Физические свойства воздуха. Указания к решению задач. при решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. Важнейший признак жидкости - существование свободной поверхности . Молекулы поверхностного слоя жидкости, имеющего толщину порядка 10 -9 м, находятся в ином состоянии, чем молекулы в толще жидкости. Поверхностный слой оказывает на жидкость давление, называемое молекулярным , что приводит к появлению сил, которые называются силами поверхностного натяжения .

Силы поверхностного натяжения в любой точке поверхности направлены по касательной к ней и по нормали к любому элементу линии, мысленно проведенной на поверхности жидкости. Коэффициент поверхностного натяжения -физическая величина, показывающая силу поверхностного натяжения, действующей на единицу длины линии, разделяющей поверхность жидкости на части:

С другой стороны, поверхностное натяжение можно определить как величину, численно равную свободной энергии единицы поверхностного слоя жидкости. Под свободной энергией понимают ту часть энергии системы, за счет которой может быть совершена работа при изотермическом процессе.

Коэффициент поверхностного натяжения зависит от природы жидкости. Для каждой жидкости он является функцией температуры и зависит от того, какая среда находится над свободной поверхностью жидкости.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА. Экспериментальная установка изображена на рис. 1. Она состоит из аспиратора А, соединенного с микроманометром М и сосудом В, в котором находится исследуемая жидкость. В аспиратор наливается вода. С помощью крана К аспиратор А может отсоединяться от сосуда В и присоединяться к такому же сосуду С с другой исследуемой жидкостью. Сосуды В и С плотно закрываются резиновыми пробками, имеющими по отверстию. В каждое отверстие вставляется стеклянная трубочка, конец которой представляет собой капилляр. Капилляр погружается на очень малую глубину в жидкость (так, чтобы он только касался поверхности жидкости). Микроманометр измеряет разность давления воздуха в атмосфере и аспираторе, или, что то же самое, в капилляре и сосуде В или С.

Микроманометр состоит из двух сообщающихся сосудов, один из которых представляет собой чашку большого диаметра, а другой наклонную стеклянную трубку малого диаметра (2 - 3 мм) (рис. 2). При достаточно большом отношении площадей сечений чашки и трубки можно пренебречь изменением уровня в чашке. Тогда по уровню жидкости в трубке малого диаметра можно определить измеряемую величину разности давлений:

где - плотность манометрической жидкости; - расстояние принимаемого неизменным уровня жидкости в чашке до уровня в трубке по наклону трубки; - угол, образованный наклонной трубкой с плоскостью горизонта.

В начальный момент времени, когда давление воздуха над поверхностью жидкости в капилляре и сосуде В одинаково и равно атмосферному. Уровень смачивающей жидкости в капилляре выше, чем в сосуде В, а уровень несмачивающей – ниже, так как смачивающая жидкость в капилляре образует вогнутый мениск, а несмачивающая - выпуклый.

Молекулярное давление под выпуклой поверхностью жидкости больше, а под вогнутым - меньше относительно давления под плоской поверхностью. Молекулярное давление, обусловленное кривизной поверхности, принято называть избыточным капиллярным давлением (давление Лапласа) . Избыточное давление под выпуклой поверхностью считается положительным, под вогнутой - отрицательным. Оно всегда направлено к центру кривизны сечения поверхности, т.е. в сторону ее вогнутости. В случае сферической поверхности избыточное давление можно вычислить по формуле:

где - коэффициент поверхностного натяжения, - радиус сферической поверхности.

Смачивающая капилляр жидкость поднимается до тех пор, пока гидростатическое давление столбика жидкости высотой (рис. 3а) не уравновесит избыточного давления, направленного в этом случае вверх. Высота 0 определяется из условия равновесия:

где - ускорение свободного падения, т.е.

Если, повернув кран аспиратора А, медленно выпускать из него воду, то давление воздуха в аспираторе, в соединенных с ним сосуде В и наклонном колене микроманометра начнет уменьшаться. В капилляре же над поверхностью жидкости давление равно атмосферному. В результате увеличивающейся разности давлений мениск жидкости в капилляре будет опускаться, сохраняя кривизну, пока не опустится до нижнего конца капилляра (рис. 3б). В этот момент давление воздуха в капилляре будет равно:

где - давление воздуха в сосуде В, - глубина погружения капилляра в жидкость, - давление Лапласа. Разность давлений воздуха в капилляре и сосуде В равна:

+ р = р изб + ρ g h = 2σ / r + ρ g h

С этого момента начинает меняться кривизна мениска. Давление воздуха в аспираторе и сосуде В продолжает уменьшаться. Так как разность давлений увеличивается, радиус кривизны мениска убывает, а кривизна возрастает. Наступает момент, когда радиус кривизны становится равным внутреннему радиусу капилляра (рис. 3в), а разность давлений становится максимальной. Затем радиус кривизны мениска снова увеличивается, и равновесие будет неустойчивым. Обязуется пузырек воздуха, который отрывается от капилляра и поднимается на поверхность. Жидкость затягивает отверстие. Далее все повторяется. На рис. 4 показано, как меняется радиус кривизны мениска жидкости, начиная с момента, когда он дошел до нижнего конца капилляра.

Из сказанного выше следует, что:

, (1)

где - внутренний радиус капилляра. Эту разность можно определить с помощью микроманометра, так как

где - плотность манометрической жидкости, - максимальное смещение уровня жидкости в наклонной трубке микроманометра, - угол между наклонным коленом микроманометра и горизонталью (см. рис. 2).

Из формул (1) и (2) получим:

. (3)

Так как глубина погружения капилляра в жидкость ничтожна , то ею можно пренебречь, тогда:

или , (4)

где - внутренний диаметр капилляра.

В том случае, когда жидкость не смачивает стенки капилляра, за в формуле (4) принимают внешний диаметр капилляра. В качестве манометрической жидкости в микроманометре используется вода ( = 1×10 3 кг/м 3).

ИЗМЕРЕНИЯ.

1. Налить в аспиратор воду до метки и закрыть его. Добиться равенства давлений в обоих коленах микроманометра, для чего на короткое время извлечь кран К. Установить его в такое положение, в котором он соединяет сосуд с аспиратором.

2. Открыть кран аспиратора настолько, чтобы изменение давления происходило достаточно медленно. Пузырьки воздуха должны отрываться примерно через каждые 10 - 15 с. После установления указанной частоты образования пузырьков можно проводить измерения.

ЗАДАНИЕ. 1. С помощью термометра определить и записать комнатную температуру t .

2. Девять раз определить максимальное смещение уровня жидкости в наклонном колене микроманометра. Для расчета коэффициента поверхностного натяжения взять среднее значение Н ср .

3. Аналогично определить коэффициент поверхностное натяжение этилового спирта.

4. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности при определении поверхностного натяжения каждой жидкости. Записать для каждой жидкости окончательные результаты измерений с учетом их точности по формуле.

Внутреннее трение в жидкости.

1. Расход жидкости в трубке тока:

а) объемный расход:

б) массовый расход:

где S – площадь поперечного сечения трубки тока;

v – скорость жидкости;

ρ – плотность жидкости.

2. Уравнение неразрывности струи:

где S 1 и S 2 – площади поперечного сечения трубки тока в двух местах;

v 1 и v 2 – соответствующие скорости течений.

3. Уравнение Бернулли:

4. Скорость течения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде:

где h – уровень жидкости относительно отверстия.

5. Поверхностное натяжение:

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l , ограничивающий поверхность жидкости.

6. Формула Лапласа, выражающая давление Р , создаваемое сферической поверхностью жидкости:

где R – радиус сферической поверхности.

7. Высота подъема жидкости в капиллярной трубке определяется по формуле Жюрена:

где Θ – краевой угол;

ρ – плотность жидкости;

r – радиус капилляра.

8. Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными плоскостями:

где d – расстояние между плоскостями.

9. Объем жидкости (газа), протекающей за время t через длинную трубку:

где r – радиус трубки;

l – длина трубки;

Δр – разность давлений на концах трубки,

η – коэффициент внутреннего сопротивления.

10. Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках

где (v) – средняя по сечению скорость течения жидкости;
d – диаметр трубки.

11. Число Рейнольдса для движения шарика в жидкости:

где v – скорость шарика;

d – диаметр шарика.

12. Сила сопротивления F , действующая со стороны потока жидкости на медленно движущийся в ней шарик (формула Стокса):

где r – радиус шарика;

v – скорость шарика.

Задачи.

1. Найти скорость течения по трубе углекислого газа, если известно, что за полчаса через поперечное сечение трубы протекает 0,51 кг газа. Плотность газа принять равной 7,5 кг/м 3 . Диаметр трубы равен 2 см.

2. В дне цилиндрического сосуда имеется круглое отверстие диаметром d =1 см. Диаметр сосуда D =0,5 м. Найти зависимость скорости v понижения уровня воды в сосуде от высоты h этого уровня. Найти численное значение этой скорости для высоты h =0,2 м.

Молоко течёт по молокопроводу диаметром 38 мм (установка УДС-1). На одном участке диаметр трубы уменьшился до 30 мм. На сколько изменится давление молока в этом участке трубы по сравнению с остальной частью трубы? Скорость течения молока в основной части трубы 2м/с.

4. Как высотой h =1,5 м наполнен до краёв водой. На расстоянии d =1 м от верхнего края бака образовалось отверстие малого диаметра. На каком расстоянии l от бака падает на пол струя, вытекающая из отверстия.

5. Струя воды с площадью S 1 поперечного сечения, равной 4 см 2 , вытекает в горизонтальном направлении из брансбойда, расположенного на высоте Н =2 м над поверхностью Земли, и падает на эту поверхность на расстоянии l =8 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха движению воды, найти избыточное давление Р воды в рукаве, если площадь S 2 поперечною сечения рукава равна 50 см 2 .

6. Трубка имеет диаметр d =0,2 см. На нижнем конце трубки повисла капля воды, имеющая в момент отрыва вид шарика. Найти диаметр d 2 этой капли.

7. Масса m 100 капель спирта, вытекающего из капилляра, равна 0,71 г. Определить поверхностное натяжение α спирта, если диаметр d шейки капли в момент отрыва равен 1 мм.

8. В воду опущена на очень малую глубину стеклянная трубка с диаметром d внутреннего канала, равным 1 мм. Найти массу воды m , вошедшей в трубку.

9. Капиллярная трубка диаметром d =0,5 мм наполнена водой. На нижнем конце трубки вода нависла в виде капли. Эту каплю можно принять за часть сферы радиуса r =3 мм. Найти высоту h столбика воды в трубке.

10. Какую работу А надо совершить при выдувании пузыря, чтобы увеличить его объем от V 1 =8 см 3 до V 2 = 16 см 3 ? Считать процесс изотермическим. (α =4 · 10 -2 Н/м).

11. Какая энергия выделится при слиянии двух капель ртути диаметром d 1 =0,8 мм и d 2 =1,2 мм в одну каплю. (α =0,5 Н/м, ρ =13,6 · 10 3 кг/м 3)

12. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d =5 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

13. В сосуде находится сыворотка крови, плотность которой 1026 кг/м 3 и α =6 ·10 -2 Н/м. На глубине 25 см от поверхности жидкости образовался пузырек воздуха диаметром 10 мкм. Определить давление воздуха в пузырьке, если атмосферное давление равно 750 мм. рт. столба.

14. Какой объем крови протекает через кровеносный сосуд длиной 50 мм и диаметром 3 см за 1 минуту, если на его концах имеется разность давлений в 2 мм. рт. ст. (η =4 · 10 -3 Па·с)

Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность которой в 4 раза больше плотности материала шарика. Во сколько раз сила трения, действующая на всплывающий шарик, больше веса этого шарика.

16. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить максимальное значение диаметра шарика, при которой движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является ещё ламинарным. Движение считать установившимся.(R е кр =0,5, ρ гл =1,26 · 10 3 кг/м 3 , ρ св =11,3 · 10 3 г/м 3 , η =1,48 Па·с)

17. Вода течет по круглой гладкой трубе диаметром d =5 см со средней по сечению скоростью =10 см/с. Определить число Рейнольдса R e , для потока жидкости в трубе и указать характер течения жидкости.

18. По трубе течёт машинное масло. Максимальная скорость v max , при которой движение масла в этой трубе остаётся ещё ламинарным, равно 3,2 см/с. При какой скорости v движение глицерина в этой же трубе переходит из ламинарного в турбулентное?(R e =2300, ρ мм =0,9 кг/м 3 , ρ гл =1260 кг/м 3 , η мм =0,1 Па·с, η гл =1,48 Па·с)

19. Стальной шарик диаметром 1 мм падаете постоянной скоростью v =0,185 см/с в большом сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую вязкость касторового масла.( R ст =7870 кг/м 3 , R км =960 кг/м 3)

20. Льдина площадью поперечного сечения S =1 м 2 и высотой Н =0,4 м плавает в воде. Какую работу А надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду? Плотность воды ρ в =1000 кг/м 3 , плотность льда ρ л =900 кг/м 3 .

21. Найти добавочное давление р внутри мыльного пузыря диаметром d =10 см. Определить работу А , которую нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь.

22. Определить изменение свободной энергии ΔЕ поверхности мыльного пузыря при изотермическом увеличении его объема от V 1 =10 см 3 до V 2 =2V 1 .

23. Воздушный пузырек диаметром d =2 мкм находится в воде у самой ее поверхности. Определить плотность ρ воздуха в пузырьке, если воздух над поверхностью воды находится при нормальных условиях.

24. Глицерин поднялся в капиллярной трубке на высоту h =20 мм. Определить поверхностное натяжение σ глицерина, если диаметр d канала трубки равен 1 мм.

25. Широкое колено U-образного ртутного манометра имеет диаметр d 1 =4 см, узкое d 2 =0,25 см. Разность Δh уровней ртути в обоих коленах равна 200 мм. Найти давление р , которое показывает манометр, приняв во внимание поправку на капиллярность.

26. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет со скоростью v 1 =2 м/с. Определить скорость v 2 нефти в узкой части трубы, если разность Δр давлений в широкой и узкой частях ее равна 6,65 кПа.

27. К поршню спринцовки, расположенной горизонтально, приложена сила F =15 Н. Определить скорость v истечения воды из наконечника спринцовки, если площадь S поршня равна 12 см 2 .

28. Струя воды диаметром d =2 см, движущаяся со скоростью v =10 м/с, ударяется о неподвижную плоскую поверхность, поставленную перпендикулярно струе. Найти силу F давления струи на поверхность, считая, что после удара о поверхность скорость частиц воды равна нулю.

29. Бак высотой Н =2 м до краев заполнен жидкостью. На какой высоте h должно быть проделано отверстие в стенке бака, чтобы место падения струи, вытекающей из отверстия, было на максимальном от бака расстоянии?

30. Из бака водонапорной башни, расположенного на высоте h =10 м, вода по трубе поступает в кран, находящийся вблизи поверхности земли. За какое время τ кран наполнит ведро объемом V=10 л? Диаметр выходного отверстия крана d=1 см. Сопротивлением течению жидкости в трубе и кране пренебречь.

31. Вода протекающая в широкой части горизонтальной трубы, имеет давление р =2 · 10 5 Па, в два раза больше атмосферного давления р 0 , и скорость v 1 =1 м/с (рис.). При каком соотношении диаметров D/d большой и малой трубы вода не будет вытекать из небольшого отверстия, расположенного в верхней части малой трубы?

32. В подвале дома вода отопительной системы поступает в трубу диаметром d 1 =4 см со скоростью v 1 =0,5 м/с под давлением р 1 =3 атм. Каковы скорость течения v 2 и давление в трубке р 2 диаметром d 2 =2,6 см на втором этаже, расположенном на 5 м выше?

33. Определить скорость полета струи из шприца диаметром d =4 см, на поршень которого давит сила F =30 Н. Площадь отверстия шприца много меньше площади поршня, сопротивлением воздуха пренебречь. Плотность жидкости ρ в =1000 кг/м 3 .

34. Цилиндр диаметром D заполнен водой и расположен горизонтально. С какой скоростью v перемещается в цилиндре поршень, если на него действует сила F , а из отверстия в дне цилиндра вытекает струя диаметром d ? Силу тяжести не учитывать. Плотность жидкости ρ .

35. какой скоростью v вытекает вода из маленького отверстия в дне широкого цилиндрического бака в момент времени, когда он заполнен до высоты h ? Какой объем воды Q нужно доливать в бак в единицу времени, чтобы уровень жидкости в баке остался неизменным? Площадь отверстия S .

36. Широкий сосуд с небольшим отверстием в дне наполнен водой и керосином. Пренебрегая вязкостью, найти скорость v вытекающей воды, если толщина слоя воды h 1 , а слоя керосина h 2 . Плотность воды ρ 1 , керосина – ρ 2 (ρ 1> ρ 2 ).

37. На гладкой горизонтальной поверхности стоит сосуд с водой. В боковой стенке сосуда у дна имеется малое отверстие площадью S . Какую силу F нужно приложить к сосуду, чтобы удержать его в равновесии, если высота уровня воды в сосуде равна h ? Плотность воды ρ .

При решении задач на тему гидростатического давления необходимо различать и не смешивать понятия абсолютного давления Р А, избыточного давления Р, вакуума Р ВАК, знать взаимосвязь между давлением (Па) и соответствующей ей пьезометрической высотой (h), уяснить понятие напора, знать закон Паскаля и свойства гидростатического давления.

При определении давления в точке объема или на точку площадки используется основное уравнение гидростатики (1.1.13).

При решении задач с системой сосудов необходимо составить уравнение абсолютных давлений, обеспечивающих неподвижность системы, т.е. равенства нулю алгебраической суммы всех действующих давлений. Уравнение составляется для какой - либо поверхности равного давления, выбранной в качестве поверхности отсчета.

Все единицы измерения величин следует принимать в системе СИ: масса – кг; сила – Н; давление – Па; линейные размеры, площади, объемы – м, м 2 , м 3 .

ПРИМЕРЫ

Пример 1.1.1 . Определить изменение плотности воды при ее нагревании от t 1 = 7 о С до t 2 = 97 о С, если коэффициент температурного расширения b t =0,0004 о С -1 .

Решение . При нагревании удельный объем воды увеличивается от V 1 до V 2 .

По формуле (1.1.1) плотность воды при начальной и конечной температурах составляет:

r 1 = М / V 1 , r 2 = М / V 2 .

Так как масса воды постоянна, то изменение плотности выражается:

Из формулы (1.4) увеличение объема воды , тогда

Примечание: изменение плотности жидкости при сжатии определяется аналогично с использованием коэффициента объемного сжатия по формуле (1.1.2). При этом V 2 = V 1 - DV.

Пример 1.1.2 . Определить объем расширительного бачка системы водяного охлаждения вместимостью 10 литров при нагревании от температуры t 1 = 15 о С до t 2 = 95 о С при давлении, близком к атмосферному.

Решение . Без учета коэффициента запаса объем бачка равен дополнительному объему воды при температурном расширении. Из формулы (1.1.4) увеличение объема воды

.

Плотности воды принимаем по таблице 1: r 1 = 998,9 кг/м 3 , r 2 = 961,8 кг/ м 3 . Коэффициент температурного расширения определяем по формуле (1.1.5):

Первоначальный объем V =10л = 10 . 10 -3 м 3 = 0,01 м 3 .

Дополнительный объем воды:

DV = 10 . 10 -3 (95 -15) 0,46 . 10 -3 = 368 . 10 -6 м 3 = 0,368 л

Пример 1.1.3 . В охлаждаемом сосуде газ, имеющий первоначальное давление Р 1 = 10 5 Па. и занимающий объем V 1 = 0,001 м 3 , сжимается до давления Р 2 = 0,5 . 10 6 Па. Определить объем газа после сжатия.

Решение . В случае охлаждаемого сосуда процесс является изотермическим (t = const) при котором уравнение состояния газа (1.1.8) принимает вид:

Р V = const или Р 1 V 1 = Р 2 V 2

Откуда определяем объем газа после сжатия

V 2 = Р 1 V 1 / Р 2 = 1 . 10 5 . 0.001 / 0,5 . 10 6 = 0,0002 м 3 =0,2 л.

Пример 1.1.4. Определить объем воды, который необходимо дополнительно подать в трубопровод диаметром d = 500 мм и длиной L = 1км, заполненный водой перед гидравлическим испытанием при атмосферном давлении и температуре t = 20 о С, для повышения давления в нем на DР = 5 . 10 6 Па. Материал труб считать абсолютно жестким.

Решение. Для определения дополнительного объема воды, который необходимо подать используем соотношение (1.1.2):

=

Первоначальный объем воды в трубопроводе равен объему трубопровода:

Приняв по справочным данным модуль объемной упругости воды

Е = 2 . 10 9 Па, определяем коэффициент объемного сжатия:

b V = 1 /Е = 1 / 2 . 10 9 = 5 . 10 -10 , Па -1

Преобразовывая соотношение (1.1.2) относительно DV, получаем:

b V DР V ТР + b V DР DV = DV; b V DР V ТР = (1 + b V DР) DV

Выражая DV, получаем искомый дополнительный объем:

Пример 1.1.5 . Определить среднюю толщину отложений d ОТЛ в трубопроводе внутренним диаметром d = 0,3 м и длиной L = 2 км, если при выпуске воды в количестве DV =0,05 м 3 давление в нем падает на величину DР = 1 . 10 6 Па.

Решение. Взаимозависимость изменения объема и давления воды характеризуется модулем объемной упругости.

Принимаем: Е = 2 . 10 9 Па.

Из формул (1.1.2) и (1.1.3) находим объем воды в трубопроводе с отложениями:

Этот же объем равен вместимости трубопровода:

Откуда определяем средний внутренний диаметр трубы с отложениями

Средняя толщина отложений составляет:

Пример 1.1.6 . Вязкость нефти, определенная по вискозиметру Энглера, составляет 8,5 о Е. Вычислить динамическую вязкость нефти, если ее плотность r = 850 кг/м 3 .

Решение . По эмпирической формуле Убеллоде (1.1.9) находим кинематическую вязкость нефти:

n = (0,0731 о Е – 0,0631 / о Е) 10 -4 =

= (0,0731 . 8,5 – 0.0631/8,5) = 0,614 . 10 -4 м 2 /с

Динамическую вязкость находим из соотношения (1.1.7):

m = n r = 0,614 . 10 -4 . 850 = 0,052 Па. с.

Пример 1.1.7 . Определить высоту подъема воды в капиллярной трубке диаметром d = 0,001 м при температуре t = 80 О С.

Решение. По справочным данным находим:

плотность воды при температуре 80 О С r = 971,8 кг/м 3 ;

поверхностное натяжение воды при температуре 20 О С s О = 0,0726 Н/м;

коэффициент b = 0,00015 Н/м О С.

По формуле (1.1.11) находим поверхностное натяжение воды при температуре 80 О С:

s = s О - b Dt = 0,0726 – 0,00015 . (80 -20) = 0,0636 Н/м

По формуле (1.1.12) изменение поверхностного давления, определяющего высоту капиллярного поднятия h КАП, составляет:

Р ПОВ = 2s / r или r g h КАП = 2s / r ,

откуда находим высоту подъема воды в трубке:

h КАП = 2 s / r g r = 2 . 0,0636 / 971,8 . 9,81 . 0,0005 =

0,1272 / 4,768 = 0,027 м =2,7 см.

Пример 1.1.8 . Определить абсолютное гидростатическое давление воды на дно открытого сосуда, наполненного водой. Глубина воды в сосуде h = 200 см. Атмосферное давление соответствует 755 мм рт. ст. Температура воды 20 о С. Выразить полученное значение давления высотой ртутного столба (r РТ = 13600 кг/м 3) и водного столба.

Решение: По основному уравнению гидростатики для открытого резервуара абсолютное давление в любой точке объема определяется по формуле (1.1.14):

Р А = Р а + r g h

По таблице 1 принимаем плотность воды при температуре 20 о С:

r = 998,23 кг/м 3 .

Переводя единицы измерения атмосферного давления и глубины воды в сосуде в систему СИ, определяем абсолютное давление на дне сосуда:

Р А = 755 . 133,322 + 998.23 . 9,81 . 2 =

100658 + 19585 = 120243 Па =120,2 КПа

Находим соответствующую высоту ртутного столба:

h А = Р/ r РТ g =120243 /13600 . 9,81 = 0, 902 м.

Находим высоту водного столба, соответствующую данному абсолютному давлению:

h А = Р А / r g = 120243 / 998,23 . 9,81 = 12, 3 м.

Это означает, что если к уровню дна сосуда присоединить закрытый пьезометр (трубку, в которой создан абсолютный вакуум), то вода в нем поднимется на высоту 12,3 м. Давление этого столба воды уравновешивает абсолютное давление, оказываемое на дно сосуда жидкостью и атмосферным давлением.

Пример 1.1 .9. В закрытом резервуаре с водой давление на свободной поверхности Р О =14,7 . 10 4 Па. На какую высоту Н поднимется вода в открытом пьезометре, присоединенном на глубине h = 5 м. Атмосферное давление соответствует h а = 10 м вод. ст.

Решение. Для решения данной задачи необходимо составить уравнение равенства абсолютных давлений со стороны резервуара и со стороны пьезометра относительно выбранной плоскости равного давления. Выберем плоскость равного давления 0-0 на уровне свободной поверхности в резервуаре.

Абсолютное давление со стороны резервуара на выбранном уровне равно поверхностному давлению:

Р А = Р О. (1)

Абсолютное давление на том же уровне со стороны жидкости в пьезометре складывается из атмосферного давления Р а и давления воды высотой h 1:

Р А = Р а + r g h 1 (2)

Так как система находится в равновесии (покое), то абсолютные давления со стороны резервуара и со стороны пьезометра уравновешиваются. Приравнивая правые части равенств (1) и (2), получим:

Р О = Р а + r g h 1 ,

Величина атмосферного давления в системе СИ составляет:

Р а = 9,806 . 10 000 мм = 9,806 . 10 4 Па.

Находим высоту превышения уровня воды в пьезометре над выбранной плоскостью равного давления:

h 1 = (Р О - Р а) / r g = (14,7 . 10 4 - 9,806 . 10 4) /1000 . 9,81 = 5 м.

Это превышение не зависит от точки подключения пьезометра, так как давления столбов жидкости высотой h ниже плоскости сравнения слева и справа взаимно компенсируются.

Общая высота воды в пьезометре больше высоты h 1 на глубину погружения точки присоединения пьезометра. Для данной задачи

Н = h 1 + h = 5 + 5 = 10 м.

Примечание: аналогичный результат можно получить, выбрав в качестве плоскости равного давления уровень подключения пьезометра.

Пример 1.1.10 . Построить эпюру абсолютного давления жидкости на ломаную стенку в открытом резервуаре.

Решение . Абсолютное давление в случае открытого резервуара определяется по формуле (1.1.14):

Р А = Р а + r g h, т.е. избыточное давление в каждой точке увеличивается на величину поверхностного давления (закон Паскаля).

Избыточное давление определяется:

в т. С: Р = r g . 0 = 0

в т. В: Р = r g . Н 2

в т. А: Р = r g (Н 2 + Н 1)

Отложим значение избыточного давления в точке В по нормали к стенке СВ и соединим с точкой С. Получим треугольник эпюры избыточного давления на стенку СВ. Для построения эпюры абсолютного давления в каждой точке необходимо добавить значение поверхностного давления (в данном случае атмосферного).

Аналогично ведется построение эпюры для отрезка АВ: Отложим значения избыточного давления в точке В и в точке А в направлении нормали к линии АВ, соединим полученные точки. Абсолютное давление получаем, увеличивая длину вектора на величину, соответствующую атмосферному давлению.

Пример 1.1.11. Определить абсолютное давление воздуха в сосуде с водой, если показание ртутного манометра h = 368 мм, Н = 1 м, плотность ртути r РТ =13600 кг/м 3 . Атмосферное давление соответствует 736 мм рт.ст.

Решение .

Выберем свободную поверхность ртути в качестве поверхности равного давления. Атмосферное давление на поверхности ртути уравновешивается абсолютным давлением воздуха в сосуде Р А, давлением столба воды высотой Н и столба ртути высотой h.

Составим уравнение равновесия и определим из него абсолютное давление воздуха (переводя все единицы в систему СИ):

Р а = Р А + r В g Н + r РТ g h , откуда

Р А = Р а - r В g Н - r РТ g h =

736 . 133,3 - 1000 . 9,81 . 1 - 13600 . 9,81 . 0,368 = 39202 Па

Так как абсолютное давление воздуха в сосуде меньше атмосферного, то в сосуде имеет место вакуум, равный разности атмосферного и абсолютного давлений:

Р ВАК = Р а – Р А = 736 . 133,3 - 39202 = 58907 Па = 59 КПа.

Примечание: тот же результат можно получить, выбрав в качестве поверхности равного давления свободную поверхность воды в сосуде или поверхность раздела воды и ртути.

Пример 1.1.12 . Определить избыточное давление Р О воздуха в напорном баке по показаниям батарейного ртутного манометра. Соединительные трубки заполнены водой. Отметки уровней даны в м. Какой высоты должен быть пьезометр для измерения этого давления?

Решение . Избыточное давление Р О = Р А – Р а в баке уравновешивается давлением столбов ртути и воды в манометре.

Давления взаимно уравновешивающихся высот на участках изгиба манометра из рассмотрения исключаем. Суммируя (с учетом направления действия давления) показания манометра от открытого конца до уровня свободной поверхности, составим уравнение равновесия:

Р О = r РТ g (1,8 – 0,8) - r В g (1,6 – 0,8) +r РТ g (1,6 – 0,6) - r В g (2,6 – 0,6) =

R РТ g (1,8 – 0,8 +1,6 – 0,6) - r В g (1,6 – 0,8 + 2,6 – 0,6) =

13600 . 9,81 . 2 – 1000 . 9,81 . 2.8 = 239364 Па = 0,24 МПа

Из формулы (1.16) находим высоту столба воды, соответствующую избыточному давлению Р О:

h ИЗБ = Р О / r В g = 0,24 . 10 6 / 1000 . 9,81= 24,5 м

Высота пьезометра выше на величину превышения свободной поверхности воды в баке над плоскостью с нулевой отметкой:

Н = h ИЗБ + 2,6 = 27,1 м.

Пример 1.13. Определить толщину s стальной стенки бака диаметром D = 4 м для хранения нефти (r Н = 900 кг/м 3) при высоте слоя нефти Н = 5 м. Давление на поверхности нефти Р О = 24,5 . 10 4 Па. Допустимое напряжение на растяжение материала стенки s = 140 МПа.

Решение . Расчетная толщина стенки круглого бака (без коэффициента запаса) определяется из условия сопротивления максимальному избыточному давлению. Атмосферное давление в баке не учитывается, так как оно компенсируется атмосферным давлением с внешней стороны бака.

Максимальное избыточное давление Р стенка испытывает у дна:

Р = Р А – Р а = Р О + r Н g Н - Р а =

24,5 . 10 4 + 900 . 9,81 . 5 – 10 . 10 4 = 18,91 . 10 4 Па

Расчетная толщина стенки определяется по формуле:

Пример 1.1.14. Определить перепад давлений воды в вертикальном трубном кольце, если в точке А она нагревается до температуры t 1 = 95 о С, а в точке В остывает до t 2 = 70 о С. Расстояние между центрами нагревания и охлаждения h 1 = 12 м.

Решение . Перепад давлений обусловлен разностью гидростатических давлений столба горячей воды в левой трубе и остывшей воды в правой трубе.

Давления столбов воды высотой h 2 в левой и правой трубах взаимно уравновешиваются и в расчете не учитываются, так как температура воды в них и, соответственно, плотность, одинаковы. Аналогично исключаем из расчета давления в левом и правом стояках высотой h 3 .

Тогда давление слева Р 1 = r Г g h 1 , давление справа Р 2 = r О g h 1 .

Перепад давлений составляет:

DР = Р 2 – Р 1 = r О g h 1 - r Г g h 1 = g h 1 (r О - r Г)

Принимаем по справочным данным (таблица 1) плотности воды при температуре t 1 = 95 о С и t 2 = 70 о С: r Г = 962 кг/м 3 , r О = 978 кг/м 3

Находим разность давлений

DР = g h 1 (r 2 - r 1) = 9,81 . 12 (978 –962) = 1882 Па.

Пример 1.1.15 . а) Определить избыточное давление воды в трубе, если Р МАН = 0,025 МПа, Н 1 = 0,5 м, Н 2 = 3 м.

б)Определить показания манометра при том же давлении в трубе, если вся трубка заполнена водой, Н 3 =5 м.

а)Решение . Избыточное давление в трубе уравновешено поверхностным давлением Р О = Р МАН в точке подключения манометра и системой столбов воды и воздуха в трубке. Давлением столбов воздуха можно пренебречь ввиду незначительности.

Составим уравнение равновесия с учетом направления давления столбов воды в трубке:

Р = Р МАН + r ВОД g Н 2 - r ВОД g Н 1 =

0,025 + 1000 . 9,81 . 10 -6 (3 – 0,5) = 0,025 + 0,025 = 0,05 МПа

б) Решение . Уравнение равновесия для данного случая

Р = Р МАН + r ВОД g Н 3 ,

откуда Р МАН = Р - r ВОД g Н 3 = 0,05 - 1000 . 9,81 . 10 -6 . 5 = 0,05 – 0,05 = 0 МПа.

Решенные задачи из учебника ФИЗИКА. Методические указания и контрольные задания. Под редакцией А. Г. Чертова

Ниже приведены условия задач и отсканированные листы с решениями. Загрузка страницы может занять некоторое время.

209. Определить относительную молекулярную массу Mr 1) воды; 2) углекислого газа; 3) поваренной соли.

219. В сосуде объемом V = 40 л находится кислород при температуре Т = 300 К. Когда часть кислорода израсходовали, давление в баллоне понизилось на Δр=100кПа.Определить массу Δm израсходованного кислорода. Процесс считать изотермическим.

229. В азоте взвешены мельчайшие пылинки, которые движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Масса каждой пылинки равна 6×10-10г. Газ находится при температуре T=400 К. Определить средние квадратичные скорости, а также средние кинетические энергии поступательного движения молекулы азота и пылинки.

239. Трехатомный газ под давлением P = 240кПа и температуре T = 20°C занимает объем V=10л. Определить теплоемкость Ср этого газа при постоянном давлении.

249. Средняя длина свободного пробега молекулы водорода при некоторых условиях равна 2 мм. Найти плотность ρ водорода при этих условиях.

259. Какая доля ω1 количества теплоты Q, подводимого к идеальному двухатомному газу при изобарном процессе, расходуется на увеличение ΔU внутренней энергии газа и какая доля ω2 на работу А расширения? Рассмотреть три случая, если газ: 1) одноатомный; 2) двухатомный; 3) трехатомный.

269. Газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту Q1 = 84кДж. Определить работу А газа, если температура T1 теплоотдатчика в три раза выше температуры T2 теплоприемника.

279. Воздушный пузырек диаметром d = 2,2 мкм находится в воде у самой ее поверхности. Определить плотность ρ воздуха в пузырьке, если воздух над поверхностью воды находится при нормальных условиях.

Открытый прямоугольный резервуар заполнен жидкостью (рис.1) до глубины Н. Найти абсолютное и избыточное давление на дне резервуара. Данные для расчета приведены в табл.1.

Закрытый прямоугольный резервуар заполнен жидкостью до глубины Н (рис.2). Задаются плотность жидкости ρ, избыточное давление на поверхности p 0 (см. табл.2). Определить пьезометрическую высоту h p и построить эпюру избыточного давления на стенку, указанную в таблице 2.

Плотность, кг/м 3

Плотность, кг/м 3

Плотность, кг/м 3

Вариант 1

Вертикальноерасстояние между горизонтальными осями резервуаров, заполненных водой, а= 4 м, при этом манометрическое давление на оси правого. резервуара p 2 = 200 кПа. Разность уровней ртути h =100 см. Уровень ртути в левом колене рас­положен ниже оси левого резервуара на Н = 6 м.

Определить манометрическое гидростатическое давление p 1 на оси левого резервуара, а также уверхней образующейего, если диаметр резервуара d = 2 м.

Вариант 2

Ртутныйманометр присоединен к резервуару, заполненному водой.

I) Определить избыточное давление на поверх­ности воды в резервуаре p 0 , если h 1 = 15 см, h 2 = 35 см. 2) Определить величину вакуума над поверхностью воды, если уровни ртути в обоих коле­нах манометра выровняются? Плотность ртути ρ рт = 13600 кг/м 3 .

Вариант 3

К закрытому резервуару, наполненному водой на глубину Н = 10 м, присоединен ртутный мано­метр. Разность уровней ртути в манометре состав­ляет h =100 см, при этом свободная поверхность воды в резервуаре превышает уровень ртути в левом колене на величину Н = 12 м. Атмосферное давление p a = 100 кПа.

I. Определить абсолютное давление воздуха p 0 в пространстве над свобод­ной поверхностью воды в резервуаре. 2. Найти абсолютное гидростатическое давление в самой низ­кой точке дна резервуара.

Вариант 4

В закрытом резервуаре находится вода с глубиною Н = 5 м, на свободной поверхности которой манометрическое давление p 0 = 147,15 кПа.К ре­зервуару на глубине h = 3 мприсоединен пье­зометр, т.е. трубка, открытаясверху и сообщаю­щаяся с атмосферой.

1. Определить пьезометрическую высоту h p .

2. Найти величину манометрического гидростатического давления на дне сосуда.

Вариант 5

В дифференциальном манометре, присоединен­ном к закрытомурезервуару, разность уровнейртути составляет h = 30 см.Открытое правое колено манометра сообщается с атмосферой, дав­ление которой равно p a =100 кПа. Уровень рту­ти в левом колене манометра находится в горизон­тальной плоскости, совпадающей с дном резервуа­ра.

1) Найтиабсолютное давление воздуха и ва­куум в пространстве над свободной поверхностью воды в резервуаре.

2) Определить абсолютное гид­ростатическое давление на дне резервуара. Глуби­на воды в резервуаре Н = 3,5 м.

Вариант 6

К закрытому резервуару с горизонтальным дном присоединен пьезометр. Атмосферное давление на поверхности воды в пьезометре р а =100 кПа. Глубина воды в резервуаре h =2 м, высота воды в пьезометре Н = 18 м. Определить абсолютное давление на поверхности воды в резервуаре и аб­солютное и избыточное давление на дне.

Вариант 7

Точка А заглублена под горизонтомводы в сосуде на величину h = 2,5 м, пьезометрическая высота для этой точки равна h Р = 1,4 м.

Определить для точки А величину абсолютного давления, а такжевеличинувакуума на поверхности воды в сосуде, если атмосферное давление p a = 100 кПа.

Вариант 8

К закрытому сосуду подведены две трубки, как показано на чертеже. Левая трубка опущена в банку с водой, правая заполнена ртутью.

Определить абсолютное давление воздуха p 0 на поверхности жидкости в сосуде и высоту, стол­ба ртути h 2 , если высота столба воды h 1 =3,4 м, а атмосферное давление р a = 100 кПа. Плотность ртути ρ рт = 13600 кг/м 3 .

Вариант 9

Два закрытых резервуара, горизонтальные днища которых расположены в одной плоскости, соединены дифференциальным манометром, разность уровней ртути в нём h =100 см, при этом уровень ртути в левом колене совпадает с плос­костью дна резервуара. В левом резервуаре нахо­дится вода с глубиной H 1 = 10 м. В правом содер­жится масло с глубиной H 2 = 8 м. Плотность мас­ла ρ м = 800 кг/м 3 , плотность ртути ρ рт = 13600 кг/м 3 .На поверхностиводы манометрическое давление p 1 = 196 кН/м 2 . Найти манометрическое давление на поверхности масла p 0 . Определить манометрическое давление на дне каждого резервуара.

Вариант 10

Горизонтально расположенные круглые резервуары заполнены водой. Диаметркаждого резервуа­ра Д =2 м. Разность уровней ртути в манометре h = 80 см. Манометрическое гидростатическое давление p 1 на оси левого резервуара равно 98,1 кПа. Ось правого резервуара находится ниже оси левого на z = 3 м/

Определить манометрическое гидростатическое давление p 2 , на оси правого резервуара, а так­же на нижней его образующей – в точке А.

Вариант 11

Определить разность давлений в точках, на­ходящихся на осях цилиндров Аи В, заполненных водой, если разность уровнейртути в дифферен­циальномманометре Δh = 25 см, разность уровней осей цилиндров Н = 1 м.

Вариант 12

Закрытая сверху трубка опущена открытым концом в сосуд с водой. На свободной поверхности воды в трубке абсолютное давление р 0 =20 кПа. Атмосферное давлениер а =100 кПа.Определить высоту поднятия воды в трубке h.

Вариант 13

В закрытом резервуаре с горизонтальным дномсодержится нефть. Глубина нефти Н=8 м. Найтиманометрическое и абсолютное давление на дне ре­зервуара, если манометрическоедавление над сво­бодно л поверхностью нефти равно p 0 = 40 кПа, Плотность нефтиρ н = 0,8 г/см 3 . Атмосферноедавление р а = 100 кПа.

Вариант 14

Абсолютное давление наповерхности водыв сосуде р 0 = 147 кПа.

Определить абсолютное давление и манометри­ческое давление в точке А, находящейся из глу­бине h = 4,8 м, найти такжепьезометрическую; высоту h p для этой точки. Атмосферное давлениер а = 100 кПа.

Вариант 15

Определить избыточное поверхностное давле­ние р 0 в закрытом сосуде с водой, если в трубке открытого манометре ртуть поднялась на в высоту h = 50 см. Поверхность воды находится на вы­соте h 1 = 100 см от нижнего уровня ртути. Плотность ртути ρ рт = 13600 кг/м 3 .

Вариант 16

Два закрытых резервуара, оси которых нахо­дятся в одной горизонтальной плоскости, запол­нены водой и соединены П-образной трубкой.

Уровни воды в левом и правом коленах соот­ветственно равны, z л = 1,5 м, z п = 0,5 м.

Верхняя часть трубки заполнена маслом, плотность которого ρ м = 800 кг/м 3 . Манометри­ческое давление на оси левого резервуара р л = 78,5 кПа. Определить манометрическое дав­ление на оси правого резервуара и на линии раз­дела воды и масла в левой трубке.

Вариант 17

В закрытом резервуаре находится вода с глу­биной Н = 2м, на свободной поверхности которой давление равно р 0 . В присоединенном к резервуару дифференциальном манометре разность уровней сос­тавляет h = 46 см. Уровень ртути в левом колене совпадает с дном резервуара. Определить абсолютное давление р 0 и абсолютное гидростатическое давление на дне резервуара, если атмосферное давление р а = 100 кПа.

Вариант 18

Водосливное отверстие плотины, удерживающей воду в водохранилище, закрыто сегментным затвором АЕ кругового очертания радиусом r = 2 м. Определить абсолютное гидростатическое давление в нижней точке затвора Е (р Е,абс ) и найти высоту плотины h , если избыточное давление на дне водохранилища р д,и = 75 кПа. Атмосферное давление р а =101 кПа.

Вариант 19

Определить разность уровней ртути h в соединительной трубке сообщающихся сосудов, если давление на поверхности воды в левом сосуде р 1 = 157 кПа. Возвышение уровня воды над нижним уровнем ртути Н = 5 м. Разность уровней воды и масла Δh = 0,8 м. р 2 = 117 кПа. Плотность масла ρ м = 800 кг/м 3 . Плотность ртути ρ рт = 13600 кг/м 3 .

Вариант 20

Два резервуара круглого сечения, расположен­ные на одном уровне, заполнены водой. Диаметр каждого резервуара D = 3 м. Разность уровней ртути h = 40 см. Гидростатическое давление на оси первого резервуара р 1 = 117 кПа. Опреде­лить гидростатическое давление на оси второго резервуара р 2 , а также в нижнейего точке. Плотность ртути ρ рт = 13600 кг/м 3 .

Вариант 21

В резервуаре находится вода. Горизонтальная часть внутренней стенки резервуара ВС расположена на глубине h = 5 м. Глубина воды в резервуаре Н = 10 м. Атмосферное давление р а = 100 кПа.

Найти манометрическое гидростатическое давление в точках В и С, построить эпюру этого давления на стенку АВСД и определить абсолютное гидростатическое давление на дно резервуара.

Вариант 22

Разность уровней воды в закрытых резервуарах, сообщающихся между собой, составляет h = 4 м. В левом резервуаре глубина воды H = 10 м и абсолютное давление на свободной поверхности воды p 1 = 300 кПа.

Найти абсолютное давление воздуха р 2 на свободной поверхности воды в правом резервуаре и на дне резервуаров.

Вариант 23

В закрытом резервуаре содержится минеральное масло, имеющее плотность ρ = 800 кг/м 3 . Над свободной поверхностью масла избыточное давление воздуха р ои = 200 кПа. К боковой стенке резервуара присоединен манометр, показанный на чертеже. Вычислить:

1. Избыточное давление на дно резервуара и

2. Показание манометра

Вариант 24

Вакуумметр В, присоединенный к резервуару выше уровня воды, показывает вакуумметрическое давление р вак = 40 кПа. Глубина воды в резервуаре Н = 4 м. С правой стороны к резервуару выше уровня воды присоединен жидкостный ртутный вакуумметр.

Вычислить:

абсолютное давление воздуха в резервуаре р абс,

высоту поднятия воды в жидкостном вакуумметре h,

абсолютное давление на дно резервуара р дабс,

Атмосферное давлении р а = 98,06 кПа. Плотность ртути ρ рт = 13600 кг/м 3 .

Вариант 25

Разность уровней воды в резервуарах h= 15 м. Глубина воды в левом резервуаре Н = 8 н.

Вычислить

манометрическое давление воздуха над поверхностью воды в закрытом левом резервуаре р о,

избыточное давление на дно левого резервуара р ди,

построить эпюру избыточного давления на левую вертикальную стенку закрытого резервуара.

Вариант 26

В закрытом резервуаре находятся три разные жидкости: минеральное масло с плотностью ρ м = 800 кг/м 3 вода и ртуть с плотностью ρ рт = 13600 кг/м 3 . Уровень ртути в пьезометре на 0,15 м выше, чем в резервуаре (h 3 = 0,15 м). Атмосферное давление р а = 101 кПа. Вычислить:

1. Абсолютное давление воздуха под крышкой резервуара;

2. Вакуумметрическое давление под крышкой резервуара если h 1 = 2 м, h 2 = 3 м.

Вариант 27

В герметично закрытом резервуаре находится минеральное масло с плотностью ρ м = 800 кг/м 3 . Глубина масла h 1 = 4 м. К стенке резервуара выше уровня масла присоединен ртутный манометр, в котором разность уровней ртути h 2 = 20 см. Атмосферное давление р а = 101 кПа. Уровень ртути в левом колене манометра и уровень масла в резервуаре находятся на одной отметке.

Определить абсолютное давление воздуха под крышкой резервуара (р о,абс ) и манометрическое давление масла на дне резервуара (р д, м )

Вариант 28

В герметично закрытом баке находится вода. К боковой стенке бака на глубине h = 1,2 м подсоединен механический манометр, который показывает гидростатическое давление р м = 4 атм. Определить абсолютное давление на свободной поверхности воды в баке р о,абс и величину давления, которую показывает манометр, установленный на крышке бака. Атмосферное давление равно 101 кПа.

Вариант 29

Два бака с водой разделены вертикальной стенкой, в нижней части которой имеется отверстие. Левый бак открытый. Правый бак закрыт герметичной крышкой. Глубина воды в левом баке h 1 = 8 м. Глубина воды в правом баке h 2 = 1 м.

Атмосферное давление р а =101 кПа.

Определить избыточное гидростатическое давление воздуха под крышкой правого бака и абсолютное давление на дне правого бака.

Вариант 30

Два герметично закрытых резервуара с водой соединены ртутным манометром. Манометрическое давление воздуха над поверхностью воды в левом резервуара р л, м = 42 кПа. Абсолютное давление воздуха над поверхностью воды в правом резервуара р п, абс =116 кПа. Глубина воды над уровнем ртути в левом резервуара h 1 = 4 м. Глубина воды над уровнем ртути в правом резервуара h 3 = 2,5 м. Атмосферное давление р а =101 кПа. Определить разность уровней ртути в манометре h 2 .