Исходными положениями дисперсионного анализа являются. Однофакторный дисперсионный анализ. Пример решения. Сумма квадратов типа I, II, III и IV

) предназначен для сравнения исключительно двух совокупностей. Однако часто он неверно используется для попарного сравнения большего количества групп (рис. 1), что вызывает т.н. эффект множественных сравнений (англ. multiple comparisons; Гланц 1999, с. 101-104). Об этом эффекте и о том, как с ним бороться, мы поговорим позднее. В этом же сообщении я опишу принципы однофакторного дисперсионного анализа , как раз предназначенного для одновременного сравнения средних значений двух и более групп. Принципы дисперсионного анализа (англ. an alysis o f va riance , ANOVA) были разработаны в 1920-х гг. сэром Рональдом Эйлмером Фишером (англ. Ronald Aylmer Fisher ) - "гением, едва не в одиночку заложившим основы современной статистики " (Hald 1998).

Может возникнуть вопрос: почему метод, используемый для сравнения средних значений, называется дисперсионным анализом? Все дело в том, что при установлении разницы между средними значениями мы в действительности сравниваем дисперсии анализируемых совокупностей. Однако обо всем по порядку...

Постановка задачи

Рассмотренный ниже пример заимствован из книги Maindonald & Braun (2010). Имеются данные о весе томатов (все растение целиком; weight , в кг), которые выращивали в течение 2 месяцев при трех разных экспериментальных условиях (trt , от treatment ) - на воде (water ), в среде с добавлением удобрения (nutrient ), а также в среде с добавлением удобрения и гербицида 2,4-D (nutrient+24D ):

# Создадим таблицу с данными: tomato <- data.frame (weight= c (1.5 , 1.9 , 1.3 , 1.5 , 2.4 , 1.5 , # water 1.5 , 1.2 , 1.2 , 2.1 , 2.9 , 1.6 , # nutrient 1.9 , 1.6 , 0.8 , 1.15 , 0.9 , 1.6 ) , # nutrient+24D trt = rep (c ("Water" , "Nutrient" , "Nutrient+24D" ) , c (6 , 6 , 6 ) ) ) # Просмотрим результат: weight weight trt 1 1.50 Water 2 1.90 Water 3 1.30 Water 4 1.50 Water 5 2.40 Water 6 1.50 Water 7 1.50 Nutrient 8 1.20 Nutrient 9 1.20 Nutrient 10 2.10 Nutrient 11 2.90 Nutrient 12 1.60 Nutrient 13 1.90 Nutrient+24D 14 1.60 Nutrient+24D 15 0.80 Nutrient+24D 16 1.15 Nutrient+24D 17 0.90 Nutrient+24D 18 1.60 Nutrient+24D

Переменная trt представляет собой фактор с тремя уровнями. Для более наглядного сравнения экспериментальных условий в последующем, сделаем уровень "water " базовым (англ. reference ), т.е. уровнем, с которым R будет сравнивать все остальные уровни. Это можно сделать при помощи функции relevel() :

Чтобы лучше понять свойства имеющихся данных, визуализируем их при помощи наблюдаемые различия между групповыми средними несущественны и вызваны влиянием случайных факторов (т.е. в действительности все полученные измерения веса растений происходят из одной нормально распределенной генеральной совокупности):

Подчеркнем еще раз, что рассматриваемый пример соответствует случаю однофакторного дисперсионного анализа: изучается действие одного фактора - условий выращивания (с тремя уровнями - Water , Nutrient и Nutrient+24D ) на интересующую нас переменную-отклик - вес растений.

К сожалению, исследователь почти никогда не имеет возможности изучить всю генеральную совокупность. Как же нам тогда узнать, верна ли приведенная выше нулевая гипотеза, располагая только выборочными данными? Мы можем сформулировать этот вопрос иначе: какова вероятность получить наблюдаемые различия между групповыми средними, извлекая случайные выборки из одной нормально распределенной генеральной совокупности ? Для ответа на этот вопрос на нам потребуется статистический критерий, который количественно характеризовал бы величину различий между сравниваемыми группами.

Введение

Цель работы: познакомится с таким статистическим методом, как дисперсионный анализ.

Дисперсионный анализ (от латинского Dispersio – рассеивание) – статистический метод, позволяющий анализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную. Метод был разработан биологом Р. Фишером в 1925 году и применялся первоначально для оценки экспериментов в растениеводстве. В дальнейшем выяснилась общенаучная значимость дисперсионного анализа для экспериментов в психологии, педагогике, медицине и др.

Целью дисперсионного анализа является проверка значимости различия между средними с помощью сравнения дисперсий. Дисперсию измеряемого признака разлагают на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия. Последующее сравнение таких слагаемых позволяет оценить значимость каждого изучаемого фактора, а также их комбинации.

При истинности нулевой гипотезы (о равенстве средних в нескольких группах наблюдений, выбранных из генеральной совокупности), оценка дисперсии, связанной с внутригрупповой изменчивостью, должна быть близкой к оценке межгрупповой дисперсии.

При проведении исследования рынка часто встает вопрос о сопоставимости результатов. Например, проводя опросы по поводу потребления какого-либо товара в различных регионах страны, необходимо сделать выводы, на сколько данные опроса отличаются или не отличаются друг от друга. Сопоставлять отдельные показатели не имеет смысла и поэтому процедура сравнения и последующей оценки производится по некоторым усредненным значениям и отклонениям от этой усредненной оценки. Изучается вариация признака. За меру вариации может быть принята дисперсия. Дисперсия σ2 – мера вариации, определяемая как средняя из отклонений признака, возведенных в квадрат.

На практике часто возникают задачи более общего характера – задачи проверки существенности различий средних выборочных нескольких совокупностей. Например, требуется оценить влияние различного сырья на качество производимой продукции, решить задачу о влиянии количества удобрений на урожайность с/х продукции.

Иногда дисперсионный анализ применяется, чтобы установить однородность нескольких совокупностей (дисперсии этих совокупностей одинаковы по предположению; если дисперсионный анализ покажет, что и математические ожидания одинаковы, то в этом смысле совокупности однородны). Однородные же совокупности можно объединить в одну и тем самым получить о ней более полную информацию, следовательно, и более надежные выводы.

Дисперсионный анализ

1.1 Основные понятия дисперсионного анализа

В процессе наблюдения за исследуемым объектом качественные факторы произвольно или заданным образом изменяются. Конкретная реализация фактора (например, определенный температурный режим, выбранное оборудование или материал) называется уровнем фактора или способом обработки. Модель дисперсионного анализа с фиксированными уровнями факторов называют моделью I, модель со случайными факторами - моделью II. Благодаря варьированию фактора можно исследовать его влияние на величину отклика. В настоящее время общая теория дисперсионного анализа разработана для моделей I.

В зависимости от количества факторов, определяющих вариацию результативного признака, дисперсионный анализ подразделяют на однофакторный и многофакторный.

Основными схемами организации исходных данных с двумя и более факторами являются:

Перекрестная классификация, характерная для моделей I, в которых каждый уровень одного фактора сочетается при планировании эксперимента с каждой градацией другого фактора;

Иерархическая (гнездовая) классификация, характерная для модели II, в которой каждому случайному, наудачу выбранному значению одного фактора соответствует свое подмножество значений второго фактора.

Если одновременно исследуется зависимость отклика от качественных и количественных факторов, т.е. факторов смешанной природы, то используется ковариационный анализ /3/.

При обработке данных эксперимента наиболее разработанными и поэтому распространенными считаются две модели. Их различие обусловлено спецификой планирования самого эксперимента. В модели дисперсионного анализа с фиксированными эффектами исследователь намеренно устанавливает строго определенные уровни изучаемого фактора. Термин «фиксированный эффект» в данном контексте имеет тот смысл, что самим исследователем фиксируется количество уровней фактора и различия между ними. При повторении эксперимента он или другой исследователь выберет те же самые уровни фактора. В модели со случайными эффектами уровни значения фактора выбираются исследователем случайно из широкого диапазона значений фактора, и при повторных экспериментах, естественно, этот диапазон будет другим.

Таким образом, данные модели отличаются между собой способом выбора уровней фактора, что, очевидно, в первую очередь влияет на возможность обобщения полученных экспериментальных результатов. Для дисперсионного анализа однофакторных экспериментов различие этих двух моделей не столь существенно, однако в многофакторном дисперсионном анализе оно может оказаться весьма важным.

При проведении дисперсионного анализа должны выполняться следующие статистические допущения: независимо от уровня фактора величины отклика имеют нормальный (Гауссовский) закон распределения и одинаковую дисперсию. Такое равенство дисперсий называется гомогенностью. Таким образом, изменение способа обработки сказывается лишь на положении случайной величины отклика, которое характеризуется средним значением или медианой. Поэтому все наблюдения отклика принадлежат сдвиговому семейству нормальных распределений.

Говорят, что техника дисперсионного анализа является "робастной". Этот термин, используемый статистиками, означает, что данные допущения могут быть в некоторой степени нарушены, но несмотря на это, технику можно использовать.

При неизвестном законе распределения величин отклика используют непараметрические (чаще всего ранговые) методы анализа.

В основе дисперсионного анализа лежит разделение дисперсии на части или компоненты. Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия σ2. Она является мерой вариации частных средних по группам вокруг общей средней и определяется по формуле:

,

где k - число групп;

nj - число единиц в j-ой группе;

Частная средняя по j-ой группе;

Общая средняя по совокупности единиц.

Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия σj2.

.

Между общей дисперсией σ02, внутригрупповой дисперсией σ2 и межгрупповой дисперсией существует соотношение:

Внутригрупповая дисперсия объясняет влияние неучтенных при группировке факторов, а межгрупповая дисперсия объясняет влияние факторов группировки на среднее значение по группе /2/.

Однофакторный дисперсионный анализ

Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:

x ij = μ + F j + ε ij, (1)

где х ij – значение исследуемой переменой, полученной на i-м уровне фактора (i=1,2,...,т) c j-м порядковым номером (j=1,2,...,n);

F i – эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора;

ε ij – случайная компонента, или возмущение, вызванное влиянием неконтролируемых факторов, т.е. вариацией переменой внутри отдельного уровня.

Основные предпосылки дисперсионного анализа:

Математическое ожидание возмущения ε ij равно нулю для любых i, т.е.

M(ε ij) = 0; (2)

Возмущения ε ij взаимно независимы;

Дисперсия переменной x ij (или возмущения ε ij) постоянна для

любых i, j, т.е.

D(ε ij) = σ 2 ; (3)

Переменная x ij (или возмущение ε ij) имеет нормальный закон

распределения N(0;σ 2).

Влияние уровней фактора может быть как фиксированным или систематическим (модель I), так и случайным (модель II).

Пусть, например, необходимо выяснить, имеются ли существенные различия между партиями изделий по некоторому показателю качества, т.е. проверить влияние на качество одного фактора - партии изделий. Если включить в исследование все партии сырья, то влияние уровня такого фактора систематическое (модель I), а полученные выводы применимы только к тем отдельным партиям, которые привлекались при исследовании. Если же включить только отобранную случайно часть партий, то влияние фактора случайное (модель II). В многофакторных комплексах возможна смешанная модель III, в которой одни факторы имеют случайные уровни, а другие – фиксированные.

Пусть имеется m партий изделий. Из каждой партии отобрано соответственно n 1 , n 2 , …, n m изделий (для простоты полагается, что n 1 =n 2 =...=n m =n). Значения показателя качества этих изделий представлены в матрице наблюдений:

x 11 x 12 … x 1n

x 21 x 22 … x 2n

………………… = (x ij), (i = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n).

x m1 x m2 … x mn

Необходимо проверить существенность влияния партий изделий на их качество.

Если полагать, что элементы строк матрицы наблюдений – это численные значения случайных величин Х 1 ,Х 2 ,...,Х m , выражающих качество изделий и имеющих нормальный закон распределения с математическими ожиданиями соответственно a 1 ,а 2 ,...,а m и одинаковыми дисперсиями σ 2 , то данная задача сводится к проверке нулевой гипотезы Н 0: a 1 =a 2 =...= а m , осуществляемой в дисперсионном анализе.

Усреднение по какому-либо индексу обозначено звездочкой (или точкой) вместо индекса, тогда средний показатель качества изделий i-й партии, или групповая средняя для i-го уровня фактора, примет вид:

где i* – среднее значение по столбцам;

Ij – элемент матрицы наблюдений;

n – объем выборки.

А общая средняя:

(5)

Сумма квадратов отклонений наблюдений х ij от общей средней ** выглядит так:

2 = 2 + 2 +

2 2 . (6)

Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 .

Последнее слагаемое равно нулю

так как сумма отклонений значений переменной от ее средней равна нулю, т.е.

2 =0.

Первое слагаемое можно записать в виде:

В результате получается тождество:

Q = Q 1 + Q 2 , (8)

где - общая, или полная, сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, или межгрупповая (факторная) сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений наблюдений от групповых средних, или внутригрупповая (остаточная) сумма квадратов отклонений.

В разложении (8) заключена основная идея дисперсионного анализа. Применительно к рассматриваемой задаче равенство (8) показывает, что общая вариация показателя качества, измеренная суммой Q, складывается из двух компонент – Q 1 и Q 2 , характеризующих изменчивость этого показателя между партиями (Q 1) и изменчивость внутри партий (Q 2), характеризующих одинаковую для всех партий вариацию под воздействием неучтенных факторов.

В дисперсионном анализе анализируются не сами суммы квадратов отклонений, а так называемые средние квадраты, являющиеся несмещенными оценками соответствующих дисперсий, которые получаются делением сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы.

Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений минус число связывающих их уравнений. Поэтому для среднего квадрата s 1 2 , являющегося несмещенной оценкой межгрупповой дисперсии, число степеней свободы k 1 =m-1, так как при его расчете используются m групповых средних, связанных между собой одним уравнением (5). А для среднего квадрата s22, являющегося несмещенной оценкой внутригрупповой дисперсии, число степеней свободы k2=mn-m, т.к. при ее расчете используются все mn наблюдений, связанных между собой m уравнениями (4).

Таким образом:

Если найти математические ожидания средних квадратов и , подставить в их формулы выражение xij (1) через параметры модели, то получится:

(9)

т.к. с учетом свойств математического ожидания

(10)

Для модели I с фиксированными уровнями фактора F i (i=1,2,...,m) – величины неслучайные, поэтому

M(S ) = 2 /(m-1) +σ 2 .

Гипотеза H 0 примет вид F i = F * (i = 1,2,...,m), т.е. влияние всех уровней фактора одно и то же. В случае справедливости этой гипотезы

M(S )= M(S )= σ 2 .

(12)

(13)

(14)

т.е. сами средние, вообще говоря, находить не обязательно.

Таким образом, процедура однофакторного дисперсионного анализа состоит в проверке гипотезы H 0 о том, что имеется одна группа однородных экспериментальных данных против альтернативы о том, что таких групп больше, чем одна. Под однородностью понимается одинаковость средних значений и дисперсий в любом подмножестве данных. При этом дисперсии могут быть как известны, так и неизвестны заранее. Если имеются основания полагать, что известная или неизвестная дисперсия измерений одинакова по всей совокупности данных, то задача однофакторного дисперсионного анализа сводится к исследованию значимости различия средних в группах данных /1/.

Чтобы проанализировать изменчивость признака под воздействием контролируемых переменных, применяется дисперсионный метод.

Для изучения связи между значениями – факторный метод. Рассмотрим подробнее аналитические инструменты: факторный, дисперсионный и двухфакторный дисперсионный метод оценки изменчивости.

Дисперсионный анализ в Excel

Условно цель дисперсионного метода можно сформулировать так: вычленить из общей вариативности параметра 3 частные вариативности:

• 1 – определенную действием каждого из изучаемых значений;
• 2 – продиктованную взаимосвязью между исследуемыми значениями;
• 3 – случайную, продиктованную всеми неучтенными обстоятельствами.

В программе Microsoft Excel дисперсионный анализ можно выполнить с помощью инструмента «Анализ данных» (вкладка «Данные» - «Анализ»). Это надстройка табличного процессора. Если надстройка недоступна, нужно открыть «Параметры Excel» и включить настройку для анализа .

Работа начинается с оформления таблицы. Правила:

1. В каждом столбце должны быть значения одного исследуемого фактора.
2. Столбцы расположить по возрастанию/убыванию величины исследуемого параметра.

Рассмотрим дисперсионный анализ в Excel на примере.

Психолог фирмы проанализировал с помощью специальной методики стратегии поведения сотрудников в конфликтной ситуации. Предполагается, что на поведение влияет уровень образования (1 – среднее, 2 – среднее специальное, 3 – высшее).

Внесем данные в таблицу Excel:

Значимый параметр залит желтым цветом. Так как Р-Значение между группами больше 1, критерий Фишера нельзя считать значимым. Следовательно, поведение в конфликтной ситуации не зависит от уровня образования.



Факторный анализ в Excel: пример

Факторным называют многомерный анализ взаимосвязей между значениями переменных. С помощью данного метода можно решить важнейшие задачи:

• всесторонне описать измеряемый объект (причем емко, компактно);
• выявить скрытые переменные значения, определяющие наличие линейных статистических корреляций;
• классифицировать переменные (определить взаимосвязи между ними);
• сократить число необходимых переменных.

Рассмотрим на примере проведение факторного анализа. Допустим, нам известны продажи каких-либо товаров за последние 4 месяца. Необходимо проанализировать, какие наименования пользуются спросом, а какие нет.

Теперь наглядно видно, продажи какого товара дают основной рост.

Двухфакторный дисперсионный анализ в Excel

Показывает, как влияет два фактора на изменение значения случайной величины. Рассмотрим двухфакторный дисперсионный анализ в Excel на примере.

Задача. Группе мужчин и женщин предъявляли звук разной громкости: 1 – 10 дБ, 2 – 30 дБ, 3 – 50 дБ. Время ответа фиксировали в миллисекундах. Необходимо определить, влияет ли пол на реакцию; влияет ли громкость на реакцию.

Основной целью дисперсионного анализа, фундаментальная концепция которого была предложена Фишером в 1920 г., Является исследование значимости различия между средними нескольких групп данных или переменных. Если сравниваются средние двух групп, дисперсионный анализ даст тот же результат, что и обычный г-критерий для независимых или зависимых выборок. Однако использование дисперсионного анализа имеет преимущества особенно для малых выборок.

В дисперсионном анализе проверка статистической значимости различия между средними нескольких групп осуществляется на основе выборочных дисперсий. Эта проверка проводится с помощью разбиения общей дисперсии (вариации) на части, одна из которых обусловлена случайной ошибкой (то есть внут-ришньогруповою изменчивостью), а вторая связана с различием средних значений. Если это различие значимо, нулевая гипотеза о существовании различия между средними значениями откидывается на определенном уровне значимости.

Дисперсионный однофакторный анализ

Дисперсионный однофакторный анализ используется в исследованиях изменения результативного признака под влиянием изменения условий или градаций фактора. Суть математических преобразований дисперсионной метода заключается в том, чтобы сопоставить дисперсии по факторам с дисперсией всех значений, полученных в эксперименте. Однофакторный анализ требует не менее трех градаций фактора и не менее двух испытаний в каждой градации. При проведении дисперсионного анализа необходимо проверить нормальность распределения исследуемой случайной величины и отсутствие различия дисперсий совокупностей. Это можно выполнить методами проверки статистических гипотез (см.раздел 5).

Предположим, что анализируется влияние фактора А на к уровнях А 1, ^ 4 2, а к. Например, в эксперименте это можно реализовать, если задействовать к выборок с различными градациями условий. На каждом уровне Ли (для каждой выборки) проведения п спостереженьх / 1, х / 2, х ш (см. Табл. 6.1).

Таблица 6.1

Номера наблюдений	Уровни фактора А
		х 21 ooo
	х первых	х 2 И o
			х кп
		Х2 o ..

Рассмотрим оценки различных дисперсий.

Дисперсия я 2 для уровня Аи (для определенной выборки) может быть записана как

Дисперсия я 0, характеризующий вариативность вне влияния фактора А

Общая дисперсия я всех пк наблюдений равна

Дисперсия я 2 А, характеризующий изменение средних х / под влиянием фактора А:

1 к _ =

к ~ 1 ¡= 1

Проверка влияния фактора А на смену средних может быть сведена к сравнению дисперсий я 2 А и я 2. Влияние фактора А считаться значимым на гальке

а если является значимым отношение 5 1я 2, то есть если

5 2 Л и ^> ^ а [к 1; к (п -1)], где к 1; к (п -1) - степени свободы ^ -распределение, 5 и я 7] - ^ -критерий Фишера. Пример 6.1. Двести предположение о том, что фактор скорости предъявления слов влияет на показатели их воспроизведения (данные в таблице рис. 8.1). Последовательность решения:

o Формулировка гипотез.

Н 0: фактор скорости не более выраженным, чем случайным; Н 1: фактор скорости более выраженным, чем случайным.

o Проверка предположений: исследуемый параметр нормальный распределение; выборки несвязанные одинаковых объемов; измерения по шкале отношений.

o Определение эмпирического критерия Г ЭМП базируется на сопоставлении квадратов сумм по столбцам с суммой квадратов всех эмпирических значений. Каждый столбец представляет выборку и соответствует определенной градации фактора скорости.

o Введенные обозначения:

п = 6 - количество наблюдений (строк)

к = 3 - количество факторов (столбиков)

пк = 6-3 = 18 - общее количество индивидуальных значений;

7 - индекс строк изменяется от 1 до п (7 = 1, 2, ..., п)

и - индекс столбиков изменяется от 1 до к (и = 1, 2, ..., к).

o Математические расчеты (см. рис 6.1 6.2):

i = 1 7 = 1 п м кп ^ и = 1)

Есть 1 = 6 2 + семь 2 + 6 2 + 5 2 + _ + 5 2 + 5 2 = 432; и 2 = - (34 2 + +29 2 + 23 2) = 421;

и 3 ^^ (34 + 29 + 23) 2 = 410,89; 3 o 6

Рис. 6.1. Результаты Рис. 6.2. Расчетные формулы

дисперсионного анализа однофакторного дисперсионного анализа

o Критическое значение ^ кр можно получить с помощью функции

РРАСПОБР () для уровня значимости для а = 0,05 (0,01) и числа степеней свободы к 1 = 3-1 = 2 и к (п -1) = 3 (6-1) = 15. Г 0и05 ~ 3,68 и Г 0и01 ~ 6,36.

o Принятие решения. Поскольку ¥ ГМП> Р 0? 01 (6,89> 6,36), нулевая гипотеза Н 0 отклоняется на уровне значимости 0,01.

o Формулировка выводов. Различия в объеме воспроизведения слов (фактор скорости) более выраженными, чем случайным. Эту зависимость можно представить графически на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Зависимость среднего объема воспроизведенных слов от скорости предъявления

Расчеты однофакторной модели можно провести с помощью пакета "Анализ данных" раздел "Однофакторный дисперсионный анализ" (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Меню пакета "Анализ данных" После введения соответствующих параметров (рис. 6.5) можно получить результаты однофакторного дисперсионного анализа (рис. 6.6).

Рис. 6.5. Диалоговое окно

Рис. 6.6. Результаты однофакторного дисперсионного анализа (а = 0,05)

Компьютерный пакет "Анализ данных" выполняет расчеты основных статистик (суммы, средние, дисперсии, значение эмпирических и теоретических критериев и т.п.), что дает основания исследователю для статистических выводов.

Задание . Студентов 1-го курса опрашивали с целью выявления занятий, которым они посвящают свое свободное время. Проверьте, различаются ли распределение вербальных и невербальных предпочтений студентов.

Решение проводим с использованием калькулятора .
Находим групповые средние:

N	П 1	П 2
1	12	17
2	18	19
3	23	25
4	10	7
5	15	17
x ср	15.6	17

Обозначим р - количество уровней фактора (р=2). Число измерений на каждом уровне одинаково и равно q=5.
В последней строке помещены групповые средние для каждого уровня фактора.
Общую среднюю можно получить как среднее арифметическое групповых средних:
(1)
На разброс групповых средних процента отказа относительно общей средней влияют как изменения уровня рассматриваемого фактора, так и случайные факторы.
Для того чтобы учесть влияние данного фактора, общая выборочная дисперсия разбивается на две части, первая из которых называется факторной S 2 ф, а вторая - остаточной S 2 ост.
С целью учета этих составляющих вначале рассчитывается общая сумма квадратов отклонений вариант от общей средней:

и факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая и характеризует влияние данного фактора:

Последнее выражение получено путем замены каждой варианты в выражении R общ групповой средней для данного фактора.
Остаточная сумма квадратов отклонений получается как разность:
R ост = R общ - R ф
Для определения общей выборочной дисперсии необходимо R общ разделить на число измерений pq:

а для получения несмещенной общей выборочной дисперсии это выражение нужно умножить на pq/(pq-1):

Соответственно, для несмещенной факторной выборочной дисперсии:

где p-1 - число степеней свободы несмещенной факторной выборочной дисперсии.
С целью оценки влияния фактора на изменения рассматриваемого параметра рассчитывается величина:

Так как отношение двух выборочных дисперсий S 2 ф и S 2 ост распределено по закону Фишера-Снедекора, то полученное значение f набл сравнивают со значением функции распределения

в критической точке f кр, соответствующей выбранному уровню значимости a.
Если f набл >f кр, то фактор оказывает существенное воздействие и его следует учитывать, в противном случае он оказывает незначительное влияние, которым можно пренебречь.
Для расчета R набл и R ф могут быть использованы также формулы:
(4)
(5)
Находим общую среднюю по формуле (1):
Для расчета Rобщ по формуле (4) составляем таблицу 2 квадратов вариант:

N	П 2 1	П 2 2
1	144	289
2	324	361
3	529	625
4	100	49
5	225	289
∑	1322	1613

Общая средняя вычисляется по формуле (1):

R общ = 1322 + 1613 - 5 2 16.3 2 = 278.1
Находим R ф по формуле (5):
R ф = 5(15.6 2 + 17 2) - 2 16.3 2 = 4.9
Получаем R ост: R ост = R общ - R ф = 278.1 - 4.9 = 273.2
Определяем факторную и остаточную дисперсии :


Если средние значения случайной величины, вычисленные по отдельным выборкам одинаковы, то оценки факторной и остаточной дисперсий являются несмещенными оценками генеральной дисперсии и различаются несущественно.
Тогда сопоставление оценок этих дисперсий по критерию Фишера должно показать, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий отвергнуть нет оснований.
Оценка факторной дисперсии меньше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать справедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки.
Иначе говоря, в данном примере фактор Ф не оказывает существенного влияния на случайную величину.
Проверим нулевую гипотезу H 0: равенство средних значений х.
Находим f набл

Для уровня значимости α=0.05, чисел степеней свободы 1 и 8 находим f кр из таблицы распределения Фишера-Снедекора .
f кр (0.05; 1; 8) = 5.32
В связи с тем, что f набл < f кр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов отклоняем.
Другим словами, распределение вербальных и невербальных предпочтений студентов различаются.

Задание . На заводе установлено четыре линии по выпуску облицовочной плитки. С каждой линии случайным образом в течение смены отобрано по 10 плиток и сделаны замеры их толщины (мм). Отклонения от номинального размера приведены в таблице. Требуется на уровне значимости a = 0,05 установить наличие зависимости выпуска качественных плиток от линии выпуска (фактор A).

Задание . На уровне значимости a = 0,05 исследовать влияние цвета краски на срок службы покрытия.

Пример №1 . Произведено 13 испытаний, из них – 4 на первом уровне фактора, 4 – на втором, 3 – на третьем и 2 на четвертом. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых средних. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями. Результаты испытаний приведены в таблице.

Решение :
Находим групповые средние:

N	П 1	П 2	П 3	П 4
1	1.38	1.41	1.32	1.31
2	1.38	1.42	1.33	1.33
3	1.42	1.44	1.34	-
4	1.42	1.45	-	-
∑	5.6	5.72	3.99	2.64
x ср	1.4	1.43	1.33	1.32

Обозначим р - количество уровней фактора (р=4). Число измерений на каждом уровне равно: 4,4,3,2
В последней строке помещены групповые средние для каждого уровня фактора.
Общая средняя вычисляется по формуле:

Для расчета Sобщ по формуле (4) составляем таблицу 2 квадратов вариант:

N	П 2 1	П 2 2	П 2 3	П 2 4
1	1.9	1.99	1.74	1.72
2	1.9	2.02	1.77	1.77
3	2.02	2.07	1.8	-
4	2.02	2.1	-	-
∑	7.84	8.18	5.31	3.49

Общую сумму квадратов отклонений находят по формуле:


Находим S ф по формуле:


Получаем S ост: S ост = S общ - S ф = 0.0293 - 0.0263 = 0.003
Определяем факторную дисперсию:

и остаточную дисперсию:

Если средние значения случайной величины, вычисленные по отдельным выборкам одинаковы, то оценки факторной и остаточной дисперсий являются несмещенными оценками генеральной дисперсии и различаются несущественно.
Тогда сопоставление оценок этих дисперсий по критерию Фишера должно показать, что нулевую гипотезу о равенстве факторной и остаточной дисперсий отвергнуть нет оснований.
Оценка факторной дисперсии больше оценки остаточной дисперсии, поэтому можно сразу утверждать не справедливость нулевой гипотезы о равенстве математических ожиданий по слоям выборки.
Иначе говоря, в данном примере фактор Ф оказывает существенное влияния на случайную величину.
Проверим нулевую гипотезу H 0: равенство средних значений х.
Находим f набл

Для уровня значимости α=0.05, чисел степеней свободы 3 и 12 находим f кр из таблицы распределения Фишера-Снедекора.
f кр (0.05; 3; 12) = 3.49
В связи с тем, что f набл > f кр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов принимаем (нулевую гипотезу о равенстве групповых средних отвергаем). Другими словами, групповые средние в целом различаются значимо.

Пример №2 . В школе 5 шестых классов. Психологу ставится задача, определить, одинаковый ли средний уровень ситуативной тревожности в классах. Для этого были приведены в таблице. Проверить уровень значимости α=0.05 предположение, что средняя ситуативная тревожность в классах не различается.

Пример №3 . Для изучения величины X произведено 4 испытания на каждом из пяти уровней фактора F. Результаты испытаний приведены в таблице. Выяснить, существенно ли влияние фактора F на величину X. Принять α = 0.05. Предполагается, что выборки извлечены из нормальных совокупностей с одинаковыми дисперсиями.

Пример №4 . Предположим, что в педагогическом эксперименте участвовали три группы студентов по 10 человек в каждой. В группах применили различные методы обучения: в первой - традиционный (F 1), во второй - основанный на компьютерных технологиях (F 2), в третьей - метод, широко использующий задания для самостоятельной работы (F 3). Знания оценивались по десятибалльной системе.
Требуется обработать полученные данные об экзаменах и сделать заключение о том, значимо ли влияние метода преподавания, приняв за уровень значимости α=0.05.
Результаты экзаменов заданы таблицей, F j - уровень фактора x ij - оценка i-го учащегося обучающегося по методике F j .

Уровень фактора

Пример №5 . Показаны результаты конкурсного сортоиспытания культур (урожайность в ц.с га). Каждый сорт испытывался на четырех участках. Методом дисперсионного анализа изучите влияние сорта на урожайность. Установите существенность влияния фактора (долю межгрупповой вариации в общей вариации) и значимость результатов опыта при уровне значимости 0,05.
Урожайность на сортоиспытательных участках

Сорт	Урожайность по повторностям ц. с га
	1	2	3	4
1 2 3	42,4 52,5 52,3	37,4 50,1 53,0	40,7 53,8 51,4	38,2 50,7 53,6