Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального проецирования.

Если центр проекций при центральном аппарате проецирования перенести в бесконечность, то проецирующие лучи можно считать параллельными. Отсюда аппарат параллельного проецирования состоит из плоскости проекций П и направления Р. При центральном проецировании проецирующие лучи выходят из одной точки, а при параллельном проецировании — параллельны между собой.

В зависимости от направления проецирующих лучей параллельное проецирование может быть косоугольным, когда проецирующие лучи наклонены к плоскости проекций, и прямоугольным (ортогональным), когда проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций.

Рассмотрим пример косоугольного параллельного проецирования.

Построим параллельную проекцию А1В1 отрезка АВ, на плоскость П1, при заданном направлении проецирования Р не П1. Для этого необходимо провести проецирующие прямые через точки А и В, параллельные направлению проецирования Р. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П1 получатся параллельные проекции А1 и В1 точек А и В. Соединив параллельные проекции А1 и В1 мы получим параллельную проекцию А1В1 отрезка АВ.

Аналогично можно построить параллельную проекцию А1В1С1D1 четырёхугольника ABCD на плоскость П1, при заданном направлении проецирования Р не перпендикулярных П1.

Для этого необходимо провести проецирующие прямые через точки А, В, C, D, параллельные направлению проецирования Р. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П1 получатся параллельные проекции А1, В1, С1, D1 точек A, B, C, D. Соединив параллельные проекции А1, В1, С1, D1 мы получим параллельную проекцию А1В1С1D1 четырёхугольника ABCD.

Свойства проекций при параллельном проецировании:

Первые шесть свойств центрального проецирования справедливы и для параллельного проецирования. Перечислим ещё несколько свойств присущих параллельному проецированию:

1. Проекции параллельных прямых параллельны.

Из рисунка видно, что прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 и DD 1 образуют две параллельные плоскости a и b . Эти две плоскости пересекаются с П 1 . Следовательно, линии пересечения их А 1 В 1 и С 1 D 1 будут параллельны.

2. Если точка делит длину отрезка в отношении m:n , то проекция этой точки делит длину проекции отрезка в том же отношении.

Пусть точка С принадлежит отрезку АВ , причем |АС| : |СВ| = 2: 1 . Построим параллельную проекцию А 1 В 1 отрезка АВ . Точка С 1 А 1 В 1 . Проведём АC’ || А 1 C 1 и CB’ || C 1 B 1 , получим два подобных треугольника АCC’ и CBB’ . Из их подобия следует пропорциональность сторон: |АC| : |СВ| = |AC’| : |CB’| , но |CB’| = |С1В1| , а |AC’| = |А 1 C 1 | , отсюда |АC| : |СВ| = |А 1 С 1 | : |C 1 B 1 | .

3. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется без искажения.

Возьмём треугольник АВС и спроецируем его на две параллельные плоскости проекций П 1 ‘ и П 1 . Так как длины отрезков равны |А 1 А 1 ‘| = |В 1 В 1 ‘| = |С 1 С 1 ‘| и отрезки параллельны, то четырёхугольники А 1 А 1 ‘ В 1 В 1 ‘, В 1 В 1 ‘ С 1 С 1 ‘, С 1 С 1 ‘А 1 А 1 ‘ являются параллелограммами. Следовательно, противоположные стороны их равны по длине |А 1 В 1 | = |А 1 ‘ В 1 ‘|, |В 1 С 1 | = |В 1 ‘ С 1 ‘|, |А 1 С 1 | = |А 1 ‘ С 1 ‘| , а значит, треугольники равны.

Аналогично, тоже самое можно доказать и для любой другой плоской фигуры. Параллельное проецирование, в отличие от центрального, обладает меньшей наглядностью, но обеспечивает простоту построения и большую взаимосвязь с оригиналом.

Частный случай центрального проецирования с центром проекций, находящимся в бесконечности (в несобственной точке O ). Осуществляется связкой лучей заданного направленияS (рис. 2).

Аппарат параллельного проецирования:

  плоскость проекций;

S - направление проецирования;

[O  A ][O  B ] S

A  = [OA ]  - параллельная проекция точки А на плоскость;

l  = (AA  BB ) -параллельная проекция прямой на плоскость .

Обратимости нет. Одна центральная проекция точки не позволяет судить о положении точки в пространстве. А = D

Геометрические фигуры проецируются на плоскость проекций, в общем случае, с искажением. Характер искажений зависит от аппарата проецирования и положения проецируемой фигуры относительно плоскости проекций.

В частности, при параллельном проецировании нарушаются метрические характеристики геометрических фигур (искажаются линейные и угловые величины). Некоторые свойства фигуры сохраняются на ее проекции.

Сохраняющиеся в проекции свойства фигуры называются независимыми или ИНВАРИАНТНЫМИ. Эти инвариантные свойства часто называют сокращенно: инварианты.

Инварианты параллельного проецирования

Проекция точки есть точка (рис. 1; рис.2)

Проекция прямой есть прямая (рис. 1; рис.2)



3 . Проекция точки, принадлежащей прямой, принадлежит проекции.

этой прямой (рис. 1; рис.2)

Проекция точки пересечения прямых определяется пересечением проекций этих прямых (рис. 3)

Проекции взаимно параллельных прямых взаимно параллельны (рис. 4)

Отношение длин отрезков взаимно параллельных прямых равно отношению длин их проекций (рис. 4)

СЛЕДСТВИЕ: если отрезок прямой делится точкой в каком-либо отношении, то проекция отрезка делится проекцией этой точки в том же отношении (рис. 5)

7 . Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в конгруэнтную фигуру (рис. 6)

Рис. 3 Рис. 4

Рис. 5 Рис. 6

1. Прямоугольное (ортогональное) проецирование

Частный случай параллельного проецирования, при котором напраление проецирования перпендикулярно плоскости проекций (рис. 7)

В дальнейшем безоговорочно используется ортогональное проецирование.

В ортогональном проецировании сохраняются все свойства параллельного проецирования. Кроме того, для ортогонального проецирования справедлива теорема о проецировании прямого угла (смотри тему №6) и применим способ определений расстояния между точками (т.е. длины отрезка, смотри тему №3), называемый способом прямоугольного треугольника.

Рис. 7

БОЛЕЕ ПОДРОБНО...

Положение предмета в пространстве определяют четыре его точки, не лежащие в одной плоскости. Изображение пространственного предмета на чертеже сводится к построению проекций множества точек этого предмета на плоскости R (называемой плоскостью проекций) при помощи прямых линий (проецирующих лучей), проходящих через точки предмета и направленных к центру проецированияS .

Однако, чтобы построить проекцию предмета, не обязательно строить все его точки. Достаточно найти лишь проекции характерных точек (вершин, ребер и т.п.), которые затем соединить соответствующей линией.

Проецирующие лучи в совокупности образуют проецирующую поверхность . Так, при проецировании прямой АВ проецирующей поверхностью является плоскость АВba (рис.).

Линия пересечения ab проецирующей плоскости с плоскостьюR представляет собой проекцию прямойAB , которая слагается из проекций отдельных ее точек.

Проекция подобна тени, отброшенной от предмета, освещенного лампой или солнцем.

При проецировании кривой линии в первом случае проецирующие лучи образуют коническую поверхность с вершиной в точке S , получаетсяк оническое(перспективное) изображение кривой (рис. 2). Во втором случае конус проецирующих лучей превращается в цилиндр и коническое изображение переходит вцилиндрическое (параллельное) (рис. 2). Проекция кривой линии рассматривается при этом как линия пересечения проецирующей поверхности с плоскостьюR .

В перспективе предмет изображается таким, каким он представляется глазу наблюдателя. Хрусталик глаза является центром проецирования. Каждому из нас знакомо следующее явление: если смотреть вдоль полотна железной дороги, нам кажется, что рельсы как бы сближаются между собой и на горизонте сходятся в одну точку (центр), а опоры, расположенные вдоль путей, уменьшаются по мере удаления.

Параллельное проецирование - частный случай перспективы. Суть параллельного проецирования заключается в следующем: если условно удалить центр проецирования в бесконечность, то проецирующие лучи можно считать параллельными.

Так, чтобы построить параллельную проекцию треугольника ABC (рис.), нужно задать:R - плоскость проекций (не параллельную и не совпадающую с направлением проецирующих лучей);S - направление проецирующих лучей (направление проецирования).

Далее, через характерные точки предмета проводят проецирующие лучи Аа ,Вb иСс параллельно направлению проецирования, а затем находят точкиa ,b и с их пересечения с плоскостьюR . Эти точки - искомые параллельные проекции точекА ,В иС заданного треугольника.

Проекция abc - линия пересечения проецирующей призматической поверхности с плоскостьюR . Форма и размеры параллельной проекции какого-либо предмета при заданном направлении проецирования зависят только от выбора направления плоскости проекций и не зависят от ее удаления от предмета. Треугольник, расположенный в плоскостиR 1 , параллельной плоскости проекций, проецируется равным заданному. В этом случаеab =AB ,bc =BC ,ac =AC .

В зависимости от угла наклона проецирующего луча к плоскости проекций параллельное проецирование делится на два вида: прямоугольное и косоугольное.

ПРЯМОУГОЛЬНЫМ (или ортогональным) проецирование называется в том случае, когда направление проецирования выбрано перпендикулярным плоскости проекций. В другом случае оно называетсяКОСОУГОЛЬНЫМ .

При прямоугольном проецировании (рис. 7) величина коэффициента искажения не может превышать единицы.

В косоугольных проекциях (рис. 5) коэффициент искажения (К =ab /AB ) данного отрезкаАВ может принимать любые числовые значения в зависимости от наклона отрезка и проецирующих лучей к плоскости проекций. В частности, если направление отрезка совпадает с направлением проецирования, то проекцией этого отрезка будет точка, а коэффициент искажения равен нулю.

В параллельном проецировании сохраняются основные свойства перспективы, а именно:

1) проекция точки есть точка;

2) проекция прямой в общем случае будет прямая;

3) каждой точке, принадлежащей какой-либо линии, соответствует проекция этой точки на проекции данной линии.

Кроме того, параллельное проецирование имеет еще ряд (только ему присущих) свойств:

4) если точка лежит на отрезке прямой, то проекция этой точки делит проекцию отрезка в том же отношении, в каком

точка делит отрезок, т.е. AC /CB =ас /cb (рис. 5);

5) проекцией пересекающихся отрезков будут также пересекающиеся отрезки, а точка их пересечения будет проекцией точки пересечения данных отрезков (рис. 3);

6) проекции параллельных отрезков параллельны, одного направления, а их отношение равно отношению длин отрезков, т.е. ab cd иAB /CD =ab /cd (рис. 4);

при прямоугольном проецировании прямой угол проецируется прямым углом только в том случае, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая не является проецирующим лучом (теорема о проецировании прямого угла) .

Введение

Все разделы начертательной геометрии пользуются одним методом – методом проецирования, поэтому чертежи, применяемые не только в начертательной геометрии, называются проекционные чертежи .

Метод проецирования заключается в том, что любая из точек множества точек пространства может быть спроецирована с помощью проецирующих лучей на любую поверхность. Для этого представим некоторую заданную поверхность (рис.1) и точку А в пространстве. При проведении луча S через точку А в направлении поверхности последний пересечет ее в точке А 1 . Точку А называют проецируемой точкой . Плоскость α, на которой получают проекцию, называют плоскость проекций . Точка пересечения луча с плоскостью называется проекцией точки А . Прямая А А 1 (луч), называется проецирующим лучом .

Рис.1.

Центральный (конический или полярный) метод проецирования основан на том, что при проецировании на плоскость ряда точек (А , B , C и т.д.) все проецирующие лучи проходят через одну точку, называемую центром проецирования , или полюсом .

Представим в пространстве треугольник АВС и проецирующие лучи, проходящие через данный полюс S и через точки АВС треугольника, проведенные до пересечения с плоскостью α. Треугольник А 1 B 1 C 1 будет центральной проекцией треугольника АВС (рис.2).

Метод центрального проецирования не удовлетворяет целому ряду условий, необходимых для технического чертежа, а именно: не дает однотипности изображения, полной ясности всех геометрических форм, не обладает удобоизмеримостью, не имеет простоты изображения.

Метод параллельного (косоугольного) проецирования заключается в том, что все проецирующие лучи, проходящие через точки треугольника АВС , будут параллельны между собой (рис.3). Этот метод вытекает из метода центрального проецирования, при этом полюс должен быть удален на бесконечно большое расстояние от плоскости, на которую проецируется предмет.

Ортогональный (прямоугольный) метод проецирования – метод, когда проецирующие лучи параллельны между собой и перпендикулярны к плоскости проекций (рис.4). Данный метод – частный случай параллельного проецирования.

Таким образом, любая точка пространства может быть спроецирована на плоскости проекций: на горизонтальную П 1 , фронтальную П 2 и профильную П 3 . Горизонтальная проекция точки обозначается А 1 или А ′, фронтальная А 2 или А ″, профильная А 3 или А ′″ (рис.5).

Параллельное проецирование (рис. 1.6) можно рассматривать как частный случай центрального проецирования, при котором центр проецирования удален в бесконечность (S ∞). При параллельном проецировании применяют параллельные проецирующие прямые, проведенные в заданном направлении относительно плоскости проек-

ций. Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проекции называют прямоугольными или ортогональными. в остальных случаях – косоугольными (на рис. 1.6 направление проецирования указано стрелкой под углом к плоскости проекций ).

При параллельном проецировании сохраняются все свойства центрального проецирования, а также возникают следующие новые свойства.

1. Параллельные проекции взаимно параллельных прямых параллельны, а отношение длин отрезков таких прямых равно отношению длин их проекций.

Если прямые MN и KL (рис. 1.7) параллельны, то проецирующие плоскости и параллельны, так как пересекающиеся прямые в этих плоскостях взаимно параллельны: – по условию,

Следовательно, проекции и параллельны как линии пересечения параллельных плоскостей р и у с плоскостью л.

Отметим на прямой MN произвольный отрезок А В и на прямой KL произвольный отрезок CD. Проведем в плоскости р через точку А прямую и в плоскости у через точку С прямую С – . Отрезки как отрезки параллельных между параллельными. Отрезки и, следовательно, . Отрезки , так как все их стороны взаимно параллельны. Из подобия треугольников и следует:

Из рассмотренного следует:

а) если длина отрезка прямой делится точкой в каком-либо отношении, то и длина проекции отрезка делится проекцией этой точки в том же отношении (рис. 1.8):

б) проекции равных по длине отрезков взаимно параллельных прямых взаимно параллельны и равны по длине.

Это очевидно, так как (см. рис. 1.7) при будет . Поэтому при косоугольном проецировании в общем случае параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат проецируются в параллелограмм.

• 2. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется при параллельном проецировании на эту плоскость в такую же фигуру.
• 3. Параллельный перенос фигуры в пространстве или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекции фигуры.

Параллельные проекции, как и центральные при одном центре проецирования, также не обеспечивают обратимости чертежа.

Применяя приемы параллельного проецирования точки и линии, можно строить параллельные проекции поверхности и тела.

Параллельные проекции применяют для построения наглядных изображений различных технических устройств и их деталей.

Прямоугольное (ортогональное) проецирование

Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, называют прямоугольным или ортогональным проецированием . Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки называют основание перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость проекций. Прямоугольная проекция D 0 точки D показана на рис. 1.9.

Наряду со свойствами параллельных (косоугольных) проекций ортогональное проецирование имеет следующее свойство : ортогональные проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, одна из которых параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, взаимно перпендикулярны.

На рис. 1.10 Докажем, что

Проецирующая прямая перпендикулярна плоскости проекций , проекции и прямой ВА. Плоскость ) перпендикулярна прямой ВА, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости ( – по условию, а по построению). Проекция перпендикулярна плоскости , так как . Следовательно, проекция плоскости на плоскости – прямая KL перпендикуляпна пооекции , а с прямой KL совпадает проекция В °С 0, т. е. что и требовалось доказать.

Параллельное проецирование

Наглядность - ценное свойство центрально проекционных изображений. Однако на практике большое значение имеют и другие качества проекционных чертежей, в частности, простота построения и обратимость. В этом отношении центрально проекционные чертежи не являются наиболее удобными. Поэтому большим распространением пользуется способ параллельного проециро­вания для построения изображений пространственных фигур.

Задаём некоторую плоскость П′ , являющуюся плоскостью проекций, и направление проецирования s , не параллельное плоскости проекций П′ в соответствии с рисунком 1.2.2. Для проецирования какой-либо точки А пространства проводим через неё про­ецирующую прямую АА′ , параллельную направлению проецирования s . Точка пересечения А′ проецирующей прямой с плоскостью П′ являетсяпараллельной проекцией точки А на плоскость П′ .

Рисунок 1.2.3 – Параллельная проекция параллельных в пространстве

Построив для прямых АВ и CD проецирующие плоскости AА¢В¢B и CС¢D¢D , заметим, что эти плоскости параллельны, как плоскости, имеющие уг­лы с соответственно параллельными сторонами (AB||CD ; BВ¢ ||DD¢ ). Поэтому проецирующие плоскости пересекают плоскость проекций П" по двум парал­лельным между собой прямым.

2) Отношение отрезков, лежащих на параллельных прямых, со­храняется в параллельной проекции .

Пусть АВ и CD – отрезки, лежащие на параллельных прямых. Построим их проекции на плоскость П¢ при направлении проецирования s (рисунок 1.2.3). Про­ведём в проецирующих плоскостях отрезки А¢В1 и С¢D1 , соответственно парал­лельные и равные отрезкам АВ и СD . Треугольники А¢B¢B1 и С¢D¢D1 являются подобными, т.к. их соответственные стороны параллельны. Отсюда

Отсюда следует, что отношение, в котором точка В делит отрезок АС. со­храняется в проекции для точки В′, делящей отрезок А"С′.

Рисунок 1.2.4 – Деление отрезка в заданном соотношении при параллельном проецировании