Формула бесконечной арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия на примерах. Пример практического применения арифметической прогрессии

Кто-то к слову «прогрессия» относится настороженно, как к очень сложному термину из разделов высшей математики. А между тем самая простая арифметическая прогрессия - работа счётчика такси (где они ещё остались). И понять суть (а в математике нет ничего важнее, чем «понять суть») арифметической последовательности не так сложно, разобрав несколько элементарных понятий.

Математическая числовая последовательность

Числовой последовательностью принято именовать какой-либо ряд чисел, каждое из которых имеет свой номер.

а 1 - первый член последовательности;

а 2 - второй член последовательности;

а 7 - седьмой член последовательности;

а n - n-ный член последовательности;

Однако не любой произвольный набор цифр и чисел интересует нас. Наше внимание сосредоточим на числовой последовательности, у которой значение n-ного члена связано с его порядковым номером зависимостью, которую можно чётко сформулировать математически. Иными словами: численное значение n-ного номера является какой-либо функцией от n.

a - значение члена числовой последовательности;

n - его порядковый номер;

f(n) - функция, где порядковый номер в числовой последовательности n является аргументом.

Определение

Арифметической прогрессией принято именовать числовую последовательность, в которой каждый последующий член больше (меньше) предыдущего на одно и то же число. Формула n-ного члена арифметической последовательности выглядит следующим образом:

a n - значение текущего члена арифметической прогрессии;

a n+1 - формула следующего числа;

d - разность (определённое число).

Нетрудно определить, что если разность положительна (d>0), то каждый последующий член рассматриваемого ряда будет больше предыдущего и такая арифметическая прогрессия будет возрастающей.

На представленном ниже графике нетрудно проследить, почему числовая последовательность получила название «возрастающая».

В случаях, когда разность отрицательная (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Значение заданного члена

Иногда бывает необходимо определить значение какого-либо произвольного члена a n арифметической прогрессии. Можно сделать это путём расчёта последовательно значений всех членов арифметической прогрессии, начиная с первого до искомого. Однако такой путь не всегда приемлем, если, например, необходимо отыскать значение пятитысячного или восьмимиллионного члена. Традиционный расчёт сильно затянется по времени. Однако конкретная арифметическая прогрессия может быть исследована с помощью определённых формул. Существует и формула n-ного члена: значение любого члена арифметической прогрессии может быть определено как сумма первого члена прогрессии с разностью прогрессии, умноженной на номер искомого члена, уменьшенный на единицу.

Формула универсальна для возрастающей и убывающей прогрессии.

Пример расчёта значения заданного члена

Решим следующую задачу на нахождение значения n-ного члена арифметической прогрессии.

Условие: имеется арифметическая прогрессия с параметрами:

Первый член последовательности равен 3;

Разность числового ряда равняется 1,2.

Задание: необходимо отыскать значение 214 члена

Решение: для определения значения заданного члена воспользуемся формулой:

а(n) = а1 + d(n-1)

Подставив в выражение данные из условия задачи имеем:

а(214) = а1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Ответ: 214-ый член последовательности раве 258,6.

Преимущества такого способа расчёта очевидны - всё решение занимает не более 2 строчек.

Сумма заданного числа членов

Очень часто в заданном арифметическом ряду требуется определить сумму значений некоторого его отрезка. Для этого также нет необходимости вычислять значения каждого члена и затем суммировать. Такой способ применим, если число членов, сумму которых необходимо найти, невелико. В остальных случаях удобнее воспользоваться следующей формулой.

Сумма членов арифметической прогрессии от 1 до n равна сумме первого и n-ного членов, помноженной на номер члена n и делённой надвое. Если в формуле значение n-ного члена заменить на выражение из предыдущего пункта статьи, получим:

Пример расчёта

Для примера решим задачу со следующими условиями:

Первый член последовательности равен нулю;

Разность равняется 0,5.

В задаче требуется определить сумму членов ряда с 56-го по 101.

Решение. Воспользуемся формулой определения суммы прогрессии:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Вначале определим сумму значений 101 члена прогрессии, подставив в формулу данные их условия нашей задачи:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Очевидно, для того, чтобы узнать сумму членов прогрессии с 56-го по 101-й, необходимо от S 101 отнять S 55 .

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Таким образом сумма арифметической прогрессии для данного примера:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Пример практического применения арифметической прогрессии

В конце статьи вернёмся к примеру арифметической последовательности, приведённому в первом абзаце - таксометр (счётчик автомобиля такси). Рассмотрим такой пример.

Посадка в такси (в которую входит 3 км пробега) стоит 50 рублей. Каждый последующий километр оплачивается из расчёта 22 руб./км. Расстояние поездки 30 км. Рассчитать стоимость поездки.

1. Отбросим первые 3 км, цена которых включена в стоимость посадки.

30 - 3 = 27 км.

2. Дальнейший расчет - не что иное как разбор арифметического числового ряда.

Номер члена - число км пробега (минус первые три).

Значение члена - сумма.

Первый член в данной задаче будет равен a 1 = 50 р.

Разность прогрессии d = 22 р.

интересующее нас число - значение (27+1)-ого члена арифметической прогрессии - показания счётчика в конце 27-го километра - 27,999… = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

На формулах, описывающих те или иные числовые последовательности, построены расчёты календарных данных на сколь угодно длительный период. В астрономии в геометрической зависимости от расстояния небесного тела до светила находится длина орбиты. Кроме того, различные числовые ряды с успехом применяются в статистике и других прикладных разделах математики.

Другой вид числовой последовательности - геометрическая

Геометрическая прогрессия характеризуется большими, по сравнению с арифметической, темпами изменения. Не случайно в политике, социологии, медицине зачастую, чтобы показать большую скорость распространения того или иного явления, например заболевания при эпидемии, говорят, что процесс развивается в геометрической прогрессии.

N-ный член геометрического числового ряда отличается от предыдущего тем, что он умножается на какое-либо постоянное число - знаменатель, например первый член равен 1, знаменатель соответственно равен 2, тогда:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - значение текущего члена геометрической прогрессии;

b n+1 - формула следующего члена геометрической прогрессии;

q - знаменатель геометрической прогрессии (постоянное число).

Если график арифметической прогрессии представляет собой прямую, то геометрическая рисует несколько иную картину:

Как и в случае с арифметической, геометрическая прогрессия имеет формулу значения произвольного члена. Какой-либо n-ный член геометрической прогрессии равен произведению первого члена на знаменатель прогрессии в степени n уменьшенного на единицу:

Пример. Имеем геометрическую прогрессию с первым членом равным 3 и знаменателем прогрессии, равным 1,5. Найдём 5-й член прогрессии

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Сумма заданного числа членов рассчитывается так же с помощью специальной формулы. Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна разности произведения n- ного члена прогрессии на его знаменатель и первого члена прогрессии, делённой на уменьшенный на единицу знаменатель:

Если b n заменить пользуясь рассмотренной выше формулой, значение суммы n первых членов рассматриваемого числового ряда примет вид:

Пример. Геометрическая прогрессия начинается с первого члена, равного 1. Знаменатель задан равным 3. Найдём сумму первых восьми членов.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

В чём главная суть формулы?

Эта формула позволяет найти любой ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .

Разумеется, надо знать ещё первый член a 1 и разность прогрессии d , ну так без этих параметров конкретную прогрессию и не запишешь.

Заучить (или зашпаргалить) эту формулу мало. Надо усвоить её суть и поприменять формулу в различных задачках. Да ещё и не забыть в нужный момент, да...) Как не забыть - я не знаю. А вот как вспомнить, при необходимости, - точно подскажу. Тем, кто урок до конца осилит.)

Итак, разберёмся с формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Что такое формула вообще - мы себе представляем.) Что такое арифметическая прогрессия, номер члена, разность прогресии - доступно изложено в предыдущем уроке. Загляните, кстати, если не читали. Там всё просто. Осталось разобраться, что такое n-й член.

Прогрессию в общем виде можно записать в виде ряда чисел:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1 - обозначает первый член арифметической прогрессии, a 3 - третий член, a 4 - четвёртый, и так далее. Если нас интересует пятый член, скажем, мы работаем с a 5 , если сто двадцатый - с a 120 .

А как обозначить в общем виде любой член арифметической прогрессии, с любым номером? Очень просто! Вот так:

a n

Это и есть n-й член арифметической прогрессии. Под буквой n скрываются сразу все номера членов: 1, 2, 3, 4, и так далее.

И что нам даёт такая запись? Подумаешь, вместо цифры буковку записали...

Эта запись даёт нам мощный инструмент для работы с арифметической прогрессией. Используя обозначение a n , мы можем быстро найти любой член любой арифметической прогрессии. И ещё кучу задач по прогрессии решить. Сами дальше увидите.

В формуле n-го члена арифметической прогрессии:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1 - первый член арифметической прогрессии;

n - номер члена.

Формула связывает ключевые параметры любой прогрессии: a n ; a 1 ; d и n . Вокруг этих параметров и крутятся все задачки по прогрессии.

Формула n-го члена может использоваться и для записи конкретной прогрессии. Например, в задаче может быть сказано, что прогрессия задана условием:

a n = 5 + (n-1)·2.

Такая задачка может и в тупик поставить... Нет ни ряда, ни разности... Но, сравнивая условие с формулой, легко сообразить, что в этой прогрессии a 1 =5, а d=2.

А бывает ещё злее!) Если взять то же условие: a n = 5 + (n-1)·2, да раскрыть скобки и привести подобные? Получим новую формулу:

a n = 3 + 2n.

Это Только не общая, а для конкретной прогрессии. Вот здесь и таится подводный камень. Некоторые думают, что первый член - это тройка. Хотя реально первый член - пятёрка... Чуть ниже мы поработаем с такой видоизменённой формулой.

В задачах на прогрессию встречается ещё одно обозначение - a n+1 . Это, как вы догадались, "эн плюс первый" член прогрессии. Смысл его прост и безобиден.) Это член прогрессии, номер которого больше номера n на единичку. Например, если в какой-нибудь задаче мы берём за a n пятый член, то a n+1 будет шестым членом. И тому подобное.

Чаще всего обозначение a n+1 встречается в рекуррентных формулах. Не пугайтесь этого страшного слова!) Это просто способ выражения члена арифметической прогрессии через предыдущий. Допустим, нам дана арифметическая прогрессия вот в таком виде, с помощью рекуррентной формулы:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Четвёртый - через третий, пятый - через четвёртый, и так далее. А как посчитать сразу, скажем двадцатый член, a 20 ? А никак!) Пока 19-й член не узнаем, 20-й не посчитать. В этом и есть принципиальное отличие рекуррентной формулы от формулы n-го члена. Рекуррентная работает только через предыдущий член, а формула n-го члена - через первый и позволяет сразу находить любой член по его номеру. Не просчитывая весь ряд чисел по порядочку.

В арифметической прогрессии рекуррентную формулу легко превратить в обычную. Посчитать пару последовательных членов, вычислить разность d, найти, если надо, первый член a 1 , записать формулу в обычном виде, да и работать с ней. В ГИА подобные задания частенько встречаются.

Применение формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Для начала рассмотрим прямое применение формулы. В конце предыдущего урока была задачка:

Дана арифметическая прогрессия (a n). Найти a 121 , если a 1 =3, а d=1/6.

Эту задачку можно безо всяких формул решить, просто исходя из смысла арифметической прогрессии. Прибавлять, да прибавлять... Часок-другой.)

А по формуле решение займёт меньше минуты. Можете засекать время.) Решаем.

В условиях приведены все данные для использования формулы: a 1 =3, d=1/6. Остаётся сообразить, чему равно n. Не вопрос! Нам надо найти a 121 . Вот и пишем:

Прошу обратить внимание! Вместо индекса n появилось конкретное число: 121. Что вполне логично.) Нас интересует член арифметической прогрессии номер сто двадцать один. Вот это и будет наше n. Именно это значение n = 121 мы и подставим дальше в формулу, в скобки. Подставляем все числа в формулу и считаем:

a 121 = 3 + (121-1)·1/6 = 3+20 = 23

Вот и все дела. Так же быстро можно было бы найти и пятьсот десятый член, и тысяча третий, любой. Ставим вместо n нужный номер в индексе у буквы "a" и в скобках, да и считаем.

Напомню суть: эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ "n" .

Решим задание похитрее. Пусть нам попалась такая задачка:

Найдите первый член арифметической прогрессии (a n), если a 17 =-2; d=-0,5.

Если возникли затруднения, подскажу первый шаг. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии! Да-да. Руками запишите, прямо в тетрадке:

a n = a 1 + (n-1)d

А теперь, глядя на буквы формулы, соображаем, какие данные у нас есть, а чего не хватает? Имеется d=-0,5, имеется семнадцатый член... Всё? Если считаете, что всё, то задачу не решите, да...

У нас ещё имеется номер n ! В условии a 17 =-2 спрятаны два параметра. Это и значение семнадцатого члена (-2), и его номер (17). Т.е. n=17. Эта "мелочь" часто проскакивает мимо головы, а без неё, (без "мелочи", а не головы!) задачу не решить. Хотя... и без головы тоже.)

Теперь можно просто тупо подставить наши данные в формулу:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Ах да, a 17 нам известно, это -2. Ну ладно, подставим:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Вот, в сущности, и всё. Осталось выразить первый член арифметической прогрессии из формулы, да посчитать. Получится ответ: a 1 = 6.

Такой приём - запись формулы и простая подстановка известных данных - здорово помогает в простых заданиях. Ну, надо, конечно, уметь выражать переменную из формулы, а что делать!? Без этого умения математику можно вообще не изучать...

Ещё одна популярная задачка:

Найдите разность арифметической прогрессии (a n), если a 1 =2; a 15 =12.

Что делаем? Вы удивитесь, пишем формулу!)

a n = a 1 + (n-1)d

Соображаем, что нам известно: a 1 =2; a 15 =12; и (специально выделю!) n=15. Смело подставляем в формулу:

12=2 + (15-1)d

Считаем арифметику.)

12=2 + 14d

d =10/14 = 5/7

Это правильный ответ.

Так, задачи на a n , a 1 и d порешали. Осталось научиться номер находить:

Число 99 является членом арифметической прогрессии (a n), где a 1 =12; d=3. Найти номер этого члена.

Подставляем в формулу n-го члена известные нам величины:

a n = 12 + (n-1)·3

На первый взгляд, здесь две неизвестные величины: a n и n. Но a n - это какой-то член прогрессии с номером n ... И этот член прогрессии мы знаем! Это 99. Мы не знаем его номер n, так этот номер и требуется найти. Подставляем член прогрессии 99 в формулу:

99 = 12 + (n-1)·3

Выражаем из формулы n , считаем. Получим ответ: n=30.

А теперь задачка на ту же тему, но более творческая):

Определите, будет ли число 117 членом арифметической прогрессии (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Опять пишем формулу. Что, нет никаких параметров? Гм... А глазки нам зачем дадены?) Первый член прогрессии видим? Видим. Это -3,6. Можно смело записать: a 1 =-3,6. Разность d можно из ряда определить? Легко, если знаете, что такое разность арифметической прогрессии:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Так, самое простое сделали. Осталось разобраться с неизвестным номером n и непонятным числом 117. В предыдущей задачке хоть было известно, что дан именно член прогрессии. А здесь и того не знаем... Как быть!? Ну, как быть, как быть... Включить творческие способности!)

Мы предположим, что 117 - это, всё-таки, член нашей прогрессии. С неизвестным номером n . И, точно как в предыдущей задаче, попробуем найти этот номер. Т.е. пишем формулу (да-да!)) и подставляем наши числа:

117 = -3,6 + (n-1)·1,2

Опять выражаем из формулы n , считаем и получаем:

Опаньки! Номер получился дробный! Сто один с половиной. А дробных номеров в прогрессиях не бывает. Какой вывод сделаем? Да! Число 117 не является членом нашей прогрессии. Оно находится где-то между сто первым и сто вторым членом. Если бы номер получился натуральным, т.е. положительным целым, то число было бы членом прогрессии с найденным номером. А в нашем случае, ответ задачи будет: нет.

Задача на основе реального варианта ГИА:

Арифметическая прогрессия задана условием:

a n = -4 + 6,8n

Найти первый и десятый члены прогрессии.

Здесь прогрессия задана не совсем привычным образом. Формула какая-то... Бывает.) Однако, эта формула (как я писал выше) - тоже формула n-го члена арифметической прогрессии! Она тоже позволяет найти любой член прогрессии по его номеру.

Ищем первый член. Тот, кто думает. что первый член - минус четыре, фатально ошибается!) Потому, что формула в задаче - видоизменённая. Первый член арифметической прогрессии в ней спрятан. Ничего, сейчас отыщем.)

Так же, как и в предыдущих задачах, подставляем n=1 в данную формулу:

a 1 = -4 + 6,8·1 = 2,8

Вот! Первый член 2,8, а не -4!

Аналогично ищем десятый член:

a 10 = -4 + 6,8·10 = 64

Вот и все дела.

А теперь, тем кто дочитал до этих строк, - обещанный бонус.)

Предположим, в сложной боевой обстановке ГИА или ЕГЭ, вы подзабыли полезную формулу n-го члена арифметической прогрессии. Что-то припоминается, но неуверенно как-то... То ли n там, то ли n+1, то ли n-1... Как быть!?

Спокойствие! Эту формулку легко вывести. Не очень строго, но для уверенности и правильного решения точно хватит!) Для вывода достаточно помнить элементарный смысл арифметической прогрессии и иметь пару-тройку минут времени. Нужно просто нарисовать картинку. Для наглядности.

Рисуем числовую ось и отмечаем на ней первый. второй, третий и т.п. члены. И отмечаем разность d между членами. Вот так:

Смотрим на картинку и соображаем: чему равняется второй член? Второй одно d :

a 2 =a 1 +1 ·d

Чему равняется третий член? Третий член равняется первый член плюс два d .

a 3 =a 1 +2 ·d

Улавливаете? Я не зря некоторые слова выделяю жирным шрифтом. Ну ладно, ещё один шаг).

Чему равняется четвёртый член? Четвёртый член равняется первый член плюс три d .

a 4 =a 1 +3 ·d

Пора сообразить, что количество промежутков, т.е. d , всегда на один меньше, чем номер искомого члена n . Т.е., до номера n, количество промежутков будет n-1. Стало быть, формула будет (без вариантов!):

a n = a 1 + (n-1)d

Вообще, наглядные картинки очень помогают решать многие задачи в математике. Не пренебрегайте картинками. Но если уж картинку нарисовать затруднительно, то... только формула!) Кроме того, формула n-го члена позволяет подключить к решению весь мощный арсенал математики - уравнения, неравенства, системы и т.д. Картинку-то в уравнение не вставишь...

Задания для самостоятельного решения.

Для разминки:

1. В арифметической прогрессии (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. Найти a 3 .

Подсказка: по картинке задача решается секунд за 20... По формуле - сложнее получается. Но для освоения формулы - полезнее.) В Разделе 555 эта задачка решена и по картинке, и по формуле. Почувствуйте разницу!)

А это - уже не разминка.)

2. В арифметической прогрессии (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Найти a 3 .

Что, неохота картинку рисовать?) Ещё бы! Уж лучше по формуле, да...

3. Арифметическая прогрессия задана условием: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Найдите сто двадцать пятый член этой прогрессии.

В этом задании прогрессия задана рекуррентным способом. Но считать до сто двадцать пятого члена... Не всем такой подвиг под силу.) Зато формула n-го члена по силам каждому!

4. Дана арифметическая прогрессия (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Найти номер наименьшего положительного члена прогрессии.

5. По условию задания 4 найти сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного членов прогрессии.

6. Произведение пятого и двенадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равно -2,5, а сумма третьего и одиннадцатого членов равна нулю. Найти a 14 .

Не самая простая задачка, да...) Здесь способ "на пальцах" не прокатит. Придётся формулы писать да уравнения решать.

Ответы (в беспорядке):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Получилось? Это приятно!)

Не всё получается? Бывает. Кстати, в последнем задании есть один тонкий момент. Внимательность при чтении задачи потребуется. И логика.

Решение всех этих задач подробно разобрано в Разделе 555. И элемент фантазии для четвёртой, и тонкий момент для шестой, и общие подходы для решения всяких задач на формулу n-го члена - всё расписано. Рекомендую.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число a n , то говорят, что задано числовую последовательность :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.

Число a 1 называют первым членом последовательности , число a 2 — вторым членом последовательности , число a 3 — третьим и так далее. Число a n называют n-м членом последовательности , а натуральное число n — его номером .

Из двух соседних членов a n и a n +1 последовательности член a n +1 называют последующим (по отношению к a n ), а a n — предыдущим (по отношению к a n +1 ).

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена , то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности по его номеру.

Например,

последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой

a n = 2n - 1,

а последовательность чередующихся 1 и -1 — формулой

b n = (-1) n +1 . ◄

Последовательность можно определить рекуррентной формулой , то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.

Например,

если a 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Если а 1 = 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , то первые семь членов числовой последовательности устанавливаем следующим образом:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последовательности могут быть конечными и бесконечными .

Последовательность называется конечной , если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной , если она имеет бесконечно много членов.

Например,

последовательность двузначных натуральных чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

конечная.

Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

бесконечная. ◄

Последовательность называют возрастающей , если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.

Последовательность называют убывающей , если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.

Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n , . . . — возрастающая последовательность;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n , . . . — убывающая последовательность. ◄

Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью .

Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . .

является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

a n +1 = a n + d ,

где d — некоторое число.

Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:

а 2 - a 1 = а 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d .

Число d называют разностью арифметической прогрессии .

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.

Например,

если a 1 = 3, d = 4 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d = 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d = 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d = 15 + 4 = 19. ◄

Для арифметической прогрессии с первым членом a 1 и разностью d её n

a n = a 1 + (n - 1)d.

Например,

найдём тридцатый член арифметической прогрессии

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n - 2)d,

a n = a 1 + (n - 1)d,

a n +1 = a 1 + nd ,

то, очевидно,

a n =	a n-1 + a n+1
	2

каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.

Например,

a n = 2n - 7 , является арифметической прогрессией.

Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

a n = 2n - 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n - 9,

a n+1 = 2(n + 1) - 7 = 2n - 5.

Следовательно,

a n+1 + a n-1	=	2n - 5 + 2n - 9	= 2n - 7 = a n ,
2		2

◄

Отметим, что n -й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a 1 , но и любой предыдущий a k

a n = a k + (n - k )d .

Например,

для a 5 можно записать

a 5 = a 1 + 4d ,

a 5 = a 2 + 3d ,

a 5 = a 3 + 2d ,

a 5 = a 4 + d . ◄

a n = a n-k + kd ,

a n = a n+k - kd ,

то, очевидно,

a n =	a n-k + a n+k
	2

любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.

Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:

a m + a n = a k + a l ,

m + n = k + l.

Например,

в арифметической прогрессии

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d = 7 + 7·3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10 = 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13 )/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9 , так как

a 2 + a 12 = 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n ,

первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены

a k , a k +1 , . . . , a n ,

то предыдущая формула сохраняет свою структуру:

Например,

в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Если дана арифметическая прогрессия, то величины a 1 , a n , d , n и S n связаны двумя формулами:

Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:

если d > 0 , то она является возрастающей;
если d < 0 , то она является убывающей;
если d = 0 , то последовательность будет стационарной.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n , . . .

является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

b n +1 = b n · q ,

где q ≠ 0 — некоторое число.

Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q .

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии .

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

Например,

если b 1 = 1, q = -3 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q = -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q = 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q = -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 и знаменателем q её n -й член может быть найден по формуле:

b n = b 1 · q n -1 .

Например,

найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 · 2 6 = 64 . ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n ,

то, очевидно,

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.

Например,

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой b n = -3 · 2 n , является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

b n = -3 · 2 n ,

b n -1 = -3 · 2 n -1 ,

b n +1 = -3 · 2 n +1 .

Следовательно,

b n 2 = (-3 · 2 n ) 2 = (-3 · 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n -й член геометрической прогрессии можно найти не только через b 1 , но и любой предыдущий член b k , для чего достаточно воспользоваться формулой

b n = b k · q n - k .

Например,

для b 5 можно записать

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3 ,

b 5 = b 3 · q 2 ,

b 5 = b 4 · q . ◄

b n = b k · q n - k ,

b n = b n - k · q k ,

то, очевидно,

b n 2 = b n - k · b n + k

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.

Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:

b m · b n = b k · b l ,

m + n = k + l .

Например,

в геометрической прогрессии

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , так как

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n = b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0 вычисляется по формуле:

А при q = 1 — по формуле

S n = nb 1

Заметим, что если нужно просуммировать члены

b k , b k +1 , . . . , b n ,

то используется формула:

S n - S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Например,

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Если дана геометрическая прогрессия, то величины b 1 , b n , q , n и S n связаны двумя формулами:

Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Для геометрической прогрессии с первым членом b 1 и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности :

прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:

b 1 > 0 и q > 1;

b 1 < 0 и 0 < q < 1;

прогрессия является убывающей, если выполнено одно из следующих условий:

b 1 > 0 и 0 < q < 1;

b 1 < 0 и q > 1.

Если q < 0 , то геометрическая прогрессия является знакопеременной: её члены с нечётными номерами имеют тот же знак, что и её первый член, а члены с чётными номерами — противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

P n = b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n ) n / 2 .

Например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1 , то есть

|q | < 1 .

Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю

1 < q < 0 .

При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n . Это число всегда конечно и выражается формулой

S = b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Например,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Связь арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой. Рассмотрим лишь два примера.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , то

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Например,

1, 3, 5, . . . — арифметическая прогрессия с разностью 2 и

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем q , то

log a b 1 , log a b 2 , log a b 3 , . . . — арифметическая прогрессия с разностью log a q .

Например,

2, 12, 72, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 6 и

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — арифметическая прогрессия с разностью lg 6 . ◄

И. В. Яковлев | Материалы по математике | MathUs.ru

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия это специального вида последовательность. Поэтому прежде чем давать определение арифметической (а затем и геометрической) прогрессии, нам нужно вкратце обсудить важное понятие числовой последовательности.

Последовательность

Вообразите устройство, на экране которого высвечиваются одно за другим некоторые числа. Скажем, 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Такой набор чисел как раз и является примером последовательности.

Определение. Числовая последовательность это множество чисел, в котором каждому числу можно присвоить уникальный номер (то есть поставить в соответствие единственное натуральное число)1 . Число с номером n называется n-м членом последовательности.

Так, в приведённом выше примере первый номер имеет число 2 это первый член последовательности, который можно обозначить a1 ; номер пять имеет число 6 это пятый член последовательности, который можно обозначить a5 . Вообще, n-й член последовательности обозначается an (или bn , cn и т. д.).

Очень удобна ситуация, когда n-й член последовательности можно задать некоторой формулой. Например, формула an = 2n 3 задаёт последовательность: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Формула an = (1)n задаёт последовательность: 1; 1; 1; 1; : : :

Не всякое множество чисел является последовательностью. Так, отрезок не последовательность; в нём содержится ¾слишком много¿ чисел, чтобы их можно было перенумеровать. Множество R всех действительных чисел также не является последовательностью. Эти факты доказываются в курсе математического анализа.

Арифметическая прогрессия: основные определения

Вот теперь мы готовы дать определение арифметической прогрессии.

Определение. Арифметическая прогрессия это последовательность, каждый член которой (начиная со второго) равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа (называемого разностью арифметической прогрессии).

Например, последовательность 2; 5; 8; 11; : : : является арифметической прогрессией с первым членом 2 и разностью 3. Последовательность 7; 2; 3; 8; : : : является арифметической прогрессией с первым членом 7 и разностью 5. Последовательность 3; 3; 3; : : : является арифметической прогрессией с разностью, равной нулю.

Эквивалентное определение: последовательность an называется арифметической прогрессией, если разность an+1 an есть величина постоянная (не зависящая от n).

Арифметическая прогрессия называется возрастающей, если её разность положительна, и убывающей, если её разность отрицательна.

1 А вот более лаконичное определение: последовательность есть функция, определённая на множестве натуральных чисел. Например, последовательность действительных чисел есть функция f: N ! R.

По умолчанию последовательности считаются бесконечными, то есть содержащими бесконечное множество чисел. Но никто не мешает рассматривать и конечные последовательности; собственно, любой конечный набор чисел можно назвать конечной последовательностью. Например, конечная последовательность 1; 2; 3; 4; 5 состоит из пяти чисел.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Легко понять, что арифметическая прогрессия полностью определяется двумя числами: первым членом и разностью. Поэтому возникает вопрос: как, зная первый член и разность, найти произвольный член арифметической прогрессии?

Получить искомую формулу n-го члена арифметической прогрессии нетрудно. Пусть an

арифметическая прогрессия с разностью d. Имеем:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
В частности, пишем:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
и теперь становится ясно, что формула для an имеет вид:
an = a1 + (n 1)d:

Задача 1. В арифметической прогрессии 2; 5; 8; 11; : : : найти формулу n-го члена и вычислить сотый член.

Решение. Согласно формуле (1 ) имеем:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Свойство и признак арифметической прогрессии

Свойство арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии an для любого

Иначе говоря, каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) является средним арифметическим соседних членов.

	Доказательство. Имеем:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

что и требовалось.

Более общим образом, для арифметической прогрессии an справедливо равенство

a n = a n k+ a n+k

при любом n > 2 и любом натуральном k < n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Оказывается, формула (2 ) служит не только необходимым, но и достаточным условием того, что последовательность является арифметической прогрессией.

Признак арифметической прогрессии. Если для всех n > 2 выполнено равенство (2 ), то последовательность an является арифметической прогрессией.

Доказательство. Перепишем формулу (2 ) следующим образом:

a na n 1= a n+1a n:

Отсюда видно, что разность an+1 an не зависит от n, а это как раз и означает, что последовательность an есть арифметическая прогрессия.

Свойство и признак арифметической прогрессии можно сформулировать в виде одного утверждения; мы для удобства сделаем это для трёх чисел (именно такая ситуация часто встречается в задачах).

Характеризация арифметической прогрессии. Три числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда 2b = a + c.

Задача 2. (МГУ, экономич. ф-т, 2007) Три числа 8x, 3 x2 и 4 в указанном порядке образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите x и укажите разность этой прогрессии.

Решение. По свойству арифметической прогрессии имеем:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Если x = 1, то получается убывающая прогрессия 8, 2, 4 с разностью 6. Если x = 5, то получается возрастающая прогрессия 40, 22, 4; этот случай не годится.

Ответ: x = 1, разность равна 6.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Легенда гласит, что однажды учитель велел детям найти сумму чисел от 1 до 100 и сел спокойно читать газету. Однако не прошло и нескольких минут, как один мальчик сказал, что решил задачу. Это был 9-летний Карл Фридрих Гаусс, впоследствии один из величайших математиков в истории.

Идея маленького Гаусса была такова. Пусть

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Запишем данную сумму в обратном порядке:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

и сложим две этих формулы:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Каждое слагаемое в скобках равно 101, а всего таких слагаемых 100. Поэтому

2S = 101 100 = 10100;

Мы используем эту идею для вывода формулы суммы

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Полезная модификация формулы (3 ) получается, если в неё подставить формулу n-го члена an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n 1)d

Задача 3. Найти сумму всех положительных трёхзначных чисел, делящихся на 13.

Решение. Трёхзначные числа, кратные 13, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 104 и разностью 13; n-й член этой прогрессии имеет вид:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Давайте выясним, сколько членов содержит наша прогрессия. Для этого решим неравенство:

an 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:

Итак, в нашей прогрессии 69 членов. По формуле (4 ) находим искомую сумму:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии)

В которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии .

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

Свойства арифметической прогрессии

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией. По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k -го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k -го номера. Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;...

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии