Сложные проценты в задачах егэ. Решение задач на проценты

Уметь правильно и быстро решать текстовые задачи на проценты необходимо не только учащимся, которым предстоит сдача ЕГЭ по математике базового или профильного уровня, но и всем взрослым, поскольку подобные задания постоянно встречаются в повседневной жизни. Повышение цен, планирование семейного бюджета, выгодное вложение финансовых средств и множество других вопросов невозможно уладить без данных навыков. При подготовке к сдаче аттестационного испытания обязательно нужно повторить, как решать задачи на проценты: в ЕГЭ по математике они встречаются как в базовом, так и в профильном уровне.

Необходимо запомнить

Процент - это $\frac{1}{100}$ часть от какого-либо числа. Обозначает долю чего-либо по отношению к целому. Письменный символ - $\%$ . При подготовке к ЕГЭ по теме «Проценты» школьникам как в Москве, так и в других точках РФ необходимо запомнить следующую формулу:

Как ее применить?

Для того чтобы решить простое задание с процентами в ЕГЭ по математике, нужно:

Разделить имеющееся число на $100$ .
Умножить полученное значение на то количество $\%$ , которое нужно найти.

Например, для того чтобы вычислить $10\%$ от числа $300$ , нужно найти $1$ процент, разделив $300:100=3$ . И полученное от предыдущего действия число $3\cdot10=30$ . Ответ: $30$.

Это простейшие задания. Учащиеся 11 класса в ЕГЭ сталкиваются с необходимостью выполнить решение сложных задач на проценты. Как правило, речь в них идет о банковских вкладах или платежах. Ознакомиться с формулами и правилами их применения вы можете, перейдя в раздел «Теоретическая справка». Здесь вы сможете не только повторить основные определения, но и познакомиться с вариантами решения сложных задач на проценты по банковскому кредиту, а также с упражнениями из других разделов алгебры, например,

Поговорим о задачах №19 ЕГЭ

Уже два года во вторую часть добавлена задача c экономическим содержанием, т. е. задачи на сложные банковские проценты.

Говорят, что имеем дело со «сложными процентами» в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.

В конце каждого этапа величина изменяется на одно и то же постоянное количество процентов – р%. Тогда в конце n -го этапа значение некоторой величины А , исходное значение которой равнялось А 0 , определяется формулой:

При увеличении и

При уменьшении

Зная, что годовая процентная ставка депозита равна 12%, найти

эквивалентную ей месячную процентную ставку.

Решение:

Если положить в банк A рублей, то через год получим: A 1 = A 0 (1 +0,12)

Если проценты начислялись каждый месяц с процентной ставкой х , то по формуле сложных процентов через год (12 месяцев) А n = A 0 (1 + 0,01х) 12

Приравняв эти величины получим уравнение, решение которого позволит определить месячную процентную ставку A(1 +0,12) = A(1 +0,01x) 12

1.12 = (1 + 0,01x) 12

x = (-1)·100% ≈ 0.9488792934583046%

Ответ: месячная процентная ставка равна 0.9488792934583046%.

Из решения этой задачи можно видеть, что месячная процентная ставка не равна годовой ставке поделенной на 12.

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение:

Пусть сумма кредита равна а , ежегодный платеж равен х рублей, а годовые составляют k % . Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m =1+ 0,01 k . После первой выплаты сумма долга составит : а 1 = am - х. После второй выплаты сумма долга

составит:

а 2 = a 1 m – х=(ат-х)т-х=а 2 -тх-х=ат 2 -(1+т)х

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому

откуда

При а = 9930000 и k =10 , получаем т =1,1 и

Ответ : 3993 000 рублей.

Теперь когда мы разобрались с этим предложенным во всех решебниках решением, давайте посмотрим на другое решение.

Пусть F = 9 930 000 – величина кредита, x – искомая величина ежегодного платежа.

Первый год:

Долг: 1,1F ;

Платеж: х ;

Остаток: 1,1F-х .

Второй год:

Долг: 1,1(1,1F-х) ;

Платеж: х ;

Остаток: 1,1(1,1F-х)-х .

Третий год:

Долг: 1,1(1,1F-х)-х );

Платеж: х ;

Остаток: 0, потому что по условию было всего три платежа.

Единственное уравнение

1,1(1,1(1,1F-х)-х)-х=0 . 1,331 F =3,31х, х=3993000

Ответ: 3 993 000 рублей.

Однако-1 ! Если предположить, что процентная ставка не красивые 10%, а страшные 13,66613%. Шансы где-то умереть по ходу умножений или сойти с ума при подробном расписывании множителя при величине долга за каждый год резко увеличились. Добавим к этому еще и не маленькие 3 года, а лет 25. Такое решение не сработает.

31 декабря 2014 года Андрей взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), а затем Андрей переводит в банк 3 460 600 рублей. Какую сумму взял Андрей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Решение.

Пусть а – искомая величина, k% – процентная ставка по кредиту, х – ежегодный платеж. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга будет умножаться на коэффициент m = 1 + 0,01k . После первой выплаты сумма долга составит: а 1 = аm – х . После второй выплаты сумма долга составит:

а 2 = a 1 m – х=(ат-х)т-х=а 2 -тх-х=ат 2 -(1+т)х

После третьей выплаты сумма оставшегося долга:

По условию Андрей выплатил долг за три года,

то есть а 3 = 0 , откуда.

При x = 3 460 600, k% = 10% , получаем: m = 1,1 и =8 606 000 (рублей).

Ответ: 8 606 000 рублей.

31 декабря 2013 года Игорь взял в банке 100 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на некоторое количество процентов), затем Игорь переводит очередной транш. Игорь выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 51 000 рублей, во второй 66 600 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Игорю?

Решение

Пусть k % – искомая ставка по кредиту; m = (1 + 0,01 k ) – множитель оставшегося долга; a = 100 000 – сумма, взятая в банке; x 1 = 51 000, x 2 = 66 600 – размеры первого и последнего трáншей.

После первой выплаты сумма долга составит: a 1 = ma – x 1 .

После второй выплаты сумма долга составит: a 2 = ma 1 – x 2 = a m 2 – m x 1 – x 2 . По условию, a 2 = 0 . Уравнение надо будет решить сначала относительно m , разумеется взяв только положительный корень:

100 000m 2 – 51 000m – 66 600 = 0; 500m 2 – 255m – 333 = 0.

Вот где начинаются трудности.

D = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .

Тогда.

Ответ: 11%.

31 декабря 2013 года Маша взяла в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на некоторое количество процентов), затем Маша переводит очередной транш. Если она будет платить каждый год по 2 788 425 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 991 625, то за 2 года. Под какой процент Маша взяла деньги в банке?

Решение

После двух лет выплаты сумма взятого кредита вычисляется по формуле:

После четырех лет выплаты сумма взятого кредита вычисляется по формуле:

Откуда

тогда.

Ответ: 12,5%.

31 декабря 2013 года Ваня взял в банке 9 009 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Ваня переводит в банк платеж. Весь долг Ваня выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение

Воспользуемся результатом из задачи 2.

Искомая разность х 3 -х 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 рублей.

Ответ: 1 036 00 рублей.

1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?

Надо понять простую истину – чем больше будет платеж по кредиту, тем меньше будет долг. Меньше будет долг – быстрее его выплатишь. Максимальный ежемесячный платеж, который может себе позволить кредитор, равен 300 000 рублей согласно условию. Если Всеволод Ярославович будет платить максимальный платеж, то он быстрее всего погасит долг. Другими словами, сможет взять кредит на наименьший период времени, что и требуется условием.

Попробуем решать задачу в лоб.

Прошел месяц. 1 июля 2013 года: долг (1 + 0,01)900 000 – 300 000 = 609 000.

Прошел месяц. 1 августа 2013 года: долг (1+ 0,01)609 000 – 300 000 = 315 090.

Прошел месяц. 1 сентября 2013 года: долг (1 +0,01)315 090 – 300 000= 18 240,9. Прошел месяц. 1 октября 2013 года: долг (1 0,01)1 240,9 = 18 423,309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.

Ответ: 4 месяца.

Решим задачу стандартным методом.

Воспользуюсь результатами задачи 3 с учётом следующего рассуждения: неравенство оставшейся части долга имеет вид a x ≤ 0 .

Пусть x – искомая величина, a = 900 000 – сумма, взятая в банке, k% = 1% – ставка по кредиту, y = 300 000 – ежемесячный платеж, m = (1 + 0,01k) – ежемесячный множитель оставшегося долга. Тогда, по уже известной формуле, получим неравенство: ≤0 ;

Получили неприятное неравенство, но верное.

Целую часть числа берем потому, что число платежей не может быть числом не целым. Берем ближайшее большее целое, меньшее взять не можем (потому что тогда останется долг) и видно, что полученный логарифм число не целое. Получается 4 платежа, 4 месяца.

Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год в счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение:

Сумма кредита на ситуацию не влияет. Возьмём у банка 4 рубля (делится на 4).

Через год долг банку увеличится ровно в х раз и станет равным 4х рублей.

Поделим его на 4 части, вернём 3х рублей и останемся должны х рублей.

Известно, что к концу следующего года придётся выплатить 4·1,21 рублей.

Известно, что и сумма долга за год превратилась из числа х в число х 2 .

Так как долг через два года фермером был полностью погашен, то

х 2 = 4·1,21 х = 2·1,1 х = 2,2

Коэффициент х означает то, что 100% за год превращаются в 220%.

А это означает, что процент годовых у банка такой: 220% - 100%

Ответ: 120%

В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение:

Пусть фиксированная вносимая сумма х рублей.

Тогда после проведения всех операций, попрошестию первого года, сумма на вкладе стала

+х

После 2 года

После 3 года

После 4 года

После 5 года

Так как к концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%, то составим уравнение:

3900 ·8,25=3900·1,5 5 +х·(1,5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5

3900·5,5=3900·1,5 4 +х(1,5 3 +1,5 2 +1,5+1)

Ответ: 210рублей.

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накоплена сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Решение:

От суммы вклада ситуация не изменится. Положим в банк 4 рубля (делится на 4).

Через год сумма на счету увеличится ровно в p раз и станет равной 4p рублей.

Поделим её на 4 части, унесём домой p рублей, оставим в банке 3p рублей.

Известно, что к концу следующего года в банке оказалось 4·1,44 = 5,76 рублей.

Итак, число 3p превратилось в число 5,76. Во сколько раз оно увеличилось?

Таким образом, найден второй повышающий коэффициент x банка.

Интересно, что произведение обоих коэффициентов равно 1,92:

Из условия следует, что второй коэффициент на 0,4 больше первого.

p · x = p ·( p +0,4)=1,92

Уже сейчас коэффициенты можно подобрать: 1,2 и 1,6.

Но продолжим, однако, решать уравнение:

10p ·(10p+4)=192 пусть 10p=k

k ·(k+4)=192

k =12, т.е. р=1,2; а х=1,6

Ответ: 60%

Процент – это сотая доля числа.

Процент обозначается символом $%$.

Чтобы проценты представить в виде десятичной дроби, надо значение разделить на $100$.

$35%={35}/{100}=0.35$.

Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.

$n%$ от $а={а⋅n}/{100}$

Сколько градусов содержит угол, если он составляет $5%$ от развернутого угла?

Развернутый угол равен $180°$.

Найдем $5%$ от $180°$, для этого ${180°⋅5}/{100}=9°$.

Ответ: $9°$.

Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на $100$.

Найдите число, $20%$ которого составляют $80$.

Число, $20%$ которого составляют $80$, находим так:

${80⋅100}/{20}=400$.

Ответ: $400$.

Задачи на скидки

Скидка - это снижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.

Чтобы найти цену товара с учетом скидки необходимо:

Из $100%$ вычесть процент скидки.
Найти полученный процент от полной стоимости товара.

Зимняя куртка стоит $4500$ рублей. Сезонная скидка составляет $20%$. Сколько надо заплатить за куртку с учетом скидки?

Найдем, какой процент от начальной стоимости будет составлять стоимость куртки со скидкой:

Посчитаем, сколько составляет $80%$ от $4500$ рублей. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.

${4500·80}/{100}=3600$ - стоимость куртки с учетом скидки.

Задачи на вклады, кредиты, наценки

Чтобы найти сумму денег с учетом годовой ставки, необходимо:

К $100%$ прибавить годовой процент вклада.
Найти полученный процент от изначального количества денег.

Клиент положил в банк 150000 рублей под $12%$ годовых. Какую сумму он сможет снять через год?

$100%+12%=112%$ - это процент, который составляет сумма денег клиента через год относительно первоначальной суммы.

Найдем $112%$ от $150000$ рублей:

${112⋅150000}/{100}=168000$ рублей.

Ответ: $168000$.

В некоторых задачах на проценты удобно использовать пропорцию, например:

Мешок картошки стоил $200$ рублей. После повышения цены он стал стоить $250$ рублей. На сколько процентов была повышена цена на мешок картошки?

Возьмем за $100%$ изначальную стоимость товара (так как именно с ней мы будем сравнивать стоимость после повышения цены):

Пусть $х%$ - столько процентов составляет новая цена относительно старой.

С этими данными составим и решим пропорцию:

${100%}/{х%}={200}/{250}$.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции:

$200⋅х=100⋅250$.

$х={100⋅250}/{200}=125%$.

Новая стоимость мешка с картошкой составляет $125%$ относительно начальной цены.

Цена увеличилась на $125%-100%=25%$.

Ответ: $25$.

Рабочая тетрадь по математике стоит $65$ рублей. Сколько тетрадей может купить ученик на $450$ рублей, если действует скидка $8%$?

Найдем, сколько процентов составляет стоимость тетради с учетом скидки:

Найдем $92%$ от $65$ рублей и получим стоимость $1$ тетради со скидкой:

${450}/{59.8}={4500}/{598}≈7.5$

Дробное число тетрадей мы купить не можем, на восемь тетрадей денег не хватит, поэтому ученик сможет купить только $7$ тетрадей.

Ответ: $7$.

Для решения некоторых задач необходимо быть знакомым с термином "сложные проценты" , который часто нужен для решения задач о вкладах, кредитах и пр. Простыми словами, "сложные проценты" возникают тогда, когда мы начисляем проценты на проценты. Давайте разберем на примере.

Допустим мы положили в банк $X$ рублей под $N%$ годовых. И оставили деньги в банке не на один, а на два года. Это значит, что в конце первого года мы смогли бы забрать $X + X*{N/100} = X(1+{N/100})$ рублей, но мы их не забираем, а оставляем на второй год. И теперь как бы сумма нашего "нового" вклада на второй год под $N%$ составляет уже не $X$, а $X(1+{N/100})$ рублей. То есть в течение второго года проценты будут начисляться в том числе на проценты, накопленные за первый год. Итого под конец второго года мы сможем забрать $X(1+{N/100}) + X(1+{N/100})*{N/100} = X(1+{N/100})(1+{N/100}) = X(1+{N/100})^2$.
Если бы мы сделали вклад не на два, а на $Y$ лет, то в конце получили бы $X(1+{N/100})^Y$ рублей.

В этом уроке мы разберём, как решаются самые сложные задачи про кредиты из ЕГЭ по математике — в них неизвестно время. В первую очередь запомните формулу, связывающую общую сумму кредита, процент, срок и ежемесячные платежи:

$C\cdot {{x}^{n}}=P\cdot \frac{{{x}^{n}}-1}{x-1}$.

Где $C$ — общая сумма кредита, $x$ — процент, $P$ — ежемесячный платёж, а число $n$ — это срок, на который берётся кредит. Именно его мы сегодня и будем искать, для чего нам потребуется выполнить два шага:

Примерно оценить срок. Для этого достаточно разделить кредит на платёж, а полученное число округлить в большую сторону. Если при делении получилось целое число, просто увеличиваем его на единицу.
Убедиться, что это число и есть ответ. Для этого придётся посчитать несколько степеней от довольно некрасивых чисел: 1,1; 1,03 и т.д.

Решая эту задачу, всегда помните связь между сроком и размером ежемесячного платежа:

Чем больше срок, тем меньше ежемесячный платёж. И наоборот: чем меньше срок, тем больше платёж.

Кроме того, есть важное правило, которое позволит существенно сократить объём выкладок. Вместо того, чтобы искать значение, скажем${{1,03}^{7}}$, можно найти какую-нибудь промежуточную степень (всё, что больше куба, для этого числа уже считается проблематично), а затем продолжить работу с верхними и нижними оценками этого числа. Что это за оценки и как с помощью них решить задачу 17 вдвое быстрее — смотрите в видеоуроке.:)

Самая сложная задача про кредиты из ЕГЭ

Сегодня мы разберем то, о чем я обещал поговорить еще в прошлом учебном году, когда мы впервые познакомились с задачами с экономическим содержанием из ЕГЭ по математике. Вообще, с момента появления этой задачи в Едином государственном экзамене прошло довольно много времени, и с тех пор такие задачи стали более разнообразными, чем изначально, однако самая сложная и часто встречающаяся задача осталась неизменной. Именно о ней мы сегодня и поговорим. А точнее, речь пойдет о самом сложном варианте этой задачи — о задаче на выплаты и кредиты, когда работает универсальная формула сложных процентов, выведенная в предыдущем видеоуроке, однако неизвестно в этот раз не кредит и не платеж, а именно время, на который взят этот самый кредит.

Формула сложных процентов в математике

Откуда берется эта формула расчета сложных процентов и как вообще все это работает, я подробно объяснял на предыдущем видеоуроке, поэтому если вы его не смотрели, очень рекомендую посмотреть. Однако из того же самого видеоурока возникла куча вопросов и, в частности, разбор самой сложной задачи мы оставили на потом. Именно этим мы сегодня и займемся.

Прежде чем решать эту задачу, давайте запишем нашу классическую формулу расчета сложных процентов, а именно:

Эту формулу мы выводили на одном из предыдущих видеоуроков, ее можно без всяких сомнений использовать на настоящем экзамене, при этом предварительно обосновав примерно так же, как это сделано в предыдущем видеоуроке.

Задача № 1

Итак, экономическая задача, в которой неизвестной искомой величиной является время:

1 января 2015 года пенсионерка взяла в банке 1,5 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 10 процентов на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), а затем пенсионерка переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев пенсионерка может взять кредит, чтобы ежемесячные платежи составили не более 350 тыс. рублей?

Итак, начинаем решать нашу задачу. Во-первых, выпишем все, что нам известно. Прежде всего, нам дан общий объем кредита:

Кредит = 1 500 000

Известно, что ежемесячный платеж не должен превышать 350 тыс. рублей. Давайте так и запишем:

Платеж = 350 000

Кроме того, известен процент. Мы знаем, что если 10% записать в виде коэффициента, то это будет:

Шаг второй: составляем уравнение, используя формулу вычисления сложных процентов

А то, что нам неизвестно, так это число $n$ в данном уравнении. Давайте подставим все, что мы знаем в формулу сложных процентов и посмотрим, что получится:

Давайте введем замену:

\[{{1,1}^{n}}=t\]

В этом случае получим:

Вспоминаем, что такое $t$. Нам предстоит решить следующее уравнение:

\[{{1,1}^{n}}=1,75\]

Шаг третий: находим наименьшее значение

Если вы попытаетесь решить данное уравнение с помощью калькулятора, то у вас ничего не получится — числа будут либо больше, либо меньше, но точного значения вы не получите. Поэтому давайте еще раз вернемся к условию задачи и прочитаем, что ежемесячные платежи должны составить не более 350 тыс. рублей. Давайте задумаемся: чем на больший срок берется один и тот же кредит, тем меньшими являются ежемесячные платежи. А поскольку нам требуется, чтобы ежемесячные платежи были не более 350 тысяч рублей, то это значит, что срок должен быть не менее чем указанный. На самом деле, с учетом того, что точно этому сроку наше значение не может быть равно, мы получаем, что нам нужно решить не уравнение, а неравенство вида

\[{{1,1}^{n}}>1,75\]

Еще раз внимательно посмотрите на этот переход — это принципиально важный момент во всей задачи. Мы не можем подобрать точное натуральное значение $n$ такое, чтобы $1,1$ в этой степени давала $1,75$, поэтому теперь наша задача — найти минимальное натуральное $n$ такое, чтобы выполнялось это неравенство. Спрашивается: а почему минимальное? Ведь можно взять кредит на 100 лет и тогда уж точно все получится, т.е. ${{1,1}^{n}}$ будет больше, чем $1,75$. Однако нам в задаче требуется найти именно минимальное количество. Поэтому из всех таких $n$, которые удовлетворяют этому неравенству, мы выберем наименьшее, а, по сути, мы сейчас сами найдем это самое наименьшее.

Составим небольшую таблицу.

месяц $\left(n \right)$	${{1,1}^{n}}$
1	1,1
2	1,21
3	1,331
4	1,4641
5	1,61051
6	1,771561

И вот мы впервые превзошли искомые ограничения — $1,75$. Обратите внимание: пяти месяцев нам еще недостаточно, потому что коэффициент не достигнет желаемой величины, а шести месяцев уже достаточно, потому что он не только достигнет, но и превзойдет желаемую величину. Поэтому окончательный ответ — шесть месяцев.

Нюансы решения

Как видите, в этом нет ничего сложного, даже если от нас требуется найти именно срок. Единственное, что нас могло смутить — довольно большой объем вычислений в самом конце, когда мы считали степени $1,1$. Однако неудивительно, так как это одна из самых последних и самых сложных задач из ЕГЭ по математике, поэтому если бы здесь было совсем все просто, то за нее не давали бы три первичных балла.

Кроме того, хотел бы обратить ваше внимание на окончательное обоснование ответа. Напоминаю, что мы решаем задачу из второй части: здесь недостаточно написать ответ, а нужно предоставить полное и грамотное обоснование. Итак, возводя в степени, мы в определенный момент получаем такие значения: $1,61051$ и $1,771561$. Возникает вопрос: а почему мы выбрали второе число? Мы решаем данное неравенство, которое было обосновано ранее, и второе значение под наше неравенство уже подходит, потому что

\[{{1,1}^{6}}=1,771561\]

А в $1,75$во втором знаке стоит «пять», т.е. цифра меньше и, следовательно, это число меньше. А вот если мы попытаемся выбрать в качестве ответа пять месяцев и связанный с этим значением коэффициент $1,61051$, то нас этот вариант точно не устроит. Почему? Потому что если мы подставим его в исходную формулу сложных процентов и попытаемся по этим данным посчитать итоговый ежемесячный платеж, то он окажется больше, чем требуемые 350 тыс. рублей.

Для того, чтобы успешно решить эту задачу, в том числе, когда требуется найти срок необходимо учесть два момента:

Помнить формулу решения сложных процентов и желательно уметь выводить ее на экзамене.
Помнить зависимость между сроками и размерами платежей. Зависимость обратно пропорциональная: чем больше срок, тем меньше ежемесячный платеж и наоборот — чем больше ежемесячный платеж, тем меньше срок, в течение которого придется выплачивать один и тот же кредит.

Задача № 2

1 января 2015 года пенсионерка взяла в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3%), а затем пенсионерка переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев пенсионерка может взять кредит, чтобы ежемесячные платежи составили не более 220 тыс. рублей?

На первый взгляд задача ничем не отличается от предыдущей. Разве что пенсионерка стала более разумной, поэтому взяла лишь 1,1 млн. и, кроме того, процент в месяц составляет лишь 3%, а не 10%, и ежемесячные платежи должны составлять не более 220 тыс. рублей.

Шаг первый: выписываем известные данные

Вновь запишем нашу формулу сложных процентов:

Где $C$ — общая сумма кредита, $x$ — процент, $P$ — ежемесячный платеж, $n$ — срок, на который берется кредит.

Давайте запишем известные данные:

Кредит = 1100000

Платеж = 220000

Шаг второй: составляем уравнение, используя формулу расчета сложных процентов

Подставляем все эти данные в формулу. Вновь нам неизвестен срок, т.е. $n$:

\[{{1,3}^{n}}=2\cdot \left(1,03-1 \right)\cdot \frac{10}{3}\left| 3 \right.\]

Введем замену:

\[{{1,03}^{n}}=t\]

И вот тут мы натыкаемся на первую проблему, которой в предыдущей задачи не было: $\frac{20}{17}$ не переводится в «красивую» десятичную дробь, а нам нужна именно десятичная дробь, потому что когда мы сделаем таблицу, то будем возводить $1,03$ в разные степени, а она, будучи десятичной дробью в разных степенях, тоже будет давать десятичные дроби. На самом деле выход просто: просто разделим и оставим первые четыре знака:

\[\frac{20}{17}=1,17647...\]

Возвращаясь к нашей задаче, мы получим следующее:

Приравняем обе части:

\[{{1,03}^{n}}=1,17647...\]

По аналогии с предыдущей задачей несложно заметить, что нет такого натурального $n$, чтобы $1,03$ в этой степени давало нам $1,17647...$, поэтому мы спокойно заменяем наше равенство знаком неравенства:

\[{{1,03}^{n}}>1,17647...\]

При этом при решении данного неравенства в ответ пойдет наименьшее $n$. Давайте снова составим таблицу, где слева мы снова будем писать месяцы, а справа — коэффициент:

месяц $\left(n \right)$	${{1,03}^{n}}$
1	1,03
2	1,0609
3	1,092727
4
5
6

Шаг четвертый: находим верхнюю и нижнюю оценку, используя «метод оценок»

Мы столкнулись с еще одной проблемой: по мере роста номера месяца объем вычислений становится просто катастрофическим, поэтому дальнейшие вычисления нужно выполнять с помощью какого-то другого инструмента, иначе мы просто утонем в объеме выкладок. Эта проблема характерна для всех задач, в которых процент меньше десяти. Поэтому как только вы видите маленькие проценты, не думайте, что вам попалась легкая задача, наоборот — будут проблемы. Однако все эти проблемы легко решаются при помощи замечательного инструмента под названием «метод оценок». Сейчас я вам расскажу, что это такое и как его применять на примере данной задачи.

Итак, нам необходимо найти четвертую, пятую и шестую степень числа $1,03$. Мы находили при помощи предыдущей, умножая ее на $1,03$. Однако уже на третьем шаге объем вычислений оказался достаточно большим. Поэтому чтобы не утонуть в вычислениях, выполним следующую манипуляцию: давайте посмотрим на числа, которые у нас получились при возведении в квадрат и в третью степень. Сначала рассмотрим, что получилось в квадрате:

\[{{1,03}^{2}}=1,0609\]

Давайте отсечем два знака после запятой и запишем просто $1,06$. То же самое сделаем с третьей степенью, в которой мы получили такое выражение:

\[{{1,03}^{3}}=1,092727\]

Отсечем два знака после запятой и получим $1,09$. В обоих случаях мы берем лишь первые два знака. Что нам это даст? Дело в том, что в любом случае $1,0609$, т.е. истинное значение второй степени будет больше, чем только что найденное значение:

Аналогично можно сказать и про третью степень:

А теперь возьмем и к этим числам в последнем разряде прибавим «единицу». Получим:

Замечательное свойство этих чисел состоит в том, что в первом случае

А вот втором случае будет следующее неравенство:

Давайте запишем вот так:

Полученные значения называются верхней и нижней оценкой или округлением с недостатком и округлением с избытком. И вместо того, чтобы мучится с огромным объемом вычислений, мы будем просто перемножать эти числа. Каким образом и на каком основании? Давайте заметим следующее:

\[{{1,03}^{4}}={{1,03}^{2}}\cdot {{1,03}^{2}}\]

\[{{1,03}^{5}}={{1,03}^{3}}\cdot {{1,03}^{2}}\]

\[{{1,03}^{6}}={{1,03}^{3}}\cdot {{1,03}^{3}}\]

Шаг пятый: находим наименьшее значение

Давайте заполним таблицу до конца:

месяц $\left(n \right)$	${{1,03}^{n}}$
1	1,03
2	1,0609
3	1,092727
4	$1,06\cdot 1,06<*<1,07\cdot 1,07$
5	$1,06\cdot 1,09<*<1,07\cdot 1,1$
6	${{1,09}^{2}}<*<{{1,1}^{2}}$

Что дают нам все эти верхние и нижние оценки? Во-первых, существенно сокращается объем вычислений, а, во-вторых, давайте посмотрим на последние значения:\[{{1,1}^{2}}=1,21\]

\[{{1,09}^{2}}=1,1881\]

Что это значит? А то, что для $n=6$ мы уже точно превзойдем искомую величину. Мы уже знаем, что

\[{{1,03}^{n}}=1,17647<1,1881<{{1,03}^{6}}<1,21\]

В принципе, «шесть» нас уже устраивает — это кандидат в ответ. Но проблема в том, что в задаче от нас требуется найти минимальное количество месяцев. А что, если минимальное количество месяцев будет «пять»? Давайте посчитаем и повторим все те же вычисления для «пяти»:

Но такие оценки нам ничего не дадут. Почему? Потому что если мы начертим числовую прямую и отметим на ней нижнюю и верхнюю оценки, то получим следующее: между $1,1554$ и $1,177$ находится ${{1,03}^{5}}$. Но также между ними есть и $1,17647$, которое мы должны превзойти. Если это число лежит правее $1,17647$, то нас все устраивает, и ответом будет «пять». Однако если оно будет левее, то «пять» нас не устраивает и ответом будет «шесть». Как же проверить, какое из чисел нас устраивает? К сожалению, в рамках верхних и нижних оценок, которые мы записали, ответить на этот вопрос невозможно – нам просто не хватает точности. Поэтому давайте еще раз выпишем значения для $n=2$ и $n=3$.

Таким образом, какой бы не было $n$ в выражение ${{1,03}^{n}}$, оно в любом случае будет больше, чем $1,06\cdot 1,092$, но в любом случае меньше, чем $1,061\cdot 1,093$.

Запишем вычисления:

Это значит, что наши предположения верны. Искомое значение, если вновь попытаться начертить его на числовой прямой, будет снизу ограничено $1,1554$, а сверху —$1,159673$. Т.е. ${{1,03}^{5}}$ будет заведомо меньше, чем $1,159673$ и уж тем более меньше, чем $1,17647...$А это значит, что наше исходное предположение о том, что при $n=5$ мы уже превзойдем величину $1,17647...$ неверно. А это значит, что пятый месяц нас все еще не устроит. А вот шестой месяц, о котором мы сначала и подумали, действительно является таковым. Итого, окончательный ответ — шесть. Задача решена и полностью обоснована.

Полезные советы при решении задач с использованием формулы сложных процентов

Самое главное в это задаче — это понять, чем оценки отличаются от округления. Мы берем две цифры после запятой, отсекаем все, что идет после них, и записываем эти числа слева. Очевидно, что поскольку дальше идут какие-то цифры в настоящем числе, это число будет то, что мы получили слева (см. таблицу). Эти числа, которые находятся слева, и называются меньшими оценками. Затем к ним мы в самом последнем разряде (к последней цифре) прибавляем «единицу», и получаем число, на единицу большее в конце, например, было $1,06$ стало $1,07$ и т.д. Это будут верхние оценки. И далее, что бы мы не делали, какую бы степень и номер месяца не считали, все равно истинное значение нашей величины будет заключено между степенями верхней и нижней оценок.

Но есть одна проблема: в определенный момент мы получаем, что и число, и искомая величина лежат в одних и тех же пределах. Пределы получены, разумеется, при вычислении степеней оценок. В нашей ситуации такая проблема возникла в вычислениях значения для пятого месяца: левая оценка дала нам $1,1554$, а правая — $1,177$. Между этими двумя числами лежит как искомая величина, которую мы не знаем, так и наше искомое значение, т.е. ${{1,03}^{n}}$. Выход из такой ситуации напрашивается сам собой: если нам не хватает точности, то необходимо просто увеличить точность исходных оценок, т.е. после запятой мы берем не две, а три цифры. Но поскольку нас интересуют, прежде всего, верхние оценки, мы увеличим каждое из этих чисел на единицу в разряде, запишем и перемножим. В результате мы получим следующее: новая верхняя оценка для нашего числа, для пятого месяца, будет лежать между $1,1554$ и $1,159673$.

На самом деле, пятый месяц даст коэффициент, который будет находиться в вышеуказанном диапазоне, что явно меньше, чем искомая величина $1,174647...$ На первый взгляд может показаться, что сложность и объем всех этих вычислений будет существенно больше, чем если бы мы просто возвели числа в степень квадрат, куб и т.д. На самом деле это не так. Уже на третьей и четвертой степенях возникают большие числа, а до пятого и шестого месяца вы просто не дойдете.

Как определить кандидата в ответ, исходя из условия задачи

В качестве заключительного аккорда сегодняшнего видеоурока я хотел бы вам рассказать еще один довольно хитрый инструмент, который позволит еще с первого взгляда на задачу уже примерно оценить, какой месяц предстоит считать и какой месяц, скорее всего, является кандидатом в ответ.

Давайте посмотрим на исходную формулу. Всего объем кредит, который предстоит выплатить, составляет 1,1 млн. при этом ежемесячно нужно выплачивать по 220 тыс. рублей. Давайте разделим общий размер задолженности на ежемесячный платеж. В этом случае мы получим количество месяцев, которые необходимо будет потратить на выплату кредита, если бы на нас не начислялись проценты. Однако сами по себе проценты невелики — в нашем случае всего 3% в месяц. Это значит, что вряд ли накопится задолженность еще больше, чем на один месяц и, следовательно, нужно прибавить к полученной величине еще единицу, и мы получим наиболее вероятный кандидат на ответ.

В нашем случае, если 1,1млн. разделить на 220 тыс., то мы получим пять месяцев, но без учета начисленных процентов. Соответственно, еще один месяц потребуется на то, чтобы погасить проценты. И мы получим тот же самый ответ.

Однако хочу вас предупредить, что ни в коем случае нельзя использовать этот прием как единственно возможное обоснование того ответа, который у вас получается в задаче! Потому что мы решаем одну из самых сложных задач ЕГЭ: там требуется привести не только ответ, но и все подробные выкладки и обоснования. Такой прием — это лишь подсказка для нас самих, для того, чтобы понимать, какие именно месяцы, какие именно степени считать. Дальнейшим шагом нужно доказать, что, например, число, равное пяти месяцам, нас не устраивает, а шести месяцев точно устраивает. Каким образом можно это сделать. Например, с помощью числовой прямой, более точных вычислений, метода оценок или как вам будет удобнее. В любом случае, мы с учениками недавно убедились, что эта подсказка существенно облегчает выкладки и хотя бы дает представление о том, каким должен быть ответ.

Тренируйтесь, решайте задачи, оттачивайте навык с вычислением верхних и нижних оценок. Это далеко не последний урок на решение задач с экономическим содержанием, поскольку самих задач стало довольно много, и их условия стали более разнообразные. Поэтому оставайтесь с нами!

«Хороший учитель обязан понимать, что никакую задачу нельзя исчерпать до конца. Этот взгляд он должен прививать и своим ученикам».
Д. Пойа.

Введение.

Особое внимание я уделяю текстовым задачам на проценты, которые часто встречаются в практике вступительных экзаменов в экономические вузы, но недостаточно полно рассматриваются в школе. Умение выполнять процентные вычисления, − безусловно, одна из самых необходимых математических компетенций. Однако не только те, кто уже давно окончили школу, робеют при виде процентов. Даже на ЕГЭ решаемость задач на проценты не превышает 20 % . Это говорит о том, что такого типа задачи следует решать не только в младших классах, где изучается эта тема, но и на протяжении всех лет обучения в школе.

1. При решении задач на проценты используются основные формулы:

1% числа а равен а.

р% от числа а равно а.

Если известно, что некоторое число а составляет р% от х, то х можно найти из пропорции

а − р%

х − 100%,

откуда х= а.

Пусть имеются числа a, b, причем а

Число b больше числа а на100%.

Число а меньше числаbна100%.

2. Формула сложных процентов.

Если на вклад положена сумма а денежных единиц, банк начисляет р% годовых, то через n лет сумма на вкладе составит

a ден.ед.

3. Задачи на проценты.

Задача 1.

Умных людей на 45 % меньше, чем красивых, 36% умных обладают красивой внешностью. Каков процент умных людей среди красивых?

Решение: пусть х − количество красивых людей, тогдаколичество умных людей:

х − 0,45х = 0,55х.

Среди умных 36% составляют красивые люди, следовательно, количество умных и одновременно красивых людей:

0,36 ·0,55х= 0,198х.

Составим пропорцию:

Отсюда получим:

Ответ: 19,8%

Учащиеся с интересом решают текстовые задачи на проценты, которые ближе к реальной жизни. Особый «прикол» представляет собой подача задач не из задачника, а прямо с газетной полосы. Тут уж не возникает мыслей о ненужности математики. А «процентная журналистика» в связи с разразившимся экономическим кризисом на страницах газет буквально процветает.

Задача 2.

Цены на путевки уже подросли: например, туры во Францию − на 20%. Можно ли сказать, на сколько процентов раньше тур во Францию был дешевле?

Решение: пусть х − старая цена, а n − новая цена.

1) Составим первую пропорцию:

Получим n=1,2х.

2) Составим вторую пропорцию:

х − (100-а%)

(100-а) 1,2х = 100х

Решив уравнение, получим: а ≈17%.

Ответ: 17%.

4. Использование формулы сложных процентов.

Задача 3.

На банковский счет было положено 10 тыс. руб. После того, как деньги пролежали один год, со счета сняли 1 тыс. руб. Еще через год на счету стало 11 тыс. руб. Определите, какой процент годовых начисляет банк.

Решение: пусть банк начисляет р% годовых.

1) Сумма в 10000 рублей, положенная на банковский под р% годовых, через год возрастет до величины

2) Когда со счета снимут 1000 руб., там останется 9000+100р руб.

3) Еще через год последняя величина за счет начисления процентов возрастет до величины

По условию эта величина равна 11000:

Решив это уравнение получим: =10, =−200 − отрицательный корень не подходит.

Ответ: 10%

Задача 4. (ЕГЭ-2015)

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40% . К концу следующего года накоплена сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Решение: от суммы вклада ситуация не изменится. Положим в банк 4 рубля (делится на 4 ). Через год сумма на счету увеличится ровно в p раз и станет равной (4p) рублей.

Поделим её на 4 части, унесём домой (p) рублей, оставим в банке (3p) рублей.

Известно, что к концу следующего года в банке оказалось 4·1,44 = 5,76 рублей. Итак, число (3p) превратилось в число (5,76) . Во сколько раз оно увеличилось?

Таким образом, найден второй повышающий коэффициент k банка.

Интересно, что произведение обоих коэффициентов равно 1,92 :

Из условия следует, что второй коэффициент на 0,4 больше первого.

Избавившись от запятых, сделаем замену t = 10р :

Из такого уравнения получить 12 совсем просто.

Итак, p = 1,2, k = 1,6.

В 1,2 раза увеличилась сумма вклада первый раз, в 1,6 раз - во второй раз.

Было 100%, стало 160%. Новый процент годовых равен 160%-100% = 60%.

Ответ: 60%.

Задача 5. (ЕГЭ-2015)

В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что

размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725% .

Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение: пусть х рублей – вкладчик ежегодно добавлял ко вкладу.

50% годовых означает, что каждый год сумма на счету вкладчика увеличивается в 1,5 раза. Если вкладчик ничего бы не добавлял к первоначальной сумме, то через год на его счету было бы 3900·1,5 , через два года - 3900·1,52 и так далее.

Посчитаем, какой доход принесли все четыре добавки.

х∙1,5 4 + х∙1,5 3 + х∙1,5 2 +х∙1,5

Для этого вынесем х за скобку и вычислим сумму геометрической прогрессии, в которой b = 1,5 и q = 1,5 .

Известно, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725% .