Нод онлайн вычисление. Сложение и вычитание дробей. Наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида для нахождения НОД

Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК - наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД . Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК) , и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.

Навигация по странице.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД . Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .

Решение.

В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.

Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .

Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .

Ответ:

НОК(126, 70)=630 .

Пример.

Чему равно НОК(68, 34) ?

Решение.

Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 .

Ответ:

НОК(68, 34)=68 .

Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b : если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители . Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел .

Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).

Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5 ), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .

Пример.

Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

Решение.

Разложим числа 441 и 700 на простые множители:

Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .

Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7 ): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

Ответ:

НОК(441, 700)= 44 100 .

Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .

Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .

Решение.

Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .

Ответ:

НОК(84, 648)=4 536 .

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.

Теорема.

Пусть даны целые положительные числа a 1 , a 2 , …, a k , наименьшее общее кратное m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , …, m k =НОК(m k−1 , a k) .

Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

Пример.

Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение.

В этом примере a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Сначала находим m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m 2 =1 260 .

Теперь находим m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 . Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m 3 =3 780 .

Осталось найти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m 4 =94 500 .

Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .

Ответ:

НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 .

Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее .

Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Решение.

Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – простое число , оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .

Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7 ) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 . Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 .

Признаки делимости натуральных чисел.

Числа, делящиеся без остатка на 2, называются четными .

Числа, которые не делятся без остатка на 2, называются нечетными .

Признак делимости на 2

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится без остатка на 2.

Например, числа 6 0 , 30 8 , 8 4 делятся без остатка на 2, а числа 5 1 , 8 5 , 16 7 не делятся без остатка на 2.

Признак делимости на 3

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Например, выясним, делится ли на 3 число 2772825. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - делится на 3. Значит, число 2772825 делится на 3.

Признак делимости на 5

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

Например, числа 1 5 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 делятся без остатка на 5, а числа 1 7 , 37 8 , 9 1 не делятся.

Признак делимости на 9

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Например, выясним, делится ли на 9 число 5402070. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - не делится на 9. Значит, число 5402070 не делится на 9.

Признак делимости на 10

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.

Например, числа 4 0 , 17 0 , 1409 0 делятся без остатка на 10, а числа 1 7 , 9 3 , 1430 7 - не делятся.

Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

3) найти произведение оставшихся множителей.

Пример. Найдем НОД (48;36). Воспользуемся правилом.

1. Разложим числа 48 и 36 на простые множители.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Из множителей, входящих в разложение числа 48 вычеркнем те, которые не входят в разложение числа 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Остаются множители 2, 2 и 3.

3. Перемножим оставшиеся множители и получим 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

НОД (48;36) = 2 · 2 · 3 = 12.

Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК).

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

4) найти произведение получившихся множителей.

Пример. Найдем НОК (75;60). Воспользуемся правилом.

1. Разложим числа 75 и 60 на простые множители.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Выпишем множители, входящие в разложение числа 75: 3, 5, 5.

НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Добавим к ним недостающие множители из разложения числа 60, т.е. 2, 2.

НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Найдем произведение получившихся множителей

НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

С понятиями наибольшего общего делителя(НОД) и наименьшего общего кратного(НОК) учащиеся средней школы, встречаются в шестом классе. Данная тема всегда трудна для усвоения. Дети часто путают эти понятия, не понимают, зачем их нужно изучать. В последнее время и в научно-популярной литературе встречаются отдельные высказывания о том, что данный материал нужно исключить из школьной программы. Думаю, что это не совсем верно, и изучать его нужно если не на уроках, то во внеурочное время на занятиях школьного компонента обязательно, так как это способствует развитию логического мышления школьников, повышению скорости вычислительных операций, умению решать задачи красивыми методами.

При изучении темы "Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями" мы учим детей находить общий знаменатель двух или более чисел. Например, нужно сложить дроби 1/3 и 1/5. Учащиеся без труда находят число, делящееся без остатка на 3 и 5 . Это число 15. Действительно, если числа небольшие, то их общий знаменатель найти легко, зная хорошо таблицу умножения. Кто-то из ребят замечает, что это число является произведением чисел 3 и 5. У детей складывается мнение, что всегда таким образом можно найти общий знаменатель для чисел. К примеру вычитаем дроби 7/18 и 5/24. Найдем произведение чисел 18 и 24 . Оно равно 432. Получили уже большое число, а если дальше нужно производить какие-то вычисления(особенно это касается примеров на все действия), то вероятность ошибки возрастает. А вот найденное наименьшее общее кратное чисел (НОК), что в этом случае равнозначно наименьшему общему знаменателю (НОЗ)-число 72 -значительно облегчит вычисления и приведет к более быстрому решению примера, а тем самым сэкономит время, отведенное на выполнение данного задания, что играет немаловажную роль при выполнении итоговых тестовых, контрольных работ, особенно во время итоговой аттестации.

При изучении темы "Сокращение дробей" можно двигаться последовательно деля числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, используя при этом признаки делимости чисел, получив в конечном итоге несократимую дробь. Например, нужно сократить дробь 128/344. Разделим сначала числитель и знаменатель дроби на число 2, получим дробь 64/172. Ещё раз поделим числитель и знаменатель полученной дроби на 2, получим дробь 32/86. Поделить ещё раз числитель и знаменатель дроби на 2 , получим несократимую дробь 16/43. Но сокращение дроби можно выполнить гораздо проще, если мы найдем наибольший общий делитель чисел 128 и 344. НОД(128, 344) = 8. Разделив числитель и знаменатель дроби на это число, получим сразу несократимую дробь.

Нужно показать детям разные способы нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК)чисел. В простых случаях удобно находить наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)чисел путем простого перебора. Когда числа становятся больше, можно использовать разложение чисел на простые множители. В учебнике шестого класса (автор Н.Я.Виленкин)показан следующий способ нахождения наибольшего общего делителя (НОД)чисел. Разложим числа на простые множители:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

Затем из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркиваем те, которые не входят в разложение другого числа. Произведение оставшихся множителей и будет являться наибольшим общим делителем этих чисел. В данном случае это число 8. На своем опыте убедилась в том, что детям более понятно, если мы подчеркиваем одинаковые множители в разложениях чисел, а затем в одном из разложений находим произведение подчеркнутых множителей. Это и есть наибольший общий делитель данных чисел. В шестом классе дети активны и любознательны. Можно поставить перед ними следующую задачу: попробуйте описанным способом найти наибольший общий делитель чисел 343 и 287. Сразу не видно, как разложить их на простые множители. И вот здесь можно рассказать им про замечательный способ, придуманный древними греками, позволяющий искать наибольший общий делитель(НОД)без разложения на простые множители. Этот метод отыскания наибольшего общего делителя впервые описан в книге Евклида "Начала". Его называют алгоритмом Евклида. Заключается он в следующем: Вначале делят большее число на меньшее. Если получается остаток, то делят меньшее число на остаток. Если снова получается остаток, то делят первый остаток на второй. Так продолжают делить до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель (НОД)данных чисел.

Вернемся к нашему примеру и для наглядности запишем решение в виде таблицы.

Делимое	Делитель	Частное	Остаток
343	287	1	56
287	56	5	7
56	7	8	0

Итак, НОД(344,287) = 7

А как найти наименьшее общее кратное (НОК) тех же чисел? Нет ли и для этого какого-нибудь способа, не требующего предварительного разложения этих чисел на простые множители? Оказывается, есть, и притом очень простой. Нужно перемножить эти числа и разделить произведение на найденный нами наибольший общий делитель(НОД). В данном примере произведение чисел равно 98441. Делим его на 7 и получаем число 14063. НОК(343,287) = 14063.

Одной из трудных тем в математике является решение текстовых задач. Нужно показать учащимся, как с помощью понятий "Наибольший общий делитель (НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)" можно решать задачи, которые порой трудно решить обычным способом. Здесь уместно рассмотреть с учащимися наряду с задачами, предложенными авторами школьного учебника, старинные и занимательные задачи, развивающие любознательность детей и повышающие интерес к изучению данной темы. Умелое владение этими понятиями позволяет учащимся увидеть красивое решение нестандартной задачи. А если у ребенка после решения хорошей задачи поднимается настроение-это признак успешной работы.

Таким образом, изучение в школе таких понятий, как "Наибольший общий делитель(НОД)" и "Наименьшее общее кратное (НОК)"чисел

Позволяет экономить время, отводимое на выполнение работы, что приводит к значительному увеличению объема выполненных заданий;

Повышает скорость и точность выполнения арифметических операций, что ведет к значительному уменьшению количества допускаемых вычислительных ошибок;

Позволяет находить красивые способы решения нестандартных текстовых задач;

Развивает любознательность учащихся, расширяет их кругозор;

Создает предпосылки для воспитания разносторонней творческой личности.

Наибольший общий делитель

Определение 2

Если натуральное число a делится на натуральное число $b$, то $b$ называют делителем числа $a$, а число $a$ называют кратным числа $b$.

Пусть $a$ и $b$-натуральные числа. Число $c$ называют общим делителем и для $a$ и для $b$.

Множество общих делителей чисел $a$ и $b$ конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем $a$. Значит,среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел $a$ и $b$ и для его обозначения используют записи:

$НОД \ (a;b) \ или \ D \ (a;b)$

Чтобы найти наибольший общий делитель двух, чисел необходимо:

1. Найти произведение чисел, найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 1

Найти НОД чисел $121$ и $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=2\cdot 11=22$

Пример 2

Найти НОД одночленов $63$ и $81$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого:

Разложим числа на простые множители

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Найдем произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=3\cdot 3=9$

Найти НОД двух чисел можно и по-другому, используя множество делителей чисел.

Пример 3

Найти НОД чисел $48$ и $60$.

Решение:

Найдем множество делителей числа $48$: $\left\{{\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48}\right\}$

Теперь найдем множество делителей числа $60$:$\ \left\{{\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}\right\}$

Найдем пересечение этих множеств: $\left\{{\rm 1,2,3,4,6,12}\right\}$- данное множество будет определять множество общих делителей чисел $48$ и $60$. Наибольший элемент в данном множестве будет число $12$. Значит наибольший общий делитель чисел $48$ и $60$ будет $12$.

Определение НОК

Определение 3

Общим кратным натуральных чисел $a$ и $b$ называется натуральное число, которое кратно и $a$ и $b$.

Общими кратными чисел называются числа которые делятся на исходные без остатка.Например для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д

Наименьшее из общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК$(a;b)$ или K$(a;b).$

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

1. Разложить числа на простые множители
2. Выписать множители, входящие в состав первого числа и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

Пример 4

Найти НОК чисел $99$ и $77$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

Разложить числа на простые множители

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Выписать множители, входящие в состав первого

добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

$НОК=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Составление списков делителей чисел часто очень трудоемкое занятие. Существует способ нахождение НОД, называемый алгоритмом Евклида.

Утверждения, на которых основан алгоритм Евклида:

Если $a$ и $b$ --натуральные числа, причем $a\vdots b$, то $D(a;b)=b$

Если $a$ и $b$ --натуральные числа, такие что $b

Пользуясь $D(a;b)= D(a-b;b)$, можно последовательно уменьшать рассматриваемые числа до тех пор, пока не дойдем до такой пары чисел, что одно из них делится на другое. Тогда меньшее из этих чисел и будет искомым наибольшим общим делителем для чисел $a$ и $b$.

Свойства НОД и НОК

1. Любое общее кратное чисел $a$ и $b$ делится на K$(a;b)$
2. Если $a\vdots b$ , то К$(a;b)=a$

Если К$(a;b)=k$ и $m$-натуральное число, то К$(am;bm)=km$

Если $d$-общий делитель для $a$ и $b$,то К($\frac{a}{d};\frac{b}{d}$)=$\ \frac{k}{d}$

Если $a\vdots c$ и $b\vdots c$ ,то $\frac{ab}{c}$ - общее кратное чисел $a$ и $b$

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Любой общийй делитель чисел $a$ и $b$ является делителем числа $D(a;b)$

Определение. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и b, называют наибольшим общим делителем (НОД) этих чисел.

Найдём наибольший общий делитель чисел 24 и 35.
Делителями 24 будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут числа 1, 5, 7, 35.
Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий делитель - число 1. Такие числа называют взаимно простыми .

Определение. Натуральные числа называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Наибольший общий делитель (НОД) можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Разложим на множители числа 48 и 36, получим:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки).
Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.

Чтобы найти наибольший общий делитель

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произ ведение оставшихся множителей.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.
Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) натуральных чисел а и Ь называют наименьшее натуральное число, которое кратно и a, и b. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75 = 3 * 5 * 5, а 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа (т.е. объединяем множители).
Получаем пять множителей 2 * 2 * 3 * 5 * 5, произведение которых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

Так же находят наименьшее общее кратное для трёх и более чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.

Заметим, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.
Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа.

Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) совершенные. Следующие совершенные числа - 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое - 8128 - стало известно в I в. н. э. Пятое - 33 550 336 - было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т. е. простые числа - это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.
Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно - в одних частях ряда их больше, в других - меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число.
Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является ни простым, ни составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). в конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.