы этого не случилось, нужно проверять направление вектора и его наклон, а потом по необходимости менять местами координаты отрезка, поворачивать оси, и, в конечном итоге, сводить всё к какому-то одному или хотя бы двум случаям. Главное не забывать во время рисования возвращать оси на место.

Для оптимизации расчётов, применяют трюк с умножением всех дробных переменных на dx = (x1 - x0) . Тогда на каждом шаге ошибка будет изменяться на dy = (y1 - y0) вместо углового коэффициента и на dx вместо единицы. Также можно немного поменять логику, «передвинуть» ошибку так, чтобы граница была в нуле, и можно было проверять знак ошибки, это может быть быстрее.

Примерно так может выглядеть код для рисования растровой линии по алгоритму Брезенхема. Псевдокод из Википедии переделанный под C#.

void BresenhamLine(int x0, int y0, int x1, int y1) { var steep = Math.Abs(y1 - y0) > Math.Abs(x1 - x0); // Проверяем рост отрезка по оси икс и по оси игрек // Отражаем линию по диагонали, если угол наклона слишком большой if (steep) { Swap(ref x0, ref y0); // Перетасовка координат вынесена в отдельную функцию для красоты Swap(ref x1, ref y1); } // Если линия растёт не слева направо, то меняем начало и конец отрезка местами if (x0 > x1) { Swap(ref x0, ref x1); Swap(ref y0, ref y1); } int dx = x1 - x0; int dy = Math.Abs(y1 - y0); int error = dx / 2; // Здесь используется оптимизация с умножением на dx, чтобы избавиться от лишних дробей int ystep = (y0 < y1) ? 1: -1; // Выбираем направление роста координаты y int y = y0; for (int x = x0; x <= x1; x++) { DrawPoint(steep ? y: x, steep ? x: y); // Не забываем вернуть координаты на место error -= dy; if (error < 0) { y += ystep; error += dx; } } }

У алгоритма Брезенхэма есть модификация для рисования окружностей. Там всё работает по схожему принципу, в чём-то даже проще. Расчёт идёт для одного октанта, а все остальные куски окружности дорисовываются по симметрии.

Пример кода рисования окружности на C#.

void BresenhamCircle(int x0, int y0, int radius) { int x = radius; int y = 0; int radiusError = 1 - x; while (x >= y) { DrawPoint(x + x0, y + y0); DrawPoint(y + x0, x + y0); DrawPoint(-x + x0, y + y0); DrawPoint(-y + x0, x + y0); DrawPoint(-x + x0, -y + y0); DrawPoint(-y + x0, -x + y0); DrawPoint(x + x0, -y + y0); DrawPoint(y + x0, -x + y0); y++; if (radiusError < 0) { radiusError += 2 * y + 1; } else { x--; radiusError += 2 * (y - x + 1); } } }

Теперь про алгоритм У Сяолиня для рисования сглаженных линий. Он отличается тем, что на каждом шаге ведётся расчёт для двух ближайших к прямой пикселей, и они закрашиваются с разной интенсивностью, в зависимости от удаленности. Точное пересечение середины пикселя даёт 100% интенсивности, если пиксель находится на расстоянии в 0.9 пикселя, то интенсивность будет 10%. Иными словами, сто процентов интенсивности делится между пикселями, которые ограничивают векторную линию с двух сторон.

На картинке выше красным и зелёным цветом показаны расстояния до двух соседних пикселей.

Для расчёта ошибки можно использовать переменную с плавающей запятой и брать значение ошибки из дробной части.

Примерный код сглаженной линии У Сяолиня на C#.

private void WuLine(int x0, int y0, int x1, int y1) { var steep = Math.Abs(y1 - y0) > Math.Abs(x1 - x0); if (steep) { Swap(ref x0, ref y0); Swap(ref x1, ref y1); } if (x0 > x1) { Swap(ref x0, ref x1); Swap(ref y0, ref y1); } DrawPoint(steep, x0, y0, 1); // Эта функция автоматом меняет координаты местами в зависимости от переменной steep DrawPoint(steep, x1, y1, 1); // Последний аргумент - интенсивность в долях единицы float dx = x1 - x0; float dy = y1 - y0; float gradient = dy / dx; float y = y0 + gradient; for (var x = x0 + 1; x <= x1 - 1; x++) { DrawPoint(steep, x, (int)y, 1 - (y - (int)y)); DrawPoint(steep, x, (int)y + 1, y - (int)y); y += gradient; } }

Если вам вдруг в будущем придётся работать с сетками, задумайтесь ненадолго, возможно вы изобретаете велосипед и на самом деле вы работаете с пикселями, хотя и не знаете этого. Модификации этих алгоритмов можно использовать в играх для поиска ячеек перед юнитом на карте, расчёта области поражения выстрела или красивой расстановки объектов. Или можно просто рисовать линии, как в программе по ссылкам ниже.