Относительности теория специальная. Основы

СТО, также известная как частная теория относительности является проработанной описательной моделью для отношений пространства-времени, движения и законов механики, созданная в 1905 году лауреатом Нобелевской премии Альбертом Эйнштейном.

Поступая на отделение теоретической физики Мюнхенского университета, Макс Планк обратился за советом к профессору Филиппу фон Жолли, руководившему в тот момент кафедрой математики этого университета. На что он получил совет: «в этой области почти всё уже открыто, и всё, что остаётся – заделать некоторые не очень важные проблемы». Юный Планк ответил, что он не хочет открывать новые вещи, а только хочет понять и систематизировать уже известные знания. В итоге из одной такой «не очень важной проблемы» впоследствии возникла квантовая теория, а из другой – теория относительности, за которые Макс Планк и Альберт Эйнштейн получили нобелевские премии по физике.

В отличие от многих других теорий, полагавшихся на физические эксперименты, теория Эйнштейна практически полностью была основана на его мысленных экспериментах и только впоследствии была подтверждена на практике. Так ещё в 1895 году (в возрасте всего 16 лет) он задумался о том, что будет, если двигаться параллельно лучу света с его скоростью? В такой ситуации получалось, что для стороннего наблюдателя частицы света должны были колебаться вокруг одной точки, что противоречило уравнениям Максвелла и принципу относительности (который гласил, что физические законы не зависят от места где вы находитесь и скорости с которой вы движетесь). Таким образом юный Эйнштейн пришёл к выводу, что скорость света должна быть недостижима для материального тела, а в основу будущей теории был заложен первый кирпичик.

Следующий эксперимент был проведён им в 1905 году и заключался в том, что на концах движущегося поезда находятся два импульсных источника света которые зажигаются в одно время. Для стороннего наблюдателя, мимо которого проходит поезд, оба этих события происходят одновременно, однако для наблюдателя, находящегося в центре поезда эти события будут казаться произошедшими в разное время, так как вспышка света из начала вагона придёт раньше, чем из его конца (в следствии постоянности скорости света).

Из этого он сделал весьма смелый и далеко идущий вывод, что одновременность событий является относительной. Полученные на основе этих экспериментов расчёты он опубликовал в работе «Об электродинамике движущихся тел». При этом для движущегося наблюдателя один из этих импульсов будет иметь большую энергию нежели другой. Для того чтобы в такой ситуации не нарушался закон сохранения импульса при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой необходимо было чтобы объект одновременно с потерей энергии должен был терять и массу. Таким образом Эйнштейн пришёл к формуле характеризующую взаимосвязь массы и энергии E=mc 2 – являющейся, пожалуй, самой известной физической формулой на данный момент. Результаты этого эксперимента были опубликованы им позднее в том же году.

Основные постулаты

Постоянство скорости света – к 1907 году были произведены эксперименты по измерению с точностью ±30 км/с (что было больше орбитальной скорости Земли) не обнаружившие её изменения в ходе года. Это стало первым доказательством неизменности скорости света, которое в последствии было подтверждено множеством других экспериментов, как экспериментаторами на земле, так и автоматическими аппаратами в космосе.

Принцип относительности – этот принцип определяет неизменность физических законов в любой точке пространства и в любой инерциальной системе отсчёта. То есть в независимости от того движетесь ли вы со скоростью около 30 км/с по орбите Солнца вместе с Землёй или в космическом корабле далеко за её пределами – ставя физический эксперимент вы всегда будете приходить к одним и тем же результатам (если ваш корабль в это время не ускоряется или замедляется). Этот принцип подтверждался всеми экспериментами на Земле, и Эйнштейн разумно счёл этот принцип верным и для всей остальной Вселенной.

Следствия

Путём расчётов на основе этих двух постулатов Эйнштейн пришёл к выводу, что время для движущегося в корабле наблюдателя должно замедляться с увеличением скорости, а сам он вместе с кораблём должен сокращаться в размерах в направлении движения (для того чтобы скомпенсировать тем самым эффекты от движения и соблюсти принцип относительности). Из условия конечности скорости для материального тела вытекало также что правило сложения скоростей (имевшее в механике Ньютона простой арифметический вид) должно быть заменено более сложными преобразованиями Лоренца – в таком случае даже если мы сложим две скорости в 99% от скорости света мы получим 99,995% от этой скорости, но не превысим её.

Статус теории

Так как формирование из частной теории её общей версии у Эйнштейна заняло только 11 лет, экспериментов для подтверждения непосредственно СТО не проводилось. Однако в том же году, когда была опубликована Эйнштейн также опубликовал свои расчёты, объяснявшие смещение перигелия Меркурия с точностью до долей процентов, без необходимости введения новых констант и других допущений, которые требовались другим теориям, объяснявшим этот процесс. С тех пор правильность ОТО была подтверждена экспериментально с точностью до 10 -20 , а на её основе было сделано множество открытий, что однозначно доказывает правильность этой теории.

Первенство в открытии

Когда Эйнштейн опубликовал свои первые работы по специальной теории относительности и приступил к написанию её общей версии, другими учёными уже была открыта значительная часть формул и идей, заложенных в основе этой теории. Так скажем преобразования Лоренца в общем виде были впервые получены Пуанкаре в 1900 году (за 5 лет до Эйнштейна) и были названы так в честь Хендрика Лоренца получившего приближённую версию этих преобразований, хотя даже в этой роли его опередил Вольдемар Фогт.

Специальная теория относительности Эйнштейна (СТО) расширяет границы классической ньютоновской физики, действующей в области нерелятивистских скоростей, малых по сравнению со скоростью света с, на любые, в том числе релятивистские, т.е. сравнимые с с, скорости. Все результаты релятивистской теории при переходят в результаты классической нерелятивистской физики (принцип соответствия).

Постулаты СТО. Специальная теория относительности опирается на два постулата:

Первый постулат (принцип относительности Эйнштейна): все физические законы - как механические, так и электромагнитные - имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета (ИСО). Иными словами, никакими опытами нельзя выделить какую-то одну систему отсчета и назвать именно ее покоящейся. Этот постулат является расширением принципа относительности Галилея (см. разд. 1.3) на электромагнитные процессы.

Второй постулат Эйнштейна: скорость света в вакууме одинакова для всех ИСО и равна с Этот постулат содержит сразу два утверждения:

а) скорость света не зависит от скорости источника,

б) скорость света не зависит от того, в какой ИСО находится наблюдатель с приборами, т.е. не зависит от скорости приемника.

Постоянство скорости света и независимость ее от движения источника следуют из уравнений электромагнитного поля Максвелла. Казалось очевидным, что такое утверждение может быть верным только в одной системе отсчета. С точки зрения классических представлений о пространстве - времени, любой другой наблюдатель, двигаясь со скоростью должен для встречного луча получить скорость а для испущенного вперед луча - скорость . Такой результат означал бы, что уравнения Максвелла выполняются только в одной ИСО, заполненной неподвижным «эфиром, относительно которого и распространяются световые волны. Однако попытка обнаружить изменение скорости света, связанное с движением Земли относительно эфира, дала отрицательный результат (опыт Майкельсона- Морли). Эйнштейн предположил, что уравнения Максвелла, как и все законы физики, имеют один и тот же вид во всех ИСО, т.е. что скорость света в любой ИСО равна с (второй постулат). Это предположение привело к пересмотру основных представлений о пространстве - времени.

Преобразования Лоренца. Преобразования Лоренца связывают между собой координаты и время события, измеренные в двух ИСО, одна из которых движется относительно другой с постоянной скоростью V. При таком же выборе осей координат и отсчета времени, как в преобразованиях Галилея (формула (7)), преобразования Лоренца имеют вид:

Часто удобно пользоваться преобразованиями для разности координат и времен двух событий:

где для краткости введено обозначение

Преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея при . Они выводятся из второго постулата СТО и из требования линейности преобразований, выражающего условие однородности пространства. Обратные преобразования из в К можно получить из (42), (43) заменой V на -V:

Сокращение длины. Длина движущегося отрезка определяется как расстояние между точками, где концы отрезка находились одновременно (т.е. Рассмотрим твердое тело, которое движется поступательно со скоростью и свяжем с ним систему отсчета Из уравнения (43) (в котором надо положить получим, что продольные размеры движущегося тела сокращаются:

где - собственный продольный размер, т.е. измеренный в системе отсчета К, в которой тело неподвижно. Поперечные размеры движущегося тела не изменяются.

Пример 1. Если квадрат движется со скоростью вдоль одной из своих сторон, то он превращается в прямоугольник с углом между диагоналями, равным .

Относительность хода времени. Из преобразований Лоренца видно, что время протекает по-разному в разных ИСО. В частности, события, происходящие в системе К одновременно но

в разных точках пространства, в К могут быть не одновременными: может быть как положительным, так и отрицательным (относительность одновременности). Часы, движущиеся вместе с системой отсчета (т.е. неподвижные относительно или показывают собственное время этой ИСО. С точки зрения наблюдателя в системе А, эти часы отстают от его собственных (замедление хода времени). Рассматривая два отсчета движущихся часов как два события, из (45) получим:

где - собственное время движущихся часов (точнее, связанной с ними Равноправие всех ИСО проявляется в том, что с точки зрения наблюдателя К часы, неподвижные относительно , будут отставать от его собственных. (Заметим, что для контроля за движущимися часами неподвижный наблюдатель в разные моменты времени использует разные часы.) Парадокс близнецов заключается в том, что СТО предсказывает различие в возрасте двух близнецов, один из которых оставался на Земле, а другой путешествовал в глубоком космосе (космонавт будет моложе); казалось бы, это нарушает равноправие их систем отсчета. На самом деле, только земной близнец все время находился в одной ИСО, космонавт же поменял ИСО для возвращения на Землю (его же собственная система отсчета неинерциальна).

Пример 2. Среднее собственное время жизни нестабильного мюона , т.е. Благодаря эффекту замедления времени, с точки зрения земного наблюдателя космический мюон, летящий со скоростью близкой к скорости света (7 1), живет в среднем пролетает от места рождения в верхних слоях атмосферы расстояние порядка что позволяет регистрировать его на поверхности Земли.

Сложение скоростей в СТО. Если частица движется со скоростью относительно то ее скорость относительно К можно найти, выразив из (45) и подставив в

При с происходит переход к нерелятивистскому закону сложения скоростей (формула Важное свойство формулы (48) состоит в том, что если V и меньше с, то и будет меньше с. Например, если мы разгоним частицу до а затем, перейдя в ее систему отсчета, снова разгоним ее до то результирующая скорость окажется не Видно, что превзойти скорость света не удается. Скорость света является максимально возможной скоростью передачи взаимодействий в природе.

Интервал. Причинность. Преобразования Лоренца не сохраняют ни величину интервала времени, ни длину пространственного отрезка. Однако можно показать, что при преобразованиях Лоренца сохраняется величина

где называется интервалом между событиями 1 и 2 . Если то интервал между событиями называют времениподобным, так как в этом случае существует ИСО, в которой т.е. события происходят в одном месте, но в разное время. Такие события могут быть причинно связанными. Если, наоборот, то интервал между событиями называют пространственно-подобным, так как в этом случае существует ИСО, в которой т.е. события происходят одновременно в разных точках пространства. Между такими событиями не может существовать причинной связи. Условие означает, что луч света, испущенный в момент более раннего события (например, из точки не успевает достигнуть точки к моменту времени События, отделенные от события 1 времениподобным интервалом, представляют по отношению к нему или абсолютное прошлое или абсолютное будущее порядок следования этих событий одинаковый во всех ИСО. Порядок следования событий, отделенных пространственноподобным интервалом, может быть разным в разных ИСО.

Лоренцовы 4-векторы. Четверка величин которые при переходе из системы К в систему К преобразуются так же, как т.е. (см. (42)):

называется лоренцовым четырехмерным вектором (или, коротко, лоренцовым -вектором). Величины называются пространственными компонентами -вектора, - его временной компонентой. Сумма двух -векторов и произведение -вектора на число - тоже -векторы. При изменении ИСО сохраняется величина, аналогичная интервалу: а также скалярное произведение Физическое равенство, записанное в виде равенства двух -векторов, остается верным во всех ИСО.

Импульс и энергия в СТО. Компоненты скорости преобразуются не так, как компоненты 4-вектора (сравните уравнения (48) и (50)), потому что в выражении преобразуются как числитель, так и знаменатель. Поэтому величина соответствующая классическому определению импульса, не может сохраняться во

всех ИСО. Релятивистский -вектор импульса определяют как

где - бесконечно малое изменение собственного времени частицы (см. (47)), т.е. измеренное в ИСО, скорость которой равна скорости частицы в данный момент не зависит от того, из какой ИСО мы наблюдаем за частицей.) Пространственные компоненты -вектора образуют релятивистский импульс

а временная компонента оказывается равной где Е - релятивистская энергия частицы:

Релятивистская энергия включает в себя все виды внутренней энергии.

Пример 3. Пусть энергия покоящегося тела увеличилась на Найти импульс этого тела в системе отсчета, движущейся со скоростью .

Решение. В соответствии с формулами релятивистского преобразования (54) импульс равен Видно, что увеличение массы соответствует формуле (58).

Основной закон релятивистской динамики. Приложенная к частице сила равна, как и в классической механике, производной от импульса:

но релятивистский импульс (51) отличается от классического. Под действием приложенной силы импульс может неограниченно возрастать, но из определения (51) видно, что скорость будет меньше с. Работа силы (59)

равна изменению релятивистской энергии. Здесь были использованы формулы (см. (56)) и .

В первую очередь в СТО, как и в классической механике, предполагается, что пространство и время однородны, а пространство также изотропно. Если быть более точным (современный подход) инерциальные системы отсчета собственно и определяются как такие системы отсчета, в которых пространство однородно и изотропно, а время однородно. По сути существование таких систем отсчета постулируется.

Постулат 1 (принцип относительности Эйнштейна ). Любое физическое явление протекает одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Это означает, что форма зависимости физических законов от пространственно-временных координат должна быть одинаковой во всех ИСО, то есть законы инвариантны относительно переходов между ИСО. Принцип относительности устанавливает равноправие всех ИСО.

Учитывая второй закон Ньютона (или уравнения Эйлера-Лагранжа в лагранжевой механике), можно утверждать, что если скорость некоторого тела в данной ИСО постоянна (ускорение равно нулю), то она должна быть постоянна и во всех остальных ИСО. Иногда это и принимают за определение ИСО.

Постулат 2 (принцип постоянства скорости света ). Скорость света в «покоящейся» системе отсчёта не зависит от скорости источника.

Принцип постоянства скорости света противоречит классической механике, а конкретно - закону сложения скоростей. При выводе последнего используется только принцип относительности Галилея и неявное допущение одинаковости времени во всех ИСО. Таким образом, из справедливости второго постулата следует, что время должно бытьотносительным - неодинаковым в разных ИСО. Необходимым образом отсюда следует и то, что "расстояния" также должны быть относительны. В самом деле, если свет проходит расстояние между двумя точками за некоторое время, а в другой системе - за другое время и притом с той же скоростью, то отсюда непосредственно следует, что и расстояние в этой системе должно отличаться.

27. Зако́н Куло́на - это закон, описывающий силы взаимодействия между точечными электрическими зарядами. Современная формулировка: Сила взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды, пропорциональна их величинам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Она является силой притяжения, если знаки зарядов разные, и силой отталкивания, если эти знаки одинаковы. Кулона закон записывается следующим образом:

где - сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2;- величина зарядов;- радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами -);- коэффициент пропорциональности.

Ёмкость - внутренний объём сосуда, вместимость, то есть максимальный объём помещающейся внутрь него жидкости.

36 . Правила Кирхгофа (часто, в литературе, называются не совсем корректно Зако́ны Кирхго́фа ) - соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи. Правила Кирхгофа позволяют рассчитывать любые электрические цепи постоянного, переменного и квазистационарного тока. Имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения многих задач в теории электрических цепей и практических расчётов сложных электрических цепей. Применение правил Кирхгофа к линейной электрической цепи позволяет получить систему линейных уравнений относительно токов или напряжений, и соответственно, найти значение токов на всех ветвях цепи и все межузловые напряжения.

Для формулировки правил Кирхгофа вводятся понятия узел , ветвь и контур электрической цепи. Ветвью называют любой двухполюсник, входящий в цепь, Узлом называют точку соединения трех и более ветвей, Контур - замкнутый цикл из ветвей. Термин замкнутый цикл означает, что, начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, можно вернуться в исходный узел. Ветви и узлы, проходимые при таком обходе, принято называть принадлежащими данному контуру. При этом нужно иметь в виду, что ветвь и узел могут принадлежать одновременно нескольким контурам.

В терминах данных определений правила Кирхгофа формулируются следующим образом.

Первое правило

Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом втекающий в узел ток принято считать положительным, а вытекающий - отрицательным:

Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. Это правило следует из фундаментального закона сохранения заряда

Специальная теория относительности (СТО) – физическая теория, рассматривающая пространственно-временные свойства физических процессов. Закономерности СТО проявляются при больших (сравнимых со скоростью света) скоростях. Законы классической механики в этом случае не работают. Причина этого заключается в том, что передача взаимодействий происходит не мгновенно, а с конечной скоростью (скоростью света).

Классическая механика является частным случаем СТО при небольших скоростях. Явления, описываемые СТО и противоречащие законам классической физики, называют релятивистскими . Согласно СТО одновременность событий, расстояния и промежутки времени являются относительными.

В любых инерциальных системах отсчета при одинаковых условиях все механические явления протекают одинаково (принцип относительности Галилея). В классической механике измерение времени и расстояний в двух системах отсчета и сравнение этих величин считаются очевидными. В СТО это не так.

События являются одновременными , если они происходят при одинаковых показаниях синхронизированных часов. Два события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, не являются одновременными в другой инерциальной системе отсчета.

В 1905 г. Эйнштейн создал специальную теорию относительности (СТО). В основе его теории относительности лежат два постулата:

Любые физические явления во всех инерциальных системах отсчета при одинаковых условиях протекают одинаково (принцип относительности Эйнштейна).
Скорость света в вакууме во всех инерциальных системах отсчета одинакова и не зависит от скорости источника и приемника света (принцип постоянства скорости света).

Первый постулат распространяет принцип относительности на все явления, включая электромагнитные. Проблема применимости принципа относительности возникла с открытием электромагнитных волн и электромагнитной природы света. Постоянство скорости света приводит к несоответствию с законом сложения скоростей классической механики. По мысли Эйнштейна, изменения характера взаимодействия при смене системы отсчета не должно происходить. Первый постулат Эйнштейна непосредственно вытекает из опыта Майкельсона–Морли, доказавшего отсутствие в природе абсолютной системы отсчета. В этом опыте измерялась скорость света в зависимости от скорости движения приемника света. Из результатов этого опыта следует и второй постулат Эйнштейна о постоянстве скорости света в вакууме, который вступает в противоречие с первым постулатом, если распространить на электромагнитные явления не только сам принцип относительности Галилея, но и правило сложения скоростей. Следовательно, преобразования Галилея для координат и времени, а также его правило сложения скоростей к электромагнитным явлениям неприменимы.

Следствия из постулатов СТО

Если проводить сравнение расстояний и показаний часов в разных системах отсчета с помощью световых сигналов, то можно показать, что расстояние между двумя точками и длительность интервала времени между двумя событиями зависят от выбора системы отсчета.

Относительность расстояний:

где \(I_0 \) – длина тела в системе отсчета, относительно которой тело покоится, \(l \) – длина тела в системе отсчета, относительно которой тело движется, \(v \) – скорость тела.

Это означает, что линейный размер движущегося относительно инерциальной системы отсчета уменьшается в направлении движения.

Относительность промежутков времени:

где \(\tau_0 \) – промежуток времени между двумя событиями, происходящими в одной точке инерциальной системы отсчета, \(\tau \) – промежуток времени между этими же событиями в движущейся со скоростью \(v \) системе отсчета.

Это означает, что часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее неподвижных часов и показывают меньший промежуток времени между событиями (замедление времени).

Закон сложения скоростей в СТО записывается так:

где \(v \) – скорость тела относительно неподвижной системы отсчета, \(v’ \) – скорость тела относительно подвижной системы отсчета, \(u \) – скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной, \(c \) – скорость света.

При скоростях движения, много меньших скорости света, релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический, а длина тела и интервал времени становятся одинаковыми в неподвижной и движущейся системах отсчета (принцип соответствия).

Для описания процессов в микромире классический закон сложения неприменим, а релятивистский закон сложения скоростей работает.

Полная энергия

Полная энергия \(E \) тела в состоянии движения называется релятивистской энергией тела:

Полная энергия, масса и импульс тела связаны друг с другом – они не могут меняться независимо.

Закон пропорциональности массы и энергии – один из самых важных выводов СТО. Масса и энергия являются различными свойствами материи. Масса тела характеризует его инертность, а также способность тела вступать в гравитационное взаимодействие с другими телами.

Важно!
Важнейшим свойством энергии является ее способность превращаться из одной формы в другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах – в этом заключается содержание закона сохранения энергии. Пропорциональность массы и энергии является выражением внутренней сущности материи.

Энергия покоя

Наименьшей энергией \(E_0 \) тело обладает в системе отсчета, относительно которой оно покоится. Эта энергия называется энергией покоя :

Энергия покоя является внутренней энергией тела.

В СТО масса системы взаимодействующих тел не равна сумме масс тел, входящих в систему. Разность суммы масс свободных тел и массы системы взаимодействующих тел называется дефектом масс – \(\Delta m \) . Дефект масс положителен, если тела притягиваются друг к другу. Изменение собственной энергии системы, т. е. при любых взаимодействиях этих тел внутри нее, равно произведению дефекта масс на квадрат скорости света в вакууме:

Экспериментальное подтверждение связи массы с энергией было получено при сравнении энергии, высвобождающейся при радиоактивном распаде, с разностью масс исходного ядра и конечных продуктов.

Это утверждение имеет разнообразные практические применения, включая использование ядерной энергии. Если масса частицы или системы частиц уменьшилась на \(\Delta m \) , то при этом должна выделиться энергия \(\Delta E=\Delta m\cdot c^2 \) .

Кинетическая энергия тела (частицы) равна:

Важно!
В классической механике энергия покоя равна нулю.

Релятивистский импульс

Релятивистским импульсом тела называется физическая величина, равная:

где \(E \) – релятивистская энергия тела.

Для тела массой \(m \) можно использовать формулу:

В экспериментах по исследованию взаимодействий элементарных частиц, движущихся со скоростями, близкими к скорости света, подтвердилось предсказание теории относительности о сохранении релятивистского импульса при любых взаимодействиях.

Важно!
Закон сохранения релятивистского импульса является фундаментальным законом природы.

Классический закон сохранения импульса является частным случаем универсального закона сохранения релятивистского импульса.

Полная энергия \(E \) релятивистской частицы, энергия покоя \(E_0 \) и импульс \(p \) связаны соотношением:

Из него следует, что для частиц с массой покоя, равной нулю, \(E_0 \) = 0 и \(E=pc \) .

Попытка интерпретировать этот результат в начале XX века вылилась в пересмотр классических представлений, и привела к созданию специальной теории относительности.

При движении с околосветовыми скоростями видоизменяются законы динамики . Второй закон Ньютона , связывающий силу и ускорение , должен быть модифицирован при скоростях тел, близких к скорости света . Кроме этого, выражение для импульса и кинетической энергии тела имеет более сложную зависимость от скорости, чем в нерелятивистском случае.

Специальная теория относительности получила многочисленные подтверждения на опыте и является верной теорией в своей области применимости (см. Экспериментальные основания СТО). По меткому замечанию Л. Пэйджа, «в наш век электричества вращающийся якорь каждого генератора и каждого электромотора неустанно провозглашает справедливость теории относительности - нужно лишь уметь слушать» .

Фундаментальность специальной теории относительности для физических теорий, построенных на её основе, привела в настоящее время к тому, что сам термин «специальная теория относительности» практически не используется в современных научных статьях, обычно говорят лишь о релятивистской инвариантности отдельной теории.

Основные понятия и постулаты СТО

Специальная теория относительности, как и любая другая физическая теория , может быть сформулирована на базе из основных понятий и постулатов (аксиом) плюс правила соответствия её физическим объектам.

Основные понятия

Синхронизация времени

В СТО постулируется возможность определения единого времени в рамках данной инерциальной системы отсчёта . Для этого вводится процедура синхронизации двух часов, находящихся в различных точках ИСО . Пусть от первых часов в момент времени ко вторым посылается сигнал (не обязательно световой) с постоянной скоростью . Сразу по достижении вторых часов (по их показаниям в момент времени ) сигнал отправляется обратно с той же постоянной скоростью и достигает первых часов в момент времени . Часы считаются синхронизированными, если выполняется соотношение .

Предполагается, что такая процедура в данной инерциальной системе отсчёта может быть проведена для любых неподвижных относительно друг друга часов, так что справедливо свойство транзитивности : если часы A синхронизованы с часами B , а часы B синхронизованы с часами C , то часы A и C также окажутся синхронизованными.

Согласование единиц измерения

Для этого необходимо рассмотреть три инерциальные системы S1, S2 и S3. Пусть скорость системы S2 относительно системы S1 равна , скорость системы S3 относительно S2 равна , а относительно S1, соответственно, . Записывая последовательность преобразований (S2, S1), (S3, S2) и (S3, S1), можно получить следующее равенство :

Доказательство

Преобразования (S2, S1) (S3, S2) имеют вид:

где , и т.д. Подстановка из первой системы во вторую, даёт:

Второе равенство является записью преобразований между системами S3 и S1. Если приравнять коэффициенты при в первом уравнении системы и при во втором, то:

Разделив одно уравнение на другое, несложно получить искомое соотношение.

Так как относительные скорости систем отсчёта и произвольные и независимые величины, то это равенство будет выполняться только в случае, когда отношение равно некоторой константе , единой для всех инерциальных систем отсчёта , и, следовательно, .

Существование обратного преобразования между ИСО, отличающегося от прямого только заменой знака относительной скорости, позволяет найти функцию .

Доказательство

Постулат постоянства скорости света

Исторически важную роль при построении СТО сыграл второй постулат Эйнштейна, утверждающий, что скорость света не зависит от скорости движения источника и одинакова во всех инерциальных системах отсчёта . Именно при помощи этого постулата и принципа относительности Альберт Эйнштейн в 1905 г. получил преобразования Лоренца с фундаментальной константой , имеющей смысл скорости света . С точки зрения описанного выше аксиоматического построения СТО второй постулат Эйнштейна оказывается теоремой теории и непосредственно следует из преобразований Лоренца (см. релятивистское сложение скоростей). Тем не менее, в силу его исторической важности, такой вывод преобразований Лоренца широко используется в учебной литературе .

Необходимо отметить, что световые сигналы, вообще говоря, не требуются при обосновании СТО. Хотя неинвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Галилея привела к построению СТО, последняя имеет более общий характер и применима ко всем видам взаимодействий и физических процессов. Фундаментальная константа , возникающая в преобразованиях Лоренца , имеет смысл предельной скорости движения материальных тел. Численно она совпадает со скоростью света, однако этот факт связан с безмассовостью электромагнитных полей. Даже если бы фотон имел отличную от нуля массу, преобразования Лоренца от этого бы не изменились. Поэтому имеет смысл различать фундаментальную скорость и скорость света . Первая константа отражает общие свойства пространства и времени, тогда как вторая связана со свойствами конкретного взаимодействия . Чтобы измерить фундаментальную скорость , нет необходимости проводить электродинамические эксперименты. Достаточно, воспользовавшись, например, релятивистским правилом сложения скоростей по значениям скорости некоторого объекта относительно двух ИСО , получить значение фундаментальной скорости .

Непротиворечивость теории относительности

Теория относительности является логически непротиворечивой теорией. Это означает, что из её исходных положений нельзя логически вывести некоторое утверждение одновременно с его отрицанием. Поэтому множество так называемых парадоксов (подобных парадоксу близнецов) являются кажущимися. Они возникают в результате некорректного применения теории к тем или иным задачам, а не в силу логической противоречивости СТО.

Справедливость теории относительности, как и любой другой физической теории, в конечном счёте, проверяется эмпирически. Кроме этого, логическая непротиворечивость СТО может быть доказана аксиоматически. Например, в рамках группового подхода показывается, что преобразования Лоренца могут быть получены на основе подмножества аксиом классической механики . Этот факт сводит доказательство непротиворечивости СТО к доказательству непротиворечивости классической механики. Действительно, если следствия из более широкой системы аксиом являются непротиворечивыми, то они тем более будут непротиворечивыми при использовании только части аксиом . С точки зрения логики противоречия могут возникать, когда к уже существующим аксиомам добавляется новая аксиома, не согласующаяся с исходными. В аксиоматическом построении СТО, описанном выше, этого не происходит, поэтому СТО является непротиворечивой теорией .

Геометрический подход

Возможны другие подходы к построению специальной теории относительности. Следуя Минковскому и более ранней работе Пуанкаре, можно постулировать существование единого метрического четырёхмерного пространства-времени с 4-координатами . В простейшем случае плоского пространства метрика , определяющая расстояние между двумя бесконечно близкими точками, может быть евклидовой или псевдоевклидовой (см. ниже). Последний случай соответствует специальной теории относительности. Преобразования Лоренца при этом являются поворотами в таком пространстве, которые оставляют неизменным расстояние между двумя точками.

Возможен ещё один подход, в котором постулируется геометрическая структура пространства скоростей. Каждая точка такого пространства соответствует некоторой инерциальной системе отсчёта , а расстояние между двумя точками - модулю относительной скорости между ИСО. В силу принципа относительности все точки такого пространства должны быть равноправными, а, следовательно, пространство скоростей является однородным и изотропным . Если его свойства задаются римановой геометрией , то существует три и только три возможности: плоское пространство, пространство постоянной положительной и отрицательной кривизны. Первый случай соответствует классическому правилу сложения скоростей. Пространство постоянной отрицательной кривизны (пространство Лобачевского) соответствует релятивистскому правилу сложения скоростей и специальной теории относительности.

Различная запись преобразования Лоренца

Пусть координатные оси двух инерциальных систем отсчёта S и S" параллельны друг другу, (t, x,y, z) - время и координаты некоторого события , наблюдаемого относительно системы S, а (t",x",y",z") - время и координаты того же события относительно системы S". Если система S" движется равномерно и прямолинейно со скоростью v относительно S, то справедливы преобразования Лоренца :

где - скорость света. При скоростях много меньше скорости света () преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея :

Подобный предельный переход является отражением принципа соответствия , согласно которому более общая теория (СТО) имеет своим предельным случаем менее общую теорию (в данном случае - классическую механику).

Преобразования Лоренца можно записать в векторном виде , когда скорость систем отсчёта направлена в произвольном направлении (не обязательно вдоль оси ):

где - фактор Лоренца, и - радиус-векторы события относительно систем S и S".

Следствия преобразований Лоренца

Сложение скоростей

Непосредственным следствием преобразований Лоренца является релятивистское правило сложения скоростей. Если некоторый объект имеет компоненты скорости относительно системы S и - относительно S", то между ними существует следующая связь:

В этих соотношениях относительная скорость движения систем отсчёта v направлена вдоль оси x. Релятивистское сложение скоростей, как и преобразования Лоренца, при малых скоростях () переходит в классический закон сложения скоростей.

Если объект движется со скоростью света вдоль оси x относительно системы S, то такая же скорость у него будет и относительно S": . Это означает, что скорость является инвариантной (одинаковой) во всех ИСО.

Замедление времени

Если часы неподвижны в системе , то для двух последовательных событий имеет место . Такие часы перемещаются относительно системы по закону , поэтому интервалы времени связаны следующим образом:

Важно понимать, что в этой формуле интервал времени измеряется одними движущимися часами . Он сравнивается с показаниями нескольких различных, синхронно идущих часов, расположенных в системе , мимо которых движутся часы . В результате такого сравнения оказывается, что движущиеся часы идут медленнее неподвижных часов. С этим эффектом связан так называемый парадокс близнецов .

Если часы движутся с переменной скоростью относительно инерциальной системы отсчёта, то время, измеряемое этими часами (т.н. собственное время), не зависит от ускорения, и может быть вычислено по следующей формуле:

где при помощи интегрирования суммируются интервалы времени в локально инерциальных системах отсчёта (т.н. мгновенно сопутствующих ИСО).

Относительность одновременности

Если два разнесённых в пространстве события (например, вспышки света) происходят одновременно в движущейся системе отсчёта , то они будут неодновременны относительно «неподвижной» системы . При из преобразований Лоренца следует

Если , то и . Это означает, что, с точки зрения неподвижного наблюдателя, левое событие происходит раньше правого . Относительность одновременности приводит к невозможности синхронизации часов в различных инерциальных системах отсчёта во всём пространстве.

С точки зрения системы S

С точки зрения системы S"

Пусть в двух системах отсчёта вдоль оси x расположены синхронизированные в каждой системе часы, и в момент совпадения «центральных» часов (на рисунке ниже) они показывают одинаковое время.

Левый рисунок показывает, как эта ситуация выглядит с точки зрения наблюдателя в системе S. Часы в движущейся системе отсчёта показывают различное время. Находящиеся по ходу движения часы отстают, а находящиеся против хода движения опережают «центральные» часы. Аналогична ситуация для наблюдателей в S" (правый рисунок).

Сокращение линейных размеров

Если длину (форму) движущегося объекта определять при помощи одновременной фиксации координат его поверхности, то из преобразований Лоренца следует, что линейные размеры такого тела относительно «неподвижной» системы отсчёта сокращаются:

где - длина вдоль направления движения относительно неподвижной системы отсчёта, а - длина в движущейся системе отсчёта, связанной с телом (т.н. собственная длина тела). При этом сокращаются продольные размеры тела (то есть измеряемые вдоль направления движения). Поперечные размеры не изменяются.

Такое сокращение размеров ещё называют лоренцевым сокращением . При визуальном наблюдении движущихся тел дополнительно к лоренцевому сокращению необходимо учитывать время распространения светового сигнала от поверхности тела. В результате быстро движущееся тело выглядит повёрнутым, но не сжатым в направлении движения.

Эффект Доплера

Пусть источник, движущийся со скоростью v, излучает со скоростью света периодический сигнал, имеющий частоту . Эта частота измеряется наблюдателем, связанным с источником (т.н. собственная частота). Если этот же сигнал регистрируется «неподвижным» наблюдателем, то его частота будет отличаться от собственной частоты:

где - угол между направлением на источник и его скоростью.

Различают продольный и поперечный эффект Доплера . В первом случае , то есть источник и приёмник находятся на одной прямой. Если источник движется от приёмника, то его частота уменьшается (красное смещение), а если приближается, то частота увеличивается (синее смещение):

Поперечный эффект возникает, когда , то есть направление на источник перпендикулярно его скорости (например, источник «пролетает над» приёмником). В этом случае непосредственно проявляется эффект замедления времени:

Аналога поперечного эффекта в классической физике нет, и это чисто релятивистский эффект. В отличие от этого, продольный эффект Доплера обусловлен как классической составляющей, так и релятивистским эффектом замедления времени.

Аберрация

остаётся справедливым также и в теории относительности. Однако производная по времени берётся от релятивистского импульса, а не от классического. Это приводит к тому, что связь силы и ускорения существенно отличается от классической:

Первое слагаемое содержит «релятивистскую массу», равную отношению силы к ускорению, если сила действует перпендикулярно скорости. В ранних работах по теории относительности её называли «поперечной массой». Именно её «рост» наблюдается в экспериментах по отклонению электронов магнитным полем. Второе слагаемое содержит «продольную массу», равную отношению силы к ускорению, если сила действует параллельно скорости:

Как было отмечено выше, эти понятия являются устаревшими и связаны с попыткой сохранить классическое уравнение движения Ньютона .

Скорость изменения энергии равна скалярному произведению силы на скорость тела:

Это приводит к тому, что, как и в классической механике, составляющая силы, перпендикулярная к скорости частицы, не изменяет её энергию (например, магнитная составляющая в силе Лоренца).

Преобразования энергии и импульса

Аналогично преобразованиям Лоренца для времени и координат релятивистские энергия и импульс, измеренные относительно различных инерциальных систем отсчёта, также связаны определёнными соотношениями:

где компоненты вектора импульса равны . Относительная скорость и ориентация инерциальных систем отсчёта S, S" определены так же, как и в преобразованиях Лоренца.

Ковариантная формулировка

Четырёхмерное пространство-время

Преобразования Лоренца оставляют инвариантной (неизменной) следующую величину, называемую интервалом :

где , и т. д. - являются разностями времён и координат двух событий. Если , то говорят, что события разделены времениподобным интервалом; если , то пространственноподобным. Наконец, если , то такие интервалы называются светоподобными. Светоподобный интервал соответствует событиям, связанным сигналом, который распространяется со скоростью света . Инвариантность интервала означает, что он имеет одинаковое значение относительно двух инерциальных систем отсчёта:

По своей форме интервал напоминает расстояние в евклидовом пространстве. Однако он имеет различный знак у пространственных и временных составляющих события, поэтому говорят, что интервал задаёт расстояние в псевдоевклидовом четырёхмерном пространстве-времени. Его также называют пространством-временем Минковского . Преобразования Лоренца играют роль поворотов в таком пространстве. Вращения базиса в четырёхмерном пространстве-времени, смешивающие временную и пространственные координаты 4-векторов , выглядят как переход в движущуюся систему отсчета и похожи на вращения в обычном трёхмерном пространстве. При этом естественно изменяются проекции четырёхмерных интервалов между определёнными событиями на временную и пространственные оси системы отсчёта, что и порождает релятивистские эффекты изменения временных и пространственных интервалов. Именно инвариантная структура этого пространства, задаваемая постулатами СТО, не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Используя только две пространственные координаты (x, y), четырёхмерное пространство можно изобразить в координатах (t, x, y). События, связанные с событием начала координат (t=0, x=y=0) световым сигналом (светоподобный интервал), лежат на так называемом световом конусе (см. рисунок справа).

Метрический тензор

Расстояние между двумя бесконечно близкими событиями можно записать при помощи метрического тензора в тензорном виде:

где , а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 0 до 3. В инерциальных системах отсчёта с декартовыми координатами метрический тензор имеет следующий вид:

Кратко эта диагональная матрица обозначается таким образом: .

Выбор недекартовой системы координат (например, переход к сферическим координатам) или рассмотрение неинерциальных систем отсчёта приводит к изменению значений компонент метрического тензора, однако его сигнатура остаётся неизменной. В рамках специальной теории относительности всегда существует глобальное преобразование координат и времени, которое делает метрический тензор диагональным с компонентами . Эта физическая ситуация соответствует переходу в инерциальную систему отсчёта с декартовыми координатами. Другими словами, четырёхмерное пространство-время специальной теории относительности является плоским (псевдоевклидовым). В отличие от этого, общая теория относительности (ОТО) рассматривает искривлённые пространства, в которых метрический тензор никаким преобразованием координат нельзя привести к псевдоевклидовому виду во всём пространстве, но сигнатура тензора сохраняется такой же.

4-вектор

Соотношения СТО могут быть записаны в тензорном виде при помощи введения вектора с четырьмя компонентами (цифра или индекс вверху компоненты является её номером, а не степенью!). Нулевую компоненту 4-вектора называют временно́й, а компоненты с индексами 1,2,3 - пространственными. Они соответствуют компонентам обычного трёхмерного вектора, поэтому 4-вектор обозначается также следующим образом: .

Компоненты 4-вектора, измеренные относительно двух инерциальных систем отсчёта, движущихся с относительной скоростью , связаны друг с другом следующим образом:

Примерами 4-векторов являются: точка в псевдоевклидовом пространстве-времени , характеризующая событие, и энергия-импульс :

При помощи метрического тензора можно ввести т.н. ковекторы, которые обозначаются той же буквой, но с нижним индексом:

Для диагонального метрического тензора с сигнатурой , ковектор отличается от 4-вектора знаком перед пространственными компонентами. Так, если , то . Свёртка вектора и ковектора является инвариантом и имеет одинаковое значение во всех инерциальных системах отсчёта:

Например, свёртка (квадрат - 4-вектора) энергии-импульса пропорциональна квадрату массы частицы:

Экспериментальные основания СТО

Специальная теория относительности лежит в основе всей современной физики. Поэтому какого-либо отдельного эксперимента, «доказывающего» СТО, нет. Вся совокупность экспериментальных данных в физике высоких энергий , ядерной физике , спектроскопии , астрофизике , электродинамике и других областях физики согласуется с теорией относительности в пределах точности эксперимента. Например, в квантовой электродинамике (объединение СТО, квантовой теории и уравнений Максвелла) значение аномального магнитного момента электрона совпадает с теоретическим предсказанием с относительной точностью .

Фактически СТО является инженерной наукой. Её формулы используются при расчёте ускорителей элементарных частиц. Обработка огромных массивов данных по столкновению частиц, двигающихся с релятивистскими скоростями в электромагнитных полях, основана на законах релятивистской динамики, отклонения от которых обнаружено не было. Поправки, следующие из СТО и ОТО, используются в системах спутниковой навигации (GPS). СТО лежит в основе ядерной энергетики и т.д.

Всё это не означает, что СТО не имеет пределов применимости. Напротив, как и в любой другой теории, они существуют, и их выявление является важной задачей экспериментальной физики. Например, в теории гравитации Эйнштейна (ОТО) рассматривается обобщение псевдоевклидового пространства СТО на случай пространства-времени, обладающего кривизной, что позволяет объяснить большую часть астрофизических и космологических наблюдаемых данных. Существуют попытки обнаружить анизотропию пространства и другие эффекты, которые могут изменить соотношения СТО . Однако необходимо понимать, что если они будут обнаружены, то приведут к более общим теориям, предельным случаем которых снова будет СТО. Точно так же при малых скоростях верной остаётся классическая механика, являющаяся частным случаем теории относительности. Вообще, в силу принципа соответствия , теория, получившая многочисленные экспериментальные подтверждения, не может оказаться неверной, хотя, конечно, область её применимости может быть ограничена.

Ниже приведены только некоторые эксперименты, иллюстрирующие справедливость СТО и её отдельных положений.

Релятивистское замедление времени

То, что время движущихся объектов течёт медленнее, получает постоянное подтверждение в экспериментах, проводимых в физике высоких энергий . Например, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе в CERN с точностью увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. В данном эксперименте скорость мюонов была равна 0.9994 от скорости света , в результате чего время их жизни увеличилось в 29 раз. Этот эксперимент важен также тем, что при 7-метровом радиусе кольца ускорение мюонов достигало значений от ускорения свободного падения . Это, в свою очередь, свидетельствует о том, что эффект замедления времени обусловлен только скоростью объекта и не зависит от его ускорения.

Измерение величины замедления времени проводилось также с макроскопическими объектами. Например, в эксперименте Хафеле - Китинга проводилось сравнение показаний неподвижных атомных часов , и атомных часов, летавших на самолёте.

Независимость скорости света от движения источника

На заре возникновения теории относительности определённую популярность получили идеи Вальтера Ритца о том, что отрицательный результат опыта Майкельсона может быть объяснён при помощи баллистической теории . В этой теории предполагалось, что свет со скоростью излучается относительно источника, и происходит сложение скорости света и скорости источника в соответствии с классическим правилом сложения скоростей . Естественно, эта теория противоречит СТО.

Астрофизические наблюдения являются убедительным опровержением подобной идеи. Например, при наблюдении двойных звёзд , вращающихся относительно общего центра масс, в соответствии с теорией Ритца происходили бы эффекты, которые на самом деле не наблюдаются (аргумент де Ситтера). Действительно, скорость света («изображения») от звезды, приближающейся к Земле, была бы выше скорости света от удаляющейся при вращении звезды. При большом расстоянии от двойной системы более быстрое «изображение» существенно обогнало бы более медленное. В результате видимое движение двойных звёзд выглядело бы достаточно странным, что не наблюдается.

Иногда встречается возражение, что гипотеза Ритца «на самом деле» верна, но свет при движении сквозь межзвёздное пространство переизлучается атомами водорода , имеющими в среднем нулевую скорость относительно Земли, и достаточно быстро приобретает скорость .

Однако, если бы это было так, возникала бы существенная разница в изображении двойных звёзд в различных диапазонах спектра , так как эффект «увлечения» средой света существенно зависит от его частоты .

В опытах Томашека (1923 г.) при помощи интерферометра сравнивались интерференционные картины от земных и внеземных источников (Солнце , Луна , Юпитер , звёзды Сириус и Арктур). Все эти объекты имели различную скорость относительно Земли , однако смещения интерференционных полос, ожидаемых в модели Ритца, обнаружено не было. Эти эксперименты в дальнейшем неоднократно повторялись. Например, в эксперименте Бонч-Бруевича А. М. и Молчанова В. А. (1956 г.) измерялась скорость света от различных краёв вращающегося Солнца. Результаты этих экспериментов также противоречат гипотезе Ритца .

Исторический очерк

Связь с другими теориями

Гравитация

Классическая механика

Теория относительности входит в существенное противоречие с некоторыми аспектами классической механики . Например, парадокс Эренфеста показывает несовместимость СТО с понятием абсолютно твёрдого тела . Надо отметить, что даже в классической физике предполагается, что механическое воздействие на твёрдое тело распространяется со скоростью звука , а отнюдь не с бесконечной (как должно быть в воображаемой абсолютно твёрдой среде).

Квантовая механика

Специальная теория относительности (в отличие от общей) полностью совместима с квантовой механикой . Их синтезом является релятивистская квантовая теория поля . Однако обе теории вполне независимы друг от друга. Возможно построение как квантовой механики, основанной на нерелятивистском принципе относительности Галилея (см. уравнение Шрёдингера), так и теорий на основе СТО, полностью игнорирующих квантовые эффекты. Например, квантовая теория поля может быть сформулирована как нерелятивистская теория . В то же время такое квантовомеханическое явление, как спин , последовательно не может быть описано без привлечения теории относительности (см. Уравнение Дирака).

Развитие квантовой теории всё ещё продолжается, и многие физики считают, что будущая полная теория ответит на все вопросы, имеющие физический смысл, и даст в пределах как СТО в сочетании с квантовой теорией поля, так и ОТО. Скорее всего, СТО ожидает такая же судьба, как и механику Ньютона - будут точно очерчены пределы её применимости. В то же время такая максимально общая теория пока является отдалённой перспективой.

См. также

Примечания

Источники

Гинзбург В. Л. Эйнштейновский сборник, 1966. - М .: Наука, 1966. - С. 363. - 375 с. - 16 000 экз.
Гинзбург В. Л. Как и кто создал теорию относительности? в Эйнштейновский сборник, 1966. - М .: Наука, 1966. - С. 366-378. - 375 с. - 16 000 экз.
Сацункевич И. С. Экспериментальные корни специальной теории относительности . - 2-е изд. - М .: УРСС, 2003. - 176 с. - ISBN 5-354-00497-7
Мизнер Ч., Торн К. , Уилер Дж. Гравитация. - М .: Мир, 1977. - Т. 1. - С. 109. - 474 с.
Einstein A. «Zur Elektrodynamik bewegter Korper» Ann Phys.- 1905.- Bd 17.- S. 891. Перевод:Эйнштейн А. «К электродинамике движущегося тела» Эйнштейн А. Собрание научных трудов. - М .: Наука, 1965. - Т. 1. - С. 7-35. - 700 с. - 32 000 экз.
Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. - Издание 2-е, переработанное. - М .: Высш. шк., 1986. - С. 78-80. - 320 с. - 28 000 экз.
Паули В. Теория Относительности. - М .: Наука, Издание 3-е, исправленное. - 328 с. - 17 700 экз. - ISBN 5-02-014346-4
von Philipp Frank und Hermann Rothe «Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme» Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825-855 (русский перевод)
Фок В. А. Теория пространства времени и тяготения. - Издание 2-е, дополненное. - М .: Гос.изд. физ.-мат. лит., 1961. - С. 510-518. - 568 с. - 10 000 экз.
«Преобразования Лоренца» в книге «Релятивистский мир» .
Киттель Ч., Наит У., Рудерман М. Берклеевский курс физики. - Издание 3-е, исправленное. - М .: Наука, 1986. - Т. I. Механика. - С. 373,374. - 481 с.
von W. v. Ignatowsky «Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip» Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 (русский перевод)
Терлецкий Я. П. Парадоксы теории относительности. - М .: Наука, 1966. - С. 23-31. - 120 с. - 16 500 экз.
Паули В. Теория Относительности. - М .: Наука, Издание 3-е, исправленное. - С. 27. - 328 с. - 17 700 экз. - ISBN 5-02-014346-4
Ландау, Л. Д. , Лифшиц, Е. М. Теория поля. - Издание 7-е, исправленное. - М .: Наука , 1988. - 512 с. - («Теоретическая физика» , том II). - ISBN 5-02-014420-7