Найти проекцию прямой на плоскость онлайн калькулятор. Как найти проекцию точки на плоскость: методика определения и пример решения задачи. Положение точки в пространстве трехмерного угла

Проекция точки на плоскость является частным случаем общей задачи нахождения проекции точки на поверхность. В силу простоты вычисления проекции точки на касательную к поверхности плоскость используется в качестве нулевого приближения при решении общей задачи.

Рассмотрим задачу проецирования точки на плоскость, заданную радиус-вектором

Будем считать, что векторы не коллинеарные. Допустим, что в общем случае векторы не ортогональны и имеют не единичную длину. Плоскость проходит через точку в которой параметры равны нулю, а векторы определяют параметрические направления. Заданная точка имеет единственную проекцию на плоскость (4.6.1). Построим единичную нормаль к плоскости

Рис. 4.6.1. Проекция точки на плоскость s(u, v)

Вычислим радиус-вектор проекции точки на плоскость как разность радиус-вектора проецируемой точки и составляющей вектора параллельной нормали к плоскости,

(4.6.4)

На рис. 4.6.1 показаны векторы плоскости ее начальная точка и проекция заданной точки.

Параметры и длины проекций связаны уравнениями

где косинус угла между векторами определяется по формуле (1.7.13).

Из системы этих уравнений найдем параметры проекции точки на плоскость

(4.6.6)

где - коэффициенты первой основной квадратичной формы плоскости (1.7.8), они же ковариантные компоненты метрического тензора поверхности, - контравариантные компоненты метрического тензора поверхности. Если векторы ортогональные, то формулы (4.6.6) и (4.6.7) примут вид

Расстояние от точки до ее проекции на плоскость в общем случае вычисляется как длина вектора . Расстояние от точки до ее проекции на плоскость можно определить, не вычисляя проекцию точки, а вычислив проекцию вектора на нормаль к плоскости

(4.6.8)

Частные случаи.

Проекции точки на некоторые аналитические поверхности могут быть найдены без привлечения численных методов. Например, чтобы найти проекции точки на поверхность кругового цилиндра, конуса, сферы или тора, нужно перевести проецируемую точку в местную систему координат поверхности, где легко найти параметры проекций. Аналогично могут быть найдены проекции на поверхности выдавливания и вращения. В некоторых частных случаях положения проецируемой точки ее проекции могут быть легко найдены и на другие поверхности.

Общий случай.

Рассмотрим задачу проецирования точки на поверхность в общем случае. Пусть требуется найти все проекции точки на поверхность . Каждая искомая точка поверхности удовлетворяет системе двух уравнений

Система уравнений (4.6.9) содержит две неизвестные величины - параметры u и v. Эта задача решается так же, как и задача нахождения проекций заданной точки на кривую.

На первом этапе определим нулевые приближения параметров поверхности для проекций точки, а на втором этапе найдем точные значения параметров, определяющие проекции заданной точки на поверхность

Пройдем по поверхности с шагами вычисляемыми по формулам (4.2.4) и (4.2.5), описанным выше способом движения по параметрической области. Обозначим параметры точек, через которые мы пройдем, через . В каждой точке будем вычислять скалярные произведения векторов

(4.6.10)

Если искомое решение лежит вблизи точки с параметрами , то будут иметь разные знаки, а также и будут иметь разные знаки. Смена знаков скалярных произведений говорит о том, что рядом находится искомое решение. За нулевое приближение параметров примем значения Начиная с нулевого приближения параметров, одним из методов решения нелинейных уравнений найдем решение задачи с заданной точностью. Например, в методе Ньютона на итерации приращения параметров проекции найдутся из системы линейных уравнений

где частные производные радиус-вектора по параметрам. Следующее приближение параметров проекции точки равны . Процесс уточнения параметров закончим, когда на очередной итерации выполнятся неравенства , где - заданная погрешность. Таким же образом найдем все остальные корни системы уравнений (4.6.9).

Если требуется найти только ближайшую проекцию заданной точки на поверхность, то можно пройти по тем же точкам геометрического объекта и выбрать из них ближайшую к заданной точке. Параметры ближайшей точки и следует выбрать в качестве нулевого приближения решения задачи.

Проекция точки на поверхность в заданном направлении.

В определенных случаях возникает задача определения проекции точки на поверхность не по нормали к ней, а вдоль заданного направления. Пусть направление проецирования задано вектором единичной длины q. Построим прямую линию

(4.6.12)

проходящую через заданную точку и имеющую направление заданного вектора. Проекции точки на поверхность в заданном направлении определим как точки пересечения поверхности с прямой (4.6.12), проходящей через заданную точку в заданном направлении.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ДВЕ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

Образование отрезка прямой линии АА 1 можно представить как результат перемещения точки А в какой-либо плоскости Н (рис. 84, а), а образование плоскости - как перемещение отрезка прямой линии АВ (рис. 84, б).

Точка - основной геометрический элемент линии и поверхности, поэтому изучение прямоугольного проецирования предмета начинается с построения прямоугольных проекций точки.

В пространство двугранного угла, образованного двумя перпендикулярными плоскостями - фронтальной (вертикальной) плоскостью проекций V и горизонтальной плоскостью проекций Н, поместим точку А (рис. 85, а).

Линия пересечения плоскостей проекций - прямая, которая называется осью проекций и обозначается буквой х.

Плоскость V здесь изображена в виде прямоугольника, а плоскость Н - в виде параллелограмма. Наклонную сторону этого параллелограмма обычно проводят под углом 45° к его горизонтальной стороне. Длина наклонной стороны берется равной 0,5 ее действительной длины.

Из точки А опускают перпендикуляры на плоскости V и Н. Точки а"и а пересечения перпендикуляров с плоскостями проекций V и Н являются прямоугольными проекциями точки А. Фигура Ааа х а" в пространстве - прямоугольник. Сторона аах этого прямоугольника на наглядном изображении уменьшается в 2 раза.

Совместим плоскости Н с плоскостью V ,вращая V вокруг линии пересечения плоскостей х. В результате получается комплексный чертеж точки А (рис. 85, б)

Для упрощения комплексного чертежа границы плоскостей проекций V и Н не указывают (рис. 85, в).

Перпендикуляры, проведенные из точки А к плоскостям проекций, называются проецирующими линиями, а основания этих проецирующих линий - точки а и а" - называются проекциями точки А: а" - фронтальная проекция точки А, а - горизонтальная проекция точки А.

Линия а" а называется вертикальной линией проекционной связи.

Расположение проекции точки на комплексном чертеже зависит от положения этой точки в пространстве.

Если точка А лежит на горизонтальной плоскости проекций Н (рис. 86, а), то ее горизонтальная проекция а совпадает с заданной точкой, а фронтальная проекция а" располагается на оси При расположении точки В на фронтальной плоскости проекций V ее фронтальная проекция совпадает с этой точкой, а горизонтальная проекция лежит на оси х. Горизонтальная и фронтальная проекции заданной точки С, лежащей на оси х, совпадают с этой точкой. Комплексный чертеж точек А, В и С показан на рис. 86, б.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

В тех случаях, когда по двум проекциям нельзя представить себе форму предмета, его проецируют на три плоскости проекций. В этом случае вводится профильная плоскость проекций W, перпендикулярная плоскостям V и Н. Наглядное изображение системы из трех плоскостей проекций дано на рис. 87, а.

Ребра трехгранного угла (пересечение плоскостей проекций) называются осями проекций и обозначаются x, у и z. Пересечение осей проекций называется началом осей проекций и обозначается буквой О. Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость проекций W и, отметив основание перпендикуляра буквой а", получим профильную проекцию точки А.

Для получения комплексного чертежа точки А плоскости Н и W совмещают с плоскостью V, вращая их вокруг осей Ох и Oz. Комплексный чертеж точки А показан на рис. 87, б и в.

Отрезки проецирующих линий от точки А до плоскостей проекций называются координатами точки А и обозначаются: х А, у А и z A .

Например, координата z A точки А, равная отрезку а"а х (рис. 88, а и б), есть расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций Н. Координата у точки А, равная отрезку аа х, есть расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций V. Координата х А, равная отрезку аа у - расстояние от точки А до профильной плоскости проекций W.

Таким образом, расстояние между проекцией точки и осью проекции определяют координаты точки и являются ключом к чтению ее комплексного чертежа. По двум проекциям точки можно определить все три координаты точки.

Если заданы координаты точки А (например, х А =20 мм, у А =22мм и z A = 25 мм), то можно построить три проекции этой точки.

Для этого от начала координат О по направлению оси Oz откладывают вверх координату z A и вниз координату у А.Из концов отложенных отрезков - точек a z и а у (рис. 88, а) - проводят прямые, параллельные оси Ох, и на них откладывают отрезки, равные координате х А. Полученные точки а" и а - фронтальная и горизонтальная проекции точки А.

По двум проекциям а" и а точки А построить ее профильную проекцию можно тремя способами:

1) из начала координат О проводят вспомогательную дугу радиусом Оа у, равным координате (рис. 87, б и в), из полученной точки а у1 проводят прямую, параллельную оси Oz, и откладывают отрезок, равный z A ;

2) из точки а у проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, а), получают точку а у1 и т. д.;

3) из начала координат О проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, б), получают точку а у1 и т. д.

Метод проекций является основой теории построения чертежных изображений в инженерной графике. Чаще всего он используется, когда необходимо найти изображение тела в виде его проекции на плоскости либо получить данные о его положении в пространстве.

Инструкция

• В многомерном пространстве любое изображение объекта на плоскости можно получить с помощью проецирования. Однако не стоит судить о геометрической форме тела либо о форме простейших образов в геометрии на основе одной проекции точки. Наиболее полную информацию об изображении геометрического тела дает несколько проекций точек. Для чего используют проекции точек тела минимум в двух плоскостях.
• Например, необходимо построить проекцию точки А. Для этого расположите две плоскости перпендикулярно друг другу. Одну -горизонтально, называя ее горизонтальной плоскостью и обозначая все проекции элементов с индексом 1. Вторую - вертикально. Назовите ее, соответственно, фронтальной плоскостью , а проекциям элементов присвойте индекс 2. Обе эти плоскости считайте бесконечными и непрозрачными. Линией их пересечений становится ось координат ОХ.
• Затем примите как факт, что пространство между плоскостями проекции условно делится на четверти. Вы находитесь в первой четверти и видите только те линии и точки, которые находятся в этой области двугранного угла.
• Суть процесса проецирования состоит в проведении луча через заданную точку, пока луч не встретится с плоскостью проекций. Данный метод получил название метода ортогонального проецирования. Согласно нему, опустите из точки А перпендикуляр на горизонтальную и фронтальную плоскость. Основанием этого перпендикуляра как раз и будет горизонтальная проекция точки А1 либо фронтальная проекция точки А2. Таким образом, вы получите положение этой точки в пространстве заданных плоскостей проекций.

При решении геометрических задач в пространстве часто возникает проблема определения расстояния между плоскостью и точкой. В некоторых случаях это необходимо для комплексного решения. Эту величину можно вычислить, если найти проекцию на плоскость точки. Рассмотрим этот вопрос подробнее в статье.

Уравнение для описания плоскости

Перед тем как перейти к рассмотрению вопроса касательно того, как найти проекцию точки на плоскость, следует познакомиться с видами уравнений, которые задают последнюю в трехмерном пространстве. Подробнее - ниже.

Уравнением общего вида, определяющим все точки, которые принадлежат данной плоскости, является следующее:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Первые три коэффициента - это координаты вектора, который называется направляющим для плоскости. Он совпадает с нормалью для нее, то есть является перпендикулярным. Этот вектор обозначают n¯(A; B; C). Свободный коэффициент D однозначно определяется из знания координат любой точки, принадлежащей плоскости.

Понятие о проекции точки и ее вычисление

Предположим, что задана некоторая точка P(x 1 ; y 1 ; z 1) и плоскость. Она определена уравнением в общем виде. Если провести перпендикулярную прямую из P к заданной плоскости, то очевидно, что она пересечет последнюю в одной определенной точке Q (x 2 ; y 2 ; z 2). Q называется проекцией P на рассматриваемую плоскость. Длина отрезка PQ называется расстоянием от точки P до плоскости. Таким образом, сам PQ является перпендикулярным плоскости.

Как можно найти координаты проекции точки на плоскость? Сделать это не сложно. Для начала следует составить уравнение прямой, которая будет перпендикулярна плоскости. Ей будет принадлежать точка P. Поскольку вектор нормали n¯(A; B; C) этой прямой должен быть параллелен, то уравнение для нее в соответствующей форме запишется так:

(x; y; z) = (x 1 ; y 1 ; z 1) + λ*(A; B; C).

Где λ - действительное число, которое принято называть параметром уравнения. Изменяя его, можно получить любую точку прямой.

После того как записано векторное уравнение для перпендикулярной плоскости линии, необходимо найти общую точку пересечения для рассматриваемых геометрических объектов. Ее координаты и будут проекцией P. Поскольку они должны удовлетворять обоим равенствам (для прямой и для плоскости), то задача сводится к решению соответствующей системы линейных уравнений.

Понятие проекции часто используется при изучении чертежей. На них изображаются боковые и горизонтальные проекции детали на плоскости zy, zx, и xy.

Вычисление расстояния от плоскости до точки

Как выше было отмечено, знание координат проекции на плоскость точки позволяет определить дистанцию между ними. Используя обозначения, введенные в предыдущем пункте, получаем, что искомое расстояние равно длине отрезка PQ. Для его вычисления достаточно найти координаты вектора PQ¯, а затем рассчитать его модуль по известной формуле. Конечное выражение для d расстояния между P точкой и плоскостью принимает вид:

d = |PQ¯| = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

Полученное значение d представлено в единицах, в которых задается текущая декартова координатная система xyz.

Пример задачи

Допустим, имеется точка N(0; -2; 3) и плоскость, которая описывается следующим уравнением:

Следует найти точки проекцию на плоскость и вычислить между ними расстояние.

В первую очередь составим уравнение прямой, которая пересекает плоскость под углом 90 o . Имеем:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

Записывая это равенство в явном виде, приходим к следующей системе уравнений:

Подставляя значения координат из первых трех равенств в четвертое, получим значение λ, определяющее координаты общей точки прямой и плоскости:

2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0 =>

λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Подставим найденный параметр в и найдем координаты проекции исходной точки на плоскость:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

Для вычисления дистанции между заданными в условии задачи геометрическими объектами применим формулу для d:

d = √((3 - 0) 2 + (-3,5 + 2) 2 + (4,5 - 3) 2) = 3,674.

В данной задаче мы показали, как находить проекцию точки на произвольную плоскость и как вычислять между ними расстояние.