Гипотенуза равна сумме квадратов катетов формула. История теоремы Пифагора. Доказательство теоремы. IV. По катету и острому углу

ИКОНЫ АНДРЕЯ РУБЛЕВА

Биография и творчество Андрея Рублева

Андрей Рублев (+ ок.1430), иконописец, ученик Феофана Грека, преподобный.

Сперва был послушником у преподобного Никона Радонежского, а потом иноком в Спасо-Андрониковом монастыре в Москве, где скончался и погребен.

Троица Ветхозаветная
Андрей Рублев
Московская школа
1422 - 1427 гг.
142 x 114 см
доска липовая. Паволока рогожного переплетения, левкас, темпера
икона. Храмовый образ из иконостаса Троицкого собора Троице-Сергиева монастыря

В к. XIV — н. XV в. Рублев создал свой шедевр — икону “Троица” (находится в Государственной Третьяковской галерее, на сюжет "гостеприимство Авраама". Традиционный библейский сюжет он наполнил глубоким поэтическим и философским содержанием. Отойдя от традиционных канонов, поместил в центре композиции единственную чашу (символизирующую жертвенную смерть), а ее очертания повторил в контурах боковых ангелов. Центральный (символизирующий Христа) ангел занял место жертвы и выделен выразительным контрастом пятен темно-вишневого и голубого цветов, оркестрованным изысканным сочетанием золотистых охр с нежным “голубцом” и зеленью. Вписанная в круг композиция пронизана глубокими круговыми ритмами, подчиняющими себе все линии контуров, согласованность которых производит почти музыкальный эффект.

“Троица” рассчитана на дальнюю и ближнюю точки зрения, каждая из которых по-разному раскрывает богатство оттенков, виртуозную работу кисти. Гармония всех элементов формы является художественным выражением основной идеи “Троицы” — самопожертвования как высочайшего состояния духа, созидающего гармонию мира и жизни. В 1405 совместно с Феофаном Греком и Прохором с Городца расписал Благовещенский собор Московского Кремля (фрески не сохранились), а в 1408 с Даниилом Чёрным и др. мастерами — Успенский собор во Владимире(роспись сохранилась частично) и создал иконы для его монументального трехъярусного иконостаса, ставшего важным этапом формирования системы высокого русского иконостаса.

Благовещение
Андрей Рублев
1405 г.
81 x 61 см
икона. Праздничный чин

В древнем житии преподобного Сергия Радонежского, составленном учеником его Епифанием, украшенном многочисленными миниатюрами (список XVI в.), Андрей Рублев изображен в трех видах: сидящим на подмостках и пишущим на стене храма образ Нерукотворенного Спаса; приходящим к новопостроенной в лавре каменной церкви и погребаемым лаврской братией.

Наиболее крупные работы Андрея Рублева - иконы, а также фрески в соборе Успения во Владимире (1408). Деисис работы Феофана Грека и Андрея Рублева, равно как и вся златоверхая церковь Благовещения на царском дворе, у царской казны, сгорели во время большого пожара в Москве в 1547.

Крещение Господне
Андрей Рублев (?)
первая половина XV века
81 x 62 см

икона. Праздничный чин
Благовещенский собор Московского Кремля

Крупнейшие мастера древнерусской живописи, включая Дионисия, испытали глубокое воздействие его творчества. На Стоглавом соборе (1551) иконопись Рублева была провозглашена образцом для подражания: прямо было ведено «писати живописцем иконы с древних образов, как греческий живописцы писали, и как писал Андрей Рублев и протчии пресловутый живописцы».

Большая работа по реставрации его произведений и уточнению его художественной биографии, проделанная в XX в., привела и к образованию романтической «рублевской легенды», извлекающей героизированную фигуру художника из анонимно-аскетической, надындивидуальной среды средневекового творчества.

Местночтимый как святой с XVI в., Андрей Рублев в наше время вошел и в число общероссийских святых: канонизирован Русской православной церковью в 1988; церковь отмечает его память 4 июля (17 июля н.ст.).

Спас Вседержитель
Андрей Рублев
1410 - 1420-е гг.
158 x 106 см
(у иконы "Спас" правая доска сосновая, прибавлена при позднейшей реставрации
икона. Центральная часть иконописного деисуса из Звенигорода
Москва, Государственная Третьяковская Галерея

Творчество Андрея Рублева

Произведения Андрея Рублева принадлежат к высшим достижениям русского и мирового духовного искусства, воплотившего возвышенное понимание духовной красоты и нравственной силы человека Св. Руси. Эти качества присущи иконам Звенигородского чина (“Спас”, “Апостол Павел” (находится в Русском музее), “Архангел Михаил”, все — рубеж XIV-XV вв.), где лаконичные плавные контуры, широкая манера письма близки приемам монументальной живописи.

Преображение Господне
Андрей Рублев
Московская школа
1405 г.
80,5 x 61 см
доска липовая, ковчег, неглубокая лузга. Паволока, левкас, темпера
икона. Праздничный чин
Благовещенский собор Московского Кремля

Из фресок Рублева в Успенском соборе наиболее значительна композиция “Страшный суд”, где традиционно грозная сцена превратилась в светлый праздник торжества Божественной справедливости. Работы Андрея Рублева во Владимире свидетельствуют, что к тому времени он был зрелым мастером, стоявшим во главе созданной им школы живописи.

В 1425 — 1427 Рублев совместно с Даниилом Чёрным и др. мастерами расписал Троицкий собор Троице-Сергиева монастыря и создал иконы его иконостаса. Время, когда на Руси назревали новые междоусобные войны и гармонический идеал человека, сложившийся в предшествующий период, не находил опоры в действительности, сказалось и на творчестве Рублева. Колорит поздних икон более сумрачен; в некоторых иконах усиливается декоративное начало, в других проявляются архаические тенденции. Некоторые источники называют роспись Спасского собора Андроникова монастыря (ок. 1427) последней работой Рублева. Ему приписывается также ряд работ, принадлежность которых кисти Рублева точно не доказана: фрески Успенского собора на “Городке” в Звенигороде (к. XIV — н. XV в.), иконы — “Владимирская Богоматерь” (ок. 1409, Успенский собор, Владимир), “Спас в силах” (1408), часть икон праздничного чина (“Благовещение”, “Рождество Христово”, “Сретение”, “Крещение”, “Воскрешение Лазаря”, “Преображение”, “Вход в Иерусалим” — все ок. 1399) Благовещенского собора Московского Кремля, часть миниатюр “Евангелия Хитрово”.

Спас в силах
Андрей Рублев
Московская школа
10-е годы XV века
18 x 16 см
икона
Москва, Государственная Третьяковская Галерея

Архангел Гавриил

Московская школа
1425 - 1427 гг.
189,5 x 89,5 см
икона. Деисусный чин

Дмитрий Солунский
Андрей Рублев и его последователь
Московская школа
1425 - 1427 гг.
189 x 80 см
икона. Деисусный чин
Троицкий собор в Троице-Сергиевой лавре. Сергиев Посад

Рождество Христово
Андрей Рублев
1405 г.
81 x 62 см
икона. Праздничный чин
Благовещенский собор Московского Кремля

Сретение Господне
Андрей Рублев
1405 г.
81 x 61,5 см
икона. Праздничный чин
Благовещенский собор Московского Кремля

Вход Господень в Иерусалим
Андрей Рублев
1405 г.
80 x 62,5 см
доска липовая, ковчег, неглубокая лузга. Паволока, левкас, темпера
икона. Праздничный чин
Благовещенский собор Московского Кремля

Вознесение Господне
Андрей Рублев
1408 г.
125 x 92 см
доска липовая, паволока, левкас, темпера
икона
Москва, Государственная Третьяковская Галерея

Святой Иоанн Предтеча
Андрей Рублев с помощниками
Тверская школа
1408 г.
313 x 105 см
доска липовая, паволока, левкас, темпера
икона. Деисусный чин

Архангел Михаил

Московская школа
1408 г.
314 x 128 см
доска липовая, паволока, левкас, темпера
икона

Святитель Григорий Богослов
Андрей Рублев, Даниил Черный и мастерская
Московская школа
1408 г.
314 x 106 см
доска липовая, паволока, левкас, темпера
икона. Из деисусного чина ("Васильевский чин") Успенского собора во Владимире

Святитель Иоанн Златоуст
Андрей Рублев, Даниил Черный и мастерская
1408 г.
313 x 105 см
доска липовая, паволока, левкас, темпера
икона

Благовещение
Андрей Рублев, Даниил Черный и мастерская
1408 г.
125 x 94 см
доска липовая, паволока, левкас, темпера
икона. Праздничный чин

Сошествие во Ад
Андрей Рублев, Даниил Черный и мастерская
1408 г.
124 x 94 см
доска липовая, паволока, левкас, темпера
Государственная Третьяковская Галерея

Апостол Андрей Первозванный
Андрей Рублев, Даниил Черный и мастерская
Московская школа
1408 г.
313 x 105 см
доска липовая, паволока, левкас, темпера

Архангел Гавриил
Андрей Рублев, Даниил Черный и мастерская
Московская школа
1408 г.
317 x 128 см
доска липовая, паволока, левкас, темпера

Искусствовед М.В. Алпатов писал: "Искусство Рублева - это прежде всего искусство больших мыслей, глубоких чувств, сжатое рамками лаконичных образов-символов, искусство большого духовного содержания", "Андрей Рублев возродил античные принципы композиции, ритма, пропорций, гармонии, опираясь в основном на свою художественную интуицию".

Феноменом не только русской, но и мировой живописи можно назвать творчество Андрея Рублева — иконописца, мастера монументальной росписи и книжной миниатюры, жившего и творившего на рубеже XIV-XV вв. Его возвышенная живопись воплотила в себе духовную красоту человека и его нравственную силу, какою ее понимали на Руси тех времен.

Сошествие во Ад

Суд в интерпретации А.Рублева имеет надежду на справедливость и милость, а поэтому и фреска излучает бодрость, радость и оптимизм. Фигуры апостолов, святых и прочих легки и невесомы, ибо они верят в милость Божью и свое спасение. Умело используя распределение цвета, плавность линий и форм, художник буквально оживляет древнюю библейскую легенду.

И она живет и служит людям и по сей день. Ведь в работах этого великого мастера звучат мудрость, душевная чистота, благость и любовь. С икон смотрит не строгий Бог-судья, а добрый Небесный Отец («Спас»), готовый все простить и утешить. По иконам можно судить о духовном идеале и нравственности человека ХIV века. В наше время это становится все более актуальным.

Его творчество имело огромное значение и для дальнейшего расцвета русской школы живописи. Рублевская традиция существенно отошла от византийской, дала старт внедрению нового и оригинального (а именно – русского) в искусстве. Еще при жизни великого иконописца его работы очень ценились и были признаны чудотворными.

Крещение Господне

Они считались образцом для многих живописцев, тем более, что об этом в 1551 году постановил церковно-земский собор с участием самого царя Ивана Грозного. После Рублева Троица уже изображалась исключительно в его стиле, что стало своеобразным и признанным «каноном».

В русской и мировой культуре иконопись стала непревзойденным образцом воплощения огромного художественного таланта и не менее впечатляющей силы человеческого духа.

Новаторство творчества Рублева по своему лаконично-глубоко определил А.Кураев, сказав как-то, что если до этого иконописца главным в иконе было — «Господи, помилуй», то с Рублева в иконе основным становится — «Слава тебе, Господи»

Вам понравилось? Не скрывайте от мира свою радость - поделитесь

Преподобный Андрей Рублев - великий древнерусский иконописец, мастер московской школы иконописи, основоположник русской живописи. Самым знаменитым его творением является , которая стала символом русского православия. Андрей был монахом: принял постриг в , жил и скончался в московском . Человек святой жизни, он был знаком и близко общался с учениками преподобного .

Благодаря своему духовному авторитету и огромному таланту, Андрей Рублев пользовался уважением великих князей, которые поручали ему совместно с другими иконописцами писать фрески и иконы для крупнейших соборов - в Москве, Звенигороде, Владимире. Рублев работал вместе с такими мастерами, как знаменитый Феофан Грек и Даниил Черный и постепенно выработал свой неповторимый стиль, ставший образцом именно русской иконописи. Манера письма преподобного Андрея была самобытной и отличалась мягкостью и проникновенностью. В своих иконах и фресках Андрей Рублев воплотил то, что называют «богословием в красках»: он раскрывал в художественных образах вероучение православной церкви.

Кисти Андрея Рублева принадлежат:
- прославленная икона Троицы Ветхозаветной, написанная для Троице-Сергиевой лавры, и роспись каменного собора того же монастыря;
- Звенигородский чин (изображения Спасителя, архангела Михаила и апостола Павла);
- росписи (совместно с Феофаном Греком и Прохором с Городца) и ряд икон Московского Кремля;
- росписи во Владимире (из них до нашего времени сохранился только «Страшный суд»), иконостас того же собора, переданный в XVIII веке в село Васильевское близ Шуи (так называемый Васильевский чин ),
- роспись Андроникова монастыря.

Подробнее о жизни и творчестве Андрея Рублева можно прочитать в нашей ко дню памяти святого иконописца.

Существует предположение, что Андрей Рублев видел Сергия Радонежского и даже запечатлел его черты в ликах Спасителя на некоторых своих иконах.

Роспись Спасского собора Андроникова монастыря считается последней работой Андрея Рублева. Вскоре после ее завершения он скончался.

К «кругу Рублева» относят некоторые древние русские иконы, авторство которых не установлено.

Андрей Рублев был канонизирован как преподобный Поместным Собором русской Церкви только в конце XX века, в 1988 году (год тысячелетия Крещения Руси), хотя его почитание началось почти сразу после кончины. Место погребения святого находится на монастырском кладбище Андроникова монастыря возле Спасского собора.

Иконы и фрески Рублева уже при его жизни высоко ценились и считались чудотворными.

Музей древнерусского искусства имени Андрея Рублева находится в Андрониковом монастыре в Москве
Авторитет Андрея как «художника-богослова» был так велик, что московский Стоглавый собор повелел писать иконы, в частности Святую Троицу, только «по греческим образцам и Рублеву»

Теорема Пифагора : Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты (a и b ), равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (c ).

Геометрическая формулировка:

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

Алгебраическая формулировка:

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c , а длины катетов через a и b :

a 2 + b 2 = c 2

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади . То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора:

Доказательства

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы . Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Следующее доказательство алгебраической формулировки - наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры .

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C . Проведём высоту из C и обозначим её основание через H . Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC . Введя обозначения

получаем

Что эквивалентно

Сложив, получаем

Доказательства методом площадей

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость

Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке 1.
Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол - 180°.
Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и двух внутренних квадратов.

Что и требовалось доказать.

Доказательства через равносоставленность

Элегантное доказательство при помощи перестановки

Пример одного из таких доказательств указан на чертеже справа, где квадрат, построенный на гипотенузе, перестановкой преобразуется в два квадрата, построенных на катетах.

Доказательство Евклида

Чертеж к доказательству Евклида

Иллюстрация к доказательству Евклида

Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника - BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.

Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.

Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, - это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно - AB=AK,AD=AC - равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата - 90°).

Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично.

Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Идея данного доказательства дополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше.

Доказательство Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства - симметрия и движение.

Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок C I рассекает квадрат A B H J на две одинаковые части (так как треугольники A B C и J H I равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур C A J I и G D A B . Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Последний шаг в доказательстве предоставляется читателю.

Доказательство методом бесконечно малых

Следующее доказательство при помощи дифференциальных уравнений часто приписывают известному английскому математику Харди , жившему в первой половине XX века.

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и наблюдая изменение стороны a , мы можем записать следующее соотношение для бесконечно малых приращений сторон с и a (используя подобие треугольников):

Доказательство методом бесконечно малых

Пользуясь методом разделения переменных, находим

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем

c 2 = a 2 + b 2 + constant.

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу

c 2 = a 2 + b 2 .

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения (в данном случае катет b ). Тогда для константы интегрирования получим

Вариации и обобщения

Если вместо квадратов построить на катетах другие подобные фигуры, то верно следующее обобщение теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике сумма площадей подобных фигур, построенных на катетах, равна площади фигуры, построенной на гипотенузе. В частности:
- Сумма площадей правильных треугольников, построенных на катетах, равна площади правильного треугольника, построенного на гипотенузе.
- Сумма площадей полукругов, построенных на катетах (как на диаметре), равна площади полукруга, построенного на гипотенузе. Этот пример используется при доказательстве свойств фигур, ограниченных дугами двух окружностей и носящих имя гиппократовых луночек .

История

Чу-пей 500–200 до нашей эры. Слева надпись: сумма квадратов длин высоты и основания есть квадрат длины гипотенузы.

В древнекитайской книге Чу-пей говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника . Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой-на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:

Литература

На русском языке

Скопец З. А. Геометрические миниатюры. М., 1990
Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961
Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959
Глейзер Г. И. История математики в школе. М., 1982
В.Литцман, «Теорема Пифагора» М., 1960.
- Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств материал взят из книги В.Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.
Теорема Пифагора и пифагоровы тройки глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из нее»
О теореме Пифагора и способах ее доказательства Г. Глейзер, академик РАО, Москва

На английском

Теорема Пифагора на WolframMathWorld (англ.)
Cut-The-Knot, секция посвящённая теореме пифагора, около 70 доказательств и обширная дополнительная информация (англ.)

Wikimedia Foundation . 2010 .