План показа: Введение. Введение. 1. Определения возрастающей и убывающей функций. Графики функций. 1. Определения возрастающей и убывающей функций. Графики функций. 2.Алгоритм исследования функции на монотонность. 2.Алгоритм исследования функции на монотонность. 3. Примеры исследования функций на монотонность. 3. Примеры исследования функций на монотонность. Выводы. Выводы.

Введение. Введение. Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. Н.И. Лобачевский Н.И. Лобачевский Мы изучаем алгебру по комплектам учебников (под рук. Мордковича А.Г.), где учебный материал излагается по схеме: Мы изучаем алгебру по комплектам учебников (под рук. Мордковича А.Г.), где учебный материал излагается по схеме: функция - уравнения – преобразования. функция - уравнения – преобразования. В 7-м и 8-м классах мы учились читать графики, описывая некоторые свойства функций. В 7-м и 8-м классах мы учились читать графики, описывая некоторые свойства функций. В 9-м классе узнали много новых определений и научились применять их для исследования функций. Таким образом, появилась возможность, ответить на многие вопросы без построения графиков функций и, наоборот, по графикам – определить свойства функций. В 9-м классе узнали много новых определений и научились применять их для исследования функций. Таким образом, появилась возможность, ответить на многие вопросы без построения графиков функций и, наоборот, по графикам – определить свойства функций. Замечательным свойством функции является монотонность. Наш показ посвящен этому свойству. Замечательным свойством функции является монотонность. Наш показ посвящен этому свойству.

1.Определения возрастающей и убывающей функций. Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве X D(f), если для любых двух точек x 1 и x 2 множества X, таких, что x 1

3. Алгоритм исследования функции на монотонность. 1. Найти область определения функции y = f(x): множество X D(f). 2. Выбрать произвольные значения аргумента x 1 и x 2 множества X такие, что x 1

4. Примеры исследования функций на монотонность. Исследовать на монотонность функцию: Исследовать на монотонность функцию: 1. y = 2 - 5x; 1. y = 2 - 5x; 2. y = x 3 +4; 2. y = x 3 +4; 3. y = x 3 +2x 2 ; 3. y = x 3 +2x 2 ; 4. y = - 3x 3 - x; 4. y = - 3x 3 - x; 5. y = x 0,5 +x 5 ; 5. y = x 0,5 +x 5 ; 6. y = - x 3 - x 0,5. 6. y = - x 3 - x 0,5.

1. y = 2 – 5x. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = 2 – 5x: D(y)= (- ; +). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 – x 2 ; 2 – 5 x 1 > 2 – 5 x Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y). – x 2 ; 2 – 5 x 1 > 2 – 5 x 2 3. 5. Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y).">

2. y = x y = x Решение. Решение. 1. Область определения функции y = x: D(y)= (- ; +). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1

3. y = x 3 +2x 2. Решение. Решение. Область определения функции y = x 3 + 2x 2: D(y)= (- ; +). Область определения функции y = x 3 + 2x 2: D(y)= (- ; +). Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1

4. y = – 3x 3 – x. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = – 3x 3 – x: D(y)= (- ; +). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 – x 2 3 ; – x 1 (3x) > – x 2 (3x); – 3x 1 3 – x 1 > – 3x 2 3 – x Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y). – x 2 3 ; – x 1 (3x 1 2 + 1) > – x 2 (3x 2 2 +1); – 3x 1 3 – x 1 > – 3x 2 3 – x 2. 5. Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y).">

5. y = x 0,5 +x 5. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = x 0,5 +x 5: D(y)= [ 0 ; +). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1

6. y = - x 3 - x 0,5. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = – x 3 – x 0,5: D(y)= [ 0; +). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 – x 2 3 ; – x 1 0,5 > – x 2 0,5 ; –x 1 0,5 (x 1 2,5 + 1) > – x 2 (x 2 2,5 +1); – x 1 3 – x 1 0,5 > – x 2 3 – x 2 0,5. 5. Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y). – x 2 3 ; – x 1 0,5 > – x 2 0,5 ; –x 1 0,5 (x 1 2,5 + 1) > – x 2 (x 2 2,5 +1); – x 1 3 – x 1 0,5 > – x 2 3 – x 2 0,5. 5. Итак, из x 1 f (x 2), то заданная функция убывает на D(y).">

Выводы. Выводы. Данный материал подготовлен как вводное повторение для урока по теме « Теорема о корне при решении уравнений». Данный материал подготовлен как вводное повторение для урока по теме « Теорема о корне при решении уравнений». Свойство монотонности функции будет в дальнейшем использоваться для решения нестандартных задач. Свойство монотонности функции будет в дальнейшем использоваться для решения нестандартных задач. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. Д.Пойа Д.Пойа

Возрастание, убывание и экстремумы функции

Нахождение интервалов возрастания, убывания и экстремумов функции является как самостоятельной задачей, так и важнейшей частью других заданий, в частности, полного исследования функции . Начальные сведения о возрастании, убывании и экстремумах функции даны в теоретической главе о производной , которую я настоятельно рекомендую к предварительному изучению (либо повторению) – ещё и по той причине, что нижеследующий материал базируется на самой сути производной, являясь гармоничным продолжением указанной статьи. Хотя, если времени в обрез, то возможна и чисто формальная отработка примеров сегодняшнего урока.

А сегодня в воздухе витает дух редкого единодушия, и я прямо чувствую, что все присутствующие горят желанием научиться исследовать функцию с помощью производной . Поэтому на экранах ваших мониторов незамедлительно появляется разумная добрая вечная терминология.

Зачем? Одна из причин самая что ни на есть практическая: чтобы было понятно, что от вас вообще требуется в той или иной задаче !

Монотонность функции. Точки экстремума и экстремумы функции

Рассмотрим некоторую функцию . Упрощённо полагаем, что она непрерывна на всей числовой прямой:

На всякий случай сразу избавимся от возможных иллюзий, особенно это касается тех читателей, кто недавно ознакомился с интервалами знакопостоянства функции . Сейчас нас НЕ ИНТЕРЕСУЕТ , как расположен график функции относительно оси (выше, ниже, где пересекает ось). Для убедительности мысленно сотрите оси и оставьте один график. Потому что интерес именно в нём.

Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует бОльшее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция растёт на интервале .

Аналогично, функция убывает на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что , справедливо неравенство . То есть, бОльшему значению аргумента соответствует мЕньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция убывает на интервалах .

Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие.

Также можно определить неубывающую функцию (смягчённое условие в первом определении) и невозрастающую функцию (смягчённое условие во 2-м определении). Неубывающую или невозрастающую функцию на интервале называют монотонной функцией на данном интервале (строгая монотонность – частный случай «просто» монотонности) .

Теория рассматривает и другие подходы к определению возрастания/убывания функции, в том числе на полуинтервалах, отрезках, но чтобы не выливать на вашу голову масло-масло-масляное, договоримся оперировать открытыми интервалами с категоричными определениями – это чётче, и для решения многих практических задач вполне достаточно.

Таким образом, в моих статьях за формулировкой «монотонность функции» почти всегда будут скрываться интервалы строгой монотонности (строгого возрастания или строгого убывания функции).

Окрестность точки. Слова, после которых студенты разбегаются, кто куда может, и в ужасе прячутся по углам. …Хотя после поста Пределы по Коши уже, наверное, не прячутся, а лишь слегка вздрагивают =) Не беспокойтесь, сейчас не будет доказательств теорем математического анализа – окрестности мне потребовались, чтобы строже сформулировать определения точек экстремума . Вспоминаем:

Окрестностью точки называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Например, точка и её стандартная - окрестность:

Собственно, определения:

Точка называется точкой строгого максимума , если существует её -окрестность, для всех значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . В нашем конкретном примере это точка .

Точка называется точкой строгого минимума , если существует её -окрестность, для всех значений которой за исключением самой точки выполнено неравенство . На чертеже – точка «а».

Примечание : требование симметричности окрестности вовсе не обязательно. Кроме того, важен сам факт существования окрестности (хоть малюсенькой, хоть микроскопической), удовлетворяющей указанным условиям

Точки называют точками строго экстремума или просто точками экстремума функции. То есть это обобщенный термин точек максимума и точек минимума.

Как понимать слово «экстремум»? Да так же непосредственно, как и монотонность. Экстремальные точки американских горок.

Как и в случае с монотонностью, в теории имеют место и даже больше распространены нестрогие постулаты (под которые, естественно, подпадают рассмотренные строгие случаи!) :

Точка называется точкой максимума , если существует её окрестность, такая, что для всех
Точка называется точкой минимума , если существует её окрестность, такая, что для всех значений данной окрестности выполнено неравенство .

Заметьте, что согласно последним двум определениям, любая точка функции-константы (либо «ровного участка» какой-нибудь функции) считается как точкой максимума, так и точкой минимума! Функция , к слову, одновременно является и невозрастающей и неубывающей, то есть монотонной. Однако оставим сии рассуждения теоретикам, поскольку на практике мы почти всегда созерцаем традиционные «холмы» и «впадины» (см. чертёж) с уникальным «царём горы» или «принцессой болота» . Как разновидность, встречается остриё , направленное вверх либо вниз, например, минимум функции в точке .

Да, кстати, о королевских особах:
– значение называют максимумом функции;
– значение называют минимумом функции.

Общее название – экстремумы функции.

Пожалуйста, будьте аккуратны в словах!

Точки экстремума – это «иксовые» значения.
Экстремумы – «игрековые» значения.

! Примечание : иногда перечисленными терминами называют точки «икс-игрек», лежащие непосредственно на САМОМ ГРАФИКЕ функции.

Сколько может быть экстремумов у функции?

Ни одного, 1, 2, 3, … и т.д. до бесконечности. Например, у синуса бесконечно много минимумов и максимумов.

ВАЖНО! Термин «максимум функции» не тождественен термину «максимальное значение функции». Легко заметить, что значение максимально лишь в локальной окрестности, а слева вверху есть и «покруче товарищи». Аналогично, «минимум функции» – не то же самое, что «минимальное значение функции», и на чертеже мы видим, что значение минимально только на определённом участке. В этой связи точки экстремума также называют точками локального экстремума , а экстремумы – локальными экстремумами . Ходят-бродят неподалёку и глобальные собратья. Так, любая парабола имеет в своей вершине глобальный минимум или глобальный максимум . Далее я не буду различать типы экстремумов, и пояснение озвучено больше в общеобразовательных целях – добавочные прилагательные «локальный»/«глобальный» не должны заставать врасплох.

Подытожим наш небольшой экскурс в теорию контрольным выстрелом: что подразумевает задание «найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции»?

Формулировка побуждает найти:

– интервалы возрастания/убывания функции (намного реже фигурирует неубывание, невозрастание);

– точки максимума и/или точки минимума (если таковые существуют). Ну и от незачёта подальше лучше найти сами минимумы/максимумы;-)

Как всё это определить? С помощью производной функции!

Как найти интервалы возрастания, убывания,
точки экстремума и экстремумы функции?

Многие правила, по сути, уже известны и понятны из урока о смысле производной .

Производная тангенса несёт бодрую весть о том, что функция возрастает на всей области определения .

С котангенсом и его производной ситуация ровно противоположная.

Арксинус на интервале растёт – производная здесь положительна: .
При функция определена, но не дифференцируема. Однако в критической точке существует правосторонняя производная и правостороння касательная, а на другом краю – их левосторонние визави.

Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной.

Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные , напоминаю, следуют непосредственно из определения производной .

Зачем исследовать функцию с помощью производной?

Чтобы лучше узнать, как выглядит график этой функции : где он идёт «снизу вверх», где «сверху вниз», где достигает минимумов максимумов (если вообще достигает). Не все функции такие простые – в большинстве случаев у нас вообще нет ни малейшего представления о графике той или иной функции.

Настала пора перейти к более содержательным примерам и рассмотреть алгоритм нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции :

Пример 1

Найти интервалы возрастания/убывания и экстремумы функции

Решение :

1) На первом шаге нужно найти область определения функции , а также взять на заметку точки разрыва (если они существуют). В данном случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и данное действие в известной степени формально. Но в ряде случаев здесь разгораются нешуточные страсти, поэтому отнесёмся к абзацу без пренебрежения.

2) Второй пункт алгоритма обусловлен

необходимым условием экстремума:

Если в точке есть экстремум, то либо значения не существует .

Смущает концовка? Экстремум функции «модуль икс».

Условие необходимо, но не достаточно , и обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Так, из равенства ещё не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке . Классический пример уже засветился выше – это кубическая парабола и её критическая точка .

Но как бы там ни было, необходимое условие экстремума диктует надобность в отыскании подозрительных точек. Для этого следует найти производную и решить уравнение :

В начале первой статьи о графиках функции я рассказывал, как быстро построить параболу на примере : «…берём первую производную и приравниваем ее к нулю: …Итак, решение нашего уравнения: – именно в этой точке и находится вершина параболы…». Теперь, думаю, всем понятно, почему вершина параболы находится именно в этой точке =) Вообще, следовало бы начать с похожего примера и здесь, но он уж слишком прост (даже для чайника). К тому же, аналог есть в самом конце урока о производной функции . Поэтому повысим степень:

Пример 2

Найти промежутки монотонности и экстремумы функции

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задачи в конце урока.

Наступил долгожданный момент встречи с дробно-рациональными функциями:

Пример 3

Исследовать функцию с помощью первой производной

Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать фактически одно и то же задание.

Решение :

1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках .

2) Детектируем критические точки. Найдём первую производную и приравняем её к нулю:

Решим уравнение . Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю:

Таким образом, получаем три критические точки:

3) Откладываем на числовой прямой ВСЕ обнаруженные точки и методом интервалов определяем знаки ПРОИЗВОДНОЙ:

Напоминаю, что необходимо взять какую-нибудь точку интервала, вычислить в ней значение производной и определить её знак. Выгоднее даже не считать, а «прикинуть» устно. Возьмём, например, точку , принадлежащую интервалу , и выполним подстановку: .

Два «плюса» и один «минус» дают «минус», поэтому , а значит, производная отрицательна и на всём интервале .

Действие, как вы понимаете, нужно провести для каждого из шести интервалов. Кстати, обратите внимание, что множитель числителя и знаменатель строго положительны для любой точки любого интервала, что существенно облегчает задачу.

Итак, производная сообщила нам, что САМА ФУНКЦИЯ возрастает на и убывает на . Однотипные интервалы удобно скреплять значком объединения .

В точке функция достигает максимума:
В точке функция достигает минимума:

Подумайте, почему можно заново не пересчитывать второе значение;-)

При переходе через точку производная не меняет знак, поэтому у функции там НЕТ ЭКСТРЕМУМА – она как убывала, так и осталась убывающей.

! Повторим важный момент : точки не считаются критическими – в них функция не определена . Соответственно, здесь экстремумов не может быть в принципе (даже если производная меняет знак).

Ответ : функция возрастает на и убывает на В точке достигается максимум функции: , а в точке – минимум: .

Знание интервалов монотонности и экстремумов вкупе с установленными асимптотами даёт уже очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек среднего уровня подготовки способен устно определить, что у графика функции есть две вертикальные асимптоты и наклонная асимптота . Вот наш герой:

Постарайтесь ещё раз соотнести результаты исследования с графиком данной функции.
В критической точке экстремума нет, но существует перегиб графика (что, как правило, и бывает в похожих случаях).

Пример 4

Найти экстремумы функции

Пример 5

Найти интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции

…прямо какой-то Праздник «икса в кубе» сегодня получается....
Тааак, кто там на галёрке предложил за это выпить? =)

В каждой задаче есть свои содержательные нюансы и технические тонкости, которые закомментированы в конце урока.

С понятиями возрастающей и убывающей функций мы впервые познакомились в курсе алгебры 7-го класса. Глядя на график функции, мы снимали соответствующую информацию: если двигаясь по графику слева направо мы в то же время движемся снизу вверх (как бы поднимаемся в горку), то мы объявляли функцию возрастающей (рис. 124); если же мы движемся сверху вниз (спускаемся с горки), то мы объявляли функцию убывающей (рис. 125).

Однако математики не очень жалуют такой способ исследования свойств функции. Они считают, что определения понятий не должны опираться на рисунок, — чертеж должен лишь иллюстрировать то или ин е свойство функции на ее графике. Дадим строгие определения понятий возрастания и убывания функции.

Определение 1. Функцию у = f(x) называют возрастающей на промежутке X, если из неравенства х 1 < х 2 - где хг и х2 — любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Определение 2. Функцию у = f(x) называют убывающей на промежутке X, если из неравенства х 1 < х 2 , где х 1 и х 2 — любые две точки прс лежутка X, следует неравенство f(x 1) > f(x 2).
На практике удобнее пользоваться следующими формулировками:
функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Используя эти определения и установленные в § 33 свойства числовых неравенств, мы сможем обосновать выводы о возрастании или убывании ранее изученных функций.

1. Линейная функция у = kx +m

Если k > О, то функция возрастает на всей числовой прямой (рис. 126); если k < 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Доказательство. Положим f(х) = kx +m. Если х 1 < х 2 и k > О, то, согласно свойству 3 числовых неравенств (см. § 33), kx 1 < kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2
следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. линейной функции у = kx+ m.
Если же х 1 < х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 > kx 2 , а согласно свойству 2, из kx 1 > kx 2 следует, что kx 1 + m> kx 2 + т.

Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) > f(х 2). Это и означает убывание функции у = f(x), т. е. линейной функции у = kx + m.

Если функция возрастает (убывает) во всей своей области определения, то ее можно называть возрастающей (убывающей), не указывая промежутка. Например, про функцию у = 2х - 3 можно сказать, что она возрастает на всей числовой прямой, но можно сказать и короче: у = 2х - 3 — возрастающая
функция.

2. Функция у = х2

1. Рассмотрим функцию у = х 2 на луче . Возьмем два неположительных числа х 1 и х 2 , таких, что х 1 < х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых
неравенств, выполняется неравенство - х 1 > - х 2 . Так как числа - х 1 и - х 2 неотрицательны, то, возведя в квадрат обе части последнего неравенства, получим неравенство того же смысла (-х 1) 2 > (-х 2) 2 , т.е. Это значит, что f(х 1) >f(х 2).
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(х 1) > f(х 2).
Поэтому функция у = х 2 убывает на луче (- 00 , 0] (рис. 128).

3. Функция у

1. Рассмотрим функцию на промежутке (0, + 00).
Пусть х1 < х 2 . Так как х 1 и х 2 — положительные числа, то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) > f(x 2).
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(x 1) > f(x 2). Это значит, что функция убывает на открытом луче (0, + 00) (рис. 129).

2. Рассмотрим функцию на промежутке (-оо, 0). Пусть х 1 < х 2 , х 1 и х 2 — отрицательные числа. Тогда - х 1 > - х 2 , причем обе части последнего неравен-
ства — положительные числа, а потому (мы снова воспользовались неравенством, доказанным в примере 1 из § 33). Далее имеем , откуда получаем .
Итак, из неравенства х 1 < х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) т.е. функция убывает на открытом луче (- 00 , 0)
Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание и убывание называют исследованием функции на монотонность.

Решение.

1) Построим график функции у = 2х 2 и возьмем ветвь этой параболы при х < 0 (рис. 130).

2) Построим график функции и выделим его часть на отрезке (рис. 131).

3) Построим гиперболу и выделим ее часть на открытом луче (4, + 00) (рис. 132).
4) Все три «кусочка» изобразим в одной системе координат — это и есть график функции у = f(x) (рис. 133).
Прочитаем график функции у = f(x).
1. Область определения функции — вся числовая прямая.

2. у = 0 при х = 0; у > 0 при х > 0.

3. Функция убывает на луче (-оо, 0], возрастает на отрезке , убывает на луче , выпукла вверх на отрезке , выпукла вниз на луче применяется теорема Лагранжа: существует точка x 0 из (x 1 ; x 2) такая, что f (x 2) - f (x 1) = (x 2 - x 1)×f ¢(x 0). Но, по условию, f" (x 0) = 0, следовательно, f (x 2) = f (x 1), т.е. функция f (x ) постоянна на (a ; b ). Это означает, что достаточность доказана. Теорема доказана.

Теорема 4 (необходимое условие монотонности функции) . Пусть в интервале (a ; b ) функция f (x ) дифференцируема. Тогда :

а ) если f (x ) возрастает, то ее производная в (a ; b ) не отрицательна , т.е. f ¢(x ) ³ 0;

б ) если f (x ) убывает, то ее производная в (a ; b ) не положительна , т.е. f ¢(x ) £ 0.

Доказательство. а). Пусть функция f (x ) возрастает в (a ; b ), т.е. для любых x 1 , x 2 из (a ; b ) выполняется соотношение: x 1 < x 2 ® f (x 1) < f (x 2). Тогда, для указанных точек x 1 , x 2 следующее отношение положительное:

Отсюда следует, что производная f ¢(x 1) ³ 0. Утверждение а б ).

Теорема 5 (достаточное условие монотонности функции). Пусть в интервале (a ; b ) функция f (x ) дифференцируема. Тогда :

а ) если f ¢(x ) > 0 на (a ; b ), то f (x ) возрастает на (a ; b );

б) если f ¢(x ) < 0 на (a ; b ), то f (x ) убывает на (a ; b ).

Доказательство. а). Пусть f ¢(x ) > 0 на (a ; b ) и точки x 1 , x 2 из (a ; b ) такие, что x 1 < x 2 . По теореме Лагранжа, существует точка x 0 из (x 1 ; x 2) такая, что f (x 2) - f (x 1) = (x 2 - x 1)×f ¢(x 0). Здесь правая часть равенства положительная, поэтому f (x 2) - f (x 1) > 0, т.е. f (x 2) > f (x 1) . Это означает, что f (x ) возрастает на (a ; b ). Утверждение а ) доказано. Аналогично доказывается утверждение б ).

Пример 9. Функция у = х 3 всюду возрастает, так как с ростом значений х возрастают кубы этих значений. Производная этой функции у ¢= 3х 2 всюду неотрицательная, т.е. выполняется необходимое условие монотонности.

Пример 10. Найти промежутки возрастания и убывания функции у = 0,25х 4 - 0,5х 2 .

Решение. Находится производная данной функции у ¢ = х 3 - х , и строятся промежутки, в которых х 3 - х положительная или отрицательная. Для этого сначала находятся критические точки, в которых у ¢ = 0: х 3 - х = 0 ® х (х + 1)(х -1) = 0 ® х 1 = 0, х 2 = -1 х 3 = 1. Эти точки разбивают числовую ось на 4 промежутка:

- + - + X

-¥ -2 -1 0 1 2 3 +¥

Черт.36.

В общем случае, для определения знаков производной берут по одной точке в каждом промежутке и вычисляют значения производной в этих точках. Но иногда достаточно взять только одну точку в крайнем правом промежутке, определить знак производной в этой точке, а в остальных промежутках знаки чередовать. В данном примере пусть х = 2, тогда у ¢(2) = 2 3 – 2 = 6 > 0. В правом интервале ставится знак +, а затем знаки чередуются. Получено у ¢ > 0 на промежутках (-1; 0) и (1; +¥), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках возрастает. Далее, у ¢< 0 на (- ¥; -1) и (0; 1), следовательно, исследуемая функция на этих промежутках убывает. Ниже на чертеже 37 построен график этой функции.

Определение 3 . 1). Точка х о называется точкой максимума функции f (x ), если существует интервал (a ; b ), содержащий х о, в котором значение f (x о) наибольшее, т.е. f (x о) > f (x ) для всех х из (a ; b ).

2). Точка х о называется точкой минимума функции f (x ), если существует интервал (a ; b ), содержащий х о, в котором значение f (x о) наименьшее, т.е. f (x о) < f (x ) для всех х из (a ; b ). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема 6 (необходимое условие экстремума функции ). Если х о является точкой экстремума функции f (x ) и существует производная

f ¢(x 0), то f "(x 0) = 0.

Доказательство аналогично доказательству теоремы Ролля.

Точка x 0 , в которой f ¢(x 0) = 0 или f ¢(x 0) не существует, называется критической точкой функции f (x ). Говорят, что критические точки подозрительны на экстремум , т.е. они могут быть точками максимума или минимума, но могут и не быть ими.

Теорема 7 (достаточное условие экстремума функции) . Пусть f (x ) дифференцируема в некотором интервале, содержащем критическую точку х о ( кроме, быть может, самой точки х о). Тогда :

а ) если при переходе через х о слева направо производная f ¢(x ) меняет знак с + на - , то х о является точкой максимума функции f (x );

б ) если при переходе через х о слева направо производная f ¢(x ) меняет знак с - на +, то х о является точкой минимума функции f (x ).

Доказательство. Пусть выполнены все условия пункта а ). Возьмем точку х (из указанного интервала) такую, что х < х о, и применим теорему Лагранжа к интервалу (х ; х о). Получим: f (x 0) - f (x ) = (x 0 - x )×f ¢(x 1), где x 1 – некоторая точка из (х ; х о). По условию, f ¢(x 1) > 0 и (x 0 - x ) > 0, поэтому f (x 0) > f (x ) . Аналогично доказывается, что для любой точки х > х о тоже f (x 0) > f (x ). Из этих утверждений следует, что – точка максимума, утверждение а ) доказано. Аналогично доказывается утверждение б ).

Пример 11. В примере 9 показано, что функция у = х 3 всюду возрастает, следовательно, она не имеет экстремумов. Действительно, ее производная у" = 3х 2 равна нулю только при х о = 0, т.е. в этой точке выполняется необходимое условие экстремума функции. Но при переходе через 0 ее производная у" = 3х 2 не меняет знак, поэтому х о = 0 не является точкой экстремума этой функции.

Пример 12. В примере 10 показано, что функция у = 0,25х 4 - 0,5х 2 имеет критические точки х 1 = 0, х 2 = -1, х 3 = 1. На чертеже 34 указано, что при переходе через эти точки ее производная меняет знак, следовательно, х 1 , х 2 , х 3 - точки экстремума, при этом х 1 = 0 - точка максимума, а х 2 = -1, х 3 = 1 - точки минимума.

Далее, делается чертеж к этому примеру. Функция f (x ) = 0,25х 4 - 0,5х 2 исследуется на четность : f (-x ) = 0,25(-х ) 4 - 0,5(-х ) 2 = f (x ), следовательно, эта функция четная, и ее график симметричен относительно оси ОY . Строятся найденные выше точки графика и некоторые вспомогательные точки, лежащие на графике, и они соединяются плавной линией.

y = 0,25x 4 - 0,5x 2 0,5 -0,11

1 0 max 1 х Ö `1/3 –0,14 A B

Черт.37.

Теорема 8 (второе достаточное условие экстремума ). Пусть х 0 – критическая точка функции f (x ), и существует производная второго порядка f ¢¢(х 0). Тогда :

a ) если f ¢¢( х 0) < 0, то х 0 – точка максимума функции f (x );

б) если f ¢¢(х 0) > 0, то х 0 - точка минимума функции f (x ).

Доказательство этой теоремы не рассматривается (см.).

Пример 13. Исследовать на экстремум функцию y = 2x 2 - x 4 .

Решение. Находится производная y ¢ и критические точки, в которых

y ¢= 9: y ¢= 4x - 4x 3 ; 4x - 4x 3 = 0 ® x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = -1 - критические точки. Находится производная второго порядка y ¢¢ и вычисляются ее значения в критических точках: y ¢¢= 4 –12х 2 ; y ¢¢(0) = 4, y ¢¢(1) = –8, y ¢¢(-1) = –8. Так как y ¢¢(0) > 0, то x 1 = 0 - точка минимума; и так как y ¢¢(1) < 0, y ¢¢(-1) < 0, то x 2 = 1, x 3 = -1 - точки максимума данной функции.

Абсолютными экстремумами функции на сегменте [a ; b ] называются наибольшее и наименьшее значения f (x ) на [a ; b ]. Эти экстремумы достигаются или в критических точках функции f (x ), или на концах сегмента [a ; b ].

Пример 14. Определить наибольшее и наименьшее значения функции у = х 2 ×lnx на промежутке .

Решение. Находится производная данной функции и ее критические точки: у ¢ = 2x ×lnx + x 2 ×(1/x ) = x ×(2lnx +1); x ×(2×lnx +1) = 0 ® а) х 1 = 0; б) 2×lnx + 1 = 0 ® ln x = -0,5 ® х 2 = e - 0,5 = 1/Ö `e » 0,607. Критическая точка х 1 = 0 не входит в рассматриваемый промежуток , поэтому находятся значения функции в точке х 2 = e - 0,5 и на концах а = 0,5, b = e . у (e -0,5) = (e - 0,5) 2 ×ln (e - 0,5) = e - 1 (-0,5) = -0,5/e » -0,184; у (0,5) = 0,25×ln 0,5 » 0,25(-0,693) = -0,17325; у (e ) = e 2 ×lne = e 2 ×1» 7,389. Выбираются наибольшее и наименьшее среди найденных значений: наибольшее значение »7,389 в при х = е , наименьшее значение » -0,184 в при х = e - 0,5 .

Задачи на экстремум.

В таких задачах рассматриваются две переменные величины х и у , и требуется найти такое значение х , при котором значение у является наибольшим или наименьшим. Решение такой задачи содержит следующие шаги:

1) выбирается экстремальная величина y , максимум или минимум которой необходимо найти;

2) выбирается переменная х , и y выражается через х ;

3) вычисляется производная у " и находятся критические точки, в которых у " равна 0 или не существует;

4) исследуются критические точки на экстремум;

5) рассматриваются значения y на концах, и вычисляется требуемая в задаче величина.

Пример 15. Экспериментально установлено, что расход бензина

у (л) на 100 км пути автомобилем ГАЗ-69 в зависимости от скорости х (км/ч) описывается функцией у = 18 - 0,3х + 0,003х 2 . Определить наиболее экономичную скорость.

Решение. Здесь первые два шага 1) и 2) выполнены в условии задачи. Поэтому сразу вычисляется производная: у" = -0,3 +0,006х , и находится критическая точка: -0,3 + 0,006х = 0 ® х о = 50 . Теперь, прменяется второе достаточное условие экстремума: у"" = 0,006 > 0 в любой точке, следовательно, х о = 50 - точка минимума. Вывод: наиболее экономичная скорость равна 50 км/ч, при этом расход бензина равен 18 - 0,3×50 + 0,003×50 2 = 10,5 л. на 100 км.

Пример 16. Из квадратного листа картона со стороной 60 см вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивают прямоугольную коробку. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим .

Решение. Осуществляются указанные выше шаги решения задачи.

1). По условию объем коробки должен быть наибольшим, поэтому пусть y - объем коробки.

2). За х (см) берется сторона вырезаемого квадрата. Тогда высота коробки будет равна х и основанием коробки будет квадрат со стороной

(60 – 2х ), его площадь равна (60 – 2х ) 2 . Следовательно, объем коробки равен y = х (60 – 2х ) 2 = 3600х - 240х 2 + 4х 3 .

3). Вычисляется производная и находятся критические точки: у" = 3600 - 480х + 12х 2 ; х 2 - 40х +300 = 0 ® х 1 =10, х 2 =30 - критические точки.

4). Производная 2-го порядка равна у"" = - 480 + 24х и у"" (10) = -240, у"" (30) = 240. По теореме 8, х 1 =10 - точка максимума и y max = 400 (см 3).

5). Кроме того, х может принять крайнее значение х 3 = 0. Но у (0) = 0 - это меньше чем y max .

Ответ: сторона вырезаемого квадрата равна 10 см.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20