Центральная предельная теорема в форме чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова. Альтернативная формулировка ЦПТ

Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию . Обозначим последние μ {\displaystyle \mu } и σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} , соответственно. Пусть также

  . S n − μ n σ n → N (0 , 1) {\displaystyle {\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n}}}}\to N(0,1)} по распределению при ,

  где N (0 , 1) {\displaystyle N(0,1)} - нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением , равным единице. Обозначив символом выборочное среднее первых n {\displaystyle n} величин, то есть X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i {\displaystyle {\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}} , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

  n X ¯ n − μ σ → N (0 , 1) {\displaystyle {\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma }}\to N(0,1)} по распределению при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } .

  Скорость сходимости можно оценить с помощью неравенства Берри - Эссеена .

  Замечания

  • Неформально говоря, классическая центральная предельная теорема утверждает, что сумма n {\displaystyle n} независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение, близкое к N (n μ , n σ 2) {\displaystyle N(n\mu ,n\sigma ^{2})} . Эквивалентно, X ¯ n {\displaystyle {\bar {X}}_{n}} имеет распределение близкое к N (μ , σ 2 / n) {\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2}/n)} .
  • Так как функция распределения стандартного нормального распределения непрерывна , сходимость к этому распределению эквивалентна поточечной сходимости функций распределения к функции распределения стандартного нормального распределения. Положив Z n = S n − μ n σ n {\displaystyle Z_{n}={\frac {S_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n}}}}} , получаем F Z n (x) → Φ (x) , ∀ x ∈ R {\displaystyle F_{Z_{n}}(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in \mathbb {R} } , где Φ (x) {\displaystyle \Phi (x)} - функция распределения стандартного нормального распределения.
  • Центральная предельная теорема в классической формулировке доказывается методом характеристических функций (теорема Леви о непрерывности).
  • Вообще говоря, из сходимости функций распределения не вытекает сходимость плотностей . Тем не менее в данном классическом случае это имеет место.

  Локальная Ц. П. Т.

  В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин { X i } i = 1 ∞ {\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }} абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение также абсолютно непрерывно, и более того,

  f Z n (x) → 1 2 π e − x 2 2 {\displaystyle f_{Z_{n}}(x)\to {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}} при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } ,

  где f Z n (x) {\displaystyle f_{Z_{n}}(x)} - плотность случайной величины Z n {\displaystyle Z_{n}} , а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.

  Обобщения

  Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.

  Ц. П. Т. Линдеберга

  Пусть независимые случайные величины X 1 , … , X n , … {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots } определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии : E [ X i ] = μ i , D [ X i ] = σ i 2 {\displaystyle \mathbb {E} =\mu _{i},\;\mathrm {D} =\sigma _{i}^{2}} .

  Пусть S n = ∑ i = 1 n X i {\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}} .

  Тогда E [ S n ] = m n = ∑ i = 1 n μ i , D [ S n ] = s n 2 = ∑ i = 1 n σ i 2 {\displaystyle \mathbb {E} =m_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}\mu _{i},\;\mathrm {D} =s_{n}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}} .

  И пусть выполняется условие Линдеберга :

  ∀ ε > 0 , lim n → ∞ ∑ i = 1 n E [ (X i − μ i) 2 s n 2 1 { | X i − μ i | > ε s n } ] = 0 , {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[{\frac {(X_{i}-\mu _{i})^{2}}{s_{n}^{2}}}\,\mathbf {1} _{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}\right]=0,}

  где 1 { | X i − μ i | > ε s n } {\displaystyle \mathbf {1} _{\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\}}} функция - индикатор.

  по распределению при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } .

  Ц. П. Т. Ляпунова

  Пусть выполнены базовые предположения Ц. П. Т. Линдеберга. Пусть случайные величины { X i } {\displaystyle \{X_{i}\}} имеют конечный третий момент . Тогда определена последовательность

  r n 3 = ∑ i = 1 n E [ | X i − μ i | 3 ] {\displaystyle r_{n}^{3}=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[|X_{i}-\mu _{i}|^{3}\right]} .

  Если предел

  lim n → ∞ r n s n = 0 {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {r_{n}}{s_{n}}}=0} (условие Ляпунова ), S n − m n s n → N (0 , 1) {\displaystyle {\frac {S_{n}-m_{n}}{s_{n}}}\to N(0,1)} по распределению при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } .

  Ц. П. Т. для мартингалов

  Пусть процесс (X n) n ∈ N {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} является мартингалом с ограниченными приращениями. В частности, допустим, что

  E [ X n + 1 − X n ∣ X 1 , … , X n ] = 0 , n ∈ N , X 0 ≡ 0 , {\displaystyle \mathbb {E} \left=0,\;n\in \mathbb {N} ,\;X_{0}\equiv 0,}

  и приращения равномерно ограничены, то есть

  ∃ C > 0 ∀ n ∈ N | X n + 1 − X n | ≤ C {\displaystyle \exists C>0\,\forall n\in \mathbb {N} \;|X_{n+1}-X_{n}|\leq C} τ n = min { k | ∑ i = 1 k σ i 2 ≥ n } {\displaystyle \tau _{n}=\min \left\{k\left\vert \;\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}\geq n\right.\right\}} . X τ n n → N (0 , 1) {\displaystyle {\frac {X_{\tau _{n}}}{\sqrt {n}}}\to N(0,1)} по распределению при n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } .

  Многие задачи ТВ связаны с изучением суммы независимых случайных величин, которая при определенных условиях имеет распределение, близкое к нормальному. Эти условия выражаются центральной предельной теоремой (ЦПТ).

  Пусть ξ 1, ξ 2 , …, ξ n , …– последовательность независимых случайных величин. Обозначим

  n η = ξ 1 + ξ 2 +…+ ξ n. Говорят, что к последовательности ξ 1, ξ 2 , …, ξ n , … применима ЦТП,

  если при n → ∞ закон распределения η n стремится к нормальному:

  Суть ЦПТ: при неограниченном увеличении числа случайных величин закон распределения их суммы стремится к нормальному.

  

  Центральная предельная теорема Ляпунова

  Закон больших чисел не исследует вид предельного закона распределения суммы случайных величин. Этот вопрос рассмотрен в группе теорем, называемых центральной предельной теоремой. Они утверждают, что закон распределения суммы случайных величин, каждая из которых может иметь различные распределения, приближается к нормальному при достаточ-но большом числе слагаемых. Этим объясняется важность нормального закона для практичес-ких приложений.

  Характеристические функции.

  Для доказательства центральной предельной теоремы используется метод характеристичес-ких функций.

  Определение 14.1. Характеристической функцией случайной величины Х называется функция

  g (t ) = M ( e itX ) (14.1)

  Таким образом, g (t ) представляет собой математическое ожидание некоторой комплексной случайной величины U = e itX , связанной с величиной Х . В частности, если Х – дискретная случайная величина, заданная рядом распределения, то

  . (14.2)

  Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения f (x )

  (14.3)

  Пример 1. Пусть Х – число выпадений 6 очков при одном броске игральной кости. Тогда по формуле (14.2) g (t ) =

  Пример 2. Найдем характеристическую функцию для нормированной непрерывной случайной величины, распределенной по нормальному закону . По формуле (14.3) (использовалась формула и то, что i ² = -1).

  Свойства характеристических функций.

  1. Функцию f (x ) можно найти по известной функции g (t ) по формуле

  (14.4)

  (преобразование (14.3) называется преобразованием Фурье , а преобразование (14.4) – обратным преобразованием Фурье ).

  2. Если случайные величины Х и Y связаны соотношением Y = aX , то их характеристические функции связаны соотношением

  g y (t ) = g x (at ). (14.5)

  3. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых: для

  Теорема 14.1 (центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагае-мых). Если Х 1 , Х 2 ,…, Х п ,… - независимые случайные величины с одинаковым законом распределения, математическим ожиданием т и дисперсией σ 2 , то при неограниченном увеличении п закон распределения суммы неограниченно приближается к нор-мальному.

  
  

  Доказательство.

  Докажем теорему для непрерывных случайных величин Х 1 , Х 2 ,…, Х п (доказательство для дискретных величин аналогично). Согласно условию теоремы, характеристические функции слагаемых одинаковы: Тогда по свойству 3 характеристическая функция суммы Y n будет Разложим функцию g x (t ) в ряд Маклорена:

  , где при .

  Если предположить, что т = 0 (то есть перенести начало отсчета в точку т ), то .

  (так как т = 0). Подставив полученные результаты в формулу Маклорена, найдем, что

  .

  Рассмотрим новую случайную величину , отличающуюся от Y n тем, что ее дисперсия при любом п равна 0. Так как Y n и Z n связаны линейной зависимостью, достаточно доказать, что Z n распределена по нормальному закону, или, что то же самое, что ее характе-ристическая функция приближается к характеристической функции нормального закона (см. пример 2). По свойству характеристических функций

  Прологарифмируем полученное выражение:

  где

  Разложим в ряд при п → ∞, ограничившись двумя членами разложения, тогда ln(1 - k ) ≈ - k .

  Где последний предел равен 0, так как при . Следовательно, , то есть - характеристическая функция нормального распределения. Итак, при неограниченном увеличении числа слагаемых характеристическая функция величины Z n неограниченно приближается к характеристической функции нормального закона; следова-тельно, закон распределения Z n (и Y n ) неограниченно приближается к нормальному. Теорема доказана.

  А.М.Ляпунов доказал центральную предельную теорему для условий более общего вида:

  Теорема 14.2 (теорема Ляпунова). Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, для которых выполнено условие:

  где b k – третий абсолютный центральный момент величины Х к , а D k – ее дисперсия, то Х имеет распределение, близкое к нормальному (условие Ляпунова означает, что влияние каждого слагаемого на сумму ничтожно мало).

  Практически можно использовать центральную предельную теорему при достаточно небольшом количестве слагаемых, так как вероятностные расчеты требуют сравнительно малой точности. Опыт показывает, что для суммы даже десяти и менее слагаемых закон их распределения можно заменить нормальным.

  Центральная предельная теорема (ЦПТ) представляет собой вторую группу предельных теорем, которые устанавливают связь между законом распределения суммы случайных величин и его предельной формой –нормальным законом распределения.

  До сих пор мы часто говорили об устойчивости средних характеристик большого числа испытаний, говоря точнее, об устойчивости сумм вида

  Однако следует обратить внимание, что величина
  случайная, а значить, она имеет некоторый закон распределения. Оказывается этот замечательный факт, составляет содержание

  другой группы теорем, объединяемых под общим названием центральная предельная теорема , что при досточно общих условиях закон распределенияблизок к нормальному закону.

  Поскольку величина отличается от суммы

  

  лишь постоянным множителем
  то в общих чертах содержание ЦПТ может быть сформулировано следующим образом.

  Распределение суммы большого числа независимых случайных величин при весьма

  общих условиях близко к нормальному закону распределению.

  Известно, что нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике (не только в теории вероятностей, но и в её многочисленных приложениях). Чем такое явление объясняется? Ответ на такой «феномен» впервые был дан выдающимся русским математиком А.М. Ляпуновым в 1901году: «Центральная предельная теорема Ляпунова». Ответ Ляпунова заключается в его условии, при которых справедливо ЦПТ (см. далее).

  В целях подготовки точной формулировки ЦПТ, поставим перед собой два вопроса:

  1. Какой точный смысл содержит в себе утверждение о том, что «закон распределения суммы «близка» к нормальному закону?».

  2. При каких условиях справедлива эта близость?

  Чтобы ответить на эти вопросы, рассмотрим бесконечную последовательность случайных величин:
  Составим «частичные суммы» нашей последовательности с.в.
  

  (23)
  

  От каждой случайных величин перейдём к «нормированной» случайной величине

  (24)
  

  Нами было установлено (см.Т.8., п.3, равенства (19)), что
  .

  Ответ на первый вопрос теперь можно сформулировать в виду предельного равенства

  (25)
  , (
  ,

  означающего, что закон распределения с.в. с ростомприближается к нормальному закону с
  . Разумеется, из того факта, что величинаимеет приближенно нормальное распределение, следует, что и величинараспределена приближенно нормально,

  

  (26)
  
  

  Формула для определения вероятности того, что сумма нескольких с.в. окажется в заданных пределах. Часто ЦПТ используют при
  

  По поводу условий, которые следует наложить на величины
  можно высказать следующие соображения. Рассмотрим разность
  Получим отклонение с.вот её математического ожидания. Общий смысл накладываемых условий, на величины
  заключается в том, что отдельные отклонения
  должны быть равномерно малы по сравнению с суммарным отклонением
  Точную формулировку этих условий, при которых справедливо предельное соотношение дал М.А. Ляпунов в 1901 году. Она заключается в следующем.

  Пусть для каждой из величин
  числаконечны, (заметим, чтоесть дисперсия с.в.
  - «центральный момент третьего порядка» ).

  Если при
  

  ,

  то будем говорить, что последовательность
  удовлетворяетусловию Ляпунова.

  В частности, ЦПТ для случаев, когда в сумме случайных величин каждый слагаемый имеет одинаковое распределение, т.е. все и
  то условие Ляпунова выполняется

  

  Именно, на практике такой случай ЦПТ чаще всего используется. Потому, что в математической статистике любая случайная выборка с.в. имеют одинаковые распределения, поскольку «выборки» получены из одной и той же генеральной совокупности.

  Сформулируем этот случай как отдельное утверждение ЦПТ.

  Теорема 10.7 (ЦПТ). Пусть случайные величины
  независимы, одинаково распределены, имеют конечные математическое ожидание
  и дисперсию
  
  

  Тогда функция распределения центрированной и нормированной суммы этих с.в. при
  стремится к функции распределения стандартной нормальной случайной величины:

  (27)
  
  

  

  На этом частном случае хорошо осмыслить, в чем находит своё проявление равномерная «малость» слагаемых,
  где величинаимеет порядок, а величина
  порядок
  , тем самым отношение первой величины ко второй стремится, к 0.

  Теперь мы в состоянии сформулировать центральную предельную теорему в форме А.М. Ляпунова.

  Теорема 10.8. (Ляпунова). Если последовательность
  независимых случайных величин удовлетворяет условию Ляпунова, то справедливо предельное соотношение

  (28)
  ,

  для любых
  и, при этом (
  .

  Иными словами, в этом случае закон распределения нормированной суммы сходится к нормальному закону с параметрами
  

  Следует отметить, что для доказательства ЦПТ А.М. Ляпунов разработал специальный метод, основанный на теорию так называемых характеристических функций. Этот метод оказался весьма полезным и в других разделах математики (см. доказательство ЦПТ например в кн. Бородин […]). В этой книге мы, о производящих функциях будем давать краткую информацию и некоторые применения к подсчёту числовых характеристик случайных величин.

  Краткие сведения об ошибке измерений. Известно, что при повторении измерений одного и того же объекта, выполненными одним и тем же измерительным прибором с одинаковой тщательностью (при одинаковых условиях) не всегда достигаются одинаковые результаты. Разброс результатов измерения вызван тем, что на процесс измерения влияют многочисленные факторы, которые не возможно и не целесообразно учитывать. В этой ситуации ошибку, возникающую при измерении интересующей нас величины часто можно рассматривать как сумму большого числа независимых между собой слагаемых, каждое из которых даёт лишь незначительный вклад в образование всей суммы. Но такие случаи приводят нас как раз к условиям применимости теоремы Ляпунова и можно ожидать, что распределение ошибки измеряемой величины мало отличается от нормального распределения.

  В более общем случае, ошибка является функцией большого числа случайных аргументов, каждый из которых лишь немного отличается от своего математического ожидания. Линеаризуя эту функцию, то есть, заменяя её линейной, опять приходят к предыдущему случаю. Накопленный опыт по статистической обработке результатов измерений действительно подтверждает этот факт в большинстве практических случаев.

  Аналогичные рассуждения объясняют появление нормального распределения в отклонениях параметров, определяющих выпущенную готовую продукцию (изделия), от нормативных значений при массовом производстве.

  Рассмотрим следующий пример.

  Пример 5. Независимые случайные величиныраспределены равномерно на отрезке . Найти закон распределения с.в.
  , а также вероятность того, что
  

  Решение. Условия ЦПТ соблюдается, поэтому с.в.имеет приближенно плотность распределения

  

  По известным формулам для м.о. и дисперсии в случае равномерного распределения находим: Тогда

  

  На основании формулы (26), находим (с учётом табличных значений функции Лапласа)

  

  Одно из важнейших положений теории вероятностей - так называемая центральная предельная теорема. Как и закон больших чисел, она имеет ряд форм. Во всех формах закона больших чисел устанавливается факт сходимости по вероятности каких-то случайных величин к постоянным, неслучайным при увеличении числа опытов п или числа наблюдаемых случайных величин.

  В данном пункте мы рассмотрим другую группу предельных теорем, а именно теорем, определяющих условия возникновения нормального распределения (закона Гаусса). Такие условия часто встречаются на практике, что и объясняет широкую распространенность нормального закона в случайных явлениях природы.

  Кое-что об этих условиях (на чисто описательном уровне) мы уже говорили раньше (глава 6), там, где впервые встретились с нормальным распределением. А именно, нормальное распределение возникает тогда, когда суммируется много независимых (или слабо зависимых) случайных величин, сравнимых по порядку своего влияния на рассеивание суммы.

  В практической деятельности инженера такая обстановка встречается нередко.

  Пусть, например, рассматривается отклонение Y n выходного параметра большой интегральной схемы (БИС) от номинала. Это отклонение (при известных допущениях) может быть представлено как сумма п элементарных отклонений, связанных с отдельными причинами:

  где, например,

  Х х - отклонение, вызванное влиянием температуры;

  Х 2 - отклонение, вызванное влиянием влажности воздуха;

  Хз - отклонение, вызванное ошибкой ввода какого-либо параметра; Х 4 - отклонение, вызванное недостаточной чистотой материала изделия;

  Число п этих элементарных отклонений весьма велико, как и число п причин, вызывающих суммарное отклонение Г„; обычно слагаемые Х х, Х 2 , ..., Х п сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы. Действительно, если бы какая-то из случайных величин Х х, Х 2 , ..., ^„оказывала существенно большее влияние на рассеивание суммы, чем все остальные, было бы естественно принять специальные меры для того, чтобы устранить главную причину рассеивания; поскольку такие меры не предпринимаются, можно предположить, что оставшиеся случайные слагаемые сравнимы по порядку своего (равномерно малого) влияния на рассеивание суммы.

  Нормальный закон широко распространен в технике; в большинстве случаев ошибки измерения параметров, ошибки выполнения команд, ошибки ввода различных величин в техническое устройство распределены по нормальному (или близкому к нормальному) закону; такая ошибка обычно может быть представлена в виде суммы многих «элементарных ошибок» Х ь каждая из которых связана с отдельной, практически независимой от других, причиной.

  Именно в применении к теории ошибок был впервые обоснован Лапласом и Гауссом нормальный закон.

  Нормальный закон широко распространен в биологии: масса, размер и другие параметры представителей растительного и животного мира во многих случаях имеют нормальное распределение, так как их разброс вызван суммарным воздействием многих факторов, среди которых нет доминирующих по своему влиянию.

  Центральная предельная теорема в различных ее формах устанавливает условия, при которых возникает нормальное распределение и нарушение которых ведет к распределению, отличному от нормального.

  Различные формы центральной предельной теоремы различаются между собой условиями, накладываемыми на распределения образующих сумму случайных слагаемых Х х, Х 2 , ...,Х п. Чем жестче эти условия, тем легче доказывается теорема; чем они шире, тем труднее доказательство. Здесь мы докажем одну из самых простых форм этой теоремы, а именно центральную предельную теорему для одинаково распределенных слагаемых.

  Теорема. Если Х х, Х 2 , Х п,... - независимые случайные величины , имеющие одно и то же распределение с математическим ожиданием т и дисперсией а 2 , то при увеличении п закон распределения суммы

  Доказательство. Проведем доказательство для случая непрерывных случайных величин (для дискретных оно будет аналогичным). Применим для этого аппарат характеристических функций . Согласно свойствам, доказанным в подразделе 8.9, характеристическая функция суммы (10.2.2) равна произведению характеристических функций слагаемых. Случайные величины X v Х 2 , ..., X п имеют одну и туже плотность f (х), а значит, и ту же характеристическую функцию 0* (t ). Не нарушая общности, можно перенести начало отсчета всех случайных величин X v Х 2 , ...,Х п в их общее математическое ожидание т это равносильно их центрированию и, значит, тому, что м. о. каждой из них будет равно нулю.

  Напомним, что характеристическая функция каждой из с. в. Х к (к= 1,2,..., п) по определению равна (см. (8.9.4))

  где / =4=~ - мнимая единица. Характеристическая функция случайной величины Y n равна произведению п характеристических функций слагаемых (см. 8.9.9):

  Разложим функцию (t ) в окрестности точки t = 0 в ряд Маклоре- на с тремя членами:

  где производные берутся по t a (t) -> 0 при t -» 0.

  Найдем значения &Д0); 9^(0); $"(0).

  Полагая в формуле (10.2.3) /= 0, имеем:

  

  по свойству плотности распределения/(х).

  Продифференцируем (10.2.3) по t.

  Полагая в (10.2.6) /= 0, получим:

  

  где М [Х - математическое ожидание с. в. Хс плотностью/(х). В нашем случае все случайные величины Х х, Х 2 , ..., X п имеют плотность /(х), а их общее м. о. равно нулю, поэтому

  

  Продифференцируем (10.2.6) еще раз:

  

  Полагая / = 0, получим:

  а это есть не что иное, как дисперсия центрированной с. в. Хс плотностью /(х) (со знаком «минус»).

  Следовательно,

  Подставляя в (10.2.5) Э х (0) = 1; 0" х (0) = 0и в”(0) = -сг 2 , получим

  Обратимся к случайной величине Y n . Мы хотим доказать, что при увеличении п ее закон распределения приближается к нормальному. Для этого перейдем от нее к линейно связанной с Y n «нормированной» случайной величине

  Эта величина удобна тем, что ее дисперсия не зависит от п и равна единице при любом п. В этом нетрудно убедиться, рассматривая Z n как линейную функцию независимых случайных величин Х х, Х 2 , ..., X п, каждая из которых имеет дисперсию а 2 .

  Если мы докажем, что с. в. Z n имеет нормальное распределение, это будет означать, что и с. в. У„, линейно связанная с Z„, распределена нормально.

  Вместо того чтобы доказывать, что закон распределения с. в. Z„ при увеличении п приближается к нормальному, докажем, что ее характеристическая функция, однозначно определяющая плотность, приближается к характеристической функции нормального закона с теми же, что у Z„, параметрами: m z = 0; o z =1 (8.9.16).

  Найдем характеристическую функцию с. в. Z. Из свойства (8.9.7) характеристической функции (подраздел 8.9) имеем:

  где - характеристическая функция с. в. Y n . Из (10.2.4) и (10.2.8) имеем:

  Или, пользуясь формулой (*),

  Прологарифмируем это выражение:

  Введем обозначение

  
  

  Будем неограниченно увеличивать п при этом величина к согласно (10.2.10) будет стремиться к нулю. Разложим In (1 - к) в ряд по степеням к и ограничимся одним членом разложения (остальные при я -> оо станут пренебрежимо малыми):

  
  

  Но функция а(0 стремится к нулю при t -> 0; следовательно, lima (t/(oJn)) = 0и liming (t) = -t 2 / 2, откуда liming (t) = e~‘‘ 2 ,

  tl -Л->0c n n-> OO "

  а это есть не что иное, как характеристическая функция случайной величины, распределенной по нормальному закону с параметрами т = О, ст= 1 (см. (8.9.16)).

  Таким образом, мы доказали центральную предельную теорему для частного случая одинаково распределенных слагаемых. Другие, более общие (и более сложные) формы центральной предельной теоремы мы приведем без доказательства.

  Теорема Ляпунова. Пусть Х х, Х 2 , ..., Х п - независимые случайные величины с математическими ожиданиями m Xi , т Х2 ,..., т Хп и дисперсиями Z) , D r ,..., Z> , причем при п -» оо.

  х х 2 х п

  где Х к =Х к -т к.

  А. М. Ляпунов доказал, что при п -> оо закон распределения случайной величины

  неограниченно приближается к нормальному.

  Смысл условий (10.2.12) состоит в том, чтобы в сумме (10.2.13) не было слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных, а также не должно быть большого числа случайных слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы исчезающе мало по сравнению с суммарным влиянием остальных.

  Наиболее общим (необходимым и достаточным) условием справедливости центральной предельной теоремы является условие Линдебер- га: для любого т > 0

  где f (х) - плотность распределения с. в. X h т-, = М [Х‘] (/" = 1, 2,п).

  Однако пользование условием Линдеберга на практике затруднительно, так как нам редко бывают в точности известны законы распределения случайных величин X t (/ = 1, 2,п).

  Исторически первой доказанной формой центральной предельной теоремы явилась теорема Лапласа , состоящая в следующем. Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то при больших п справедливо приближенное равенство:

  где Y n - число появлений события А в п опытах; q = 1 - р Ф (х) - функция Лапласа.

  Выведем формулу (10.2.15) как следствие центральной предельной теоремы для одинаково распределенных слагаемых. «Нормированная» случайная величина

  связанная с Нелинейной зависимостью, строго говоря, дискретна, также дискретна с. в. Y n , распределенная по биномиальному закону, но при большом п ее значения расположены на оси абсцисс так тесно, что можно ее рассматривать как непрерывную, с плотностью распределения /(г). Случайная величина Y n имеет биномиальное распределение с параметрами п, р ее математическое ожидание М [ Y n ] = пр ее дисперсия равна D [ Y n ] = npq. Найдем числовые характеристики случайной величины (10.2.16): м. о. и дисперсию линейной функции от с. в. Y n . Имеем:

  
  

  Таким образом, случайная величина Z n (10.2.16) имеет не зависящие от п числовые характеристики т = 0, а = 1 (потому мы и перешли к с. в. Z n от Y n).

  Учитывая, что Т„ = ^где Х (- индикатор события А в /-м опы- 1=1

  те, убеждаемся, что с. в. Z n (10.2.16) есть сумма п независимых одинаково распределенных случайных величин. Применяя центральную предельную теорему для одинаково распределенных слагаемых, убеждаемся, что при большом числе опытов п с. в. Z n имеет распределение, близкое к нормальному, с параметрами т = 0; а = 1, откуда и следует справедливость формулы (10.2.15).

  Теорема Лапласа дает возможность приближенно находить вероятности значений случайных величин, распределенных по биномиальному закону при больших значениях параметра п при этом вероятность р не должна быть ни слишком большой, ни слишком малой.

  Практически можно судить о возможности замены биномиального распределения нормальным по тому, выполнены ли при данных п и р условия:

  Если эти условия соблюдены, то можно вычислять вероятности Р к = Р {Y n = к) как приращение нормальной функции распределения на участке от к до к + 1:

  где F(x) - функция распределения нормального закона:

  Подставляя в (10.2.19) т - при а = yfnpq, получим:

  Вычисляя приращение этой функции на участке от к до к + 1, получим:

  Теорему Лапласа (10.2.15) можно записать в несколько ином виде, если перейти обратно от нормированной с. в. Z n (10.2.16) к с. в. Y n -

  числу появлений события в п опытах - связанной с Z n линейной зависимостью:

  Функция распределения случайной величины Y n при большом п будет сколь угодно близка к нормальной функции распределения с параметрами т у - пр; о „ = Jnpq:

  а вероятность попадания случайной величины Y n на любой участок от а до р приближенно равна

  откуда - другая форма записи теоремы Лапласа:

  Рассмотрим ряд примеров, в каждом из которых для решения задачи следует применить ту или другую форму центральной предельной теоремы.

  Пример 1. Имеется п идентичных технических устройств (ТУ), время безотказной работы каждого /-го из которых - случайная величина 7), распределенная по показательному закону с параметром X, одинаковым для всех ТУ. Число п собранных в такую систему ТУ достаточно велико. Случайные величины 7j, Т 2 , ..., T t , ..., ^независимы между собой. В случае отказа /-го ТУ происходит мгновенное и безотказное переключение на следующие по порядку (/ + )-е ТУ (/" + 1 п). Общее время Гбезотказной работы системы ТУ равно сумме времен Т;.

  Найти приближенно вероятность того, что система ТУ проработает безотказно время, не меньшее лялянного т:

  (поскольку с. в. Т непрерывна, знак равенства можно оторосить;.

  Решение. Согласно центральной предельной теореме для одинаково распределенных слагаемых с. в. Т (10.2.23) будет распределяться приближенно по нормальному закону с параметрами:

  

  Находим приближенно вероятность (10.2.24): где F(т) - функция нормального распределения с параметрами:

  

  Для нормального закона функция распределения равна:

  где Ф (х) - функция Лапласа.

  Пример 2. Станок с числовым программным управлением выдает за смену п = 1000 изделий, из которых в среднем 2% дефектных. Найти приближенно вероятность того, что за смену будет изготовлено не менее 970 доброкачественных (недефектных) изделий, если изделия оказываются доброкачественными независимо друг от друга.

  Решение. Вероятность р изготовления доброкачественного изделия: р = 0,98, Y- число доброкачественных изделий; число независимых опытов п = 1000. Проверяем, выполнены ли условия (10.2.17); находим:
  

  Следовательно, пользоваться нормальным законом можно; применяя теорему Лапласа в форме (10.2.22), находим:

  Итак, искомая вероятность достаточно велика (равна 0,988), но все же с вероятностью 0,012 можно ожидать, что число доброкачественных изделий за смену будет меньше, чем 970. ?

  Пример 3. Для условий предыдущего примера определить, на сколько доброкачественных изделий у должен быть рассчитан заготовленный для них бункер, такой, чтобы вероятность его переполнения за смену не превысила 0,01.

  Решение. Найдем у из условия

  Ищем такое значение у = у, при котором функция распределения случайной величины Y n

  т. е.
  

  По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим аргумент, при котором функция Лапласа равна 0,49; он приближенно равен 2,33, отсюда

  Пример 4. Железнодорожный состав состоит из п вагонов; масса каждого вагона в тоннах - случайная величина Хс м. о. т х и с. к. о. о х. Число вагонов п - большое (несколько десятков). Локомотив может везти массу не больше q (т); если масса состава больше q (т), приходится прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что одного локомотива не хватит для перевозки состава.

  Решение. Обозначим Q = ^ J X j массу состава. На основании

  центральной предельной теоремы при достаточно большом п с. в. Q распределена приближенно по нормальному закону с параметрами

  m q - пт х, o q =^ = y = яД; D = n/X 2 . Следовательно, с. в. Хс нужным нам нормальным распределением определяется через Т {п) формулой

  а величина X определится из условия откуда

  Пример 9. Провести аппроксимацию нормального закона с параметрами ш х и D x с помощью суммы я независимых с. в. Х и ..., Х п, распределенных равномерно в интервале (0, 1).

  Решение. На основании центральной предельной теоремы при большом п случайная величина

  

  распределена приближенно по нормальному закону с параметрами:

  Нужную нам случайную величину X представим как линейную функцию случайной величины Y n:

  
  

  Откуда находим коэффициенты а и b в формуле (10.2.29)

  Итак, чтобы получить случайную величину X, распределенную приближенно по нормальному закону, надо сложить достаточно большое число п независимых случайных величин, распределенных равномерно в интервале (0, 1) и подвергнуть их сумму линейному преобразованию (10.2.29).

  В практике работы с ЭВМ при моделировании случайных явлений получают нормально распределенные случайные величины именно таким способом. Опыт показывает, что вполне удовлетворительную точность можно получить уже при п = 6; числа п = Юн- 12 вполне достаточно. ?

  Пример 10. В кассе учреждения имеется сумма d = 3500 (руб.). В очереди стоит п = 20 лиц. Сумма X, которую надо выплатить отдельному лицу - случайная величина с математическим ожиданием т х = 150 (руб.) и средним квадратическим отклонением о* = 60 (руб.). Найти вероятность того, что суммы due хватит для выплаты денег всем людям, стоящим в очереди.

  Решение. На основании центральной предельной теоремы для одинаково распределенных слагаемых при большом п (а п = 20 практически можно считать «большим») случайная величина или

  где Xj - сумма, которую надо выплатить /-му лицу, имеет приближенно нормальное распределение с параметрами:

  
  

  Итак, с вероятностью около 3% имеющейся в кассе суммы не хватит для выплаты всем, стоящим в очереди.

  Пример 11. В условиях предыдущего примера: какую сумму а нужно иметь в кассе, чтобы вероятность того, что ее не хватит для выплаты всем стоящим, стала равна 0,005?

  Решение. Имеем условие Р {Y n > а} = 0,5 - Ф ((а - 3000)/268) = = 0,005, т. е. Ф ((а - 3000)/268) = 0,495. По таблице Ф (х) приложения находим аргумент функции Лапласа, при котором она равна 0,495:

  

  откуда а - 3691.

  Итак, сравнительно небольшого увеличения суммы а (от 3500 до 3691) достаточно для того, чтобы гарантировать выплату всем с очень высокой вероятностью 0,995. ?

  Пример 12. Монета подбрасывается п = 1000 раз. Рассматривается с. в. X- число выпавших гербов. Определить интервал возможных значений с. в. X, симметричный относительно м. о. этой с. в., в который она попадает с вероятностью 9 > = 0,997.

  Решение. X = ^Х { , где Х { - число выпавших гербов при /-м бросании: »"=i

  
  
  

  На основании центральной предельной теоремы с. в. Храспределе- на нормально, следовательно,

  По таблицам Ф (х) - функции Лапласа находим:

  Искомый интервал будет:

  Итак, с очень большой вероятностью $Р= 0,997 можно утверждать, что число выпавших гербов будет заключено в пределах от 453 до 577 (об этом уже говорилось в подразделе 1Л). ?

  • Заметим, что этот аппарат был создан А.М. Ляпуновым специально для доказательствацентральной предельной теоремы.

  Кроме теорем, относящихся к закону больших чисел, существует еще одна группа теорем, которые образуют так называемую центральную предельную теорему. Эта группа теорем определяет условия, при которых возникает нормальный закон распределения. Такие условия достаточно часто встречаются на практике, что, по сути, и является объяснением того, что нормальный закон наиболее часто используется в случайных явлениях на практике. Различие форм центральной предельной теоремы состоит в формулировке разных условий, накладываемых на сумму рассматриваемых случайных величин. Важнейшее место среди всех этих форм принадлежит теореме Ляпунова.

  Теорема Ляпунова. Если Х 1 , Х 2 , … , Х n – независимые случайные величины, имеющие конечные математические ожидания и дисперсии, при этом ни одна из величин по своему значению резко не отличается от всех остальных, т.е. оказывает на сумму этих величин ничтожно малое влияние, то при неограниченном увеличении числа случайных величин n , закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному.

  Следствие. Если все случайные величины Х 1 , Х 2 , … , Х n одинаково распределены, то закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному при неограниченном увеличении числа слагаемых.

  Теорема Ляпунова имеет большое практическое значение. Опытным путем было установлено, что приближение к нормальному закону идет достаточно быстро. При выполнении условий теоремы Ляпунова закон распределения суммы даже десяти слагаемых уже можно считать нормальным.

  Существует более сложная и более общая форма теоремы Ляпунова.

  Общая теорема Ляпунова. Если Х 1 , Х 2 , … , Х n – независимые случайные величины, имеющие математические ожидания а i , дисперсии σ 2 i , центральные моменты третьего порядка т i и

  то закон распределения суммы Х 1 + Х 2 + … + Х n при n неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией .

  Смысл условия (2.1) состоит в том, чтобы в сумме случайных величин не было бы ни одного слагаемого, влияние которого на рассеивание суммы величин было бы подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных случайных величин. Кроме этого, не должно быть большого числа слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы очень мало по сравнению с суммарным влиянием остальных.

  Одной из самых первых форм центральной предельной теоремы была доказана теорема Лапласа.

  Теорема Лапласа. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р , тогда при больших n справедливо приближенное равенство

  (2.2)

  где Y n – число появлений события А в n опытах; q =1-p ; Ф(х ) – функция Лапласа.

  Теорема Лапласа позволяет находить приближенно вероятности значений биномиально распределенных случайных величин при больших значениях величины n . Однако при этом, вероятность р не должна быть ни достаточно маленькой, ни достаточно большой.

  Для практических задач часто используется другая форма записи формулы (2.2), а именно

  (2.3)

  Пример 2.1. Станок выдает за смену n =1000 изделий, из которых в среднем 3% дефектных. Найти приближенно вероятность того, что за смену будет изготовлено не менее 950 хороших (без дефекта) изделий, если изделия оказываются хорошими независимо друг от друга.

  Решение . Пусть Y – число хороших изделий. По условию задачи р = 1-0,03=0,97; число независимых опытов n =1000. Применим формулу (2.3):

  Пример 2.2, В условиях предыдущего примера выяснить сколько хороших изделий k должен вмещать ящик, чтобы вероятность его переполнения за одну смену не превысила 0,02.

  Решение . Из условия ясно, что . Найдем из этого условия число k . Имеем
  , т.е. .

  По таблице функции Лапласа по значению 0,48 находим аргумент, равный 2,07. Получаем
  . ■

  Пример 2.3. В банке в определенную кассу за получением некоторых денежных сумм стоят 16 человек. В настоящее время в этой кассе имеется 4000 ден. ед. Суммы Х i , которые необходимо выплатить каждому из 20 человек – это случайные величины с математическим ожиданием т = 160 ден.ед. и средним квадратическим отклонением σ = 70 ден.ед. Найти вероятность того, что денег, имеющихся в кассе, не хватит для выплаты всем стоящим в очереди.

  Решение . Применим теорему Ляпунова для одинаково распределенных случайных величин. Величину n = 20 можно считать достаточно большой, следовательно, общую сумму выплат Y = Х 1 + Х 2 + … + Х 16 можно считать случайной величиной распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием т у = nт = 20 160= 3200 и среднеквадратическим отклонением .