Метод исключения неизвестных гаусса. Метод Гаусса: описание алгоритма решения системы линейных уравнений, примеры, решения. Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы

Систему уравнений (1.1) представим в виде

Известно большое число схем метода исключения, приспособленных для ручного или машинного счета матриц общего или специального вида.

Метод Гаусса можно интерпретировать как метод, в котором первоначально матрица приводится к верхней треугольной форме (прямой ход), а далее - к единичной (обратный ход). Очевидно, что если матрица единичная, то x t = b r

Пусть матрица системы (1.3) - верхняя треугольная, поэтому a tj = 0 при i > j, т. е. все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Тогда из последнего уравнения сразу определяем х п. Подставляя х п в предпоследнее уравнение, находим х а _ х и т. д. Общие формулы имеют вид

При k > I коэффициенты а ы = 0.

Приведем матрицу системы (1.3) к верхней треугольной. Вычтем из второго уравнения системы (1.3) первое, умноженное на такое число, при котором коэффициент при х х обратится в нуль. То же проделаем со всеми остальными уравнениями. В результате все коэффициенты первого столбца, лежащие ниже главной диагонали, обратятся в нуль. Затем, используя второе уравнение, обратим в нуль соответствующие коэффициенты второго столбца. Последовательно продолжая этот процесс, приведем матрицу системы к верхней треугольной форме.

Запишем общие формулы метода Гаусса. Пусть проведено исключение коэффициентов из (А - 1)-го столбца. Тогда останутся уравнения с ненулевыми элементами ниже главной диагонали:

Умножим k-ю строку на число с тк = т > k и вычтем

из m-й строки. Первый ненулевой элемент этой строки обратится в нуль, а остальные изменятся по формулам

Проведя вычисления по этим формулам при всех указанных индексах, обратим в нуль элементы k-ro столбца, лежащие ниже главной диагонали. Аналогичная процедура приводит матрицу системы к верхней треугольной форме, при этом весь процесс приведения называется ПРЯМЫМ ХОДОМ МЕТОДА ГАУССА. Вычисление неизвестных по формулам (1.4) называют ОБРАТНЫМ ХОДОМ метода.

Обратный ход можно совершить иначе, если обратить в нуль и все коэффициенты, лежащие выше главной диагонали. Например, элементы п -го столбца обращаются в нуль, если ej^| умножить на (-a^V ax t = б| 2л) , где Ь^ п) - коэффициенты правой части i-го уравнения после указанных преобразований.

На некотором шаге прямого хода может оказаться, что коэффициент aj*" * 0, но мал по сравнению с остальными элементами матрицы системы и, в частности, мал по сравнению с элементами первого столбца. Деление коэффициентов системы на малую величину может привести к значительным ошибкам округления.

Для уменьшения ошибок округления поступают следующим образом. Среди элементов первого столбца а ^ каждой промежуточной матрицы выбирают наибольший по модулю (главный) элемент и путем перестановки i-й строки со строкой, содержащей главный элемент, добиваются того, что главный элемент становится ведущим. Такая модификация метода исключения Гаусса называется методом Гаусса с выбором главного элемента. Случай появления нулевых элементов обходится при этом сам собой.

Для реализации метода требуется примерно п 3 /3 операций типа умножения и п 3 /3 операций типа сложения . Полезно помнить, что оценка числа операций определяется в основном операциями, затрачиваемыми при выполнении прямого хода метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса требует примерно п 2 операций. Следовательно, если требуется решить несколько систем линейных алгебраических уравнений вида Ах = b с одной и той же матрицей и различными правыми частями, то общее число операций при решении S систем будет оцениваться величиной (2/3)п 3 + Sn 2 . В этом случае целесообразно реализовать алгоритм метода Гаусса в виде двух подпрограмм: первая подпрограмма должна реализовывать прямой ход алгоритма и получать на выходе верхнюю треугольную матрицу, а вторая подпрограмма должна, используя полученную матрицу, вычислять решение системы для произвольной правой части.

При решении системы уравнений

простейшим вариантом метода Гаусса имеют место большие погрешности. Причина заключается в появлении больших коэффициентов, при округлении которых получается большая абсолютная погрешность D ~ 0.5. В свою очередь, большие коэффициенты получаются после деления на маленький ведущий коэффициент .

Вывод: для уменьшения влияния ошибок округления надо выбирать ведущий элемент не просто отличный от 0, но и достаточно большой.

Первая модификация метода Гаусса – поиск по строкам. В алгоритме ведущий элемент надо выбирать из условия .

Недостаток модификации. Предположим х i найден с погрешностью D. Тогда при поиске какого-либо х s надо, согласно формуле обратного хода, умножать . При этом погрешность D также умножится на . Если значение велико, то погрешность возрастет.

Вывод: надо обеспечить, чтобы ведущий элемент был не просто большим, а самым большим по модулю в своей строке. Тогда при нормировке ведущей строки все прочие коэффициенты, согласно формуле (5), будут по модулю меньше 1, и ошибки будут уменьшаться .

Вторая модификация метода Гаусса – поиск по столбцам. Указанное требование можно обеспечить, если неизвестные х i исключаются в произвольном порядке, а в ведущей строке ищется , доставляющий . Это и будет очередной ведущий элемент. После определения ведущего элемента меняем местами k-й и r-й столбцы .

Внимание. При такой замене меняется нумерация неизвестных x i . Чтобы обеспечить такую замену, надо при программировании ввести массив p 1 ,…p n с настоящими номерами неизвестных. В начале прямого хода все p i = i – обычная нумерация. После нахождения ведущего элемента меняем местами p k и p r . При обратном ходе по формуле (7) вычисляются перенумерованные x i . После вычисления всех неизвестных надо положить y]:=x[i] , и массив y[i] будет окончательным решением задачи.

Третья модификация метода Гаусса – полный поиск. В качестве ведущего выбирается элемент , доставляющий . При этом меняются местами k-й и r-й столбцы, p k и p r , а также m-я и k-я строки. Эта модификация обеспечивает максимальную точность, но и наиболее сложна.

Применение метода Гаусса для решения различных задач линейной алгебры

1. Обращение матриц. Пусть необходимо вычислить обратную матрицу к квадратной матрице А. Обозначим Х = А –1 . Как известно АХ = I, где I – единичная матрица, в которой по диагонали расположены 1, а остальные элементы – 0. Иными словами, i-й столбец матрицы I равен

(1 стоит на i-м месте). Пусть х (i) – i-й столбец матрицы Х. Тогда, в силу правила умножения матриц (строка умножается на столбец) имеем А х (i) = e (i) . Значит, для обращения матрицы надо решить n систем линейных уравнений с одинаковыми матрицами и разными правыми частями:

Ах = е (1) ; Ах = е (2) ; …; Ах = е ( n ) . (2.1)

Решив эти системы, получим, что найденные решения х (1) , х (2) , …, х (n) являются столбцами матрицы А –1 .

2. Вычисление определителей. В процессе преобразования матрицы А к треугольному виду методом Гаусса мы выполняли с ней следующие действия:

1) переставляли строки или столбцы в зависимости от модификации метода;

2) делили ведущую строку на ненулевой ведущий элемент;

3) к строкам матрицы прибавляли ведущую строку, умноженную на некоторое число.

Как известно, при таких преобразованиях определитель матрицы претерпевает соответствующие изменения:

1) изменяет знак;

2) делится на тот же элемент;

3) не меняется.

После прямого хода матрица А будет приведена к верхнему треугольному виду с единицами на главной диагонали. Определитель такой матрицы равен, очевидно, 1. С учетом тех изменений, которые претерпевал определитель матрицы А в процессе преобразований, имеем следующую формулу:

det A = (–1) s × a 11 × a 22 ×…× a n n ,

где a j j – ведущие элементы, s – число перестановок строк и/или столбцов при поиске ведущих элементов.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Вручную реализовать метод Гаусса (с поиском по строкам, по столбцам, по всей матрице – в зависимости от варианта задания) для данной системы уравнений

и выполнить следующие задания

1) Решить эту систему уравнений

2) Вычислить определитель матрицы данной системы (методом Гаусса – см. п 2 ).

3) Обратить матрицу этой системы (методом Гаусса – см. п 1 ).

В дальнейшем используйте результат решения данной задачи в качестве тестового примера.

2. Составить программу решения линейной системы методом Гаусса (с поиском по строкам, по столбцам, по всей матрице – в зависимости от варианта задания) и выполнить обращение матриц с использованием этой программы.

(СЛАУ), состоящая из уравнений с неизвестными:

Предполагается, что существует единственное решение системы, то есть .

В данной статье будут рассмотрены причины погрешности, возникающей во время решения системы с помощью метода Гаусса, способы выявления и ликвидации(уменьшения) этой погрешности.

Описание метода

Процесс решения системы линейных уравнений

по методу Гаусса состоит из 2х этапов:

1. Предполагаем, что . Тогда первое уравнение системы делим на коэффициент , в результате получаем уравнение . Затем из каждого из оставшихся уравнений вычитается первое, умноженное на соответствующий коэффициент . В результате система преобразуются к виду: 2. В предположении, что , делим второе уравнение на коэффициент и исключаем неизвестное из всех последующих уравнений и т.д. 3. Получаем систему уравнений с треугольной матрицей:

• Обратный ход Непосредственное определение неизвестных

1. Из го уравнения системы определяем 2. Из го - определяем и т.д.

Анализ метода

Данный метод относится к классу прямых методов решения системы уравнений, а это значит, что за конечное число шагов можно получить точное решение, при условии, что входные данные (матрица и правая часть уравнения - ) заданы точно и вычисление ведется без округлений. Для получения решения требуется умножений и делений, то есть порядка операций.

Условия, при которых метод выдает точное решение, на практике не выполнимы - неизбежны как ошибки входных данных, так и ошибки округления. Тогда встает вопрос: насколько точное решение можно получить, используя метод Гаусса, насколько метод корректен? Определим устойчивость решения относительно входных параметров. Наряду с исходной системой рассмотрим возмущенную систему:

Пусть введена некоторая норма . - называется числом обусловленности матрицы .

Возможны 3 случая:

Число обусловленности матрицы всегда . Если оно велико () , то говорят, что матрица плохо обусловлена. В этом случае малые возмущения правых частей системы , вызванные либо неточностью задания исходных данных, либо вызванные погрешностями вычисления, существенно влияют на решение системы. Грубо говоря, если погрешность правых частей , то погрешность решения будет .

Проиллюстрируем полученные результаты на следующем числовом примере: Дана система

Она имеет решение .

Теперь рассмотрим возмущенную систему:

Решением такой системы будет вектор .

При совсем малом возмущении правой части получили несоизмеримо большое возмущение решения. Объяснить такую "ненадежность" решения можно тем, что матрица почти вырожденная: прямые, соответствующие двум уравнениям, почти совпадают, что видно на графике:

Такой результат можно было предвидеть в силу плохой обусловленностью матрицы :

Вычисление является достаточно сложным, сравнимо с решением всей системы, поэтому для оценки пограшности применяются более грубые, но простые в реализации методы.

Способы оценки ошибок

1) Контрольная сумма: обычно применяется для предупреждения случайных погрешностей в процессе вычисления без помощи компьютеров.

Составляем контрольный столбец , состоящий из контрольных элементов системы:

При преобразовании уравнений над контрольными элементами производятся те же операции, что и над свободными членами уравнеий. В результате этого контрольный элемент каждого нового уравнения должен равняться сумме коэффициентов этого уравнения. Большое расхождение между ними указывает на погрешности в вычислениях или на неустойчивость алгоритма вычислений по отношению к вычислительной погрешности.

2) Относительная погрешность известного решения позволяет без существенных дополнительных затрат получить суждение о погрешности решения.

Задается некоторый ветор с компонентами, имеющими по возможности тот же порядок и знак, что и компоненты искомого решения . Вычисляется вектор , и на ряду с исходной системой уравнения решается система .

Пусть и - реально получаемые решения этих систем. Суждение о погрешности искомого решения можно получить, основываясь на гипотезе: относительные погрешности при решении методом исключения систем с одной и той же матрицей и различными правыми частями, которыми являются соответственно величины и , отличаются не в очень большое число раз.

3) Изменение масштабов - прием, применяющийся для получения представления о реальной величине погрешности, возникающей за счет округлений при вычислениях.

Наряду с исходной системой тем же методом решается система

, где и - числа

Если бы не было погрешности округления, то выполнялось бы равенство для решений исходной и масштабированной систем: . Поэтому при и , не являющихся степенями двойки, сравнение векторов и дает представление о величине вычислительной погрешности

Улучшение метода исключения Гаусса

Рассмотренные ниже модификации метода Гаусса позволяют уменьшить погрешность результата.

Выбор главного элемента

Основное увеличение ошибки в методе происходит во время прямого хода, когда ведущая -я строка умножается на коэффициенты .Если коэффициенты 1%20" alt=" >1 ">, то ошибки, полученные на предыдущих шагах накапливаются. Чтобы этого избежать, применяется модификация метода Гаусса с выбором главного элемента. На каждом шаге к обычной схеме добавляется выбор максимального элемента по столбцу следующим образом:

Пусть по ходу исключения неизвестных получена система уравнений:

, .

Найдем такое , что и поменяем местами -е и -е уровнения.

Такое преобразование во многих случаях существенно уменьшает чувствительность решения к погрешностям округления при вычислениях.

Итеративное улучшение результата

Если есть подозрение, что полученное решение сильно искажено, то можно улучшить результат следующим образом. Величина называется невязкой. Погрешность удовлетворяет системе уравнений

.

Решая эту систему, получаем приближение к и полагаем

.

Если точность данного приближения неудовлетворительна, то повторяем эту операцию.

Процесс можно продолжать до тех пор, пока все компоненты не станут достаточно малыми. При этом нельзя останавливать вычисления только потому, что все компоненты вектора невязки стали достаточно малыми: это может быть результатом плохой обусловленности матрицы коэффициентов.

Числовой пример

Рассмотрим для примера матрицу Вандермонда размером 7х7 и 2 различные правые части:

Данные системы были решены двумя способами. Тип данных - float. B итоге получили следующие результаты:

Обычный метод
1		2
1	2	1	2
0.999991	1	0.999996	1
1.00019	1	7.4774e-005	2,33e-008
0.998404	1	0.999375	1
1.00667	1	0.00263727	1,12e-006
0.985328	1	0.994149	1
1.01588	1	0.00637817	3,27e-006
0.993538	1	0.99739	1
0,045479	2,9826e-006	0,01818	8,8362e-006
0,006497	4,2608e-007	0,0045451	2,209e-006
0,040152	4,344e-005	0,083938	2,8654e-006

С выбором ведущего элемента по строке
1		2
1	2	1	2
1	1	1	1
1	1	-3.57628e-005	1,836e-007
1.00001	1	1.00031	1
0.999942	1	-0.00133276	7,16e-006
1.00005	1	1.00302	0,99998
1.00009	1	-0.0033505	1,8e-005
0.99991	1	1.00139	0,99999
0,000298	4,3835e-007	0,009439	5,0683e-005
4,2571e-005	6,2622e-008	0,0023542	1,2671e-005
0,010622	9,8016e-007	0,29402	1,4768e-006

Одним из простейших способов решения системы линейных уравнений является прием, основанный на вычислении определителей (правило Крамера ). Его преимущество состоит в том, что он позволяет сразу провести запись решения, особенно он удобен в тех случаях, когда коэффициенты системы являются не числами, а какими-то параметрами. Его недостаток – громоздкость вычислений в случае большого числа уравнений, к тому же правило Крамера непосредственно не применимо к системам, у которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных. В таких случаях обычно применяют метод Гаусса .

Системы линейных уравнений, имеющие одно и то же множество решений, называются эквивалентными . Очевидно, что множество решений линейной системы не изменится, если какие-либо уравнения поменять местами, или умножить одно из уравнений на какое-либо ненулевое число, или если одно уравнение прибавить к другому.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных ) заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к эквивалентной системе ступенчатого вида. Сначала с помощью 1-го уравнения исключается x 1 из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью2-го уравнения исключается x 2 из 3-го и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса , продолжается до тех пор, пока в левой части последнего уравнения останется только одно неизвестное x n . После этого производится обратный ход метода Гаусса – решая последнее уравнение, находим x n ; после этого, используя это значение, из предпоследнего уравнения вычисляем x n –1 и т.д. Последним находим x 1 из первого уравнения.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицами их коэффициентов. Рассмотрим матрицу:

называемую расширенной матрицей системы, ибо в нее, кроме основной матрицы системы, включен столбец свободных членов. Метод Гаусса основан на приведении основной матрицы системы к треугольному виду (или трапециевидному виду в случае неквадратных систем) при помощи элементарных преобразованиях строк (!) расширенной матрицы системы.

Пример 5.1. Решить систему методом Гаусса:

Решение . Выпишем расширенную матрицу системы и, используя первую строку, после этого будем обнулять остальные элементы:

получим нули во 2-й, 3-й и 4-й строках первого столбца:

Теперь нужно чтобы все элементы во втором столбце ниже 2-й строки были равны нулю. Для этого можно умножить вторую строку на –4/7 и прибавить к 3-й строке. Однако чтобы не иметь дело с дробями, создадим единицу во 2-й строке второго столбца и только

Теперь, чтобы получить треугольную матрицу, нужно обнулить элемент четвертой строки 3-го столбца, для этого можно умножить третью строку на 8/54 и прибавить ее к четвертой. Однако чтобы не иметь дело с дробями поменяем местами 3-ю и 4-ю строки и 3-й и 4-й столбец и только после этого произведем обнуление указанного элемента. Заметим, что при перестановке столбцов меняются местами, соответствующие переменные и об этом нужно помнить; другие элементарные преобразования со столбцами (сложение и умножение на число) производить нельзя!

Последняя упрощенная матрица соответствует системе уравнений, эквивалентной исходной:

Отсюда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения x 3 = –1; из третьего x 4 = –2, из второго x 2 = 2 и из первого уравнения x 1 = 1. В матричном виде ответ записывается в виде

Мы рассмотрели случай, когда система является определенной, т.е. когда имеется только одно решение. Посмотрим, что получится, если система несовместна или неопределенна.

Пример 5.2. Исследовать систему методом Гаусса:

Решение . Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы

Записываем упрощенную систему уравнений:

Здесь, в последнем уравнении получилось, что 0=4, т.е. противоречие. Следовательно, система не имеет решения, т.е. она несовместна . à

Пример 5.3. Исследовать и решить систему методом Гаусса:

Решение . Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы:

В результате преобразований, в последней строке получились одни нули. Это означает, что число уравнений уменьшилось на единицу:

Таким образом, после упрощений осталось два уравнения, а неизвестных четыре, т.е. два неизвестных "лишних". Пусть "лишними", или, как говорят, свободными переменными , будут x 3 и x 4 . Тогда

Полагая x 3 = 2a и x 4 = b , получим x 2 = 1–a и x 1 = 2b –a ; или в матричном виде

Записанное подобным образом решение называется общим , поскольку, придавая параметрам a и b различные значения, можно описать все возможные решения системы. à

Рассмотрим один из самых распространенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений - метод Гаусса. Этот метод (который называют также методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Вычисления с помощью метода Гаусса состоят из двух основных этапов, называемых прямым ходом и обратным ходом (обратной подстановкой). Прямой ход метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из системы (5.1) для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода.

1. Схема единственного деления.

Рассмотрим сначала простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления.

Прямой ход состоит из шагов исключения.

1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного из уравнений с номерами Предположим, что коэффициент Будем называть его главным (или ведущим) элементом 1-го шага.

Найдем величины

называемые множителями 1-ю шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, уравнений системы (5.1) первое уравнение, умноженное соответственно на Это позволит обратить в

нуль коэффициенты при во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему

в которой вычисляются по формулам

2-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного из уравнений с номерами Пусть где - коэффициент, называемый главным (или ведущим) элементом шага. Вычислим множители 2-го шага

и вычтем последовательно из третьего, четвертого, уравнений системы (5.30) второе уравнение, умноженное соответственно на . В результате получим систему

Здесь коэффициенты вычисляются по формулам

Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной шаг.

k-й шаг. В предположении, что главный (ведущий) элемент шага отличен от нуля, вычислим множители шага

и вычтем последовательно из уравнений полученной на предыдущем шаге системы уравнение, умноженное соответственно на

После шага исключения получим систему уравнений

матрица которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

Обратный ход. Из последнего уравнения системы (5.33) находим Подставляя найденное значение в предпоследнее уравнение, получим Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим Вычисления неизвестных здесь проводятся по формулам

Трудоемкость метода. Оценим число арифметических операций, необходимых для реализации схемы единственного деления.

Вычисления 1-го шага исключения по формулам (5.29), (5.31) требуют выполнения деления, умножений и вычитаний, т. е. общее число арифметических операций составляет Аналогично, на шаге требуется операций, а на шаге - операций.

Подсчитаем теперь приближенно общее число арифметических операций прямого хода, считая размерность системы достаточно большой:

Как нетрудно видеть, для реализации обратного хода по формулам (5.34) нужно всего операций, что при больших пренебрежимо мало по сравнению с числом операций прямого хода.

Таким образом, для реализации метода Гаусса требуется примерно арифметических операций, причем подавляющее число этих действий совершается на этапе прямого хода.

Пример 5.7. Методом Гаусса решим систему

Прямой ход. 1-й шаг. Вычислим множители Вычитая из второго, третьего и четвертого уравнений системы (5.35) первое уравнение, умноженное на соответственно получим

2-й шаг. Вычислим множители Вычитая из третьего и четвертого уравнений системы (5.36) второе уравнение, умноженное на соответственно, приходим к системе

3-й шаг. Вычисляя множитель и вычитая из четвертого уравнения системы (5.37) третье уравнение, умноженное на приводим систему к треугольному виду:

Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим Подставляя значение в третье уравнение, находим

Результаты вычислений можно свести в следующую таблицу.

Таблица 5.2 (см. скан)

Необходимость выбора главных элементов. Заметим, что вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы Поэтому если один из главных элементов сказывается равным нулю, то схема единственного деления не может быть реализована. Здравый смысл подсказывает, что и в ситуации, когда все главные элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, возможен неконтролируемый рост погрешности.

Пример 5.8. Используя метод Гаусса, решим систему уравнений

на -разрядной десятичной ЭВМ.

Прямой ход. 1-й шаг. Вычисляем множители и преобразуем систему к виду

Все вычисления на этом шаге выполняются без округлений.

2-й шаг. После вычисления множителя последнее уравнение системы должно быть преобразовано к виду где Однако на используемой ЭВМ будет получено уравнение

Действительно, коэффициент определяется точно, так как при его вычислении не возникает чисел, мантиссы которых имеют более 6 разрядов. В то же время при вычислении умножение коэффициента 3.0001 на дает 7-разрядное число 105003.5, после округления которого до 6 разрядов получится 105004. Вычисление 62) завершается выполнением операции вычитания: . После округления последнего числа до 6 разрядов мантиссы приходим к уравнению (5.41).

Обратный ход. Из уравнения (5.41) находим и 1.00001. Сравнение с истинным значением показывает, что эта величина получена с очень высокой для используемой ЭВМ точностью. Дальнейшие вычисления дают

После округления имеем .

Как нетрудно видеть, найденные значения неизвестных имеют мало общего с истинными значениями решения

В чем же причина появления такой значительной погрешности? Говорить о накоплении ошибок округления не приходится, так как всего было выполнено 28 арифметических операций и лишь в 4 случаях потребовалось округление. Предположение о плохой обусловленности системы не подтверждается; вычисление дает значение и 100.

В действительности причина состоит в использовании на шаге малого ведущего элемента Следствием этого стало появление большого

множителя и существенное возрастание коэффициента в последнем уравнении системы.

Таким образом, изложенный выше вариант метода Гаусса (схема единственного деления) оказался некорректным и, следовательно, непригодным для вычислений на ЭВМ. Этот метод может привести к аварийному останову (если при некотором и вычисления по нему могут оказаться неустойчивыми.

2. Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора).

Описание метода. На шаге прямого хода коэффициенты уравнений системы с номерами преобразуются по формулам

Интуитивно ясно, что во избежание сильного роста коэффициентов системы и связанных с этим ошибок нельзя допускать появления больших множителей

В методе Гаусса с выбором главного элемента по столбцу гарантируется, что для всех к Отличие этого варианта метода Гаусса от схемы единственного деления заключается в том, что на шаге исключения в качестве главного элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент а. при неизвестной в уравнениях с номерами Затем соответствующее выбранному коэффициенту уравнение с номером меняют местами с уравнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента

После этой перестановки исключение неизвестного производят, как в схеме единственного деления.

Пример 5.9. Решим систему уравнений (5.39) методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу на -разрядной десятичной ЭВМ.

Прямой ход. 1-й шаг. Максимальный в первом столбце элемент матрицы находится в первой строке, поэтому перестановка уравнений не нужна. Здесь 1-й шаг проводится точно так же, как и в примере 5.8.

2-й шаг. Среди элементов матрицы системы (5.40) максимальный принадлежит третьему уравнению. Меняя местами второе и третье уравнения, получим систему

После вычисления последнее уравнение системы преобразуется к виду

Обратный ход. Из последнего уравнения находим Далее, имеем В данном случае ответ получился точным.

Заметим, что дополнительная работа по выбору главных элементов в схеме частичного выбора требует порядка действий, что практически не влияет на общую трудоемкость метода.

Вычислительная устойчивость схемы частичного выбора. Детальное исследование метода Гаусса показывает, что действительной причиной неустойчивости схемы единственного деления является возможность неограниченного роста элементов промежуточных матриц в процессе прямого хода. Так как на шаге схемы частичного выбора 1, то для вычисленных по формулам (5.42) элементов справедлива оценка Следовательно, максимальное по модулю значение элементов матрицы возрастает на одном шаге не более чем в 2 раза и в самом неблагоприятном случае шаг прямого хода даст коэффициент роста

Гарантия ограниченности роста элементов матрицы делает схему частичного выбора вычислительно устойчивой. Более того, для нее оказывается справедливой следующая оценка погрешности:

Здесь вычисленное на ЭВМ решение системы; его относительная погрешность; число обусловленности матрицы ем - машинное эпсилон; наконец, причем некоторая медленно растущая функция, зависящая от порядка системы (типа степенной функции с небольшим показателем), коэффициент роста.

Наличие в оценке (5.43) множителя указывает на то, что при большом схема частичного выбора может оказаться плохо обусловленной и возможна существенная потеря точности. Однако практика матричных вычислений показывает, что существенный рост элементов матрицы происходит крайне редко. В подавляющем большинстве случаев действительное значение коэффициента роста не превышает 8-10. Если система хорошо обусловлена, то погрешность вычисленного решения оказывается, как правило, малой.

Иногда для проверки качества приближенного решения х

вычисляют невязку и о степени близости приближенного решения к точному пытаются судить по тому, насколько мала невязка. Этот метод ненадежен по отношению к схеме частичного выбора, так как известно, что она гарантированно дает малые невдэки. Более точно это утверждение можно сформулировать так: справедлива оценка

где то же, что и в оценке (5.43). Заметим, что в неравенство (5.44) не входит число обусловленности.

3. Метод Гаусса с выборок главного элемента по всей матрице (схема полного выбора).

В этой схеме допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестных.

На 1-м шаге метода среди элементов определяют максимальный по модулю элемент Первое уравнение системы и уравнение с номером меняют местами. Далее стандартным образом производят исключение неизвестного х, из всех уравнений, кроме первого. (что значительно меньше соответствующего значения для схемы частичного выбора). Подчеркнем, что до сих пор еще не найдено матрицы, для которой полный выбор дал бы значение Таким образом, для хорошо обусловленных систем этот вариант метода Гаусса является хорошо обусловленным.

Однако гарантия хорошей обусловленности достигается здесь ценой значительных затрат на выбор главных элементов. Для этого дополнительно к арифметических действий требуется произвести примерно операций сравнения, что может ощутимо замедлить процесс решения задачи на ЭВМ. Поэтому в большинстве случаев на практике предпочтение отдается все же схеме частичного выбора. Как уже отмечено, ситуации, когда при использовании этого варианта метода Гаусса происходит существенный рост элементов, встречаются чрезвычайно редко. Более того, эти ситуации могут быть легко выявлены с помощью заложенных в современных программах эффективных методов слежения за ростом элементов матриц.

4. Случаи, когда выбор главных элементов не нужен.

Известно, что для некоторых классов матриц при использовании схемы единственного деления главные элементы гарантированно располагаются на главной диагонали и потому применять частичный выбор нет необходимости. Так, например, обстоит дело для систем с положительно определенными матрицами, а также с матрицами, обладающими следующим свойством диагонального преобладания:

Матрицы, удовлетворяющие условию (5.45), таковы, что в каждой из строк модуль элемента расположенного на главной диагонали, больше суммы модулей всех остальных элементов строки.

5. Масштабирование.

Перед началом решения целесообразно масштабировать систему так, чтобы ее коэффициенты были величинами порядка единицы.

Существуют два естественных способа масштабирования системы Первый заключается в умножении каждого из уравнений на некоторый масштабирующий множитель Второй состоит в умножении на масштабирующий множитель каждого столбца матрицы, что соответствует замене переменных (фактически - это замена единиц измерения). В реальных ситуациях чаще всего масштабирование может быть выполнено без существенных трудностей. Однако подчеркнем, что в общем случае удовлетворительного способа масштабирования пока не найдено.

На практике масштабирование обычно производят с помощью деления каждого уравнения на его наибольший по модулю коэффициент. Это вполне удовлетворительный способ для большинства реально встречающихся задач.