Элементы комбинаторики размещения перестановки сочетания кратко. Опорный конспект по разделу "комбинаторика"

План:

1. Элементы комбинаторики.

2. Общие правила комбинаторики.

4. Применение графов (схем) при решении комбинаторных задач.

1. Комбинаторика и ее возникновение.

Комбинаторика - это область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.

Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев тогдашнего общества большое место занимали азартные игры (карты, кости). Широко были распространены лотереи. Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр: сколькими способами можно получить данное число очков, бросая 2 или 3 кости или сколькими способами можно получить 2-ух королей в некоторой карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр являлись движущей силой в развитии комбинаторики и далее в развитии теории вероятностей.

Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицы (числа способов выпадения k очков на r костях). Однако, он не учел, одна и та же сумма очков может выпасть различными способами, поэтому его таблицы содержали большое количество ошибок.

Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские математики Блез Паскаль и Ферма. Исходным пунктом их исследований были так же проблемы азартных игр.

Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Я. Бернулли, Г. Лейбница, Л. Эйлера. Однако, и в их работах основную роль играли приложения к различным играм.

Сегодня комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний, для составления планов производства и реализации продукции и т.д.

2. Общие правила комбинаторики.

Правило суммы: Если некоторый объект А может быть выбран m способами, а объект В- k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать m +k способами.

Примеры:

1. Допустим, что в ящике находится n разноцветных шаров. Произвольным образом вынимается 1 шарик. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: n способами.

Распределим эти n шариков по двум ящикам: в первый- m шариков, во второй- k шариков. Произвольным образом из произвольно выбранного ящика вынимается 1 шарик. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Из первого ящика шарик можно вынуть m способами, из второго- k способами. Тогда всего способов m+k=n .

2. Морской семафор.

В морском семафоре каждой букве алфавита соответствует определенное положение относительно тела сигнальщика двух флажков. Сколько таких сигналов может быть?

Решение: Общее число складывается из положений, когда оба флажка расположены по разные стороны от тела сигнальщика и положений, когда они расположены по одну сторону от тела сигнальщика. При подсчете числа возможных положений применяется правило суммы.

Правило произведения: Если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта А) k способами, то пары объектов «А и В» можно выбрать m *k способами.

Примеры:

1. Сколько двузначных чисел существует?

Решение: Число десятков может быть обозначено любой цифрой от 1 до 9. Число единиц может быть обозначено любой цифрой от 0 до 9. Если число десятков равно 1, то число единиц может быть любым (от 0 до 9). Таким образом, существует 10 двузначных чисел, с числом десятков- 1.Аналогично рассуждаем и для любого другого числа десятков. Тогда можно посчитать, что существует 9 *10 = 90 двузначных чисел.

2. Имеется 2 ящика. В одном лежит m разноцветных кубиков, а в другом- k разноцветных шариков. Сколькими способами можно выбрать пару «Кубик-шарик»?

Решение: Выбор шарика не зависит от выбора кубика, и наоборот. Поэтому, число способов, которыми можно выбрать данную пару равно m *k .

3. Генеральная совокупность без повторений и выборки без повторений.

Генеральная совокупность без повторений - это набор некоторого конечного числа различных элементов a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n .

Пример: Набор из n разноцветных лоскутков.

Выборкой объема k (k n ) называется группа из m элементов данной генеральной совокупности.

Пример: Пестрая лента, сшитая из m разноцветных лоскутков, выбранных из данных n .

Размещениями из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

- число размещений из n по k .

Число размещений из n по k можно определить следующим способом: первый объект выборки можно выбрать n способами, далее второй объект можно выбрать n -1 способом и т.д.

Преобразовав данную формулу, имеем:

Следует помнить, что 0!=1.

Примеры:

1. В первой группе класса А первенства по футболу участвует 17 команд. Разыгрываются медали: золото, серебро и бронза. Сколькими способами они могут быть разыграны?

Решение: Комбинации команд-победителей отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 17 по 3.

2. Научное общество состоит из 25-ти человек. Необходимо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Комбинации руководящего состава общества отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 25 по 4.

Перестановками без повторений из n элементов называются размещения без повторений из n элементов по n , т.е. размещения отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Число перестановок.

Примеры:

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что они должны состоять из различных цифр?

Решение: Имеем перестановки из 5 элементов. 2. Сколькими способами можно собрать 6 разноцветных лоскутков в пеструю ленту?
Решение: Имеем перестановки из 6 элементов.

Сочетаниями без повторений из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по k элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга только составом элементов.

- число сочетаний из n по k

Элементы каждого из сочетаний можно расставить способами. Тогда Примеры:

1. Если в полуфинале первенства по шахматам участвует 20 человек, а в финал выходят лишь трое, то сколькими способам и можно определить эту тройку?

Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки, вышедшие в финал, являются сочетаниями из 20 по 3.

2. Сколькими способами можно выбрать трех делегатов из десяти человек на конференцию?

Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки делегатов являются сочетаниями из 10 по 3.

Конспект:

4.Применение графов (схем) при решении комбинаторных задач.

В случае, когда число возможных выборов на каждом шагу зависит от того, какие элементы были выбраны ранее, можно изобразить процесс составления комбинаций в виде «дерева». Сначала из одной точки проводят столько отрезков, сколько различных выборов можно сделать на первом шагу. Из конца каждого отрезка проводят столько отрезков, сколько можно сделать выборов на втором шагу, если на первом шагу был выбран данный элемент и т.д.

Задача:

При составлении команд космического корабля учитывается вопрос и психологической совместимости участников путешествия. Необходимо составить команду космического корабля из 3 человек: командира, инженера и врача. На место командира есть 4 кандидата: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 .На место инженера- 3: b 1 , b 2 , b 3 . На место врача- 3: c 1 , c 2 , c 3 . Проведенная проверка показала, что командир a 1 психологически совместим с инженерами b 1 и b 3 и врачами c 1 и c 3 . Командир a 2 - с инженерами b 1 и b 2 . и всеми врачами. Командир a 3 - с инженерами b 1 и b 2 и врачами c 1 и c 3 . Командир a 4 -со всеми инженерами и врачом c 2 . Кроме того, инженер b 1 не совместим с врачом c 3 , b 2 - с врачом c 1 и b 3 - с врачом c 2 . Сколькими способами при этих условиях может быть составлена команда корабля?

Решение:

Составим соответствующее «дерево».

Ответ: 10 комбинаций.

Такое дерево является графом и применяется для решения комбинаторных задач.

Цель занятия: уметь применять основные формулы комбинаторики и знать условия применения этих формул; знать свойства биномиальных коэффициентов и уметь определять разложение бинома при конкретных значениях n.

План занятия:

1. Число размещений.

2. Число перестановок.

3. Число сочетаний.

4. Повторения.

5. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.

Методические указания по изучению темы

Во многих практических случаях возникает необходимость подсчитать количество возможных комбинаций объектов, удовлетворяющих определенным условиям. Такие задачи называются комбинаторными. Разнообразие комбинаторных задач не поддается исчерпывающему описанию, но среди них есть целый ряд особенно часто встречающихся, для которых известны способы подсчета.

Комбинаторика – область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combina – сочетать, соединять.

Пусть есть некоторое множество из n элементов: x 1, x 2, x 3, …, x n .

Из этого множества можно образовать различные подмножества, то есть выборки, каждая из которых содержит m элементов (0 ≤ m ≤ n). Различают упорядоченные выборки (размещения), перестановки и неупорядоченные выборки (сочетания).

Размещения

Размещениями n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений из n элементов по m элементов обозначают (А – первая буква французского слова arrangement, что означает размещение, приведение в порядок) и вычисляют по формуле:

Понятие факториала

Произведение n натуральных чисел от 1 до n обозначается символом n ! (n факториал), то есть

Например, 2!=

5!=

Заметим, что удобно рассчитывать 0!, полагая по определению, 0!=1.

Примеры:

Из последних двух формул следует, что

Пример.

В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько существует вариантов призовой тройки?

Решение : Так как порядок команд в призовой тройке важен, то мы имеем дело с размещениями. Тогда

(вариантов).

Пример.

Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?

Решение:

(способов).

Пример.

Сколько можно составить телефонных номеров из 5 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различными?

(телефонных номеров).

Перестановки

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок из n элементов обозначают P n (P – первая буква французского слова permutation, что означает перестановка) и вычисляют по формуле:

Пример.

В финальном забеге на 100 метров участвуют 8 спортсменов. Сколько существует вариантов протокола забега?

Решение:

В данном случае речь идёт обо всех перестановках из 8 элементов. Тогда (вариантов)

Пример.

Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке10 человек?

Решение:

(способов)

Пример.

Сколькими способами можно разместить 7 лиц за столом, на котором поставлено 7 столовых приборов?

Решение:

(способов).

Сочетания

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний вычисляют по формуле: (С - первая буква французского слова combinasion).

Пример.

Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?

Решение :

(способов).

Пример.

Сколькими способами можно выбрать три детали из ящика, содержащего 15 деталей?

Решение:

(способов).

Другой вид формул числа размещений и числа сочетаний

; , то есть .

Свойства числа сочетаний:

5)

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами, а другой объект В – k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать n+k способами.

Правило произведения. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами и после каждого такого выбора другой объект В – k способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана n×k способами.

Если некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.

Размещения с повторениями

Число размещений по m элементов с повторениями из n различных элементов равно n m ,то есть

Пример.

Из цифр 1,2,3,4,5 можно составить 5 3 =125 трехзначных чисел, если в одном и том же числе могут попадаться и одинаковые цифры.

Перестановки с повторениями

Если среди n элементов есть n 1 элементов одного вида, n 2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями

где

Пример.

Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове «математика»?

Решение:

Сочетания с повторениями

Число сочетаний с повторениями из n различных элементов по m элементов равно числу сочетаний без повторений из (n +m -1) различных элементов по m элементов:

Пример.

Найти число сочетаний с повторениями из четырех элементов a , b , c , d по 3 элемента.

Решение:

Искомое число будет

Бином Ньютона

Для произвольного положительного целого числа n справедлива следующая формула:

Это бином Ньютона. Коэффициенты называются биномиальными коэффициентами.

При n = 2 получим формулу ;

При n = 3 получим формулу .

Пример. Определить разложение при n=4.

Решение:

Биномиальные коэффициенты обладают рядом свойств:

2. ;

Рассмотрим следующий треугольник:

………………………….

Строка под номером n содержит биномиальные коэффициенты разложения . Воспользовавшись свойством , можно заметить, что каждый внутренний элемент треугольника равен сумме двух элементов, расположенных над ним, а боковые элементы треугольника – единицы:

……………………….

Это треугольник Паскаля. Он позволяет быстро найти значения биномиальных коэффициентов.

В русскоязычной литературе перестановки, составленные из n различных элементов выбором по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком, обычно называют размещениями, а под перестановками понимают всю совокупность комбинаций, состоящих из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. В этом смысле число всех возможных перестановок для множества из n различных элементов считается по формуле факториала Pn = n! или в Excel «=ФАКТР(N)» (см. рис. № 1)

Например, если ввести «=ПЕРЕСТ(3;2)», получим 6. Это 6 комбинации: (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).

А вот встроенная функция «=ЧИСЛКОМБ(N;K)» выдает комбинаторную формулу, называемую у нас «Число сочетаний». В русскоязычной литературе так именуют перестановки, составленные из n различных элементов выбором по m элементов, которые отличаются только составом элементов, а порядок их выбора безразличен (см. рис, №4)

При использовании встроенных функций пользуйтесь «Справкой по этой функции». Например:

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить:

2. Вычислить:

3. Вычислить:

4. Найти n , если 5С n 3 =

5. Найти n , если

6. Найти n , если

7. Найти n , если

8. Найти n , если , k n

9. Решить уравнение

10. Решить систему

11. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

12. Сколькими способами можно выбрать четыре лица на четыре различные должности из девяти кандидатов?

13. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различны?

14. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами могут быть распределены уроки в один день?

15. Сколько можно записать четырёхзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?

16. Фирма производит выбор из девяти кандидатов на три различные должности. Сколько существует способов такого выбора?

17. В восьмом классе изучается 15 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на среду, если известно, что в этот день должно быть 6 уроков?

18. В высшей лиге чемпионата страны по футболу 16 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?

19. Сколькими способами можно разместить 9 лиц за столом, на котором поставлено 9 приборов?

20. На собрании выступят 6 ораторов. Сколькими способами их фамилии можно расположить в списке?

21. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

22. Сколькими различными способами можно расставить 10 различных книг на полке, чтобы определённые 4 книги стояли рядом?

23. В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько всего матчей будет сыграно?

24. Из 25 студентов нужно выбрать трех делегатов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?

25. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

26. В колоде 36 карт, из них 4 туза. Сколькими способами можно извлечь 6 карт так, чтобы среди них было 2 туза?

27. Комплексная бригада состоит из двух маляров, трёх штукатуров и одного столяра. Сколько различных бригад можно создать из рабочего коллектива, в котором 15 маляров, 10 штукатуров и 5 столяров?

28. В отборочном турнире за 3 путёвки на чемпионат мира участвуют 10 команд. Сколько существует вариантов «счастливой тройки»?

29. Из 12 человек выбирают четверых для назначения на 4 одинаковые должности. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

30. Сколькими различными способами можно составить разведывательную группу из 3-х солдат и одного командира, если имеется 12 солдат и 3 командира?

31. На плоскости дано n точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Найти число прямых, которые можно получить, соединяя точки попарно.

32. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательность точек и тире. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?

33. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?

34. Пусть буквы некоторой азбуки образуются как последовательность точек, тире и пробелов. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?

35. При игре в бридж между четырьмя игроками распределяется колода карт в 52 листа по 13 карт каждому игроку. Сколько существует различных способов раздать карты?

36. В почтовом отделении продаются открытки пяти видов. Определить число способов покупки семи открыток.

37. Два коллекционера обмениваются марками. Найти число способов обмена, если первый коллекционер обменивает 3 марки, а второй – 6 марок. (Обмен происходит по одной марке).

38. У одного студента 6 книг по математике, а у другого – 5. Сколькими способами они могут обменять 2 книги одного на 2 книги другого?

39. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: «замок», «ротор», «обороноспособность», «колокол», «семинар»?

40. Сколькими различными способами можно разместить в 9 клетках следующие 9 букв: а, а, а, б, б, б, в, в, в?

41. В автомашине 6 мест. Сколькими способами 6 человек могут сесть в эту машину, если занять место водителя могут только двое из них?

42. Сколькими способами из колоды в 52 карты можно извлечь 6 карт, содержащих туза и короля одной масти?

43. Определить разложение при n=5.

44. Определить разложение при n=8.

45. Найти член разложения , не содержащий x (то есть содержащий x в нулевой степени).

46. Найти шестой член разложения , если биномиальный коэффициент третьего от конца члена равен 45.

47. В разложении коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго члена. Найти свободный член, то есть член разложения, не зависящий от x (членом, не зависящим от x, будет тот, который содержит x в нулевой степени).

48. В разложении бинома найти члены, не содержащие иррациональности.

49. Найти номер того члена разложения , который содержит a и b в одинаковых степенях.

Практическое занятие №2

(интерактивное занятие в малых группах)

Булевы функции

Цель занятия: уметь строить различные булевы функции, проверять эквивалентность булевых формул (используя таблицу истинности), определять существенные и фиктивные переменные.

План занятия:

1. Основные операции

2. Булевы функции от n переменных

3. Основные эквивалентности

Посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Например, сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды, состоящей из 36 карт, или сколькими способами можно составить очередь, состоящей из10 человек и т.д. Каждое правило в комбинаторике определяет способ построения некоторой конструкции, составленной из элементов исходного множества и называемой комбинацией . Основная цель комбинаторики состоит в подсчете количества комбинаций, которые можно составить из элементов исходного множества в соответствии с заданным правилом. Простейшими примерами комбинаторных конструкций являются перестановки, размещения и сочетания.

Рождение комбинаторики связано с работами Б. Паскаля и П. Ферма по поводу азартных игр, большой вклад внесли Лейбниц, Бернулли, Эйлер. В настоящее время интерес к комбинаторике связан с развитием компьютеров. Нас в комбинаторике будет интересовать возможность определения количественно различных подмножеств конечных множеств для вычисления вероятности классическим способом.

Для определения мощности множества, которое соответствует тому или иному событию, полезно разобраться с двумя правилами комбинаторики: правило произведения и правило суммы (иногда их называют принципами умножения и сложения соответственно).

Правило nроизведения: пусть из некоторого конечного множества

1-й объект можно выбрать k 1 способами,

2-ой объект - k 2 способами,

n -ый объект - k n способами. (1.1)

Тогда произвольный набор, перечисленных n объектов из данного множества можно выбрать k 1 , k 2 , …, k n способами.

Пример 1. Сколько существует трехзначных чисел с разными цифрами?

Решение . В десятичной системе исчисления десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. На первом месте может стоять любая из девяти цифр (кроме нуля). На втором месте - любая из оставшихся 9 цифр, кроме выбранной. На последнем месте любая из оставшихся 8 цифр.

По правилу произведения 9·9·8 = 648 трёхзначных чисел имеют разные цифры.

Пример 2. Из пункта в пункт ведут 3 дороги, а из пункта в пункт - 4 дороги. Сколькими способами можно совершить поездку из в через ?

Решение . В пункте есть 3 способа выбора дороги в пункт , а в пункте есть 4 способа попасть в пункт . Согласно принципу умножения, существует 3×4 = 12 способов попасть из пункта в пункт .

Правило суммы: при выполнении условий (1.1), любой из объектов можно выбрать k 1 +k 2 +…+k n способами.

Пример 3. Сколько существует способов выбора одного карандаша из коробки, содержащей 5 красных, 7 синих, 3 зеленых карандаша.

Решение . Один карандаш, по правилу суммы, можно выбрать 5+7+3 = 15 способами.

Пример 4. Пусть из города в город можно добраться одним авиамаршрутом, двумя железнодорожными маршрутами и тремя автобусными маршрутами. Сколькими способами можно добраться из города в город ?

Решение . Все условия принципа сложения здесь выполнены, поэтому, в соответствии с этим принципом, получим 1+2+3 = 6 способов.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий различие принципов умножения и сложения.

Пример 5. В магазине электроники продаются три марки телевизоров и два вида видеомагнитофонов. У покупателя есть возможности приобрести либо телевизор, либо видеомагнитофон. Сколькими способами он может совершить одну покупку? Сколько различных комплектов, содержащих телевизор и магнитофон, можно приобрести в этом магазине, если покупатель собирается приобрести в паре и телевизор, и видеомагнитофон?

Решение . Один телевизор можно выбрать тремя способами, а магнитофон - другими двумя способами. Тогда телевизор или магнитофон можно купить 3+2=5 способами.

Во втором случае один телевизор можно выбрать тремя способами, после этого видеомагнитофон можно выбрать двумя способами. Следовательно, в силу принципа умножения, купить телевизор и видеомагнитофон можно 3×2 = 6 способами.

Рассмотрим теперь примеры, в которых применяются оба правила комбинаторики: и принцип умножения, и принцип сложения.

Пример 6. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко, либо апельсин. После чего Надя выбирает из оставшихся фруктов и яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов?

Решение . Ваня может выбрать яблоко 12 способами, апельсин - 10 способами. Если Ваня выбирает яблоко, то Надя может выбрать яблоко 11 способами, а апельсин - 10 способами. Если Ваня выбирает апельсин, то Надя может выбрать яблоко 12 способами, а апельсин - 9 способами. Таким образом, Ваня и Надя могут сделать свой выбор способами.

Пример 7. Есть 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 адресам. Сколькими способами это можно сделать?

Решение . В данной задаче мы должны рассмотреть три случая:

а) все письма рассылаются по разным адресам;

б) все письма посылаются по одному адресу;

в) только два письма посылаются по одному адресу.

Если все письма рассылаются по разным адресам, то число таких способов легко находится из принципа умножения: n 1 = 6×5×4 = 120 способов. Если все письма посылаются по одному адресу, то таких способов будет n 2 = 6. Таким образом, остается рассмотреть только третий случай, когда только 2 письма посылаются по одному адресу. Выбрать какое-либо письмо мы можем 3 способами, и послать его по какому-либо выбранному адресу можем 6 способами. Оставшиеся два письма мы можем послать по оставшимся адресам 5 способами. Следовательно, послать только два письма по одному адресу мы можем n 3 =3×6×5=90 способами. Таким образом, разослать 3 письма по 6 адресам в соответствие с принципом сложения можно

способами.

Обычно в комбинаторике рассматривается идеализированный эксперимент по выбору наудачу k элементов из n . При этом элементы: а) не возвращаются обратно (схема выбора без возвращений); б) возвращаются обратно (схема выбора с возвращением).

1. Схема выбора без возвращений

Размещением из n элементов по k называют любой упорядоченный набор из k элементов, принадлежащих n - элементному множеству. Различные размещения отличны друг от друга или порядком элементов, или составом.

Число размещений из n элементов по k обозначается и вычисляется по формуле

(1.2)

где n ! = 1×2×3×…×n , 1! = 1, 0! = 1.

Пример 8. В соревнованиях участвует 10 человек, трое из них займут 1, 2, 3 место. Сколько существует различных вариантов?

Решение . В этом случае важен порядок распределения мест. Число различных вариантов равно

Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n. Число перестановок из n элементов обозначают P n и вычисляют по формуле

(1.3)

Пример 9. Сколько существует способов расстановки 10 книг на полке?

Решение . Общее число способов расстановки определяется как число перестановок (1.3) из 10 элементов и равно Р 10 = 10! = 3628 800.

2. Схема выбора с возвращениями

Если при выборе k элементов из n , элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с nовторениями .

Число размещений с повторениями:

Пример 11. В гостинице 10 комнат, каждая из которых может разместить четырех человек. Сколько существует вариантов размещения, прибывших четырех гостей?

Решение . Каждый следующий гость из 4 может быть помещён в любую из 10 комнат, так как рассматривается идеализированный опыт, поэтому общее число размещений, по формуле размещений с повторениями (1.5), равно

.

Если при выборе k элементов из n элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с nовторениями. Число сочетаний с повторениями из n элементов по k определяется:

Пример 12. В магазине продается 10 видов тортов. Очередной покупатель выбил чек на три торта. Считая, что любой набор товаров равновозможен, определить число возможных заказов.

Решение . Число равновозможных заказов по формуле (1.6) равно

.

Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиальновозможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n 1 элементов, а вторая - из n 2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n 2 . Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n 2 . Так как в первой группе всего n 1 элемент, всего возможных вариантов будет n 1 *n 2 .

Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n 1 =6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n 1 =n 2 =...n k =n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.

Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью .

Число размещений из n элементов по m

Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 4. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается A n m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*...*n (читается: "эн факториал"), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5 . Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 6 . Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Число сочетаний из n элементов по m

Число сочетаний обозначается C n m и вычисляется по формуле:

Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P n и вычисляется по формуле P n =n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок , которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

Основные правила комбинаторики.

Комбинаторика - это раздел математики, изучающий способы расположения объектов в соответствии со специальными правилами и методы подсчета числа всех возможных способов. Правило умножения. Если некоторый выбор A можно осуществить m способами, а для каждого из них некоторый другой выбор B можно осуществить n способами, то выбор A и B (в указанном порядке) можно осуществить m×n способами. Пример 1. На гору ведут 6 дорог. Сколькими способами можно подняться на гору и спуститься с горы, если подъем и спуск должен быть по разным дорогам? Решение. Дорогу на гору можно выбрать 6-ю способами, так как подъем и спуск должны быть по разным дорогам, то выбрать дорогу для спуска можно 5-ю способами. Тогда по правилу умножения число способов выбора дороги для подъема и спуска равно 6×5=30. Правило сложения. Если некоторый выбор A можно осуществить m способами, а выбор B можно осуществить n способами, то выбор A или B можно осуществить m+n способами. Пример 2. В ящике имеется 6 красных карандашей, 5 синих и 3 простых карандаша. Сколькими способами можно выбрать цветной карандаш? Решение. Цветной карандаш - это красный или синий, следовательно, по правилу сложения число способов выбора цветного карандаша равно 6+5=11. Замечание. Данные правила можно обобщить на большее число выборов. Вопрос. Сколько основных правил комбинаторики существует?

Перестановки.

Определение 1. Множество называется упорядоченным, если каждому элементу этого множества поставлено в соответствие некоторое натуральное число от 1 до n, где n - это число элементов данного множества, причем разным элементам поставлены в соответствие разные числа.

Упорядоченные множества считаются различными, если они отличаются либо своими элементами, либо их порядком. Определение 2. Различные упорядоченные множества, составленные из элементов данного множества, отличающиеся лишь порядком элементов, называются его перестановками. Пример 3. Рассмотрим множество M={a,b,c}. Это множество из трех элементов. Составим его различные перестановки: (a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a). Получили 6 перестановок. P n - число всех перестановок множества из n элементов.

P n =n! (1), где

n!=1·2·3·...·n (читается "н факториал"). Замечание. 0!=1; (n+1)!=n!·(n+1) . Пример 4. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, при условии, что в числе нет одинаковых цифр? Решение. Числа, кратные пяти(делящиеся на пять), оканчиваются либо на 0, либо на 5. Если последняя цифра числа 0, то остальные цифры можно располагать в любом порядке, получим перестановки из пяти элементов, их P 5 =5!=120. Если на конце 5, то остальные можно расположить P 5 =120 способами, но среди них не подходят те, которые начинаются на 0, так как это будут не шестизначные числа. а пятизначные, данных чисел P 4 =4!=24.Тогда требуемых чисел будет 120+120-24=216.

Вопрос. Сколько существует перестановок из шести элементов?

Ваш ответ : 720

Перестановки с повторениями.

Если взять цифры 1, 2, 3, 4, то из них можно составить 24 перестановки. Но если взять четыре цифры 1, 1, 2, 2, то можно получить только следующие различные перестановки: (1,1,2,2),(1,2,1,2),(1,2,2,1),((2,2,1,1),(2,1,2,1),(2,1,1,2), то есть шесть перестановок, их в 4 раза меньше, чем перестановок из четырех различных чисел, так как перестановки, в которых меняются местами одинаковые числа - это не новые перестановки, их 2!·2!=4. Рассмотрим задачу в общем виде:пусть имеется множество из элементов, в котором элементывстречаютсяраз, элементывстречаютсяраз,..., элементывстречаютсяраз, причем.

Определение 3. Перестановки с повторениями - это перестановки из элементов данного множества, в которых элементы повторяются. - число всех перестановок с повторениями. Число перестановок, не меняющих данную перестановку с повторениями равно, ачисел можно переставлятьспособами, поэтому получаем следующую формулу для вычисления числа перестановок с повторениями:

Пример 4. Сколькими способами можно расселить 8 студентов по трем комнатам: одноместной, трехместной и четырехместной? Решение. Различныеспособы расселения студентов по комнатам являются перестановками с повторениями, так как внутри, например, трехместной комнаты выбранные студенты могут занимать спальные места по-разному, но эти варианты не будут являться новыми перестановками, поэтому получаем: То есть всего 280 способов расселения студентов.Вопрос. Вычислить

Сочетания.

Пусть некоторое множество содержит n элементов.

Определение 4. Всякое m- элементное подмножество n- элементного множества называется сочетанием из n элементов по m. - число всех сочетаний.

(3)

Пример 5. Для соревнований из 30 спортсменов надо выбрать трех человек. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Команда из 3 спортсменов - это подмножество из трех элементов, то есть сочетание из 30 по 3, поэтому количество способов выбора таких команд вычисляется по формуле (3): .

Свойства сочетаний.

1. 2.. Из данных свойств следует, что, тогда, далее,,и так далее. Можно расположить эти числа в виде таблицы:

.....................................................

.......................

Эта таблица в виде треугольника называется треугольником Паскаля.

Определение 5. Выражение a+b называется биномом.

Формула (4) называется биномиальной формулой Ньютона, а коэффициенты называются биномиальными коэффициентами. Из данной формулы вытекает следующее свойство числа сочетаний

Вопрос. .

Сочетания с повторениями

Пусть имеется множество, содержащее n видов элементов, поэтому есть взять какое-то подмножество этого множества, то в нем могут быть одинаковые элементы. Определение 6. Сочетание с повторениями - это m- элементное подмножество множества, содержащего n видов элементов, в котором элементы повторяются. - число всех сочетаний с повторениями из n по m. Состав m- элементного подмножества имеет вид, где. Заменяя каждое из чиселсоответствующим количеством единиц и разделяя единицы нулями, получаем набор, состоящий из m единиц и n-1 нулей. Каждому составу отвечает только одна запись из нулей и единиц, а каждая запись задает только один состав, следовательно, число различных составов равно числу перестановок с повторениями из n-1 нулей и m единиц. Получаем формулу для вычисления всех сочетаний с повторениями.

(5)

Пример 6. В кондитерском магазине продаются пирожные четырех видов: наполеоны, эклеры, песочные и бисквитные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных? Решение. Любая покупка - это подмножество, в котором могут быть одинаковые элементы, поэтому это сочетание с повторениями. Число всех возможных покупок находим по формуле (5): .Вопрос. В формуле (5) m может быть больше n.

Размещения

Определение 7. Упорядоченное m - элементное подмножество n- элементного множества называется размещением. - число всех размещений из n элементов по m. Число всех размещений из n по m больше числа всех сочетаний из n по m, так как из каждого подмножества из m элементов с помощью перестановок можно получить m! упорядоченных подмножеств, получаем формулу для числа размещений

(6)

Пример 7. В группе 25 человек. Нужно выбрать актив группы: старосту, заместителя старосты и профорга. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Актив группы - это упорядоченное подмножество из трех элементов, так как надо выбрать не только трех человек, но и распределить между ними должности, значит актив группы - это размещение, число всех размещений вычисляем по формуле (6): .Вопрос. Во сколько раз число сочетаний из 20 по 4 меньше числа размещений из 20 по 4?

Размещения с повторениями

Пусть дано множество из n элементов, в котором есть одинаковые элементы, тогда его подмножества тоже могут содержать одинаковые элементы. Определение 8. Упорядоченные m- элементные подмножества n- элементного множества, в которых элементы могут повторяться, называются размещениями с повторениями. - число всех размещений из n по m. В подмножестве из m элементов первый элемент можно выбрать n способами(то есть любой элемент множества) , так как элементы могут повторяться, то второй элемент тоже можно выбрать n способами, аналогично остальные элементы подмножества можно выбрать n способами, если воспользоваться правилом умножения, получим формулу для вычисления числа размещений с повторениями:

Пример 8. В лифт десятиэтажного дома вошли 5 человек. Каждый из них может выйти на любом этаже, начиная со второго. Сколькими способами они могут это сделать? Решение. Так как каждый человек может выйти на любом этаже, начиная со второго, то этажей для выхода 9. Надо выбрать этажи для возможности выхода каждого человека: для первого человека - можно выбрать любой из девяти этажей, аналогично для остальных пассажиров, тогда по формуле (7): способов.Вопрос. Вычислить .