Волшебные палочки. Решётчатое умножение

В книге, изданной в 1617 году, шотландский ученый Джон Непер описал способ умножения с помощью палочек, который в дальнейшем получил название «Палочки Непера». В основу этого устройства лег принцип умножения решеткой, широко распространенный в XVII веке.

Для умножения решеткой использовалась таблица, содержащая столько столбцов, сколько разрядов у множимого, и столько строк, сколько разрядов у множителя. Над столбцами таблицы записывается множимое так, чтобы разряды числа находились каждый над своим столбцом. Справа от таблицы записывался множитель так, чтобы каждый разряд числа был напротив своей строки. При этом старший разряд записывался напротив верхней строки. В каждую ячейку таблицы записывался результат перемножения разряда множимого, находящегося над этой ячейкой, и разряда множителя, находящегося справа от этой ячейки. Причем для записи результата ячейка разделялась по диагонали на две части. В верхнюю часть записывался старший разряд результата, а в нижнюю – младший. Затем произведения суммировались по наклонным плоскостям справа налево. Полученная сумма и есть окончательный результат. Проиллюстрируем выше сказанное на примере 568 * 7:

1. Чертим решетку с тремя столбцами и одной строкой, разделяем ячейки решетки на две части по диагонали.

2. Умножаем старший разряд множимого на множитель (5*7 = 35) и записываем результат в первую ячейку, причем разряд десяток записываем в верхнюю часть ячейки, а разряд единиц - в нижнюю.

3. Умножаем разряд десятков множимого на множитель (6*7 = 42) и записываем результат во вторую ячейку.

4. Умножаем разряд единиц множимого на множитель (8*7 = 56) и записываем результат в третью ячейку.

5. Суммируем строку решетки по наклонной плоскости справа налево. Суммирование по наклонной плоскости проводится поразрядно с переносом переполнения в старший разряд. Каждый разряд равен сумме чисел в прилегающих друг к другу треугольниках соседних ячеек. Полученная сумма - это результат умножения.

На рисунке слева приведен пример умножения с помощью решетки для многоразрядного множителя. Все действия аналогичны примеру с одноразрядным множителем, только несколько усложняется суммирование по наклонной плоскости.

Используя этот способ умножения, Джон Непер создал свой прибор – «Палочки Непера». Он представлял собой набор палочек, в который входила одна палочка с нанесенными на нее цифрами от 1 до 9 (указатель строк) и палочки с таблицей умножения всех чисел от 1 до 9 (разряды множимого). Сверху каждой такой палочки наносилось число от 1 до 9, а вдоль длины – результаты умножения этого числа на все числа от 1 до 9. По сути дела палочки Непера представляли собой решетку для умножения числа 123456789 на число 123456789, разрезанную на столбцы.

Для умножения с помощью этого прибора выбирались палочки, соответствующие значениям разряда множимого, и выкладывались в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составляли множимое. Часто значения разрядов множимого повторялись, поэтому в наборе всегда было несколько палочек для каждого разряда. Слева прикладывали палочку с цифрами от 1 до 9 (указатель строк), по которой выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Затем каждая отобранная строка суммировалась по наклонной плоскости. Полученные результаты складывались между собой с учетом порядка разрядов множителя.

Рассмотрим технику умножения с помощью палочек Непера на примере перемножения чисел 4938 и 385:

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 3,4,8 и 9.

2. Выкладываем их вряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили число 4938.

3. Выкладываем слева указатель строк.

4. Ориентируясь по крайней левой палочке, проводим суммирование по наклонной плоскости для третьей строки. Суммирование проводится по этой строке, так как старший разряд множителя – три. Получаем результат суммирования 14814.

5. Аналогичные действия проводим для восьмой строки, так как второй разряд множителя – восемь. Результат суммирования – 39504.

6. Эти же действия проводим для младшего разряда множителя, которому соответствует пятая строка. Результат суммирования – 24690.

7. Складываем полученные ранее результаты с учетом порядка разрядов множителя. Так как первая сумма вычислялась для разряда сотен, то умножаем ее на 100. Соответственно вторую сумму умножаем на 10, а третью оставляем без изменения. Складываем полученные результаты: 1 481 400 + 395 040 + 24690 = 1 901 130. Полученная сумма и есть результат перемножения чисел 49380 и 385.

Палочки Непера могли использоваться не только для умножения, но и для деления, и излечения квадратного корня. Рассмотрим технику деления на примере 491756 / 3852 = 127.6625:

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 2,3,5 и 8.

2. Выкладываем их в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили делитель (3852).

3. Суммируем по наклонной плоскости первый ряд и записываем напротив него результат. Эту же операцию проделываем с оставшимися восемью рядами.

4. Теперь приступаем непосредственно к делению. На этом этапе необходимо найти наибольшее число из столбца сумм, но при этом оно должно быть меньше делимого с учетом разрядности. То есть необходимо привести числа из столбца сумм к единому порядку с делимым и уже из этих чисел выбирать нужное нам. Для нашего примера - это число из первой строки с учетом приведения к единому порядку с делимым 385200. Вычитаем найденное число (385200) из делимого и получаем старший разряд результат и остаток. Старший разряд результата будет 1, так как мы выбрали число из первой строки. Остаток от деления будет 491756 - 385200 = 106556.

5. Повторяем действия, описанные в пункте 4, но применительно к остатку от деления. В результате получаем следующий разряд результата (2) и новый остаток (29516). Повторяем эти действия до тех пор, пока остаток больше делителя. Когда остаток от деления становится меньше делителя, означает, что найдена целая часть результата. В нашем случае это произойдет после трех итераций, и целая часть результата будет 127.

6. Увеличиваем остаток от деления в 10 раз и проводим с ним описанные выше действия, в результате получаем десятые доли результата (для нашего примера 6) и новый остаток. Повторяем эти действия до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность деления или остаток не будет равен нулю.

Для извлечения квадратного корня использовалась дополнительная палочка, имеющая три столбца. Первый столбец содержал возведенные в квадрат значения указателя строк. Второй столбец содержал числа, получаемые умножением значения указателя строк на два. Третий столбец содержал числа от 1 до 9. Для того, чтобы понять, как производилось вычисления квадратного корня с помощью палочек Непера, рассмотрим пример извлечения квадратного корня из числа 56349.

Извлечение квадратного корня происходит поэтапно. Число разбивают на группы по 2 цифры, начиная с права, и на каждом этапе оперируют со своей парой цифр. При этом от этапа к этапу к паре чисел присоединяется остаток от извлечения квадратного корня на предыдущем этапе.

Этап 1. Число 56349 разбивается на пары следующим образом: 5 63 49. Извлечение квадратного корня начинается с крайней левой группы, в нашем случае это 5.

Выбираем из первого ряда палочки для деления максимальное число, но меньшее первой группы (пяти). Это будет четыре: 4

Определяем остаток от операции над первой группой, отнимая от значения группы (5) выбранное нами число (4). Остаток будет 1 (5-4 = 1). Зная остаток от операции над первой группой, определяем значение для второго этапа извлечения квадратного корня. Путем объединения остатка(1) и второй группы(63) получаем число 163.

Смотрим значение второго столбца палочки для деления во второй строке (4) и выкладываем это число слева от этой палочки, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 1». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки, для извлечения квадратного корня и записываем их справа от выложенных палочек.

Этап 2. Выбираем наибольшее число из столбца суммирования строк по наклонной плоскости, которое в свою очередь меньше числа, определенного для второго этапа (163). Это будет 129 (129

Определяем остаток от операции на втором этапе, отнимая от числа, определенного для второго этапа (163), выбранное нами число (129). Остаток будет 34 (163-129 = 34). Зная остаток, определяем значение для третьего этапа извлечения квадратного корня. Путем объединения остатка(34) и третей группы(49) получаем число 3449.

Смотрим значение второго столбца палочки для деления в третьей строке (6) и выкладываем палочку, соответствующую этому числу слева от палочки для деления, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 2». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки, для извлечения квадратного корня и записываем их справа от выложенных палочек.

Этап 3. Выбираем наибольшее число из столбца, который получился в результате суммирования строк по наклонной плоскости, которое в свою очередь меньше числа, определенного для третьего этапа (3449). Это будет 3269 (3269

Определяем остаток от операции, отнимая от числа, определенного для третьего этапа (3449), выбранное нами число (3269). Остаток будет 180 (3449-3269 = 180). Зная остаток, определяем значение для продолжения извлечения квадратного корня на четвертом этапе. Так как для четвертого этапа не осталось группы для объединения с остатком, то разряд результата, полученный после четвертого этапа, будет разряд десятых частей. А для вычисления числа для четвертого этапа остаток (180) объединяется с группой, состоящей из двух нулей (00). Таким образом, число для четвертого этапа будет 18000.

Смотрим значение второго столбца палочки для деления в седьмой строке (14). Объединяем число, выложенное палочками (46), с 14 по следующему правилу: разряд десятков от числа 14 прибавляем к числу выложенными палочками (46+1=47), а разряд единиц просто приписываем справа и получаем 474. Выкладываем это число слева от палочки для извлечения квадратного корня, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 3». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки для извлечения квадратного корня, и записываем их справа от выложенных палочек.

Этап 4. Выбираем наибольшее число из столбца суммирования строк по наклонной плоскости, которое меньше числа, определенного для четвертого этапа (18000). Это будет 14229 (14229

Далее повторяем действия, описанные в третьем этапе, до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность или остаток от операции не будет равен нулю. Если получен нулевой остаток, то это означает, что корень извлекается точно.

Было множество попыток усовершенствовать палочки Непера. Так в 1668 году Каспар Шот предложил вместо брусочков использовать цилиндры, на поверхности каждого из которых нанесены значения всех палочек Непера с таблицей умножения от 1 до 9. Цилиндры помещались в ящик параллельно друг другу. Повернув цилиндры так, чтобы их верхние цифры составляли множитель, можно проводить умножение также, как и с помощью палочек Непера.

В 19 веке для облегчения счета палочки Непера стали делать на брусочках, располагающихся под углом в 65 градусов. Таким образом, треугольники, используемые для сложения, при счете по наклонной плоскости располагались друг под другом.

Палочки Непера были очень популярны и привлекали многих изобретателей. За века их использования было предложено много разнообразных усовершенствований и устройств для их использования. Однако, это было не единственное изобретение Непера, повлиявшее на развитие устройств для счета. Он заложил понятие логарифма и основы логарифмического исчисления , речь о котором пойдет в следующем разделе.

ДЖОН НЕПЕР (1550-1617)

Родился в 1550 году в Мерчистон-Касле близ Эдинбурга (Англия). Шотландский барон, 8-й лорд Мерчистона. В 1563г. Поступил в Сент-Эндрюсский университет, но никакой ученой степени по окончании не получил. Затем уехал путешествовать в Германию, Францию, Италию. В 1957 году вернулся на родину и поселился в родовом замке. Все время посвятил занятиям богословием и математикой. В 1593 г. опубликовал свою первую работу – по-богословию. В области математики Непер известен как изобретатель системы логарифмов, основанной на установлении соответствия между арифметической и геометрической прогрессии. В «Описании удивительной таблицы логарифмов» в 1614 г. он опубликовал первую таблицу логарифмов и вел сам термин.

Объяснение дал в другом сочинении «Построение удивительной таблицы логарифмов» (опубликована была в 1619г. после его смерти). Таблица была очень необходима астрономам и немедленно вошла в обиход. В 1617г. опубликована еще одна работа «Рабдология» – изложил способ перемножения чисел с помощью брусков, названных впоследствии «палочки Непера». Участвовал в разработки различных боевых устройств: артиллерийских орудий, зажигательных стекол и др.)

Принцип умножения решеткой, широко распространенный в XVII веке

1. Чертим решетку с тремя столбцами и одной строкой, разделяем ячейки решетки на две части по диагонали.
2. Умножаем старший разряд множимого на множитель (5*7 = 35) и записываем результат в первую ячейку, причем разряд десяток записываем в верхнюю часть ячейки, а разряд единиц - в нижнюю.
3. Умножаем разряд десятков множимого на множитель (6*7 = 42) и записываем результат во вторую ячейку. 4. Умножаем разряд единиц множимого на множитель (8*7 = 56) и записываем результат в третью ячейку.
5. Суммируем строку решетки по наклонной плоскости справа налево. Суммирование по наклонной плоскости проводится поразрядно с переносом переполнения в старший разряд. Каждый разряд равен сумме чисел в прилегающих друг к другу треугольниках соседних ячеек. Полученная сумма - это результат умножения

Палочки Непера

Используя этот способ умножения, Джон Непер создал свой прибор – «Палочки Непера». Это набор палочек, в который входила одна палочка с нанесенными на нее цифрами от 1 до 9 (указатель строк) и палочки с таблицей умножения всех чисел от 1 до 9 (разряды множимого). Сверху каждой такой палочки наносилось число от 1 до 9, а вдоль длины – результаты умножения этого числа на все числа от 1 до 9. По сути дела палочки Непера представляли собой решетку для умножения числа 123456789 на число 123456789, разрезанную на столбцы. Для умножения с помощью этого прибора выбирались палочки, соответствующие значениям разряда множимого, и выкладывались в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составляли множимое. Часто значения разрядов множимого повторялись, поэтому в наборе всегда было несколько палочек для каждого разряда. Слева прикладывали палочку с цифрами от 1 до 9 (указатель строк), по которой выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Затем каждая отобранная строка суммировалась по наклонной плоскости. Полученные результаты складывались между собой с учетом порядка разрядов множителя.

Модификация палочек Непера

Было множество попыток усовершенствовать палочки Непера.

Так в 1668 году Каспар Шот предложил вместо брусочков использовать цилиндры, на поверхности каждого из которых нанесены значения всех палочек Непера с таблицей умножения от 1 до 9. Цилиндры помещались в ящик параллельно друг другу. Повернув цилиндры так, чтобы их верхние цифры составляли множитель, можно проводить умножение также, как и с помощью палочек Непера.

А в 1892 году был создан прибор для умножения, использующий вместо палочек узкие полоски, закрепленные в футляре в виде записной книжки и передвигающиеся с помощью заостренной палочки, а слева прикладывали палочку с цифрами от 1 до 9 (указатель строк), по которой выбирали строки, соответствующие разрядам множителя. Затем каждая отобранная строка суммировалась по наклонной плоскости. Полученные результаты складывались между собой с учетом порядка разрядов множителя.

Палочки Непера были очень популярны и привлекали многих изобретателей.

За века их использования было предложено много разнообразных усовершенствований и устройств для их использования.

Техника умножения с помощью палочек Непера

Рассмотрим технику умножения с помощью палочек Непера на примере перемножения чисел 4938 и 385:

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 3,4,8 и 9.

2. Выкладываем их вряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили число 4938.

3. Выкладываем слева указатель строк.

Этап 1.

1. Выбираем палочки с таблицей умножения чисел 2,3,5 и 8.

2. Выкладываем их в ряд так, чтобы цифры сверху каждой палочки составили делитель (3852).

Для нашего примера - это число из первой строки с учетом приведения к единому порядку с делимым 385200. Вычитаем найденное число (385200) из делимого и получаем старший разряд результат и остаток. Старший разряд результата будет 1, так как мы выбрали число из первой строки. Остаток от деления будет 491756 - 385200 = 106556.
5. Повторяем действия, описанные в пункте 4, но применительно к остатку от деления. В результате получаем следующий разряд результата (2) и новый остаток (29516). Повторяем эти действия до тех пор, пока остаток больше делителя. Когда остаток от деления становится меньше делителя, означает, что найдена целая часть результата. В нашем случае это произойдет после трех итераций, и целая часть результата будет 127.
6. Увеличиваем остаток от деления в 10 раз и проводим с ним описанные выше действия, в результате получаем десятые доли результата (для нашего примера 6) и новый остаток. Повторяем эти действия до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность деления или остаток не будет равен нулю.

Извлечение квадратного корня этап 1

Извлечение квадратного корня происходит поэтапно. Число разбивают на группы по 2 цифры, начиная с права, и на каждом этапе оперируют со своей парой цифр. При этом от этапа к этапу к паре чисел присоединяется остаток от извлечения квадратного корня на предыдущем этапе.
Этап 1. Число 56349 разбивается на пары следующим образом: 5 63 49. Извлечение квадратного корня начинается с крайней левой группы, в нашем случае это 5.
Выбираем из первого ряда палочки для деления максимальное число, но меньшее первой группы (пяти). Это будет четыре: 4
Определяем остаток от операции над первой группой, отнимая от значения группы (5) выбранное нами число (4). Остаток будет 1 (5-4 = 1). Зная остаток от операции над первой группой, определяем значение для второго этапа извлечения квадратного корня. Путем объединения остатка(1) и второй группы(63) получаем число 163.
Смотрим значение второго столбца палочки для деления во второй строке (4) и выкладываем это число слева от этой палочки, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 1». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки, для извлечения квадратного корня и записываем их справа от выложенных палочек.

Выбираем наибольшее число из столбца суммирования строк по наклонной плоскости, которое в свою очередь меньше числа, определенного для второго этапа (163). Это будет 129 (129
Смотрим значение второго столбца палочки для деления в третьей строке (6) и выкладываем палочку, соответствующую этому числу слева от палочки для деления, как показано на рисунке «Извлечение кв. корня. Этап 2». Подсчитываем сумму всех рядов по наклонной плоскости, игнорируя второй и третий столбцы палочки, для извлечения квадратного корня и записываем их справа от выложенных палочек.

Этап 3

Этап 4. Выбираем наибольшее число из столбца суммирования строк по наклонной плоскости, которое меньше числа, определенного для четвертого этапа (18000). Это будет 14229 (14229
Далее повторяем действия, описанные в третьем этапе, до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность или остаток от операции не будет равен нулю. Если получен нулевой остаток, то это означает, что корень извлекается точно.

Простыми словами

Не знаю, всем ли известно имя одного из выдающихся математиков, барона Джона Непера (1550-1617) - шотландца по происхождению.
Вот он собственной персоной (с) Википедия:

Знаменит о в первую и в самую основную очередь тем, что изобрел логарифмы !
Можно себе представить, как мучились люди в те времена, производя умножение и деление многозначных чисел. Непер же придумал специальные таблицы, в которых было произведено взаимно однозначное соответствие геометрической прогрессии и арифметической. Причем, естественно, геометрическая прогрессия была исходной. Таким образом, умножению Непер сопоставил гораздо более легкое сложение, а делению, соответственно, - вычитание.
За что всё прогрессивное человечество благодарно ему по сей день.

Но я сейчас буду рассказывать не об этом.
В 1617 году Непер предложил другой, не логарифмический, способ умножения чисел, для которого придумал специальное устройство, получившее название «палочки Непера».
Рассказываю я о нем в связи с записями о фигурных числах. Это еще один способ визуализации арифметики. (Хотя, на самом деле, больше ничего общего с фигурными числами тут нет).

Я узнала о палочках Непера, когда готовила презентацию по истории развития вычислительной техники. Для презентации мне хватило одного слайда с краткой информацией. Сейчас попыталась найти нечто более обширное и ужаснулась: Непер везде упоминается, как правило, как раз в разделе "история вычислительной техники", и пара абсолютно одинаковых абзацев кочует из статьи в статью.
Вот что удалось из всего этого почерпнуть.

Этот «вычислительный инструмент» состоял из брусков с нанесенными на них цифрами от 0 до 9 и кратными им числами. Для умножения какого-либо числа бруски располагали рядом так, чтобы цифры на торцах составляли это число. Ответ можно было увидеть на боковых сторонах брусков.

Вот смотрите: (это самая лучшая из найденных мной картинок):

То есть, как я это рассказывала студентам, это своеобразная трехмерная таблица умножения.
Теперь понимаю, что с трехмерной я погорячилась. Кажется, речь идет о плоском представлении (я думала на этих брусках цифры со всех четырех боковых сторон, но похоже, они только на одной "фронтальной" стороне и на торце).

Полоски с нанесенными на них числами, были еще разделены диагоналями так, что слева (выше) диагонали располагаются десятки, а справа - единицы.
Для получения произведений осуществляется суммирование «вдоль диагоналей».

КАК это происходит, я, если честно, до конца не понимаю. Но судя по тому, что я прочла, четырехзначные числа перемножались с помощью этих палочек шутя.

Помимо умножения, палочки Непера позволяли выполнять деление и извлекать квадратный корень.

Под кат спрячу цитату с одного сайта, постичь которую я не в состоянии)))
Тем не менее, там всё объясняется))
Упражнение для пытливых умов:
Дж. Непер предложил специальные счетные палочки (названные впоследствии палочками Непера), позволявшие производить операции умножения и деления непосредственно над исходными числами. Сверху решетки каждой клетке приписываются цифры А-числа, а справа - цифры В-числа. В каждой (k,j)-клетке решетки записывается результат произведения Rkj=xk*yj соответствующих цифр чисел. При этом число десятков помещается выше диагонали клетки и единиц - ниже диагонали. После заполнения всех клеток решетки производится суммирование S p по наклонным полоскам решетки справа налево с переносом старших разрядов.

Описанный принцип умножения иллюстрируется на примере перемножения чисел 1942 и 54:1942x54=104868. Палочки Непера (в количестве 9; представляют собой своеобразную таблицу умножения, в которой числа записываются в описанной выше клеточной форме) основным назначением имели умножение больших чисел и для операций деления и извлечения корня применялись весьма редко. Сам Непер впоследствии предложил палочки особой конструкции, предназначенные специально для извлечения квадратного корня; они использовались в сочетании с обычными палочками Непера. Наряду с палочками Непер предложил счетную доску для выполнения операций умножения, деления, возведения в квадрат и извлечения квадратного корня в двоичной с.с., предвосхитив тем самым преимущества такой системы счисления для автоматизации вычислений.
Отсюда.

Кандидат педагогических наук Наталья Карпушина.

Чтобы освоить умножение многозначных чисел, нужно всего лишь знать таблицу умножения и уметь складывать числа. В сущности, вся сложность заключается в том, как правильно разместить промежуточные результаты умножения (частичные произведения). Стремясь облегчить вычисления, люди придумали множество способов умножения чисел. За многовековую историю математики их набралось несколько десятков.

Умножение способом решётки. Иллюстрация из первой печатной книги по арифметике. 1487 год.

Палочки Непера. Этот простой счётный прибор впервые был описан в сочинении Джона Непера «Рабдология». 1617 год.

Джон Непер (1550-1617).

Модель счётной машины Шиккарда. Это не дошедшее до нас вычислительное устройство изготовлено изобретателем в 1623 году и описано им годом позже в письме Иоганну Кеплеру.

Вильгельм Шиккард (1592-1635).

Наследие индусов — способ решётки

Индусы, с давних времён знавшие десятичную систему счисления, предпочитали устный счёт письменному. Они изобрели несколько способов быстрого умножения. Позже их заимствовали арабы, а от них эти способы перешли к европейцам. Те, однако, ими не ограничились и разработали новые, в частности тот, что изучается в школе, - умножение столбиком. Этот способ известен с начала XV века, в следующем столетии он прочно вошёл в употребление у математиков, а сегодня им пользуются повсеместно. Но является ли умножение столбиком лучшим способом осуществления этого арифметического действия? На самом деле существуют и другие, в наше время забытые способы умножения, ничуть не хуже, например способ решётки.

Этим способом пользовались ещё в древности, в Средние века он широко распространился на Востоке, а в эпоху Возрождения - в Европе. Способ решётки именовали также индийским, мусульманским или «умножением в клеточку». А в Италии его называли «джелозия», или «решётчатое умножение» (gelosia в переводе с итальянского - «жалюзи», «решётчатые ставни»). Действительно, получавшиеся при умножении фигуры из чисел имели сходство со ставнями-жалюзи, которые закрывали от солнца окна венецианских домов.

Суть этого нехитрого способа умножения поясним на примере: вычислим произведение 296 × 73. Начнём с того, что нарисуем таблицу с квадратными клетками, в которой будет три столбца и две строки, - по количеству цифр в множителях. Разделим клетки пополам по диагонали. Над таблицей запишем число 296, а с правой стороны вертикально - число 73. Перемножим каждую цифру первого числа с каждой цифрой второго и запишем произведения в соответствующие клетки, располагая десятки над диагональю, а единицы под ней. Цифры искомого произведения получим сложением цифр в косых полосах. При этом будем двигаться по часовой стрелке, начиная с правой нижней клетки: 8, 2 + 1 + 7 и т.д. Запишем результаты под таблицей, а также слева от неё. (Если при сложении получится двузначная сумма, укажем только единицы, а десятки прибавим к сумме цифр из следующей полосы.) Ответ: 21 608. Итак, 296 x 73 = 21 608.

Способ решётки ни в чём не уступает умножению столбиком. Он даже проще и надёжнее, при том, что количество выполняемых действий в обоих случаях одинаково. Во-первых, работать приходится только с однозначными и двузначными числами, а ими легко оперировать в уме. Во-вторых, не требуется запоминать промежуточные результаты и следить за тем, в каком порядке их записывать. Память разгружается, а внимание сохраняется, поэтому вероятность ошибки уменьшается. К тому же способ решётки позволяет быстрее получить результат. Освоив его, вы сможете убедиться в этом сами.

Почему способ решётки приводит к правильному ответу? В чём заключается его «механизм»? Разберёмся в этом с помощью таблицы, построенной аналогично первой, только в этом случае множители представлены как суммы 200 + 90 + 6 и 70 + 3.

Как видим, в первой косой полосе стоят единицы, во второй - десятки, в третьей - сотни и т.д. При сложении они дают в ответе соответственно число единиц, десятков, сотен и т.д. Дальнейшее очевидно:

Иначе говоря, в соответствии с законами арифметики произведение чисел 296 и 73 вычисляется так:

296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14 000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10 000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 600 + 200) + (70 + 20 + 10) + 8 = 21 608.

Палочки Непера

Умножение способом решётки лежит в основе простого и оригинального счётного прибора - палочек Непера. Его изобретатель Джон Непер, шотландский барон и любитель математики, наряду с профессионалами занимался усовершенствованием средств и методов вычисления. В истории науки он известен, прежде всего, как один из создателей логарифмов.

Прибор состоит из десяти линеек, на которых размещена таблица умножения. В каждой клетке, разделённой диагональю, записано произведение двух однозначных чисел от 1 до 9: в верхней части указано число десятков, в нижней - число единиц. Одна линейка (левая) неподвижна, остальные можно переставлять с места на место, выкладывая нужную числовую комбинацию. При помощи палочек Непера легко умножать многозначные числа, сводя эту операцию к сложению.

Например, чтобы вычислить произведение чисел 296 и 73, нужно умножить 296 на 3 и на 70 (сначала на 7, затем на 10) и сложить полученные числа. Приложим к неподвижной линейке три другие - с цифрами 2, 9 и 6 наверху (они должны образовать число 296). Теперь заглянем в третью строку (номера строк указаны на крайней линейке). Цифры в ней образуют уже знакомый нам набор.

Складывая их, как в способе решётки, получим 296 x 3 = 888. Аналогично, рассмотрев седьмую строку, найдём, что 296 x 7 = 2072, тогда 296 x 70 = 20 720. Таким образом,
296 x 73 = 20 720 + 888 = 21 608.

Палочки Непера применялись и для более сложных операций - деления и извлечения квадратного корня. Этот счётный прибор не раз пытались усовершенствовать и сделать более удобным и эффективным в работе. Ведь в ряде случаев для умножения чисел, например с повторяющимися цифрами, нужны были несколько комплектов палочек. Но такая проблема решалась заменой линеек вращающимися цилиндрами с нанесённой на поверхность каждого из них таблицей умножения в том же виде, как её представил Непер. Вместо одного набора палочек получалось сразу девять.

Подобные ухищрения в самом деле ускоряли и облегчали расчёты, однако не затрагивали главный принцип работы прибора Непера. Так способ решётки обрел вторую жизнь, продлившуюся ещё несколько столетий.

Машина Шиккарда

Учёные давно задумывались над тем, как переложить непростую вычислительную работу на механические устройства. Первые успешные шаги в создании счётных машин удалось осуществить только в XVII столетии. Считается, что раньше других подобный механизм изготовил немецкий математик и астроном Вильгельм Шиккард. Но по иронии судьбы об этом знал лишь узкий круг лиц, и столь полезное изобретение более 300 лет не было известно миру. Поэтому оно никак не повлияло на последующее развитие вычислительных средств. Описание и эскизы машины Шиккарда были обнаружены всего полвека назад в архиве Иоганна Кеплера, а чуть позже по сохранившимся документам была создана её действующая модель.

По сути, машина Шиккарда представляет собой шестиразрядный механический калькулятор, выполняющий сложение, вычитание, умножение и деление чисел. В ней три части: множительное устройство, суммирующее устройство и механизм для сохранения промежуточных результатов. Основой для первого послужили, как нетрудно догадаться, палочки Непера, свёрнутые в цилиндры. Они крепились на шести вертикальных осях и поворачивались с помощью специальных ручек, расположенных наверху машины. Перед цилиндрами располагалась панель с девятью рядами окошек по шесть штук в каждом, которые открывались и закрывались боковыми задвижками, когда требовалось увидеть нужные цифры и скрыть остальные.

В работе счётная машина Шиккарда очень проста. Чтобы узнать, чему равно произведение 296 x 73, нужно установить цилиндры в положение, при котором в верхнем ряду окошек появится первый множитель: 000296. Произведение 296 x 3 получим, открыв окошки третьего ряда и просуммировав увиденные цифры, как в способе решётки. Точно так же, открыв окошки седьмого ряда, получим произведение 296 x 7, к которому припишем справа 0. Остаётся только сложить найденные числа на суммирующем устройстве.

Придуманный некогда индусами быстрый и надёжный способ умножения многозначных чисел, много веков применявшийся при расчётах, ныне, увы, забыт. А ведь он мог бы выручить нас и сегодня, если бы под рукой не оказалось столь привычного всем калькулятора.

Первым устройством для выполнения умножения был набор деревянных брусков, известных как палочки Непера. Они были изобретены шотландцем Джоном Непером (1550-1617гг.). На таком наборе из деревянных брусков была размещена таблица умножения. Кроме того, Джон Непер изобрел логарифмы.

Данное изобретение оставило заметный след в истории оставило изобретение Джоном Непером логарифмов, о чем сообщалось в публикации 1614 г. Его таблицы, расчет которых требовал очень много времени, позже были “встроены” в удобное устройство, чрезвычайно ускоряющее процесс вычисления, -- логарифмическую линейку; она была изобретена в конце 1620-х годов. В 1617 г. Непер придумал и другой способ перемножения чисел. Инструмент, получивший название “костяшки Непера”, состоял из набора сегментированных стерженьков, которые можно было располагать таким образом, что, складывая числа, в прилегающих друг к другу по горизонтали сегментах, мы получали результат их умножения.

Теории логарифмов Непера суждено было найти обширное применение. Однако его “костяшки” вскоре были вытеснены логарифмической линейкой и другими вычислительными устройствами--в основном механического типа, -- первым изобретателем которых стал гениальный француз Блез Паскаль.

Логарифмическая линейка

Развитие приспособлений для счета шло в ногу с достижениями математики. Вскоре после открытия логарифмов в 1623 г. была изобретена логарифмическая линейка.

В 1654 г. Роберт Биссакар, а в 1657 г. независимо С. Патридж (Англия) разработали прямоугольную логарифмическую линейку - это счетный инструмент для упрощения вычислений, с помощью которого операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел. Конструкция линейки сохранилась в основном до наших дней.

Логарифмической линейки была суждена долгая жизнь: от 17 века до нашего времени. Вычисления с помощью логарифмической линейки производятся просто, быстро, но приближенно. И, следовательно, она не годится для точных, например финансовых, расчетов.