Волновой процесс. Общие представления о волновых процессах. Теория волновых процессов. Типы волновых энергетических установок

Волновая энергетика – отрасль энергетики связанная с получением энергии из морских волн. Полученная энергия может использоваться для опреснения воды, перекачки воды и для производства электроэнергии.

Первый патент устройства, для получения энергии из морских волн был выдан в 1799 году в Париже. Там же в 1910 году было построено первое устройство захвата энергии волн.

Особое внимание волновая энергетика получила во время нефтяного кризиса 1973 года. Разработками новых устройств занимались ученые из Норвежского технологического института, Бристольского университета и университета Ланкастера.

После того, как цены на нефть стабилизировались, финансирование исследований сократилось.

Первая экспериментальная волновая электростанция была построена в Португалии, она имеет мощность около 2 МВт.

Основными элементами электростанции являются три преобразователя Pelamis P-750, которые под действием волн изгибаются. Специальные поршни подают масло в гидравлические двигатели, которые приводят в движение электрогенераторы.

В дальнейшем планируется расширение электростанции за счет постройки новых преобразователей.

По оценкам ученых общий потенциал волновой энергетики во всем мире около 2 ТВт. Самыми перспективными считаются: западное побережье Европы, Австралия, Новая Зеландия, северное побережье Великобритании. А также некоторые побережья в северной и южной Америке.

Проблемы, которые может вызвать использование энергии волн, находятся на стадии изучения. Волновая энергетика может оказать негативное влияние на местную флору и фауну. Так же волновые преобразователи вызывают шум, что может негативно сказаться на ловле рыбы.

Для производства электроэнергии волн используются различные преобразователи, вот некоторые из них:

Тихоокеанский Северо-западный Кооператив финансирует строительства волнового парка в штате Орегон на основе буев. Колебания буя от волн передаются на специальный генератор. Электричество передается с помощью подводной линии передачи. Буи предназначены для установки на расстоянии 8 миль от берега .

В Финляндии построена волновая электростанция с преобразователями WaveRoller. Они представляют собой небольшие плоты с якорем. Под действием волн они раскачиваются передавая энергию на поршневой насос.


В Дании в 2003 году построена электростанция с преобразователями типа Dragon . Они представляют собой искусственные водохранилища посреди океана, расположенные выше уровня воды. Возвращаясь под действием силы тяжести, вода проходит через гидротурбины.

В настоящее время волновая энергетика развивается некоторыми странами.

В этой главе мы будем обсуждать новое явление - волны. О волнах часто и много говорится в физике, и мы наше внимание должны сконцентрировать на этом вопросе не только потому, что собираемся рассмотреть частный пример волн - звук, - но и потому, что волновые процессы имеют и другие многочисленные применения во всех областях физики.

Изучая гармонический осциллятор, мы уже отмечали, что существуют примеры как механических колеблющихся систем, так и электрических. Волны тесно связаны с колебательными системами, однако волновое движение есть не только колебание в данном месте, зависящее от времени, но и движение в пространстве.

Мы уже на самом деле изучали волны. Когда мы говорили о волновых свойствах света, мы обращали особое внимание на пространственную интерференцию волн одной и той же частоты от различных источников, расположенных в разных местах. Существуют еще два важных явления, о которых мы не упоминали и которые свойственны как свету, т. е. электромагнитным волнам, так и любой другой форме волнового движения. Первое из них - это явление интерференции, но уже не в пространстве, а во времени. Когда мы слушаем звуки сразу от двух источников, причем частоты их слегка отличаются, к нам приходят то гребни обеих волн, то гребень одной волны и впадина другой (фиг. 47.1). Звук то усиливается, то ослабевает, возникают биения, или, другими словами, происходит интерференция во времени. Второе явление - это волновое движение в замкнутом объеме, когда волны отражаются то от одной, то от другой стенки.

Фиг. 47.1. Интерференция звука во времени от двух источников с несколько отличающимися частотами приводит к биениям.

Все эти эффекты можно было, конечно, рассмотреть и на примере электромагнитных волн. Мы этого не сделали по той причине, что на одном примере мы не почувствовали бы общего характера явления, свойственного самым разным процессам. Чтобы подчеркнуть общность понятия волн вне рамок электродинамики, мы рассмотрим здесь другой пример - звуковые волны.

Есть еще пример - морские волны, набегающие на берег, или мелкая водяная рябь. Кроме того, существуют два рода упругих волн в твердых телах: волны сжатия (или продольные волны), в которых частицы тела колеблются вперед и назад в направлении распространения волны (звуковые колебания в газе именно такого типа), и поперечные волны, когда частицы тела колеблются перпендикулярно направлению движения волны. При землетрясениях в результате движения участка земной коры возникают упругие волны обоих типов.

И, наконец, есть еще один тип волн, который нам дает современная физика. Это волны, определяющие амплитуду вероятности нахождения частицы в данном месте, - «волны материи», о которых мы уже говорили. Их частота пропорциональна энергии, а волновое число пропорционально импульсу. Эти волны встречаются в квантовой механике.

В этой главе мы будем рассматривать только такие волны, скорость которых не зависит от длины волны. Пример таких волн - распространение света в вакууме. Скорость света в этом случае одна и та же для радиоволн, для синего и зеленого света и вообще для света любой длины волны. Именно поэтому, когда мы описывали волновые явления, мы сначала и не заметили самого факта распространения волн. Вместо этого мы говорили, что если перенести заряд в некоторую точку, то электрическое поле на расстоянии будет пропорционально ускорению заряда, но не в момент времени , а в более ранний момент времени . Поэтому распределение электрического поля в пространстве в некоторый момент времени, изображенное на фиг. 47.2, спустя время передвинется на расстояние . Выражаясь математически, можно сказать, что в рассматриваемом нами одномерном случае электрическое поле есть функция от . Отсюда видно, что при оно оказывается функцией только . Если взять более поздний момент времени и несколько увеличить мы получим ту же самую величину поля. Например, если максимум поля возникает при и в момент времени , то положение максимума в момент времени находится из равенства

Мы видим, что такая функция отвечает распространению волны.

Итак, функция описывает волну. Мы можем все сказанное записать кратко так:

если . Конечно, существует еще и другая возможность, когда источник излучает волны не направо, как указано на фиг. 47.2, а налево, так что волны будут двигаться в сторону отрицательных . Тогда распространение волны описывалось бы функцией .

Фиг. 47.2. Примерное распределение электрического поля в некоторый момент времени (а) и электрическое поле через промежуток времени (b).

Может еще случиться, что в пространстве одновременно движется несколько волн, и тогда электрическое поле есть сумма всех полей и все они распространяются независимо. Это свойство электрических полей можно выразить так: пусть отвечает одной волне, a - другой, тогда их сумма также описывает некоторую волну. Это утверждение называется принципом суперпозиции. Он справедлив и для звуковых волн.

Мы хорошо знаем, что звуки воспринимаются в той последовательности, в какой они создаются источником. А если бы высокие частоты распространялись быстрее, чем низкие, то вместо звуков музыки мы слышали бы резкий и отрывистый шум. Точно так же если бы красный свет двигался быстрее, чем синий, то вспышка белого света выглядела бы сначала красной, затем белой и наконец синей. Мы хорошо знаем, что такого на самом деле не происходит. И звук, и свет движутся в воздухе со скоростью, почти не зависящей от частоты. Примеры волнового движения, где этот принцип не выполняется, будут рассмотрены в гл. 48.

Для света (электромагнитных волн) мы получили формулу, определяющую электрическое поле в данной точке, которое возникает при ускорении заряда. Казалось бы, нам остается теперь подобным образом определить какую-нибудь характеристику воздуха, скажем давление на заданном расстоянии от источника через движение источника, и учесть запаздывание при распространении звука.

В случае света такой подход был приемлем, так как все наши знания сводились к тому, что заряд в одном месте действует с некоторой силой на заряд в другом месте. Подробности распространения взаимодействия из одной точки в другую были абсолютно несущественны. Но звук, как известно, распространяется по воздуху от источника к уху, и естественно спросить, чему равно давление воздуха в каждый данный момент. Кроме того, хотелось бы знать, как именно движется воздух.

В случае электричества мы могли поверить в правило, поскольку законы электричества мы еще не проходили, но для звука это не так. Нам недостаточно сформулировать закон, определяющий распространение звукового давления в воздухе; этот процесс должен быть объяснен на основе законов механики. Короче, звук есть часть механики, и он должен быть объяснен с помощью законов Ньютона. Распространение звука из одной точки в другую есть просто следствие механики и свойств газов, если звук распространяется в газе, или свойств жидкостей и твердых тел, если звук проходит через эти среды. Позднее мы выведем также свойства света и его волновое движение из законов электродинамики.

Под упругой средой понимают среду, между частицами которой действуют упругие силы. Если какую-либо частицу среды заставить совершать колебания, то за счет действия упругих сил в колебательное движение приходят сначала ближайшие к ней соседние частицы, затем ближайшие к этим соседям частицы и т.д., в колебательный процесс вовлекаются все новые и новые частицы, говорят, что в среде распространяется упругая волна. Итак, под бегущей волной понимают процесс распространения колебаний в среде. Этот процесс сопровождается переносом энергии от источника колебаний, причем переноса частиц в направлении движения волны не происходит, они совершают колебания около своих положений равновесия.

Нужно отметить, что под частицей среды понимают не отдельную молекулу, а совокупность большого числа молекул, обладающих примерно одинаковыми свойствами (одинаковыми смещениями от своих положений равновесия, одинаковыми скоростями и т.д.). Размеры частиц должны быть достаточно малыми, значительно меньше возмущений, возникающих в среде, в частности, значительно меньше длины волны, распространяющейся в среде. Такие частицы препятствуют различным деформациям и, таким образом, среда проявляет упругие свойства. Молекулярное строение среды при этом не рассматривается, она считается сплошной.

Различают продольные и поперечные волны . В продольной волне частицы среды совершают колебания вдоль вектора скорости распространения волны, а в поперечной волне – перпендикулярно к нему (рис. 6.1,а).

Продольные волны связаны с деформациями сжатия и растяжения малых объемов среды (рис. 6.1,а), и поэтому они распространяются во всех средах. В отличие от продольных волн поперечные волны связаны с деформацией сдвига (рис. 6.1,б), поэтому они распространяются только в твердых телах, так как для жидкостей или газов такая деформация отсутствует. Отметим, что кроме волн в упругой среде также выделяют волны на поверхности жидкости, здесь частицы среды совершают сложные колебания, включающие в себя и поперечные и продольные движения.

Введем характеристики, описывающие волновой процесс, на примере гармонической (синусоидальной) волны. Гармонической (синусоидальной) волной называют волну, для которой частицы среды совершают гармонические колебания около своих положений равновесия с определенной циклической частотой .

Рассмотрим процесс возникновения в среде поперечной плоской гармонической волны. Пусть в момент времени
все частицы в плоскости
(для этой плоскости координата равна нулю-) начинают совершать гармонические колебания с периодом колебаний . На рис. 6.2 для частиц, расположенных на оси
, показаны фотографии волны в моменты времени
и .

Эти фотографии дают в эти моменты

времени смещения
частиц среды около своих положений равновесия. Так, например, в момент времени

частица 1 будет максимально отклонена от своего положения равновесия, ее смещение равно амплитуде колебания , при этом волна за это время проходит расстояние до частицы с номером 3. В момент времени
, частица 1 проходит положение равновесия , частица 3 максимально отклонена вверх , волна доходит до частицы с номером 5. В момент времени
волна достигает частицы с номером 9 и расстояние, пройденное волной за это время, называют длиной волны и обозначают символом .

Учитывая приведенные выше фотографии распространения плоской поперечной гармонической волны в среде, можно дать следующие определения основных характеристик волнового процесса.

1. Период Т волны – время одного полного колебания частиц среды.

2. Фазовая скорость волны или скорость распространения волны – скорость перемещения данной фазы колебаний в среде.

3. Длина волны - расстояние, которое проходит волна за один период или минимальное расстояние между частицами среды, совершающими колебания

с разностью фаз, равной
. Из определения длины волны можно записать следующую формулу:

4. Волновая поверхность - поверхность, проведенная через равновесные положения частиц среды, совершающих колебания в одинаковой фазе (на Рис. 6.3 приведены волновые поверхности для плоской гармонической волны). Волновых поверхностей много, и они неподвижны.

5. Фронт волны - поверхность, разделяющая частицы среды на вовлеченные и не вовлеченные в колебательное движение. Фронт волны один, и он движется со скоростью волны. Можно сказать, что фронт волны – это самая дальняя от источника колебаний в данный момент времени волновая поверхность. В каждой точке фронта волны вектор фазовой скорости направлен перпендикулярно к ней.

Форма волновых поверхностей и фронта волны зависит от условий возникновения и распространения волны. По виду фронта волны выделяют плоские, сферические, и цилиндрические волны (рис. 6.4). Для этих волн источником колебаний являются соответственно плоскость, точка и протяженная нить.

Кинематика и динамика волновых процессов. Плоская стационарная и синусоидальная волна. Интерференция и дифракция волн. Бегущие и стоячие волны. Фазовая скорость, длина волны, волновое число, волновой вектор. Упругие волны в газах, жидкостях и твердых телах. Энергетические характеристики упругих волн. Вектор Умова.

6.1. Кинематика и динамика волновых процессов.
Плоская стационарная и синусоидальная волна

Волны – изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию. Процесс распространения колебаний в пространстве.

Распространение колебаний в пространстве происходит благодаря взаимодействию между частицами упругой среды. Волна в отличие от колебаний характеризуется не только периодичностью во времени, но и периодичностью в пространстве. Частицы среды при этом не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества в пространстве. Среди разнообразия волн, встречающихся в природе и технике, выделяют упругие, на поверхности жидкости и электромагнитные.

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, возникающие и распространяющиеся в упругой среде. К упругим волнам относятся звуковые и сейсмические волны; к электромагнитным – радиоволны, свет и рентгеновские лучи.

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны различают продольные и поперечные волны.

Продольные – это волны, направление распространения которых совпадает с направлением смещения (колебания) частиц среды.

Поперечные – это волны, направление распространения которых и направление смещения (колебания) частиц среды взаимно перпендикулярны.

В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому упругие деформации в них могут распространяться только в виде продольных волн (“волны сжатия”).

В твердых телах, в которых упругие силы возникают при сдвиге, упругие деформации могут распространяться не только в виде продольных, но и в виде поперечных волн (“волны сдвига”). В твердых телах ограниченного размера (например, в стержнях и пластинах) картина распространения волны более сложна: здесь возникают еще и другие типы волн, являющиеся комбинацией первых двух основных типов.

В электромагнитных волнах направления электрического и магнитного полей почти всегда перпендикулярны направлению распространения волны, (за исключением случаев анизотропных сред и распространения в несвободном пространстве) поэтому электромагнитные волны в свободном пространстве поперечны.

Волны могут иметь различную форму. Одиночной волной, или импульсом, называется сравнительно короткое возмущение, не имеющее регулярного характера. Ограниченный ряд повторяющихся возмущений называется цугом волн.

Гармоническая волна – бесконечная синусоидальная волна, в которой все изменения среды происходят по закону синуса или косинуса. Такие возмущения могут распространяться в однородной среде (если их амплитуда невелика) без искажения формы.

Геометрическое место точек, до которых доходят волны за некоторый промежуток времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченного в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью . Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время, как волновой фронт в каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одинаковой фазе). Волновой фронт все время перемещается. Волновые поверхности могут иметь различную геометрию. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, а в сферической волне - систему концентрических сферических поверхностей.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны l. Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется волна за один период:

Или , (6.1)

где l - длина волны;

T – период волны, т.е. время, за которое совершается один полный цикл колебания;

n - частота, т.е. число периодов в единицу времени.

Направление волны определяется с помощью волнового вектора k . Направление волнового вектора совпадает с направлением вектора скорости:

, (6.2)

где w - круговая или циклическая частота.

В акустике и оптике численное значение волнового вектора представляют в виде волнового числа:

. (6.3)

6.2. Уравнение плоской волны

Уравнение плоской волны - выражение, которое определяет смещение колеблющейся точки как функцию ее координат и времени, т.е.

Рис.6.1

x = x(x, у, z, t), (6.4)

где x - смещение.

Эта функция должна быть периодической как относительно t, так и относительно x, у, z. Найдем вид функции в случае плоской волны, распространяющейся в направлении оси X (рис. 6.1). Пусть плоская стенка совершает гармоническое колебание, согласно выражению

. (6.5)

В точке пространства, расположенной на расстоянии x от места возникновения волны, частицы будут совершать те же колебания, что и в точке возникновения волны. Волновые поверхности в этом случае будут перпендикулярны к оси X. Поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение x будет зависеть только от x и t x = x(x, t).

Для прохождения расстояния от места возникновения до рассматриваемой точки волне требуется время. Фронт волны придет в рассматриваемую точку пространства спустя время .

Уравнение колебаний в рассматриваемой точке будет иметь вид

Формула (6.6) представляет собой уравнение прямой бегущей волны, т.е. распространяющейся в направлении положительной полуоси X.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Количественно перенос энергии волнами характеризуется вектором плотности потока энергии

. (6.7)

Вектор плотности потока энергии – физическая величина, модуль которой равен энергии DE, переносимой волной за единицу времени (Dt=1) через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны (DS ^). Направление вектора потока плотности энергии (вектора Умова) совпадает с направлением переноса энергии. Можно показать, что численное значение вектора потока плотности энергии определяется соотношением

где u – плотность энергии в каждой точке среды, среднее значение которой равно:

;

ρ – плотность среды;

x 0 – амплитуда волны; w - круговая (циклическая частота);

v – фазовая скорость (скорость перемещения фазы волны).

В векторной форме:

j = u×v . (6.9)

Фазовая скорость упругих волн:

а) продольных ; (6.10)

б) поперечных , (6.11)

где E – модуль Юнга (характеристика упругих свойств среды, обратная коэффициенту упругости);

G – модуль сдвига (он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол сдвига оказался бы равен 45 о, если бы при столь больших деформациях не был превзойден предел упругости).

Понятие фазовой скорости справедливо для монохроматических волн.

Так как распространяющиеся в пространстве волны представляют собой волновой пакет (в силу принципа суперпозиции), то кроме фазовой скорости, для волнового пакета вводят в рассмотрение понятие групповой скорости. Волновой пакет – совокупность волн, частоты которых мало отличаются друг от друга.

Групповой скоростью называют скорость перемещения в пространстве амплитуды волны. С ней происходит перенос энергии волны. Групповая скорость определяется следующим соотношением:

. (6.12)

Уравнение обратной волны можно получить путем замены в (6.6) х на (-х):

6.3.Волновое уравнение

Оказывается, что уравнение любой волны является решением некоторого дифференциального уравнения второго порядка, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от уравнения волны: .

Производные по х:

; . (6.14)

Производные по t:

; . (6.15)

Разделим обе части уравнения (6.15) на v 2:

или . (6.16)

Сравнивая выражения (6.14) и (6.16), убеждаемся в равенстве их правых частей, поэтому можем приравнять левые части этих уравнений:

. (6.17)

Соотношение (6.17) является волновым уравнением плоской волны, распространяющейся вдоль оси X .

Волновое уравнение плоской волны, распространяющейся в трехмерном пространстве, имеет вид

. (6.17)

В математике вводят специальный оператор, называемый оператором Лапласа:

. (6.18)

С применением оператора Лапласа /лапласиана/ волновое уравнение (6.17) принимает вид

Если при анализе какого-либо процесса, получают уравнение вида (6.19), то это означает, что рассматриваемый процесс - волна, распространяющаяся со скоростью v.

6.4. Интерференция волн. Стоячие волны

При одновременном распространении в среде нескольких волн частицы среды совершают колебание, являющееся результатом геометрического сложения колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны накладываются одна на другую, не изменяя друг друга. Это явление называют принципом суперпозиции волн .

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают разностью фаз и имеют одинаковую частоту, волны называются когерентными. Когерентные волны излучаются когерентными источниками. Когерентными источниками называют точечные источники, размерами которых можно пренебречь, излучающие в пространство волны с постоянной разностью фаз. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции .

Интерференция – это явление наложения когерентных волн, в результате которого происходит перераспределение энергии волны в пространстве. Возникает интерференционная картина, заключающаяся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других - ослабляют друг друга.

Наиболее часто интерференция возникает при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающая в результате такой интерференции волна называется стоячей . Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и встречная - отраженная, складываясь, образуют стоячую волну.

Пусть вдоль оси X распространяются прямая и обратная плоские волны, уравнения которых имеют вид

В данном случае результирующее колебание получается путем алгебраического сложения:

Воспользовавшись тригонометрическим тождеством

перепишем (6.22) в виде

Выражение (6.23) - уравнение стоячей волны.

Амплитуда стоячей волны

. (6.24)

Из (6.24) видно, что амплитуда, зависящая от x, может достигать максимального и минимального значений.

Действительно:

1) при kx = ± np (n = 0, 1, 2, ¼) амплитуда максимальна: A = 2x 0 . Точки, в которых амплитуда смещения удваивается, называются пучностями стоячей волны;

2) при kx = ± (2n + 1)p амплитуда обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны.

Расстояние между соседними (узлам) – длина стоячей волны l 0 . Длина стоячей волны

В звуковом интерферометре источником звука (источником волны) является мембрана или пьезоэлектрическая пластинка - 1 (рис.6.3). Имеется отражатель (рефлектор) - 2. Перемещая рефлектор, получают систему стоячих звуковых волн. Если при перемещении рефлектора на расстояние L возникло n узлов, то скорость распространения звука будет равна

. (6.26)

То есть для определения скорости распространения волны (звуковой волны) необходимо измерить длину стоячей волны l 0 и частоту звуковых колебаний.

Лекция 7. Энергия, работа, мощность

Работа силы и её выражение через криволинейный интеграл. Мощность. Энергия как универсальная мера различных форм движений и взаимодействий. Кинетическая энергия системы и её связь с работой внешних и внутренних сил, приложенных к системе. Энергия системы, совершающей вращательное движение. Энергия системы, совершающей колебательное движение. Потенциальная энергия и энергия взаимодействия. Потенциальная энергия тела, находящегося в поле тяготения другого тела. Потенциальная энергия и устойчивость системы. Внутренняя энергия. Энергия упругой деформации.

7.1. Работа силы и её выражение через криволинейный интеграл

Работа - это изменение формы движения, рассматриваемое с его количественной стороны. В общем смысле работа - это процесс превращения одних форм движения материи в другие и одновременно количественная характеристика этого процесса.

Механическая работа - процесс, в котором под действием сил изменяется энергия системы, и одновременно количественная мера этого изменения.

При совершении работы всегда имеются сила, действующая на материальную точку (систему, тело), и вызванное данной силой перемещение. При отсутствии хотя бы одного из этих факторов работа не совершается.

Элементарная работа некоторой силы F , действующей на материальную точку (тело, систему), вызывающей элементарное перемещение dr , равна произведению силы на перемещение:

dA = F ×dr = F×dr×cosa = F r ×dr, (7.1)

где α - угол между направлением перемещения и направлением действующей силы.

Из (7.1) следует, что при

α < π/2, dA > 0 - работа положительная;

α = π/2, dA = 0 - работа не совершается;

α > π/2, dA < 0 - работа отрицательная;

α = 0, dA = F×dr - направление перемещения и направление действующей силы совпадают.

В том случае, когда величина тангенциальной составляющей силы остаётся всё время неизменной, то работа определяется соотношением

В частности, это условие выполняется, если тело движется прямолинейно, и постоянная по величине сила образует с направлением движения постоянный угол . Поэтому выражению (7.2) в данном случае можно придать следующий вид:

Надо отметить, что понятие работы в механике существенно отличается от обыденного представления о работе. Например, для того, чтобы держать тяжелый груз, стоя неподвижно, а тем более для того, чтобы перенести этот груз по горизонтальному пути, носильщик затрачивает определенные усилия, т.е. "совершает работу". Однако работа как механическая величина в этих случаях равна нулю.

Вектор силы на плоскости всегда можно разложить на две составляющие - нормальную и тангенциальную. Ясно, что только тангенциальная составляющая силы способна совершить работу. В случае, когда величина проекции силы на направление перемещения не остается постоянной во времени, для вычисления работы следует разбить путь S на элементарные участки , взяв их столь малыми, что за время прохождения телом такого участка можно было бы считать силу постоянной. Тогда на каждом элементарном участке пути DS 1 работа силы равна

. (7.4)

А работа на всем пути S может быть вычислена как сумма элементарных работ:

. (7.5)

В общем случае, когда материальная точка (тело, система), двигаясь по криволинейной траектории, проходит путь конечной длины, можно мысленно разбить этот путь на бесконечно малые элементы, на каждом из которых сила F может считаться постоянной, а элементарная работа может быть вычислена по формуле (7.1). Сложив все эти элементарные работы и перейти к пределу, устремив к нулю длины всех элементарных перемещений, а их число – к бесконечности, получим

. (7.6)

Выражение (7.6) называют криволинейным интегралом вектора F вдоль траектории L.

Рис.7.1

Работу, определяемую формулой (7.6), можно изобразить графически, в координатах F - S, площадью фигуры, что соответствует нахождению криволинейного интеграла. На рис.7.1 построен график F t как функции положения точки на траектории. Из рисунка видно, что элементарная работа численно равна площади заштрихованной полоски, а работа

Экспериментально установлено, что работа сил тяжести, упругих сил, электрических сил не зависит от формы траектории, а определяется начальным и конечным положениями материальной точки (системы, тела). Работа этих сил по замкнутой траектории равна нулю:

. (7.11)

Силы, для которых выполняется данное условие, называются консервативными или потенциальными.

Работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю. Поэтому потенциальное поле сил можно определить как поле таких сил, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю. Поскольку работа в потенциальном поле сил на замкнутом пути равна нулю, то на одних участках замкнутого пути силы совершают положительную работу, а на других – отрицательную.

Все силы, не удовлетворяющие этому условию, называются неконсервативными.

Передача движения от исполнительного электродвигателя к выходному звену электромеханического модуля может быть обеспечена с помощью различных преобразователей движения (передач), структура и конструктивные особенности которых зависят от типа двигателя, вида перемещения рабочего органа и способа их расположения. Преобразователи движения оказывают существенное влияние на качество работы электромеханической системы в целом.

При проектировании электромеханических модулей тип преобразователя движения выбирают исходя из сложности его конструкции, к.п.д., люфта в передаче, габаритных размеров, массы, свойств самоторможения, жесткости, удобства компоновки, технологичности, стоимости и др.

Назначение и классификация преобразователей движения

Преобразователи движения предназначены для преобразования одного вида движения в другое, согласования скоростей и вращающих моментов двигателя и рабочего органа. Для преобразования движения используют зубчатые, червячные, цепные, ременные и фрикционные передачи, а также передачи винт-гайка (рис. 4.1). В связи с тем, что угловая скорость вращения электродвигателей, как правило, на много выше скоростей рабочих органов электромеханических модулей, то в преобразователях движения применяются понижающие передачи.

Рис. 4.1. Классификация механических передач

преобразователей движения

Зубчатые передачи

Наиболее распространенными преобразователями движения являются зубчатые передачи – механизмы, передающие или преобразующие движение с помощью зацепления с изменением угловых скоростей и моментов. Такие передачи применяют для преобразования вращательного движения между валами с параллельными (рис. 4.2, а-г ), пересекающимися (рис. 4.2, е-з ) осями, а также для преобразования вращательного движения в поступательное, и наоборот (рис. 4.2, д ).

Рис. 4.2. Основные виды зубчатых передач:

а – цилиндрическая с прямыми зубьями; б – цилиндрическая с косыми зубьями; в – цилиндрическая с шевронными зубьями; г – цилиндрическая внутреннего зацепления с прямыми зубьями; д - реечная передача; е – коническая с прямыми зубьями; ж – коническая с тангенциальными зубьями; з – коническая с круговыми зубьями;

Кинематическая схема цилиндрической и конической передач приведены на рис. 4.3. Передаточное соотношение может быть найдено из соотношения числа зубьев входной z 1 и выходной z 2 шестерен

Основными характеристиками механических передач являются мощности на валах и в Вт , угловые скорости и в с -1 , (или частота вращения и в мин -1 ), моменты сил и в , передаточное соотношение и к.п.д. . Выражения, описывающие взаимосвязи основных характеристик зубчатых передач имеют вид

или и , (4.2)

, (4.3)

Или , (4.4)

или при выделении момента потерь в передаче в виде

. (4.6)

Также следует отметить, что приведение моментов инерции элемента электромеханического модуля, вращающегося со скоростью или поступательно движущегося со скоростью , к скорости может быть выполнено на основании закона сохранения кинетической энергии

или (4.7)

в соответствии с выражением

Или , (4.8)

где – масса поступательно движущегося тела; – радиус приведения к валу со скоростью

Для реечной передачи, при преобразовании вращательного движения в поступательное, линейная скорость рейки определится как

, , (4.10)

передаточное соотношение

, , (4.11)

где – диаметр шестерни в мм .

Передаточное соотношение реечной передачи может находиться в диапазоне 10…200 м -1 . К.п.д. цилиндрических передач составляет 0,95…0,99.

На рис. 4.4 приведена схема планетарной передачи. Планетарными называют зубчатые передачи, в которых геометрическая ось хотя бы одной шестерни подвижна. Основными элементами планетарной передачи являются:

Солнечная шестерня 1 (находится в центре);

Водило 2 , жёстко фиксирующее друг относительно друга оси нескольких планетарных шестерён одинакового размера 3 (сателлитов), находящихся в зацеплении с солнечной шестерней;

Кольцевая шестерня 4 (эпицикл), имеющая внутреннее зацепление с планетарными шестернями.

При использовании планетарной передачи в качестве редуктора один из трёх её основных элементов фиксируется неподвижно, другой элемент используется как ведущий, а третий – в качестве ведомого.

В случае, когда водило 2 зафиксировано (), а мощность подводится через солнечную шестерню 1 , планетарные шестерни 3 будут вращаться на месте со скоростью, определяемой отношением числа их зубьев относительно солнечной шестерни

Вращение планетарных шестерён 3 передается кольцевой шестерне 4 . Если кольцевая шестерня имеет зубьев, то она будет вращаться со скоростью

В итоге, если водило заблокировано, то общее передаточное отношение системы будет равно

В случае, если закреплена кольцевая шестерня (), а мощность подводится к водилу, то передаточное отношение на солнечную шестерню будет больше единицы и составит

Наиболее широкое применение планетарные передачи нашли в автомобильных дифференциалах и в суммирующих звеньях кинематических схем металлорежущих станков. В современных устройствах могут использоваться каскады из нескольких планетарных передач для получения большого диапазона передаточных чисел. На этом принципе работают многие автоматические коробки передач автомобилей.

Достоинствами планетарных передач по сравнению с обычными цилиндрическими или коническими передачами являются меньшие габариты и масса. Недостатками – повышенная точность изготовления, большее число подшипников качения.

Для получения больших передаточных чисел (до 90000) применяют волновые передачи (см. рис. 4.5). Волновая передача состоит из жесткого неподвижного элемента – зубчатого колеса 1 с внутренними зубьями, неподвижного относительно корпуса передачи; гибкого элемента – тонкостенного упругого зубчатого колеса с наружными зубьями 2 , соединенного с выходным валом; генератора волн – кулачка 3 , эксцентрика или другого механизма, растягивающего гибкий элемент до образования в двух (или более) точках пар зацепления с неподвижным элементом. Число зубьев гибкого колеса несколько меньше числа зубьев неподвижного элемента.

Принцип работы волновой зубчатой передачи проиллюстрирован на рис. 4.6. Например, при числе зубьев гибкого колеса 200, а неподвижного элемента – 202 и двухволновой передаче (два выступа на генераторе волн) при вращении генератора по часовой стрелке первый зуб гибкого колеса будет входить в первую впадину жёсткого, второй во вторую и т.д. до двухсотого зуба и двухсотой впадины. На следующем обороте первый зуб гибкого колеса войдёт в двести первую впадину, второй – в двести вторую, а третий – в первую впадину жёсткого колеса. Таким образом, за один полный оборот генератора волн гибкое колесо сместится относительно жёсткого всего на 2 зуба.

Передаточное соотношение волновой передачи от вала генератора волн к валу гибкого колеса равно

где , – соответственно число зубьев жесткого и гибкого зубчатых колес.

Основной недостаток таких редукторов – низкий к.п.д. (не более 70…80%), а также высокие требования к точности изготовления и свойствам применяемых материалов.

Червячная передача

Червячная передача – это механизм для передачи вращения между перекрещивающимися (как правило, взаимно перпендикулярными) валами. При вращении червяка 1 (рис. 4.7) его витки плавно входят в зацепление с зубьями колеса 2 и приводят последнее во вращение.

Ведущее звено червячной передачи – червяк, а ведомое – червячное колесо. Отличительной особенностью червячной передачи является наличие эффекта самостопорения, т.е. невозможности обратной передачи мощности от колеса к червяку.

Передаточное число червячной передачи зависит от числа заходов червяка :

			свыше

и числа зубьев колеса

Основным недостатком червячных передач является низкий к.п.д. – 70…80%. По этой причине их применяют для передачи небольших и средних мощностей, как правило, до 50 кВт, реже – до 200 кВт.

Передачи с гибкой связью

Передачи с гибкой связью предназначены для передачи вращательного движения и преобразования вращательного движения в поступательное и наоборот. К передачам с гибкой связью относят ременную, цепную и тросовую.

Ременные передачи

Механизм для передачи вращения при помощи гибкого элемента (ремня) за счёт сил трения (для зубчатых ремней – сил зацепления) называется ременной передачей. Ременная передача (см. рис. 4.8) состоит из ведущего 1 и ведомого 2 шкивов и надетого на них ремня 3 . В состав механизма могут также входить натяжное устройство 4 и ограждение (на рис. 4.8 не показано).

Передаточное отношение определяется отношением диаметров ведомого и ведущего шкивов и, как правило, с учетом упругого скольжения ремня по шкивам

, (4.16)

которое обычно принимают на уровне .

К.п.д. ременной передачи составляет 90…95%

Основными достоинствами являются: возможность работы с высокими скоростями, плавность и малошумность работы, простота конструкции и низкая стоимость. Недостатками ременной передачи являются: значительные силы, действующие на валы и опоры, непостоянство передаточного отношения, малый срок службы ремней.

Цепная передача

Цепная передача (рис. 4.9) – это механизм для передачи вращения между параллельными валами при помощи жестко закрепленных на валах зубчатых колес-звездочек, через которые перекинута замкнутая приводная цепь.

Передаточное отношение цепной передачи определяется отношением числа зубъев ведомой и ведущей звездочек

Средняя скорость цепи определяется по зависимости

где р – шаг цепи, мм .

Цепные передачи универсальны, просты и экономичны. По сравнению с зубчатыми передачами они менее чувствительны к неточностям расположения валов, ударным нагрузкам, допускают практически неограниченные межцентровые расстояния, обеспечивают более простую компоновку. В сравнении с ремёнными передачами они характеризуются следующими достоинствами: отсутствие предварительного натяжения и связанных с ним дополнительных нагрузок на валы и подшипники; передача большой мощности, как при высоких, так и при низких скоростях; сохранение удовлетворительной работоспособности при высоких и низких температурах; приспособление к любым изменениям конструкции удалением или добавлением звеньев.

К недостаткам цепных передач следует отнести: неравномерность хода, возрастающая по мере уменьшения числа зубьев звёздочек и увеличения шага звеньев; повышенный шум и износ цепи при неправильном выборе конструкции, небрежном монтаже и плохом уходе; необходимость в смазке и устранении провисания холостой ветви по мере износа цепи.

Тросовая передача

В тросовой передаче преобразование вращательного движения в поступательное и наоборот между звеньями (ведущим 1 и ведомым 2 ) осуществляют при помощи троса 3 (рис. 4.10). Тросы изготавливают из стальной проволоки (обычно оцинкованной).

При работе тросовой передачи отдельные проволоки троса подвергаются растяжению, изгибу, кручению и смятию. Из условия ограничения напряжения изгиба в тросе минимальный диаметр шкивов находят по условию

, (4.19)

А ) и винт-гайка качения (рис. 4.11, б ). Основными элементами передачи являются: винт 1 и гайка 2 .

В паре скольжения для повышения к.п.д. уменьшением потерь на трение между этими элементами помещаются стальные шарики 3 . При вращении винта (гайки) шарики благодаря трению перекатываются по винтовым поверхностям винта и гайки и передают вращение от винта к гайке, или от гайки к винту. Скорость перемещения шариков отличается от скорости винта и гайки, поэтому с целью обеспечения непрерывной циркуляции шариков концы рабочей части резьбы соединяют возвратным каналом.

Передаточное соотношение передачи винт-гайка определится как, м -1 :

, , (4.21)

откуда линейную скорость винта (гайки) можно рассчитать по зависимости

, (4.22)

где р – шаг резьбы, мм ; к – число заходов резьбы.

В промышленно изготавливаемых передачах винт-гайка передаточное число составляет 300…2000 .

К.п.д. передачи винт-гайка качения составляет 0,85…0,95, а винт-гайка скольжения – 0,25…0,6.

Достоинством передачи является высокая точность перемещений, малая металлоемкость. Недостатком – низкий к.п.д. в передачах скольжения и сложность изготовления передач качения.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение для преобразователей движения. Какие механические передачи преобразователей движения Вы знаете? Назовите основные характеристики механических передач.

2. Вспомните основные достоинства и недостатки всех известных Вам механических передач.

3. Перечислите основные виды зубчатых передач. Поясните принцип действия планетарной передачи.

4. В чем заключается эффект самостопорения червячной передачи?