Здесь мы приводим подробные решения трех примеров интегрирования следующих рациональных дробей:
, , .

Пример 1

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь под знаком интеграла стоит рациональная функция, поскольку подынтегральное выражение является дробью из многочленов. Степень многочлена знаменателя (3 ) меньше степени многочлена числителя (4 ). Поэтому, вначале необходимо выделить целую часть дроби.

1. Выделим целую часть дроби. Делим x 4 на x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6 :

Отсюда
.

2. Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить кубическое уравнение:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Подставим x = 1 :
.

1 . Делим на x - 1 :

Отсюда
.
Решаем квадратное уравнение .
.
Корни уравнения: , .
Тогда
.

3. Разложим дробь на простейшие.

.

Итак, мы нашли:
.
Интегрируем.

Ответ

Пример 2

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь в числителе дроби - многочлен нулевой степени (1 = x 0 ). В знаменателе - многочлен третьей степени. Поскольку 0 < 3 , то дробь правильная. Разложим ее на простейшие дроби.

1. Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение третьей степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 3 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 3, -1, -3 .
Подставим x = 1 :
.

Итак, мы нашли один корень x = 1 . Делим x 3 + 2 x - 3 на x - 1 :

Итак,
.

Решаем квадратное уравнение:
x 2 + x + 3 = 0 .
Находим дискриминант: D = 1 2 - 4·3 = -11 . Поскольку D < 0 , то уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, мы получили разложение знаменателя на множители:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3) :
(2.1) .
Подставим x = 1 . Тогда x - 1 = 0 ,
.

Подставим в (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C ;
.

Приравняем в (2.1) коэффициенты при x 2 :
;
0 = A + B ;
.

.

3. Интегрируем.
(2.2) .
Для вычисления второго интеграла, выделим в числителе производную знаменателя и приведем знаменатель к сумме квадратов.

;
;
.

Вычисляем I 2 .


.
Поскольку уравнение x 2 + x + 3 = 0 не имеет действительных корней, то x 2 + x + 3 > 0 . Поэтому знак модуля можно опустить.

Поставляем в (2.2) :
.

Ответ

Пример 3

Вычислить интеграл:
.

Решение

Здесь под знаком интеграла стоит дробь из многочленов. Поэтому подынтегральное выражение является рациональной функцией. Степень многочлена в числителе равна 3 . Степень многочлена знаменателя дроби равна 4 . Поскольку 3 < 4 , то дробь правильная. Поэтому ее можно раскладывать на простейшие дроби. Но для этого нужно разложить знаменатель на множители.

1. Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение четвертой степени:
.
Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2 .
Подставим x = -1 :
.

Итак, мы нашли один корень x = -1 . Делим на x - (-1) = x + 1 :


Итак,
.

Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, -1, -2 .
Подставим x = -1 :
.

Итак, мы нашли еще один корень x = -1 . Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на , но мы сгруппируем члены:
.

Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то мы получили разложение знаменателя на множители:
.

2. Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
.
Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на (x + 1) 2 (x 2 + 2) :
(3.1) .
Подставим x = -1 . Тогда x + 1 = 0 ,
.

Продифференцируем (3.1) :

;

.
Подставим x = -1 и учтем, что x + 1 = 0 :
;
; .

Подставим в (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D ;
.

Приравняем в (3.1) коэффициенты при x 3 :
;
1 = B + C ;
.

Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:
.

3. Интегрируем.


.

Интегрирование дробно-рациональной функции.
Метод неопределенных коэффициентов

Продолжаем заниматься интегрированием дробей. Интегралы от некоторых видов дробей мы уже рассмотрели на уроке , и этот урок в некотором смысле можно считать продолжением. Для успешного понимания материала необходимы базовые навыки интегрирования, поэтому если Вы только приступили к изучению интегралов, то есть, являетесь чайником, то необходимо начать со статьи Неопределенный интеграл. Примеры решений .

Как ни странно, сейчас мы будем заниматься не столько нахождением интегралов, сколько… решением систем линейных уравнений. В этой связи настоятельно рекомендую посетить урок А именно – нужно хорошо ориентироваться в методах подстановки («школьном» методе и методе почленного сложения (вычитания) уравнений системы).

Что такое дробно-рациональная функция? Простыми словами, дробно-рациональная функция – это дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены либо произведения многочленов. При этом дроби являются более навороченными, нежели те, о которых шла речь в статье Интегрирование некоторых дробей .

Интегрирование правильной дробно-рациональной функции

Сразу пример и типовой алгоритм решения интеграла от дробно-рациональной функции.

Пример 1

Шаг 1. Первое, что мы ВСЕГДА делаем при решении интеграла от дробно-рациональной функции – это выясняем следующий вопрос: является ли дробь правильной? Данный шаг выполняется устно, и сейчас я объясню как:

Сначала смотрим на числитель и выясняем старшую степень многочлена:

Старшая степень числителя равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и выясняем старшую степень знаменателя. Напрашивающийся путь – это раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, но можно поступить проще, в каждой скобке находим старшую степень

и мысленно умножаем: – таким образом, старшая степень знаменателя равна трём. Совершенно очевидно, что если реально раскрыть скобки, то мы не получим степени, больше трёх.

Вывод : Старшая степень числителя СТРОГО меньше старшей степени знаменателя, значит, дробь является правильной.

Если бы в данном примере в числителе находился многочлен 3, 4, 5 и т.д. степени, то дробь была бы неправильной .

Сейчас мы будем рассматривать только правильные дробно-рациональные функции . Случай, когда степень числителя больше либо равна степени знаменателя, разберём в конце урока.

Шаг 2. Разложим знаменатель на множители. Смотрим на наш знаменатель:

Вообще говоря, здесь уже произведение множителей, но, тем не менее, задаемся вопросом: нельзя ли что-нибудь разложить еще? Объектом пыток, несомненно, выступит квадратный трехчлен. Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант больше нуля, значит, трехчлен действительно раскладывается на множители:

Общее правило: ВСЁ, что в знаменателе МОЖНО разложить на множители – раскладываем на множители

Начинаем оформлять решение:

Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов раскладываем подынтегральную функцию в сумму простых (элементарных) дробей. Сейчас будет понятнее.

Смотрим на нашу подынтегральную функцию:

И, знаете, как-то проскакивает интуитивная мысль, что неплохо бы нашу большую дробь превратить в несколько маленьких. Например, вот так:

Возникает вопрос, а можно ли вообще так сделать? Вздохнем с облегчением, соответствующая теорема математического анализа утверждает – МОЖНО. Такое разложение существует и единственно .

Только есть одна загвоздочка, коэффициенты мы пока не знаем, отсюда и название – метод неопределенных коэффициентов.

Как вы догадались, последующие телодвижения так, не гоготать! будут направлены на то, чтобы как раз их УЗНАТЬ – выяснить, чему же равны .

Будьте внимательны, подробно объясняю один раз!

Итак, начинаем плясать от:

В левой части приводим выражение к общему знаменателю:

Теперь благополучно избавляемся от знаменателей (т.к. они одинаковы):

В левой части раскрываем скобки, неизвестные коэффициенты при этом пока не трогаем:

Заодно повторяем школьное правило умножение многочленов. В свою бытность учителем, я научился выговаривать это правило с каменным лицом: Для того чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена .

С точки зрения понятного объяснения коэффициенты лучше внести в скобки (хотя лично я никогда этого не делаю в целях экономии времени):

Составляем систему линейных уравнений.
Сначала разыскиваем старшие степени:

И записываем соответствующие коэффициенты в первое уравнение системы:

Хорошо запомните следующий нюанс . Что было бы, если б в правой части вообще не было ? Скажем, красовалось бы просто без всякого квадрата? В этом случае в уравнении системы нужно было бы поставить справа ноль: . Почему ноль? А потому что в правой части всегда можно приписать этот самый квадрат с нулём: Если в правой части отсутствуют какие-нибудь переменные или (и) свободный член, то в правых частях соответствующих уравнений системы ставим нули .

Записываем соответствующие коэффициенты во второе уравнение системы:

И, наконец, минералка, подбираем свободные члены.

Эх,…что-то я расшутился. Шутки прочь – математика наука серьезная. У нас в институтской группе никто не смеялся, когда доцент сказала, что разбросает члены по числовой прямой и выберет из них самые большие. Настраиваемся на серьезный лад. Хотя… кто доживет до конца этого урока, все равно будет тихо улыбаться.

Система готова:

Решаем систему:

(1) Из первого уравнения выражаем и подставляем его во 2-е и 3-е уравнения системы. На самом деле можно было выразить (или другую букву) из другого уравнения, но в данном случае выгодно выразить именно из 1-го уравнения, поскольку там самые маленькие коэффициенты .

(2) Приводим подобные слагаемые во 2-м и 3-м уравнениях.

(3) Почленно складываем 2-е и 3-е уравнение, при этом, получая равенство , из которого следует, что

(4) Подставляем во второе (или третье) уравнение, откуда находим, что

(5) Подставляем и в первое уравнение, получая .

Если возникли трудности с методами решения системы отработайте их на уроке Как решить систему линейных уравнений?

После решения системы всегда полезно сделать проверку – подставить найденные значения в каждое уравнение системы, в результате всё должно «сойтись».

Почти приехали. Коэффициенты найдены, при этом:

Чистовое оформление задание должно выглядеть примерно так:

Как видите, основная трудность задания состояла в том, чтобы составить (правильно!) и решить (правильно!) систему линейных уравнений. А на завершающем этапе всё не так сложно: используем свойства линейности неопределенного интеграла и интегрируем. Обращаю внимание, что под каждым из трёх интегралов у нас «халявная» сложная функция, об особенностях ее интегрирования я рассказал на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле .

Проверка: Дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.
В ходе проверки пришлось приводить выражение к общему знаменателю, и это не случайно. Метод неопределенных коэффициентов и приведение выражения к общему знаменателю – это взаимно обратные действия .

Пример 2

Найти неопределенный интеграл.

Вернемся к дроби из первого примера: . Нетрудно заметить, что в знаменателе все множители РАЗНЫЕ. Возникает вопрос, а что делать, если дана, например, такая дробь: ? Здесь в знаменателе у нас степени, или, по-математически кратные множители . Кроме того, есть неразложимый на множители квадратный трехчлен (легко убедиться, что дискриминант уравнения отрицателен, поэтому на множители трехчлен никак не разложить). Что делать? Разложение в сумму элементарных дробей будет выглядеть наподобие с неизвестными коэффициентами вверху или как-то по-другому?

Пример 3

Представить функцию

Шаг 1. Проверяем, правильная ли у нас дробь
Старшая степень числителя: 2
Старшая степень знаменателя: 8
, значит, дробь является правильной.

Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Очевидно, что нет, всё уже разложено. Квадратный трехчлен не раскладывается в произведение по указанным выше причинам. Гуд. Работы меньше.

Шаг 3. Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей.
В данном случае, разложение имеет следующий вид:

Смотрим на наш знаменатель:
При разложении дробно-рациональной функции в сумму элементарных дробей можно выделить три принципиальных момента:

1) Если в знаменателе находится «одинокий» множитель в первой степени (в нашем случае ), то вверху ставим неопределенный коэффициент (в нашем случае ). Примеры №1,2 состояли только из таких «одиноких» множителей.

2) Если в знаменателе есть кратный множитель , то раскладывать нужно так:
– то есть последовательно перебрать все степени «икса» от первой до энной степени. В нашем примере два кратных множителя: и , еще раз взгляните на приведенное мной разложение и убедитесь, что они разложены именно по этому правилу.

3) Если в знаменателе находится неразложимый многочлен второй степени (в нашем случае ), то при разложении в числителе нужно записать линейную функцию с неопределенными коэффициентами (в нашем случае с неопределенными коэффициентами и ).

На самом деле, есть еще 4-й случай, но о нём я умолчу, поскольку на практике он встречается крайне редко.

Пример 4

Представить функцию в виде суммы элементарных дробей с неизвестными коэффициентами.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Строго следуйте алгоритму!

Если Вы разобрались, по каким принципам нужно раскладывать дробно-рациональную функцию в сумму, то сможете разгрызть практически любой интеграл рассматриваемого типа.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

Шаг 1. Очевидно, что дробь является правильной:

Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Можно. Здесь сумма кубов . Раскладываем знаменатель на множители, используя формулу сокращенного умножения

Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Обратите внимание, что многочлен неразложим на множители (проверьте, что дискриминант отрицательный), поэтому вверху мы ставим линейную функцию с неизвестными коэффициентами, а не просто одну буковку.

Приводим дробь к общему знаменателю:

Составим и решим систему:

(1) Из первого уравнения выражаем и подставляем во второе уравнение системы (это наиболее рациональный способ).

(2) Приводим подобные слагаемые во втором уравнении.

(3) Почленно складываем второе и третье уравнения системы.

Все дальнейшие расчеты, в принципе, устные, так как система несложная.

(1) Записываем сумму дробей в соответствии с найденными коэффициентами .

(2) Используем свойства линейности неопределенного интеграла. Что произошло во втором интеграле? С этим методом Вы можете ознакомиться в последнем параграфе урока Интегрирование некоторых дробей .

(3) Еще раз используем свойства линейности. В третьем интеграле начинаем выделять полный квадрат (предпоследний параграф урока Интегрирование некоторых дробей ).

(4) Берём второй интеграл, в третьем – выделяем полный квадрат.

(5) Берём третий интеграл. Готово.

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Интегрирование некоторых функций» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Интегрирование некоторых функций

Интегрирование рациональных функций

Функция вида
называется рациональной дробью , если её числитель и знаменатель являются многочленами. Рациональная дробь называется правильной , если степень числителя меньше степени знаменателя. Если же степень числителя больше либо равна степени знаменателя, то рациональная дробь называется неправильной .

Так как всякая неправильная дробь может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби, то интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби .

Многочлены интегрируются просто. Рассмотрим интегрирование дробей вида
,
, которые называютсяпростейшими рациональными дробями .

.

.

Пусть знаменатель
дробиимеет действительные корни и может быть представлен произведением множителей вида
. Тогда для каждого такого множителя имеет место разложение вида
. Таким образом, всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших дробей. Выполняется это с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример 1 . Проинтегрировать дробь
.

Решение .
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Приравняем коэффициенты при и свободные члены:
Решим эту систему уравнений и получим,
. Тогда

.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Если подынтегральная функция иррациональна, то с помощью замены переменной во многих случаях можно привести её к рациональному виду или к такой функции, интеграл от которой является табличным. Интегрирование при помощи замены переменной, которая приводит подынтегральное выражение к рациональному виду, называется интегрированием посредством рационализации подынтегрального выражения .

Интегралы вида
приводятся к интегралам от рациональных функций аргумента t с помощью подстановки
, гдеk – наименьшее общее кратное чисел
.

Пример 2 . Найти интеграл
.

Решение . Наименьшее общее кратное чисел
и
равно 6. Поэтому нужно применить подстановку
. Тогда

. Подынтегральную функцию разложим на простейшие: . Приравняем коэффициенты прии свободные члены:
Отсюда найдём
Тогда
. Таким образом,=
. Так как
, то
. Подставим в полученное выражение:

.

Интегралы вида
приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки
.

Пример 3 . Найти интеграл
.

Решение . Выполним подстановку
:

.

Интегрирование выражений, содержащих

тригонометрические функции

Рассмотрим основные случаи интегрирования выражений, содержащих тригонометрические функции.

При нахождении интегралов вида
,

,
подынтегральные функции из произ-

ведений преобразовываются в суммы с помощью формул:

В результате полученные интегралы находятся с использованием методов интегрирования и таблицы интегралов. При этом можно использовать формулы
и
.

Пример 4 . Найти интеграл
.

Решение . Воспользуемся первой из вышеприведённых формул:

Интегралы вида
можно находить довольно просто в следующих случаях.

Если m – положительное нечётное число, то можно отделить первую степень синуса и применить подстановку
. Тогда
и подынтегральное выражение с помощью тригонометрических формул сведётся к степенным функциям. Еслиn - положительное нечётное число, то можно отделить первую степень косинуса и выполнить замену
. Тогда
и подынтегральное выражение с помощью тригонометрических функций тоже сведётся к степенным функциям.

Пример 5 . Найти интеграл
.

Решение .

.

Пример 6 . Найти интеграл
.

Решение .

Если m и n – неотрицательные чётные числа, то преобразование подынтегральных выражений можно выполнять с помощью формул понижения степени
и
.

Пример 7 . Найти интеграл
.

Решение .

.

Подынтегральная функция представляет собой дробь, в числителе которой находится степень синуса, а в знаменателе – степень косинуса, или наоборот. При этом показатели степени или оба чётные, или оба нечётные, т.е. одинаковой чётности.

В этом случае, если в числителе синус, то наиболее подходящей является подстановка
. Отсюда
,
,
,
.

Если же в числителе косинус, то удобно использовать подстановку
. Тогда
,
,
,
.

Пример 8 . Найти интеграл
.

Решение .

.

Нахождение интегралов вида
сводится с помощью подстановки
к нахождению интегралов от рациональных функций. Подстановка
называетсяуниверсальной тригонометрической подстановкой , которая всегда приводит к результату. В этом случае
,
,
,
,
.

Пример 9 . Найти интеграл
.

Решение .
.

Вопросы для самоконтроля знаний

приводятся к интегралам от рациональных функций?

,

Что называется универсальной тригонометрической подстановкой и когда она используется?

Задания для самостоятельной работы

Найти интегралы от рациональных функций:

а)
; б)
; в)
.

2) Проинтегрировать выражения, содержащие тригонометрические функции:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
.

Материал, изложенный в этой теме, опирается на сведения, представленные в теме "Рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на элементарные (простейшие) дроби" . Очень советую хотя бы бегло просмотреть эту тему перед тем, как переходить к чтению данного материала. Кроме того, нам будет нужна таблица неопределенных интегралов .

Напомню пару терминов. О их шла речь в соответствующей теме , посему тут ограничусь краткой формулировкой.

Отношение двух многочленов $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ называется рациональной функцией или рациональной дробью. Рациональная дробь называется правильной , если $n < m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильной .

Элементарными (простейшими) рациональными дробями именуют рациональные дроби четырёх типов:

1. $\frac{A}{x-a}$;
2. $\frac{A}{(x-a)^n}$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$ ($p^2-4q < 0$);
4. $\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}$ ($p^2-4q < 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показать\скрыть

Зачем нужно условие $p^2-4q < 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Например, для выражения $x^2+5x+10$ получим: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Так как $p^2-4q=-15 < 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Кстати сказать, для этой проверки вовсе не обязательно, чтобы коэффициент перед $x^2$ равнялся 1. Например, для $5x^2+7x-3=0$ получим: $D=7^2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Так как $D > 0$, то выражение $5x^2+7x-3$ разложимо на множители.

Примеры рациональных дробей (правильных и неправильных), а также примеры разложения рациональной дроби на элементарные можно найти . Здесь нас будут интересовать лишь вопросы их интегрирования. Начнём с интегрирования элементарных дробей. Итак, каждый из четырёх типов указанных выше элементарных дробей несложно проинтегрировать, используя формулы, указанные ниже. Напомню, что при интегрировании дробей типа (2) и (4) предполагается $n=2,3,4,\ldots$. Формулы (3) и (4) требуют выполнение условия $p^2-4q < 0$.

\begin{equation} \int \frac{A}{x-a} dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end{equation} \begin{equation} \int\frac{A}{(x-a)^n}dx=-\frac{A}{(n-1)(x-a)^{n-1}}+C \end{equation} \begin{equation} \int \frac{Mx+N}{x^2+px+q} dx= \frac{M}{2}\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctg\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C \end{equation}

Для $\int\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}dx$ делается замена $t=x+\frac{p}{2}$, после полученный интерал разбивается на два. Первый будет вычисляться с помощью внесения под знак дифференциала, а второй будет иметь вид $I_n=\int\frac{dt}{(t^2+a^2)^n}$. Этот интеграл берётся с помощью рекуррентного соотношения

\begin{equation} I_{n+1}=\frac{1}{2na^2}\frac{t}{(t^2+a^2)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}I_n, \; n\in N \end{equation}

Вычисление такого интеграла разобрано в примере №7 (см. третью часть).

Схема вычисления интегралов от рациональных функций (рациональных дробей):

1. Если подынтегральная дробь является элементарной, то применить формулы (1)-(4).
2. Если подынтегральная дробь не является элементарной, то представить её в виде суммы элементарных дробей, а затем проинтегрировать, используя формулы (1)-(4).

Указанный выше алгоритм интегрирования рациональных дробей имеет неоспоримое достоинство - он универсален. Т.е. пользуясь этим алгоритмом можно проинтегрировать любую рациональную дробь. Именно поэтому почти все замены переменных в неопределённом интеграле (подстановки Эйлера, Чебышева, универсальная тригонометрическая подстановка) делаются с таким расчётом, чтобы после оной замены получить под интералом рациональную дробь. А к ней уже применить алгоритм. Непосредственное применение этого алгоритма разберём на примерах, предварительно сделав небольшое примечание.

$$ \int\frac{7dx}{x+9}=7\ln|x+9|+C. $$

В принципе, этот интеграл несложно получить без механического применения формулы . Если вынести константу $7$ за знак интеграла и учесть, что $dx=d(x+9)$, то получим:

$$ \int\frac{7dx}{x+9}=7\cdot \int\frac{dx}{x+9}=7\cdot \int\frac{d(x+9)}{x+9}=|u=x+9|=7\cdot\int\frac{du}{u}=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Для детальной информации рекомедую посмотреть тему . Там подробно поясняется, как решаются подобные интегралы. Кстати, формула доказывается теми же преобразованиями, что были применены в этом пункте при решении "вручную".

2) Вновь есть два пути: применить готовую формулу или обойтись без неё. Если применять формулу , то следует учесть, что коэффициент перед $x$ (число 4) придется убрать. Для этого оную четвёрку просто вынесем за скобки:

$$ \int\frac{11dx}{(4x+19)^8}=\int\frac{11dx}{\left(4\left(x+\frac{19}{4}\right)\right)^8}= \int\frac{11dx}{4^8\left(x+\frac{19}{4}\right)^8}=\int\frac{\frac{11}{4^8}dx}{\left(x+\frac{19}{4}\right)^8}. $$

Теперь настал черёд и для применения формулы :

$$ \int\frac{\frac{11}{4^8}dx}{\left(x+\frac{19}{4}\right)^8}=-\frac{\frac{11}{4^8}}{(8-1)\left(x+\frac{19}{4} \right)^{8-1}}+C= -\frac{\frac{11}{4^8}}{7\left(x+\frac{19}{4} \right)^7}+C=-\frac{11}{7\cdot 4^8 \left(x+\frac{19}{4} \right)^7}+C. $$

Можно обойтись и без применения формулы . И даже без вынесения константы $4$ за скобки. Если учесть, что $dx=\frac{1}{4}d(4x+19)$, то получим:

$$ \int\frac{11dx}{(4x+19)^8}=11\int\frac{dx}{(4x+19)^8}=\frac{11}{4}\int\frac{d(4x+19)}{(4x+19)^8}=|u=4x+19|=\\ =\frac{11}{4}\int\frac{du}{u^8}=\frac{11}{4}\int u^{-8}\;du=\frac{11}{4}\cdot\frac{u^{-8+1}}{-8+1}+C=\\ =\frac{11}{4}\cdot\frac{u^{-7}}{-7}+C=-\frac{11}{28}\cdot\frac{1}{u^7}+C=-\frac{11}{28(4x+19)^7}+C. $$

Подробные пояснения по нахождению подобных интегралов даны в теме "Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала)" .

3) Нам нужно проинтегрировать дробь $\frac{4x+7}{x^2+10x+34}$. Эта дробь имеет структуру $\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$, где $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Однако чтобы убедиться, что это действительно элементарная дробь третьего типа, нужно проверить выполнение условия $p^2-4q < 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx = \frac{4}{2}\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac{2\cdot 7-4\cdot 10}{\sqrt{4\cdot 34-10^2}} \arctg\frac{2x+10}{\sqrt{4\cdot 34-10^2}}+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac{-26}{\sqrt{36}} \arctg\frac{2x+10}{\sqrt{36}}+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac{-26}{6} \arctg\frac{2x+10}{6}+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x+34)-\frac{13}{3} \arctg\frac{x+5}{3}+C. $$

Решим этот же пример, но без использования готовой формулы. Попробуем выделить в числителе производную знаменателя. Что это означает? Мы знаем, что $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Именно выражение $2x+10$ нам и предстоит вычленить в числителе. Пока что числитель содержит лишь $4x+7$, но это ненадолго. Применим к числителю такое преобразование:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10)-13. $$

Теперь в числителе появилось требуемое выражение $2x+10$. И наш интеграл можно переписать в таком виде:

$$ \int\frac{4x+7}{x^2+10x+34} dx= \int\frac{2\cdot(2x+10)-13}{x^2+10x+34}dx. $$

Разобьём подынтегральную дробь на две. Ну и, соответственно, сам интеграл тоже "раздвоим":

$$ \int\frac{2\cdot(2x+10)-13}{x^2+10x+34}dx=\int \left(\frac{2\cdot(2x+10)}{x^2+10x+34}-\frac{13}{x^2+10x+34} \right)\; dx=\\ =\int \frac{2\cdot(2x+10)}{x^2+10x+34}dx-\int\frac{13dx}{x^2+10x+34}=2\cdot\int \frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}-13\cdot\int\frac{dx}{x^2+10x+34}. $$

Поговорим сперва про первый интеграл, т.е. про $\int \frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}$. Так как $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, то в числителе подынтегральной дроби расположен дифференциал знаменателя. Короче говоря, вместо выражения $(2x+10)dx$ запишем $d(x^2+10x+34)$.

Теперь скажем пару слов и о втором интеграле. Выделим в знаменателе полный квадрат: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Кроме того, учтём $dx=d(x+5)$. Теперь полученную нами ранее сумму интегралов можно переписать в несколько ином виде:

$$ 2\cdot\int \frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}-13\cdot\int\frac{dx}{x^2+10x+34} =2\cdot\int \frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}-13\cdot\int\frac{d(x+5)}{(x+5)^2+9}. $$

Если в первом интеграле сделать замену $u=x^2+10x+34$, то он примет вид $\int\frac{du}{u}$ и возьмётся простым применением второй формулы из . Что же касается второго интеграла, то для него осуществима замена $u=x+5$, после которой он примет вид $\int\frac{du}{u^2+9}$. Это чистейшей воды одиннадцатая формула из таблицы неопределенных интегралов . Итак, возвращаясь к сумме интегралов, будем иметь:

$$ 2\cdot\int \frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}-13\cdot\int\frac{d(x+5)}{(x+5)^2+9} =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac{13}{3}\arctg\frac{x+5}{3}+C. $$

Мы получили тот же ответ, что и при применении формулы , что, собственно говоря, неудивительно. Вообще, формула доказывается теми же методами, кои мы применяли для нахождения данного интеграла. Полагаю, что у внимательного читателя тут может возникнуть один вопрос, посему сформулирую его:

Вопрос №1

Если к интегралу $\int \frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}$ применять вторую формулу из таблицы неопределенных интегралов , то мы получим следующее:

$$ \int \frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}=|u=x^2+10x+34|=\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Почему же в решении отсутствовал модуль?

Ответ на вопрос №1

Вопрос совершенно закономерный. Модуль отсутствовал лишь потому, что выражение $x^2+10x+34$ при любом $x\in R$ больше нуля. Это совершенно несложно показать несколькими путями. Например, так как $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ и $(x+5)^2 ≥ 0$, то $(x+5)^2+9 > 0$. Можно рассудить и по-иному, не привлекая выделение полного квадрата. Так как $10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то $x^2+10x+34 > 0$ при любом $x\in R$ (если эта логическая цепочка вызывает удивление, советую посмотреть графический метод решения квадратных неравенств). В любом случае, так как $x^2+10x+34 > 0$, то $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, т.е. вместо модуля можно использовать обычные скобки.

Все пункты примера №1 решены, осталось лишь записать ответ.

Ответ :

1. $\int\frac{7dx}{x+9}=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac{11dx}{(4x+19)^8}=-\frac{11}{28(4x+19)^7}+C$;
3. $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac{13}{3}\arctg\frac{x+5}{3}+C$.

Пример №2

Найти интеграл $\int\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx$.

На первый взгляд подынтегральая дробь $\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}$ очень похожа на элементарную дробь третьего типа, т.е. на $\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$. Кажется, что единcтвенное отличие - это коэффициент $3$ перед $x^2$, но ведь коэффициент и убрать недолго (за скобки вынести). Однако это сходство кажущееся. Для дроби $\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$ обязательным является условие $p^2-4q < 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

У нас коэффициент перед $x^2$ не равен единице, посему проверить условие $p^2-4q < 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D > 0$, посему выражение $3x^2-5x-2$ можно разложить на множители. А это означает, что дробь $\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}$ не является элементаной дробью третьего типа, и применять к интегралу $\int\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx$ формулу нельзя.

Ну что же, если заданная рациональная дробь не является элементарной, то её нужно представить в виде суммы элементарных дробей, а затем проинтегрировать. Короче говоря, след воспользоваться . Как разложить рациональную дробь на элементарные подробно написано . Начнём с того, что разложим на множители знаменатель:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin{aligned} & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{49}}{2\cdot 3}=\frac{5-7}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3};\\ & x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{49}}{2\cdot 3}=\frac{5+7}{6}=\frac{12}{6}=2.\\ \end{aligned}\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)\cdot (x-2)=3\cdot\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2). $$

Подынтеральную дробь представим в таком виде:

$$ \frac{7x+12}{3x^2-5x-2}=\frac{7x+12}{3\cdot\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)}=\frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)}. $$

Теперь разложим дробь $\frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)}$ на элементарные:

$$ \frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)} =\frac{A}{x+\frac{1}{3}}+\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)+B\left(x+\frac{1}{3}\right)}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)};\\ \frac{7}{3}x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac{1}{3}\right). $$

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$ есть два стандартных пути: метод неопределённых коэффициентов и метод подстановки частных значений. Применим метод подстановки частных значений, подставляя $x=2$, а затем $x=-\frac{1}{3}$:

$$ \frac{7}{3}x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac{1}{3}\right).\\ x=2;\; \frac{7}{3}\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac{1}{3}\right); \; \frac{26}{3}=\frac{7}{3}B;\; B=\frac{26}{7}.\\ x=-\frac{1}{3};\; \frac{7}{3}\cdot \left(-\frac{1}{3} \right)+4=A\left(-\frac{1}{3}-2\right)+B\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right); \; \frac{29}{9}=-\frac{7}{3}A;\; A=-\frac{29\cdot 3}{9\cdot 7}=-\frac{29}{21}.\\ $$

Так как коэффициенты найдены, осталось лишь записать готовое разложение:

$$ \frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)}=\frac{-\frac{29}{21}}{x+\frac{1}{3}}+\frac{\frac{26}{7}}{x-2}. $$

В принципе, можно такую запись оставить, но мне по душе более аккуратный вариант:

$$ \frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)}=-\frac{29}{21}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{3}}+\frac{26}{7}\cdot\frac{1}{x-2}. $$

Возвращаясь к исходному интегралу, подставим в него полученное разложение. Затем разобьём интеграл на два, и к каждому применим формулу . Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла:

$$ \int\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx =\int\left(-\frac{29}{21}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{3}}+\frac{26}{7}\cdot\frac{1}{x-2}\right)dx=\\ =\int\left(-\frac{29}{21}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{3}}\right)dx+\int\left(\frac{26}{7}\cdot\frac{1}{x-2}\right)dx =-\frac{29}{21}\cdot\int\frac{dx}{x+\frac{1}{3}}+\frac{26}{7}\cdot\int\frac{dx}{x-2}dx=\\ =-\frac{29}{21}\cdot\ln\left|x+\frac{1}{3}\right|+\frac{26}{7}\cdot\ln|x-2|+C. $$

Ответ : $\int\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx=-\frac{29}{21}\cdot\ln\left|x+\frac{1}{3}\right|+\frac{26}{7}\cdot\ln|x-2|+C$.

Пример №3

Найти интеграл $\int\frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx$.

Нам нужно проинтегрировать дробь $\frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}$. В числителе расположен многочлен второй степени, а в знаменателе - многочлен третьей степени. Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. $2 < 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}=-\frac{3}{x-1}+\frac{5}{x+4}-\frac{1}{x-9}. $$

Нам останется только разбить заданный интеграл на три, и к каждому применить формулу . Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла:

$$ \int\frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx=\int\left(-\frac{3}{x-1}+\frac{5}{x+4}-\frac{1}{x-9} \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac{dx}{x-1}+ 5\cdot\int\frac{dx}{x+4}-\int\frac{dx}{x-9}=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x-9|+C. $$

Ответ : $\int\frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x-9|+C$.

Продолжение разбора примеров этой темы расположено во второй части.

Одним из важнейших классов функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции, является класс рациональных функций.

Определение 1. Функция вида где
- многочлены степеней n и m называется рациональной. Целая рациональная функция, т.е. многочлен, интегрируется непосредственно. Интеграл от дробно-рациональной функции можно найти путем разложения на слагаемые, которые стандартным образом преобразуются к основным табличным интегралам.

Определение 2. Дробь
называется правильной, если степень числителя n меньше степени знаменателя m . Дробь, у которой степень числителя больше или равна степени знаменателя, называется неправильной.

Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Это делается посредством деления многочлена на многочлен «столбиком», подобно делению чисел.

Пример.

Представим дробь
в виде суммы многочлена и правильной дроби:

x - 1

3

3

3

Первое слагаемое
в частном получается как результат деления старшего члена
, делимого на старший членх делителя. Затем умножаем
на делительх-1 и полученный результат вычитаем из делимого; аналогично находятся остальные слагаемые неполного частного.

Выполнив деление многочленов, получим:

Это действие называется выделением целой части.

Определение 3. Простейшими дробями называются правильные рациональные дроби следующих типов:

I.

II.
(K=2, 3, …).

III.
где квадратный трехчлен

IV.
где К=2, 3, …; квадратный трехчлен
не имеет действительных корней.

а) разложить знаменатель
на простейшие действительные множители (согласно основной теореме алгебры это разложение может содержать линейные двучлены вида
и квадратные трехчлены
, не имеющие корней);

б) написать схему разложения данной дроби на сумму простейших дробей. При этом каждому сомножителю вида
соответствуетk слагаемых видов I и II:

каждому сомножителю вида
соответствует е слагаемых видовIII и IV:

Пример.

Записать схему разложения дроби
в сумму простейших.

в) выполнить сложение полученных простейших дробей. Записать равенство числителей полученной и исходной дробей;

г) найти коэффициенты соответствующего разложения:
(методы решения будут рассмотрены ниже);

д) найденные значения коэффициентов подставить в схему разложения.

Интегрирование всякой правильной рациональной дроби после разложения на простейшие слагаемые сводится к нахождению интегралов одного из типов:

(k и e =2, 3, …).

Вычисление интеграла сводится к формулеIII:

интеграла - к формулеII:

интеграл можно найти по правилу, указанному в теории интегрирования функций, содержащих квадратный трехчлен;- путем преобразований, показанных ниже в примере 4.

Пример 1.

а) разложим знаменатель на множители:

б) напишем схему разложения подынтегральной функции на слагаемые:

в) выполним сложение простейших дробей:

Запишем равенство числителей дробей:

г) для нахождения неизвестных коэффициентов A, B, C существуют два метода.

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х , поэтому можно составить соответствующую систему уравнений. В этом заключается один из методов решения.

Коэффициенты при

свободные члены (коэф. при ):4А=8.

Решив систему, получим А=2 , В=1 , С= - 10 .

Другой метод - частных значений будет рассмотрен в следующем примере;

д) подставим найденные значения в схему разложения:

Подставляя под знак интеграла полученную сумму, и интегрируя каждое слагаемое отдельно, найдем:

Пример 2.

Тождество есть равенство, справедливое при любых значениях входящих в него неизвестных. На этом основан метод частных значений. Можно придавать х любые значения. Удобнее для вычислений брать те значения, которые обращают в нуль какие-либо слагаемые в правой части равенства.

Пусть х = 0 . Тогда 1 = А  0(0+2)+В  0 (0-1)+С  (0-1)(0+2).

Аналогично при х = - 2 имеем 1= - 2В*(-3 ), при х = 1 имеем 1 = 3А .

Следовательно,

Пример 3.

г) сначала воспользуемся методом частных значений.

Пусть х = 0 , тогда 1 = А  1, А = 1 .

При х = - 1 имеем - 1+4+2+1 = - В(1+1+1) или 6 = - 3В , В = - 2 .

Для нахождения коэффициентов С и D нужно составить еще два уравнения. Для этого можно взять любые другие значения х , например х = 1 и х = 2 . Можно воспользоваться первым методом, т.е. приравнять коэффициенты при каких-либо одинаковых степенях х , например при и. Получим

1 = А+В+С и 4 = С + D – В.

Зная А = 1 , В = -2 , найдем С = 2 , D = 0 .

Таким образом, при вычислении коэффициентов можно сочетать оба метода.

Последний интеграл находим отдельно по правилу, указанному в методе веления новой переменной. Выделим полный квадрат в знаменателе:

положим,
тогда
Получим:

=

Подставляя в предыдущее равенство, найдем

Пример 4.

Найти

б)

д)

Интегрируя, имеем:

Первый интеграл преобразуем к формуле III:

Второй интеграл преобразуем к формуле II:

В третьем интеграле заменим переменную:

(При выполнении преобразований воспользовались формулой тригонометрии

Найти интегралы:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Вопросы для самопроверки.

Какие из данных рациональных дробей являются правильными:

2. Верно ли записана схема разложения дроби на сумму простейших дробей?