Правило рациональных чисел сравнение выражения. Сравнение рациональных чисел

Ход работы: начертите координатную прямую. С помощью координатной прямой выполните сравнение чисел:
Заполните таблицу:
Пример
7 и 5
5 и 0
7 и 0
4 и 6
9 и 10
8 и 3
Сравнить
модули
Знак числа с большим
модулем

|4| |6|
|9| |10|
|8| |3|

Ответ
7 5
5 0
7 0
4 6
9 10
8 3

________________________________________________________________________________________

знаками
Больше ______ ________ ________;

Лабораторнопрактическая работа Группа 2.
Тема: «Сравнение рациональных чисел»
Задача: Вывести правило сравнения рациональных чисел.
Ход работы: С помощью шкалы термометра выполните сравнение чисел:
Заполните таблицу:
Пример
7 и 5
5 и 0
7 и 0
4 и 6
9 и 10
8 и 3
Сравнить
модули
Знак числа с большим
модулем

|4| |6|
|9| |10|
|8| |3|

Ответ
7 5
5 0
7 0
4 6
9 10
8 3
Обратите внимание на модули сравниваемых чисел.
Сделайте вывод: из двух положительных чисел больше то
________________________________________________________________________________________
Сделайте вывод: из двух отрицательных чисел больше то
________________________________________________________________________________________
Положительное число отрицательного

Попробуйте сформулировать правило сравнения чисел с отрицательными знаками: из двух чисел с отрицательными
знаками
Больше ______ ________ ________;
Лабораторнопрактическая работа Группа 1.
Тема: «Сравнение рациональных чисел»
Задача: Вывести правило сравнения рациональных чисел.
Ход работы: С помощью понятия доход и долг выполните сравнение чисел:
Заполните таблицу:
Пример
7 и 5
5 и 0
7 и 0
4 и 6
9 и 10
8 и 3
Сравнить
модули
Знак числа с большим
модулем

|4| |6|
|9| |10|
|8| |3|

Ответ
7 5
5 0
7 0
4 6
9 10
8 3
Обратите внимание на модули сравниваемых чисел.
Сделайте вывод: из двух положительных чисел больше то
________________________________________________________________________________________
Сделайте вывод: из двух отрицательных чисел больше то
________________________________________________________________________________________
Положительное число отрицательного

Основываясь на полученных результатах сравните:
36 (33) 92 12 15 (18) 44 56

Попробуйте сформулировать правило сравнения чисел с разными знаками: из двух чисел с разными знаками
Больше ______ ________ ________;
Попробуйте сформулировать правило сравнения чисел с отрицательными знаками: из двух чисел с отрицательными
знаками
Больше ______ ________ ________;
Лабораторнопрактическая работа Группа 1.
Тема: «Сравнение рациональных чисел»
Задача: Вывести правило сравнения рациональных чисел.
Ход работы: С помощью понятия выигрыш и проигрыш выполните сравнение чисел:
Заполните таблицу:
Пример
7 и 5
5 и 0
7 и 0
4 и 6
9 и 10
8 и 3
Сравнить
модули
Знак числа с большим
модулем

|4| |6|
|9| |10|
|8| |3|

Ответ
7 5
5 0
7 0
4 6
9 10
8 3
Обратите внимание на модули сравниваемых чисел.
Сделайте вывод: из двух положительных чисел больше то
________________________________________________________________________________________
Сделайте вывод: из двух отрицательных чисел больше то
________________________________________________________________________________________
Положительное число отрицательного

Основываясь на полученных результатах сравните:
36 (33) 92 12 15 (18) 44 56
Попробуйте сформулировать правило сравнения чисел с разными знаками: из двух чисел с разными знаками
Больше ______ ________ ________;
Попробуйте сформулировать правило сравнения чисел с отрицательными знаками: из двух чисел с отрицательными
знаками
Больше ______ ________ ________;
1. Орг. момент.
2. Мотивация урока.
Ход урока.
Вы не раз слышали фразу “Все познается в сравнении”. И действительно, оценить чтолибо, хорошо это или плохо, можно лишь сравнивая с
какимлибо другим. Например, Наташа получила “5” за работу у доски. Хорошо это или плохо?
Это большой карандаш или маленький? Сравнивать предметы можно только по определенному признаку.
Например: сладкое мороженое и отрицательные числа?
А сравнивать математические объекты нужно, ибо только в сравнении мы познаем их наиболее важные свойства, изучаем их.
А мы сегодня продолжим изучать рациональные числа.
3. Актуализация опорных знаний.
Какую тему мы проходим?
Еще не зная про отрицательные числа мы уже встречались в жизни с ними, в каких ситуациях?
Как располагаются положительные и отрицательные числа на координатной прямой?

Как начертить координатную прямую?
Какое число называется отрицательным?
Что называется модулем числа?
Модуль какого числа больше: 3 или 2; 6 или –4. А какое число больше?
Модуль какого числа равен –20?
К числам 8, 4, 2/3, 0 подберите противоположные и обратные.
Какие числа мы называем рациональными?
С какими числами люди познакомились сначала и почему возникли другие числа?
(11), +(7), (+3)
Что больше и почему: 0 или 7; 3 или 29?
Математический диктант:
Записать с помощью рациональных чисел:
1. Коля потерял кошелек со 150 руб. (150)
2. Сегодня утром было 150 мороза (15)
3. Температура тела курицы 400 (400)
4. Зимой в Хандыге бывает 580мороза (580)
5. А летом доходит до 350 (+350)
6. Высота горы Козбек 5033 м (5033)
7. Высота самого глубокого места Тихого океана 11022м (11022)

8. Мама получила премию 300 руб. (+300)
9. Саша вырос на 3 см (+3)
10. Лед на реке стал тоньше на 8 см (8)
11. Туристы остановились у столба с отметкой 40км, а потом продолжили путь со скоростью 3 км/ч. У столба с какой отметкой будут
находиться туристы через 2 часа?
Решить:
а) |x| = 3; б) |z| = 2; в) |a| = 8; г) |c| = 6; д) |m| = 0; е) |n| = 0;

МАТЕМАТИКА
Уроки для 6 классов

Урок № 68

Тема. Сравнение рациональных чисел

Цель: на основе наблюдений и опыта учащихся вывести правило сравнения любых двух рациональных чисел и выработать умение использовать его для сравнения рациональных чисел и решения упражнений, предполагающих сравнение рациональных чисел.

Тип урока: применение знаний, умений и навыков.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания

@ По мнению автора, чтобы сэкономить время, надо проверить только № 3 , 4, 5 (особенно обращаем внимание на использование свойств умножения и сложения для упрощения вычислений в № 5). Все остальное проверяем, собрав тетради учеников.

II . Актуализация опорных знаний

Устные упражнения

2. Назовите числа, противоположные числам: 15; -3; -38; 0; a ; c + d .

3. Найдите модули чисел: 13; -8; -615; 0; а, если а - положительное, b , если b - отрицательное.

4. Решите уравнение: |х| = 3; |t | = 0,4; |в| = ; |u | = 0.

5. Поставьте вместо * знак «>» или «», чтобы запись была правильным: 35* 0,35; 35,1* 35,01; * ; 2,7 * 2.

III . Применение знаний

1. Сравнение чисел с помощью координатной прямой

Задача. Отметьте на координатной прямой числа 2; 5; 7; 4. Сравните числа: а) 2 и 5; б) 2 и 7; в) 2 и 4. Выясните с помощью координатной прямой, как расположено число 2 по отношению к каждому из других чисел.

@ Видим, что 2 слева от 5; 2 слева от 7, 2 слева от 4. Вспомним, что в 5 классе во время изучения темы сравнения натуральных чисел мы говорили, что на координатном луче меньше число всегда лежит слева, а больше - наоборот - справа. Вообще, на координатной прямой больше двух чисел лежит справа, а меньше - слева.

Пример. Сравните числа a , b , c , d , изображенные на рисунке (запишите в порядке возрастания).

Решения. b c a d , поскольку слева направо числа идут именно в таком порядке.

2. Правило сравнения рациональных чисел
Обратимся к координатной прямой.

Мы видим, что все положительные числа лежат справа от 0, а все отрицательные числа слева от 0, следовательно:

1) положительное число больше 0; отрицательное число меньше 0;

2) любое положительное число больше любого отрицательное число.

Например, 3 > 0; -3 0; -3 3; 3 > -3.

Если же оба числа (а и b ) отрицательные (см. рис), то

3) из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Например, - 3,7 > - 7,3, поскольку|-3,7| = 3,7; 3,7 7,3, поскольку |-7,3| = 7,3.

3. Вывод. Рациональные числа можно сравнивать как с помощью координатной прямой, так и с помощью правил сравнения. В первом случае: больше то число, которое лежит справа.

Во втором случае:

а) положительное > отрицательного; б) положительное > 0; в) отрицательное 0; г) из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

@ Вопрос символической записи этих правил не решаются однозначно и способ его решение зависит от подготовки учащихся.

IV . Усвоение умений

@ Так много времени на этом уроке потрачено на объяснение нового материала, времени на различные по содержанию и уровню упражнения не хватит. Поэтому главная цель - хорошо отработать применение правил сравнения рациональных чисел на стандартных упражнениях.

Устные упражнения

1. Прочитайте неравенства. Являются ли они правильными?

а) 0 3; б) 0 > -5; в) -7 0; г) -3 > 2; д) -7 1; е) -2 -5; ж) -5 -3.

2. Известно, что а b с. Какой из рисунков соответствует этому условию?
1) 2) 3) 4)

Письменные упражнения

1. Поставьте вместо * знак «>» или «», чтобы образовалась правильная неравенство:

г) -5,5 * -7,2;

д) -96,9 * -90,3;

есть) -100 * 0;

с) *;

к) *.

2. Расположите в порядке возрастания следующие числа:

1) -4; 3; -2; 1; 0; -1; 2; -3; 4;

2) -5,4; 4,3; -3,2; 2,1; -1,2; 2,3; -3,4.

3. Какое из чисел -5; -1; 8; 0; -5,3 больше всего? меньше? В которого из них наибольший модуль? наименьший модуль?

4. Заполните таблицу. Для этого в каждую ячейку впишите число, которое удовлетворяет оба условия:

5. Известно, что х и у - положительные числа, а т и п - отрицательные. Сравните:
а) 0 и n ; б) в и 0; в) -х и 0; г) 0 и -m ; д) х и т; е) n и х; ж) -m и n ; с) -х и у; к) |m | и m ; л) -|m | и m ; м) х и |х|; н) x и |-х|.

В этой статье дается подробный обзор наиболее важных моментов, касающихся сравнения рациональных чисел . Если знаки сравниваемых чисел различны, то можно сразу сказать, какое число больше, а какое меньше, поэтому в самом начале мы разберем правило сравнения рациональных чисел с разными знаками. Дальше остановимся на сравнении нуля с другим рациональным числом. После этого подробно остановимся на сравнении положительных рациональных чисел. Наконец, перейдем к правилу сравнения отрицательных рациональных чисел. Теорию будем разбавлять решениями характерных примеров.

Навигация по странице.

Сравнение рациональных чисел с разными знаками

Проще всего выполнить сравнение двух рациональных чисел, имеющих разные знаки . При этом используется правило сравнения чисел с разными знаками : любое положительное число больше любого отрицательного, а любое отрицательное число меньше положительного.

Например, из двух рациональных чисел 5/7 и −0,25 больше число 5/7 , так как оно положительное, а меньше число −0,25 , так как оно отрицательное. Еще пример: отрицательное рациональное число меньше, чем положительное рациональное число 0,000(1) .

Сравнение рационального числа с нулем

Очень просто проводится сравнение нуля с рациональным числом , отличным от нуля. При этом справедливо правило: любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля.

Приведем пару примеров сравнения рационального числа с нулем. Число 4/9 больше, чем 0 , так как 4/9 – положительное число, с другой стороны 0 меньше, чем 4/9 . Еще пример: число 0 больше, чем отрицательное рациональное число −45,5 , с другой стороны число −45,5 меньше нуля.

Также нужно сказать, про сравнение нуля с нулем : нуль равен нулю, то есть, 0=0 .

Здесь нужно заметить, что число нуль может быть записано в виде, отличном от 0 . Действительно, числу 0 отвечает любая запись вида 0/n , где n – любое натуральное число, или записи 0,0, 0,00, … , вплоть до 0,(0) . То есть, например, при сравнении двух рациональных чисел, записи которых имеют вид 0,00 и 0/3 , заключаем, что они равны, так как эти записи отвечают числам 0 и 0 соответственно.

Сравнение положительных рациональных чисел

Сравнение положительных рациональных чисел следует начинать со сравнения их целых частей. При этом используется следующее правило: больше то число, целая часть которого больше, а меньше то число, целая часть которого меньше.

Пример.

Какое из рациональных чисел 0,76 и больше?

Решение.

Сравниваемые рациональные числа положительные, причем достаточно очевидно, что целая часть числа 0,76 , равная нулю, меньше целой части числа , равной двум (при необходимости смотрите сравнение целых чисел). Следовательно, , значит, из двух исходных чисел больше число .

Ответ:

Нюансы в применении указанного выше правила могут возникнуть лишь тогда, когда одним из сравниваемых чисел является периодическая десятичная дробь с периодом 9 , о чем мы упоминали в разделе равные и неравные десятичные дроби .

Пример.

Сравните рациональные числа 15 и 14,(9) .

Решение.

Периодическая дробь с периодом 9 вида 14,(9) является лишь одной из форм записи числа 15 . То есть, 15=14,(9) .

Ответ:

Исходные рациональные числа равны.

Если же целые части сравниваемых рациональных чисел равны, итоговый результат сравнения поможет получить сравнение дробных частей. Дробную часть рационального числа всегда можно представить в виде обыкновенной дроби m/n , а также в виде конечной или периодической десятичной дроби . Таким образом, сравнение дробных частей двух положительных рациональных чисел всегда можно свести к сравнению обыкновенных дробей или к сравнению десятичных дробей . В итоге из двух положительных рациональных чисел с равными целыми частями больше то, дробная часть которого больше, а меньше то – дробная часть которого меньше.

Пример.

Проведите сравнение положительных рациональных чисел 3,7 и .

Решение.

Очевидно, целые части сравниваемых рациональных чисел равны 3=3 . Переходим к сравнению дробных частей, то есть, к сравнению чисел 0,7 и 2/3 .

Покажем два способа.

В первом из осуществим перевод десятичной дроби в обыкновенную : 0,7=7/10 . Приходим к сравнению обыкновенных дробей 7/10 и 2/3 . После их приведения к общему знаменателю 30 получаем , откуда следует, что и . Следовательно, .

Во втором варианте решения выполним перевод обыкновенной дроби в десятичную , имеем . Так от сравнения 0,7 и 2/3 мы пришли к сравнению десятичных дробей 0,7 и 0,(6) , результат которого таков: 0,7>0,(6) . Следовательно, и .

Очевидно, оба способа нас привели к одинаковому результату сравнения исходных рациональных чисел.

Ответ:

Если равны и целые и дробные части сравниваемых положительных рациональных чисел, то эти числа равны.

Пример.

Сравните числа 4,5 и .

Решение.

Очевидно, целые части чисел равны. Дробная часть числа 4,5 равна 0,5 , перевод этой десятичной дроби в обыкновенную дает 1/2 . Таким образом, дробные части исходные чисел тоже равны. Следовательно, исходные рациональные числа равны.

Ответ:

Закончим этот пункт следующим утверждением: если записи сравниваемых чисел полностью совпадают, то эти числа равны. Действительно, в этом случае равны и целые части и дробные части сравниваемых чисел. Например, равными являются рациональные числа 5,698 и 5,698 , также равны числа и .

Сравнение отрицательных рациональных чисел

Сравнение отрицательных рациональных чисел подчиняется правилу сравнения отрицательных чисел : из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, и меньше то, модуль которого больше.

Это правило сводит сравнение отрицательных рациональных чисел к сравнению положительных рациональных чисел, разобранному в предыдущем пункте.

В статье рассмотрим основные моменты по теме сравнения рациональных чисел. Изучим схему сравнения чисел с различными знаками, сравнения нуля с любым рациональным числом, а также более детально разберем сравнение положительных рациональных чисел и сравнение отрицательных рациональных чисел. Всю теорию закрепим практическими примерами.

Сравнение рациональных чисел с разными знаками

Сравнение заданных чисел с разными знаками является простым и очевидным.

Определение 1

Любое положительное число больше любого отрицательного, а любое отрицательное число меньше любого положительного.

Приведем простые примеры для иллюстрации: из двух рациональных чисел 4 7 и - 0 , 13 больше число 4 7 , т.к. оно является положительным. При сравнении чисел - 6 , 53 и 0 , 00 (1) очевидно, что число - 6 , 53 меньше, т.к. оно – отрицательное.

Сравнение рационального числа с нулем

Определение 2

Любое положительное число больше нуля; любое отрицательное число – меньше нуля.

Простые примеры для наглядности: число 1 4 больше, чем 0 . В свою очередь 0 меньше, чем

число 1 4 . Число - 6 , 57 меньше нуля, с другой стороны нуль больше, чем число - 6 , 57 .

Отдельно нужно сказать про сравнение нуля с нулем: нуль равен нулю, т.е. 0 = 0 .

Стоит также уточнить, что число нуль может быть представлено в виде, отличном от 0 . Нулю будет соответствовать любая запись вида 0 n (n – любое натуральное число) или 0 , 0 , 0 , 00 , … , до 0 , (0) . Таким образом, сравнивая два рациональных числа, имеющих записи, например, 0 , 00 и 0 3 , делаем вывод, что они равны, т.к. этим записям соответствует одно и то же число – нуль.

Сравнение положительных рациональных чисел

Производя действие сравнения положительных рациональных чисел, нужно в первую очередь сравнить их целые части.

Определение 3

Большим является то число, у которого целая часть больше. Соответственно меньшим является число, целая часть которого меньше.

Пример 1

Необходимо определить, какое из рациональных чисел меньше: 0 , 57 или 3 2 3 ?

Решение

Рациональные числа, заданные для сравнения, являются положительными. При этом очевидно, что целая часть числа 0 , 57 (равна 0) меньше, чем целая часть числа 3 2 3 (равна трем). Таким образом, 0 , 57 < 3 2 3 , т.е. из двух заданных чисел меньшим является число 0 , 57 .

Ответ: 0 , 57

Рассмотрим на практическом примере один нюанс используемого правила: ситуацию, когда одно из сравниваемых чисел – периодическая десятичная дробь с периодом 9 .

Пример 2

Необходимо сравнить рациональные числа 17 и 16 , (9) .

Решение

16 , (9) – это периодическая дробь с периодом 9 , являющаяся одной из форм записи числа 17 . Таким образом, 17 = 16 , (9) .

Ответ: заданные рациональные числа равны.

Мы рассмотрели практические примеры, когда целые части рациональных чисел не равны и подлежат сравнению. Если целые части заданных чисел равны, получить результат поможет сравнение дробных частей заданных чисел. Дробную часть всегда возможно записать в виде обыкновенной дроби вида m\n, конечной дроби или периодической десятичной дроби. Т.е. по сути сравнение дробных частей положительных чисел – это сравнение обыкновенных или десятичных дробей. Логично, что бОльшим из двух чисел с равными целыми частями является то, чья дробная часть больше.

Пример 3

Необходимо произвести сравнение положительных рациональных чисел: 4 , 8 и 4 3 5

Решение

Очевидно, что целые части чисел, подлежащих сравнению, равны. Тогда следующим шагом станет сравнение дробных частей: 0 , 8 и 3 5 . Здесь возможно использовать два способа:

Произведем перевод десятичной дроби в обыкновенную, тогда 0 , 8 = 8 10 . Сравним обыкновенные дроби 8 10 и 3 5 . Приведя их к общему знаменателю, получаем: 8 10 > 6 10 , т.е. 8 10 > 3 5 , соответственно 0 , 8 > 3 5 . Таким образом, 4 , 8 > 4 3 5 .
Произведем перевод обыкновенной дроби в десятичную, получим: 3 5 = 0 , 6 . Сравним полученные десятичные дроби 0 , 8 и 0 , 6: 0 , 8 > 0 , 6 . Следовательно: 0 , 8 > 3 5 , а 4 , 8 > 4 3 5 .

Мы видим, что в результате применения обоих способов получен одинаковый результат сравнения заданных исходных рациональных чисел.

Ответ: 4 , 8 > 4 3 5 .

Если равны целые и дробные части положительных рациональных чисел, которые мы сравниваем, то эти числа являются равными друг другу. При этом записи чисел могут различаться (например, 6 , 5 = 6 1 2), либо полностью совпадать (например, 7 , 113 = 7 , 113 или 51 3 4 = 51 3 4).

Сравнение отрицательных рациональных чисел

Определение 4

При сравнении двух отрицательных чисел бОльшим будет то число, модуль которого меньше и, соответственно, меньшим будет то число, модуль которого больше.

По сути указанное правило приводит сравнение двух отрицательных рациональных чисел к сравнению положительных, принцип которого мы разобрали выше.

Пример 4

Необходимо сравнить числа - 14 , 3 и - 3 9 11 .

Решение

Заданные числа являются отрицательными. Для сравнения определим их модули: | - 14 , 3 | = 14 , 3 и - 3 9 11 = 3 9 11 _formula_. Сравнение начнем с оценки целых частей заданных чисел: очевидно, что 14 > 3 , таким образом 14 , 3 > 3 9 11 . Применим правило сравнения отрицательных чисел, которое гласит, что больше то число, модуль которого меньше и тогда получим: - 14 , 3 > - 3 9 11 .

Ответ: - 14 , 3 > - 3 9 11 .

Пример 5

Необходимо сравнить отрицательные рациональные числа - 2 , 12 и - 2 4 25 .

Решение

Определим модули сравниваемых чисел. | - 2 , 12 | = 2 , 12 и - 2 4 25 = 2 4 25 . Мы видим, что целые части заданных чисел равны, значит необходимо произвести сранение их дробных частей: 0 , 12 и 4 25 . Воспользуемся способом перевода обыкновенной дроби в десятичную, тогда: 4 25 = 0 , 16 и 0 , 12 < 0 , 16 , т.е. 2 , 12 < 2 4 25 . Применим правило сравнения отрицательных рациональных чисел и получим: - 2 , 12 > - 2 4 25 .

Ответ: - 2 , 12 > - 2 4 25 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter