Определение и свойства момента силы. Момент силы Как находить момент силы относительно оси

В статье мы расскажем про момент силы относительно точки и оси, определения, рисунки и графики, какая единица измерения момента силы, работа и сила во вращательном движении, а также примеры и задачи.

Момент силы представляет собой вектор физической величины, равный произведению векторов плеча силы (радиус-вектор частицы) и силы , действующей на точку. Силовой рычаг представляет собой вектор, соединяющий точку, через которую проходит ось вращения твердого тела с точкой, к которой приложена сила.

где: r — плечо силы, F — сила приложенная на тело.

Направление вектора силы момента всегда перпендикулярно плоскости, определяемой векторами r и F.

Главный момент — любая система сил на плоскости относительно принятого полюса называется алгебраическим моментом момента всех сил этой системы относительно этого полюса.

Во вращательных движениях важны не только сами физические величины, но и то, как они расположены относительно оси вращения, то есть их моменты . Мы уже знаем, что во вращательном движении важна не только масса, но и . В случае силы, ее эффективность для запуска ускорения определяется способом приложения этой силы к оси вращения.

Взаимосвязь между силой и способом ее применения описывает МОМЕНТ СИЛЫ. Момент силы — это векторное произведение силового плеча R на вектор силы F:

Как в каждом векторном произведении, так и здесь

Следовательно, сила не будет влиять на вращение, когда угол между векторами силы F и рычагом R равен 0 o или 180 o . Каков эффект применения момента силы М ?

Мы используем второй Закон движения Ньютона и связь между канатом и угловой скоростью v = Rω в скалярной форме, действительны, когда векторы R и ω перпендикулярны друг другу

Умножив обе части уравнения на R, получим

Поскольку mR 2 = I, мы заключаем, что

Вышеуказанная зависимость справедлива и для случая материального тела. Обратите внимание, что в то время как внешняя сила дает линейное ускорение a , момент внешней силы дает угловое ускорение ε.

Единица измерения момента силы

Основной мерой измерения момента силы в системной координате СИ является: [M]=Н м

В СГС: [M]=дин см

Работа и сила во вращательном движении

Работа в линейном движении определяется общим выражением,

но во вращательном движении,

а следовательно

Исходя из свойств смешанного произведения трех векторов, можно записать

Поэтому мы получили выражение для работы во вращательном движении:

Мощность во вращательном движении:

Найдите момент силы, действующей на тело в ситуациях, показанных на рисунках ниже. Предположим, что r = 1m и F = 2N.

а) поскольку угол между векторами r и F равен 90°, то sin(a)=1:

M = r F = 1м 2N = 2Н м

б) потому что угол между векторами r и F равен 0°, поэтому sin(a)=0:

M = 0
да направленная сила не может дать точке вращательное движение .

c) поскольку угол между векторами r и F равен 30°, то sin(a)=0.5:

M = 0,5 r F = 1Н м.

Таким образом, направленная сила вызовет вращение тела , однако ее эффект будет меньше, чем в случае a) .

Момент силы относительно оси

Предположим, что данные являются точкой O (полюс) и мощность P . В точке O мы принимаем начало прямоугольной системы координат. Момент силы Р по отношению к полюсным O представляет собой вектор М из (Р ), (рисунок ниже).

Любая точка A на линии P имеет координаты (xo , yo , zo).
Вектор силы P имеет координаты Px , Py, Pz . Комбинируя точку A (xo, yo, zo) с началом системы, мы получаем вектор p . Координаты вектора силы P относительно полюса O обозначены символами Mx, My, Mz. Эти координаты могут быть вычислены как минимумы данного определителя, где (i, j, k ) — единичные векторы на осях координат (варианты): i, j, k

После решения определителя координаты момента будут равны:

Координаты вектора моментов Mo (P ) называются моментами силы относительно соответствующей оси. Например, момент силы P относительно оси Oz окружает шаблон:

Mz = Pyxo — Pxyo

Этот паттерн интерпретируется геометрически так, как показано на рисунке ниже.

На основании этой интерпретации момент силы относительно оси Oz можно определить, как момент проекции силы P на перпендикуляр оси Oz относительно точки проникновения этой плоскости осью. Проекция силы P на перпендикуляр оси обозначена Pxy , а точка проникновения плоскости Oxy — осью Oс символом O.
Из приведенного выше определения момента силы относительно оси следует, что момент силы относительно оси равен нулю, когда сила и ось равны, в одной плоскости (когда сила параллельна оси или когда сила пересекает ось).
Используя формулы на Mx, My, Mz, мы можем рассчитать значение момента силы P относительно точки O и определить углы, содержащиеся между вектором M и осями системы:

Если сила лежит в плоскости Oxy, то zo = 0 и Pz = 0 (см. Рисунок ниже).

Момент силы P по отношению к точке (полюсу) O составляет:
Mx = 0,
My = 0,
Mo (P) = Mz = Pyxo — Pxyo .

Метка крутящего момента:
плюс (+) — вращение силы вокруг оси O по часовой стрелке,
минус (-) — вращение силы вокруг оси O против часовой стрелки.

Рассмотрим, как определяется момент силы относи­тельно оси . Стремление силы вращать тело вокруг непо­движной оси зависит от величины силы, ее наклона и расстояния от оси .

Из опыта известно, что силы, про­ходящие через ось , и силы, параллель­ные оси , НЕ МОГУТ ВЫЗВАТЬ ВРАЩЕНИЯ ТЕЛА вокруг этой оси . Посмотрим на рисунок.

Ни сила Р 1 , линия действия которой пересекает ось Oz , ни сила Р 2 , параллельная оси, не смогут повернуть тело вокруг этой оси.

Для вращательного эффекта силы относительно закрепленной оси вводит­ся понятие момента силы относительно оси М z (Р) . Вращательный эффект силы относительно оси и выражается ее мо­ментом .

Пусть на тело в какой-то точке действует произ­вольная сила Р , не параллельная оси вращения Oz и не пересекающая эту ось. Проведем плоскость H , перпендикулярную оси Oz и проходящую через начало вектора силы . Разложим заданную силу Р на две составляющие: Р 1 , расположенную в плоскости H , и Р 2 , параллель­ную оси Oz .

Составляющая Р 2 , параллельная оси Oz момента относительно этой оси не создает . Составляющая Р 1 , действующая в плоскости H , создает момент относительно оси Oz или, что то же самое, относительно точки О . Мо­мент силы Р 1 измеряется произведением модуля самой силы на длину а перпендикуляра , опущенного из точки О на направление этой силы, т. е.

В выражение момента силы относительно оси входит не вся сила , а только ее составляющая, лежащая в пло­скости, перпендикулярной оси вращения.

Знак момента по общему правилу определяется на­правлением вращения тела: (+) при движении по часовой стрелке , (-) при движении против часовой стрелки (правило условно). При определении знака момента наблюдатель должен непре­менно находиться со стороны положительного направле­ния оси. На рисунке вверху момент силы Р относительно оси Oz положителен , так как для наблюдателя, смотрящего со стороны положительного направления оси (сверху ), тело под действием заданной силы представляется вращаю­щимся вокруг оси по ходу часовой стрелки .

На рисунке внизу момент силы Р относительно оси Oz - величина отрица­тельная .

Рассмотрим частный случай.

В частном случае мо­мент силы Р , расположенной в плоско­сти H , относительно оси Oz , перпендикулярной этой плоскости, определится произведением полной ве­личины силы Р на ее пле­чо l относительно точки пересечения оси Oz и плос­кости H

Определение

Векторное произведение радиус – вектора (), который проведен из точки О (рис.1) в точку к которой приложена сила на сам вектор называют моментом силы ()по отношению к точке O:

На рис.1 точка О и вектор силы ()и радиус – вектор находятся в плоскости рисунка. В таком случае вектор момента силы () перпендикулярен плоскости рисунка и имеет направление от нас. Вектор момента силы является аксиальным. Направление вектора момента силы выбирается таким образом, что вращение вокруг точки О в направлении силы и вектор создают правовинтовую систему. Направление момента сил и углового ускорения совпадают.

Величина вектора равна:

где – угол между направлениями радиус – вектора и вектора силы, – плечо силы относительно точки О.

Момент силы относительно оси

Моментом силы по отношению к оси является физическая величина, равная проекции вектора момента силы относительно точки избранной оси на данную ось. При этом выбор точки значения не имеет.

Главный момент сил

Главным моментом совокупности сил относительно точки О называется вектор (момент силы), который равен сумме моментов всех сил, действующих в системе по отношению к той же точке:

При этом точку О называют центром приведения системы сил.

Если имеются два главных моменты ( и )для одной системы сил для разных двух центров приведение сил (О и О’), то они связаны выражением:

где - радиус-вектор, который проведен из точки О к точке О’, – главный вектор системы сил.

В общем случае результат действия на твердое тело произвольной системы сил такое же, как действие на тело главного момента системы сил и главного вектора системы сил, который приложен в центре приведения (точка О).

Основной закон динамики вращательного движения

где – момент импульса тела находящегося во вращении.

Для твердого тела этот закон можно представить как:

где I – момент инерции тела, – угловое ускорение.

Единицы измерения момента силы

Основной единицей измерения момента силы в системе СИ является: [M]=Н м

В СГС: [M]=дин см

Примеры решения задач

Пример

Задание. На рис.1 показано тело, которое имеет ось вращения OO". Момент силы, приложенный к телу относительно заданной оси, будет равен нулю? Ось и вектор силы расположены в плоскости рисунка.

Решение. За основу решения задачи примем формулу, определяющую момент силы:

В векторном произведении (видно из рисунка) . Угол между вектором силы и радиус – вектором также будет отличен от нуля (или ), следовательно, векторное произведение (1.1) нулю не равно. Значит, момент силы отличен от нуля.

Ответ.

Пример

Задание. Угловая скорость вращающегося твердого тела изменяется в соответствии с графиком, который представлен на рис.2. В какой из указанных на графике точек момент сил, приложенных к телу равен нулю?

Изучение свойств пары сил, которая является одним из основных элементов статики, требует введения важного понятия момента силы относительно точки.

Пусть к телу в точке А приложена сила (рис. 89). Выберем любую точку пространства О (обычно в качестве этой точки выбирается начало координат) и проведем из нее радиус-вектор идущий в точку приложения этой силы.

Векторным моментом силы относительно точки О называется свободный вектор, определяемый векторным произведением на

Обозначая его через имеем

Вектор по модулю равен удвоенной площади треугольника, построенного на векторах и Направлен вектор перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами так, что если смотреть с его конца на эту плоскость, то сила будет стремиться повернуть тело вокруг точки О против часовой стрелки. Обычно вектор считается приложенным в точке. Если сила отлична от нуля, то векторный момент равен нулю только в том случае, когда точка О лежит на линии действия силы . В системе единиц СИ размерность момента силы относительно точки равна

Из определения векторного момента следует, что он не меняется, если силу переместить по линии ее действия. Действительно, при этом плоскость, определяемая векторами не изменяет своего

расположения в пространстве, а также не изменяется и площадь треугольника, построенного на этих векторах (рис. 89).

Из указанного свойства следует, что понятие момента вектора относительно точки тесно связано с понятием скользящего вектора.

Алгебраический момент силы

Если рассматривается плоская система сил или силы, расположенные в одной плоскости, то целесообразно ввести понятие алгебраического момента силы.

Модуль векторного момента, как указано, равен удвоенной площади треугольника, построенного на векторах Если угол между векторами равен а, то

Но произведение

представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы. Величина называется плечом силы относительно точки О. Расположим в плоскости, определяемой векторами и оси координат при этом ось z будет расположена перпендикулярно этой плоскости (рис. 90). Алгебраическим моментом силы называется произведение плеча силы на модуль силы

Знак алгебраического момента будет плюс, если для наблюдателя, расположенного вдоль положительного направления оси z, сила стремится повернуться вокруг точки О против часовой стрелки. В противоположном случае знак алгебраического момента будет отрицательным.

Момент силы относительно оси

С понятием момента силы относительно точки тесно связано понятие момента силы относительно оси.

Моментом силы относительно оси называется проекция момента силы относительно произвольной точки оси на ось.

Чтобы это определение имело смысл, необходимо доказать, что проекции на ось моментов силы относительно двух произвольных точек оси равны.

Для доказательства проведем плоскость, перпендикулярную к оси (рис. 91), и спроектируем вектор на эту плоскость.

Обозначим через а угол, образуемый вектором с осью Тогда момент вектора относительно оси определяется формулой:

Отсюда, так как величина не зависит от положения точки О на оси (рис. 92), то

Формула, определяющая осевой момент, позволяет установить геометрическое правило вычисления его. Это правило заключается в следующем: провести плоскость, перпендикулярную к оси, спроектировать на нее вектор

Удвоенная площадь треугольника, образованного этой проекцией и точкой пересечения оси с плоскостью, определяет величину осевого момента.

Знак момента будет положительным, если для наблюдателя, расположенного вдоль положительного направления оси, проекция вектора стремится повернуться вокруг точки пересечения оси с плоскостью против часовой стрелки; если проекция стремится повернуться по часовой стрелке, то знак момента будет отрицательным.

Формулы определения моментов через проекции

В качестве точки О, относительно которой подсчитывается момент скользящего вектора, обычно выбирается начало координат. Тогда момент силы будет приложен в начале координат и проекции его на оси будут соответствующими осевыми моментами. Из определения и геометрического правила вычисления осевого момента следует, что он будет равен нулю, если вектор параллелен оси, либо линия действия его пересекает ось. Если сила задана своими проекциями и известны проекции радиуса-вектора определяющего точку приложения силы (или просто координаты этой точки), то момент вектора относительно точки О и моменты

относительно осей координат, как следует из предыдущего, определяются по формуле:

Когда решают задачи на перемещение объектов, то в ряде случаев пренебрегают их пространственными размерами, вводя понятие материальной точки. Для другого типа задач, в которых рассматриваются покоящиеся или вращающиеся тела, важно знать их параметры и точки приложения внешних сил. В этом случае речь идет о моменте сил относительно оси вращения. Рассмотрим этот вопрос в статье.

Понятие о моменте силы

Перед тем как приводить относительно оси вращения неподвижной, необходимо пояснить, о каком явлении пойдет речь. Ниже дан рисунок, на котором изображен гаечный ключ длиной d, к концу его приложена сила F. Нетрудно представить, что результатом ее воздействия будет вращение ключа против часовой стрелки и откручивание гайки.

Согласно определению, момент силы относительно представляет собой произведение плеча (d в данном случае) на силу (F), то есть можно записать следующее выражение: M = d*F. Сразу же следует оговориться, что приведенная формула записана в скалярном виде, то есть она позволяет рассчитать абсолютное значение момента M. Как видно из формулы, единицей измерения рассматриваемой величины являются ньютоны на метр (Н*м).

- векторная величина

Как выше было оговорено, момент M в действительности представляет собой вектор. Для пояснения этого утверждения рассмотрим другой рисунок.

Здесь мы видим рычаг длиной L, который закреплен на оси (показано стрелкой). К его концу приложена сила F под углом Φ. Нетрудно себе представить, что эта сила будет вызывать подъем рычага. Формула для момента в векторной форме в этом случае запишется так: M¯ = L¯*F¯, здесь черта над символом означает, что рассматриваемая величина - это вектор. Следует пояснить, что L¯ направлен от оси вращения к точке приложения силы F¯.

Приведенное выражение является векторным произведением. Его результирующий вектор (M¯) будет направлен перпендикулярно плоскости, образованной L¯ и F¯. Для определения направления момента M¯ существуют несколько правил (правой руки, буравчика). Чтобы не заучивать их и не путаться в порядке умножения векторов L¯ и F¯ (от него зависит направление M¯), следует запомнить одну простую вещь: момент силы будет направлен таким образом, что если смотреть с конца его вектора, то воздействующая сила F¯ будет вращать рычаг против часовой стрелки. Это направление момента условно принято за положительное. Если же система совершает вращение по часовой стрелки, значит, результирующий момент сил имеет отрицательное значение.

Таким образом, в рассматриваемом случае с рычагом L величина M¯ направлена вверх (от рисунка к читателю).

В скалярной форме формула для момента запишется в виде: M = L*F*sin(180-Φ) или M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)). Согласно определению синуса, можно записать равенство: M = d*F, где d = L*sin(Φ) (см. рисунок и соответствующий прямоугольный треугольник). Последняя формула является аналогичной той, которая была приведена в предыдущем пункте.

Проведенные выше вычисления демонстрируют, как работать с векторными и скалярными величинами моментов сил, чтобы не допустить ошибок.

Физический смысл величины M¯

Поскольку два рассмотренных в предыдущих пунктах случая связаны с вращательным движением, то можно догадаться, какой смысл несет момент силы. Если сила, действующая на материальную точку, является мерой увеличения скорости линейного перемещения последней, то момент силы - это мера ее вращательной способности применительно к рассматриваемой системе.

Приведем наглядный пример. Любой человек открывает дверь, взявшись за ее ручку. Также это можно сделать, если толкнуть дверь в зоне ручки. Почему никто не открывает ее, толкая в области петель? Очень просто: чем ближе к петлям приложена сила, тем труднее открыть дверь, и наоборот. Вывод предыдущего предложения следует из формулы для момента (M = d*F), откуда видно, что при M = const величины d и F находятся в обратной зависимости.

Момент силы - аддитивная величина

Во всех рассмотренных выше случаях имела место лишь одна действующая сила. При решении же реальных задач дело обстоит гораздо сложнее. Обычно на системы, которые вращаются или находятся в равновесии, действуют несколько сил кручения, каждая из которых создает свой момент. В этом случае решение задач сводится к нахождению суммарного момента сил относительно оси вращения.

Суммарный момент находится путем обычной суммы отдельных моментов для каждой силы, однако, следует не забывать использовать правильный знак для каждого из них.

Пример решения задачи

Для закрепления полученных знаний предлагается решить следующую задачу: необходимо вычислить суммарный момент силы для системы, изображенной на рисунке ниже.

Мы видим, что на рычаг длиной 7 м действуют три силы (F1, F2, F3), причем они имеют разные точки приложения относительно оси вращения. Поскольку направление сил перпендикулярно рычагу, то нет необходимости применять векторное выражение для момента кручения. Можно рассчитать суммарный момент M, используя скалярную формулу и не забывая о постановке нужного знака. Поскольку силы F1 и F3 стремятся повернуть рычаг против часовой стрелки, а F2 - по часовой стрелке, то момент вращения для первых будет положительным, а для второй - отрицательным. Имеем: M = F1*7-F2*5+F3*3 = 140-50+75 = 165 Н*м. То есть суммарный момент является положительным и направлен вверх (на читателя).