Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения. Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения Учитель предоставляет свой экран учащемуся

ОТКРЫТЫЙ ДИСТАНЦИОННЫЙ УРОК

по теме: "Преобразование выражений, содержащих квадратные корни".

Учитель математики - Ветохина Антонина Сергеевна

Место работы : ОГКОУ «Школа-интернат № 88 «Улыбка» г. Ульяновск, Ульяновская

область

Предмет: алгебра

Класс: 8

Базовый учебник: « Алгебра 8 класс» : Учебник для общеобразовательных учреждений. Ю.Н. Макарычев, Н.Г.

Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. - М.: Просвещение, 2011 г

ТДЦ:

Обучающая:

продолжить формирование навыков:

вынесения множителя за знак радикала;

внесения множителя под знак радикала;

разложения на множители;

сокращения дробей;

научить учащегося применять первоначальные знания: свойства корня.

Развивающая : продолжить развитие:

практических умений и навыков;

навыки правильной математической речи;

познавательной деятельности учащегося;

логического мышления учащегося при вычислении в заданиях.

Воспитывающая: продолжить формирование:

культуры общения и культуры ответа на вопросы;

культуры умственного труда;

формировать положительное отношение к предмету, интерес к знаниям.

Тип урока: комбинированный.

Методы обучения : наглядно-словесный, репродуктивный.

Формы организации познавательной деятельности на уроке : самостоятельная и индивидуальная работа.

Оборудование, оформление и техническое оснащение урока:

материалы сайта i-школы « Алгебра - II (8 класс) » ( http://iclass.home-edu.ru );

материалы сайта «ЯКласс» ( http://www.yaklass.ru );

компьютер, мультимедийный проектор.

ПЛАН УРОКА

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Физкультминутка для глаз .

4. Изучение нового материала.

5. Физкультминутка двигательная .

6. Закрепление полученных знаний. Практическая работа.

7. Рефлексия. Подведение итогов урока.

8. Домашнее задание.

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

До начала урока, учащийся осуществляет «Вход» на сайт i -школы под своим логином и переходит в курс « Алгебра - II (8 класс) » .

Потом открывает программу Skype для участия в уроке.

Этап учебного занятия	Задачи этапа	Деятельность учителя	Деятельность учащегося	Ожидаемый результат
1. Организационный момент. 2 мин	Организовать внимание учащегося и готовность к уроку. Раскрыть общие цели урока и плана его проведения Провести релаксацию и дыхательные упражнения.	Учитель приветствует учащегося, спрашивает о настроении и готовности к уроку. Желает совместной плодотворной работы. Сообщает цели и план урока. Просит зайти в закладки: сайт «ЯКласс» предмет 8 класс, в тему III. Функция квадратного корня. Свойства квадратного корня и сделать вкладки занятий 4 и 5 в курсе Алгебра - II (8 класс) » перейти в тему 13 и сделать вкладку урока 26 Соберёмся с силами . В четыре приёма глубоко вдохнём воздух через нос и в пять приёмов с силой выдохнем, задувая воображаемую свечку. Повторим это 2 раза.	Учащийся приветствует учителя. Отвечает на вопросы. Под руководством учителя делает нужные вкладки. Выполняет дыхательные упражнения	Эмоциональный настрой учащегося на урок. Создание доброжелательной атмосферы и делового настроя. Учащийся готов к уроку.
2. Актуализация опорных знаний 1) Проверка домашнего задания. 2 мин 2) Повторение пройденного материала. 6 мин.	Выявить правильность выполнения домашнего задания. Повторить: - свойства квадратных корней	Учитель предоставляет свой экран учащемуся. Открывает выполненную им домашнюю работу. Просит самостоятельно найти ошибки и исправить их, если они имеются. Выключив доступ своего экрана, просит учащегося предоставить доступ своего экран а и перейти на вкладку сайта «ЯКласс» и открыть в занятии 4: Тест «Тренировка по теме: «Свойства квадратных корней» Просит учащегося выключить доступ своего экрана и переходят к физкультминутке.	Принимает замечания или одобрение учителя по выполненному домашнему заданию. Учащийся предоставляет свой экран и, открыв Тест , выполняет его. Учащийся выключает доступ своего экрана.	Проверенное домашнее задание. Учащийся должен: Знать: свойства корней; Уметь: вносить множитель под знак корня, выносить множитель из-под знака корня.
3. Физкультминутка для глаз 2 мин.	Профилактика утомления глаз.	Предлагает учащемуся комплекс упражнений для профилактики утомления глаз.		Снятие напряжения глаз.
4. Изучение нового материала 1) Подготовка к изучению 2) Изучение 15 мин.	Организовать деятельность учащегося для получения знаний. Формировать умение самостоятельно изучить новую тему	Учитель просит учащегося предоставить доступ своего экран а и открыть вкладку в курсе « Алгебра - II (8 класс) » : урок 26. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни . Просит учащегося выключить доступ экрана и перейти к физкультминутке.	Предоставляет свой экран учителю. Открывает: урок 26 Читает рассмотренные решения примеров, комментируя какие формулы применяются при их решении. Учащийся выключает доступ экрана.	Учащийся готов к получению новых знаний. Учащийся должен иметь представление о преобразовании выражений, содержащих квадратные корни Применять формулы сокращенного умножения.
5. Физкультминутка двигательная 2 мин.	Снять утомление с плечевого пояса и рук	Учитель предлагает учащемуся комплекс упражнений для снятия утомления с плечевого пояса и рук	Учащийся выполняет предложенные упражнения под руководством учителя.	Снятие утомления с плечевого пояса и рук
6. Закрепление полученных знаний. Практическая работа. 6 мин.	Обеспечить понимание учащегося цели, содержания и способов выполнения практических заданий.	Учитель просит учащегося предоставить доступ своего экрана. И для закрепления новой темы, предлагает учащемуся перейти на вкладку сайта «ЯКласс», и открыть в занятии 5: Задания с 1 по 8 .	Учащийся переходит на вкладку сайта «ЯКласс» и открывает в занятии 5 задания ивыполняет их. Потом выключает доступ экрана.	Уметь применять знания на практике.
7. Рефлексия. Подведение итогов урока. 2 мин.	Выявить уровень достижения цели урока.	Учитель оценивает активность работы учащегося на уроке по выполненным заданиям. Задаёт вопросы учащемуся: Что мы изучали на уроке? Чему ты научился на уроке? В чём испытывал затруднения? Учитель объявляет учащемуся оценку, комментируя ее объективность.	Учащийся анализирует свою работу, оценивает её. Рассказывает, что понравилось на уроке, что получалось легко, над чем хотелось бы поработать.	Объективность качественной оценки.
8. Домашнее задание.

§ 1 Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня

Давайте вспомним свойства квадратных корней: если a, b - неотрицательные числа a, b ≥ 0, то справедливы следующие равенства:

Используя эти формулы, можно выполнять различные преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня, но с условием, что переменные этих выражений принимают только неотрицательные значения. Сделав такое предположение, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: Упросить выражение:

Поскольку в выражении присутствует дробь, для его преобразования воспользуемся вторым свойством:

Для преобразования знаменателя использовали третье свойство:

В результате первоначальное выражение принимает вид:

Пример 2: Вынести множитель из-под знака квадратного корня:

При решении примера под буквой А воспользуемся первым и третьим свойствами квадратного корня:

Аналогично преобразуем выражение, представленное в задании под буквой Б:

Пример 3: Внести множитель под знак квадратного корня для

Чтобы внести множитель под знак корня, используем третье свойство справа налево:

Решим несколько задач по преобразованию выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня, пользуясь формулами сокращенного умножения. Прежде вспомним и выпишем их:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

a3 - b3 = (a-b)(a2 + ab + b2)

a3 + a3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

Пример 4: Упросить выражение:

Для решения представим число три как квадратный корень из трех в квадрате:

а в знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов, тогда получим:

Пример 5: Упростить выражение:

Для решения, во-первых, рассмотрим выражение:

Если предположить, что

то

используя формулу суммы кубов

Получаем

Сделаем соответствующую замену.

Во-вторых, от операции деления на (a - b) перейдем к операции умножения на обратную дробь:

В-третьих, первую дробь в скобке сократим на выражение:

а затем произведем операцию умножения.

Предположим:

используя формулу разности квадратов, получаем:

Выражение в числителе первой дроби по формуле квадрата разности можно записать:

Сделаем соответствующие замены. В числителе и знаменателе первой дроби есть общий множитель, поэтому после сокращения в заключение остается только сложить дроби с одинаковыми знаменателями.

Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют освобождением от иррациональности в знаменателе.

§ 2 Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби

1. Разложить знаменатель дроби на множители;

2. Если знаменатель имеет вид:

Если знаменатель имеет вид:

или содержит множитель такого вида, то числитель и знаменатель дроби следует умножить соответственно на:

3. Преобразовать числитель и знаменатель дроби, если возможно, то сократить полученную дробь. Выражения вида:

Рассмотрим, как избавиться от иррациональности в знаменателе на примерах:

А) Преобразуем выражение:

Воспользуемся алгоритмом освобождения от иррациональности в знаменателе дроби: умножим на:

числитель и знаменатель. Получим:

Б) Преобразуем выражение:

В данном примере числитель и знаменатель дроби умножается на сопряженное выражение:

Итак, мы разобрали несколько примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни.

Список использованной литературы:

1. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.1Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2007. – 215с.: ил.
2. Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.2 Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. – 8-е изд., – М.: Мнемозина, 2006. – 239с.
3. Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для учащихся образовательных учреждений Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 40с.
4. Алгебра. 8 класс. Самостоятельные работы для учащихся образовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича. 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2013. - 112с.

Разделы: Математика

Цели урока:

1. Повторить определение арифметического квадратного корня, свойства арифметического квадратного корня.
2. Обобщить и систематизировать знания учащихся по этой теме.
3. Закрепить навыки и умения решения примеров на тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни.
4. Дать возможность каждому ученику как можно более полно раскрыть свои возможности.
5. Расширять кругозор и познакомить учащихся с математиками средних веков.

Тип урока: урок-практикум.

Оборудование урока: раздаточный материал, цветной мел, графопроектор, портрет Рене Декарта, плакаты с формулами.

Ход урока

I. Организационный момент.

Тема нашего урока «Преобразование выражений, содержащих арифметические квадратные корни». Сегодня на уроке мы будем повторять правила преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Это и преобразование корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, приведение подобных слагаемых и освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

II. Устный опрос по теории.

• Дайте определение арифметического квадратного корня. (Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а ).
• Перечислите свойства арифметического квадратного корня. (Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя ).
• Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 ? (|х | ).
• Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 , если х≥0? х<0? (х. –х ).

III. Устная работа. (Записано на доске).

Найдите значение корня:

Найдите значение выражения:

Внесите множитель под знак корня:

Сравните:

IV. Отработка знаний по данной теме. (На партах у каждого листок с заданиями ).

1. Выполните действия.

• Как будем решать примеры а и б? (Раскроим скобки, приведём подобные слагаемые ).
• Как будем решать примеры в и г? (Применим формулу разности квадратов ).
• Как будем решать примеры д и е? (Вынесем множитель за знак корня и приведём подобные слагаемые ).

	2 + 0,3- 4 + 0,01
	3 + 0,5 - 2 + 0,01

(Ученики по вариантам выполняют примеры в тетрадях, 6 учеников по 1 примеру решают у задней доски ).

– Проверка через графопроектор. Каждому ответу соответствует определённая буква. В результате получаются слово: Декарт.

V. Историческая справка.

Ученик выступает с небольшим сообщением.

В 1626 году нидерландский математик А.Ширар ввел близкое к современному обозначение корня V. Если над этим знаком стояла цифра 2, то это означало корень квадратный, если 3 – кубический. Это обозначение стало вытеснять знак Rx. Однако долгое время писали Vа+в с горизонтальной чертой над суммой. Лишь в 1637 году Рене Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой, применив в своей «Геометрии» современный знак корня . Этот знак вошёл во всеобщее употребление лишь в начале XVIII века. (На доске – портрет Рене Декарта, рисунок ).

VI. Отработка знаний по теме.

2. Разложите на множители.

а и б – разложим по формуле разности квадратов, в и г – используя определение арифметического квадратного корня, заменим 7 и 13 квадратами из квадратных корней, а потом вынесем за скобки общий множитель ).

а) а – 9, а≥0
б) 16 – в, в≥0

Ученики решают в тетрадях по вариантам, 2 человека (по одному от каждого варианта) решают у доски.

– Проверка.

3. Сократите дробь.

– Как будем выполнять это задание? (Разложим на множители или числитель, или знаменатель, а потом сократим ).

Ученики решают в тетрадях по вариантам, 4 человека решают у доски. Примеры д и е решают дополнительно, кто успеет.

– Проверка.

4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби.

– Что будем делать в этом задании? (Преобразуем дробь так, чтобы знаменатель не содержал квадратного корня: а и б будем домножать и числитель, и знаменатель на квадратный корень, записанный в знаменателе; в и г будем домножать на сумму или разность выражения, записанного в знаменателе для того, чтобы получилась разность квадратов ).

Ученики решают по вариантам, 2 человека решают по 2 примера у доски.

– Проверка.

VII. Написание теста.

У каждого на парте листок с заданиями теста (приложение 1 ). Подписали листок и выполнили задания в этом же листке. После написания работы сдали, проверили ответы и разобрали, почему так, через графопроектор.

VIII. Домашнее задание. с. 109 № 503 (а–г), 504.

Материал этой статьи стоит рассматривать как часть темы преобразование иррациональных выражений . Здесь мы на примерах разберем все тонкости и нюансы (которых немало), возникающие при проведении преобразований на базе свойств корней.

Навигация по странице.

Вспомним свойства корней

Коль скоро мы собрались разбираться с преобразованием выражений с использованием свойств корней, то не помешает вспомнить основные , а еще лучше записать их на бумагу и расположить перед собой.

Сначала изучаются квадратные корни и следующие их свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа):

А позже представление о корне расширяется, вводится определение корня n-ой степени, и рассматриваются такие свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа, m , n , n 1 , n 2 , ..., n k - натуральные числа):

Преобразование выражений с числами под знаками корней

По обыкновению сначала учатся работать с числовыми выражениями, а уже после этого переходят к выражениям с переменными. Так поступим и мы, и сначала разберемся с преобразованием иррациональных выражений, содержащих под знаками корней только числовые выражения, а уже дальше в следующем пункте будем вводить под знаки корней и переменные.

Как это может быть использовано для преобразования выражений? Очень просто: например, иррациональное выражение мы можем заменить выражением или наоборот. То есть, если в составе преобразовываемого выражения содержится выражение, совпадающее по виду с выражением из левой (правой) части любого из перечисленных свойств корней, то его можно заменить соответствующим выражением из правой (левой) части. В этом и состоит преобразование выражений с использованием свойств корней.

Приведем еще несколько примеров.

Упростим выражение . Числа 3 , 5 и 7 положительные, поэтому мы можем спокойно применять свойства корней. Здесь можно действовать по-разному. Например, корень на базе свойства можно представить как , а корень с использованием свойства при k=3 - как , при таком подходе решение будет иметь такой вид:

Можно было поступить иначе, заменив на , и дальше на , в этом случае решение выглядело бы так:

Возможны и другие варианты решения, например, такой:

Разберем решение еще одного примера. Преобразуем выражение . Взглянув на список свойств корней, выбираем из него нужные нам свойства для решения примера, понятно, что здесь пригодятся два из них и , которые справедливы для любых a . Имеем:

Как вариант, сначала можно было преобразовать выражения под знаками корней с использованием

а уже дальше применять свойства корней

До этого момента мы преобразовывали выражения, которые содержат только квадратные корни. Пришло время поработать с корнями, имеющими другие показатели.

Пример.

Преобразуйте иррациональное выражение .

Решение.

По свойству первый множитель заданного произведения можно заменить числом −2 :

Идем дальше. Второй множитель в силу свойства можно представить как , а 81 не помешает заменить четверной степенью тройки, так как в остальных множителях под знаками корней фигурирует число 3 :

Корень из дроби целесообразно заменить отношением корней вида , которое можно преобразовать и дальше: . Имеем

Полученное выражение после выполнения действий с двойками примет вид , и остается преобразовать произведение корней.

Для преобразования произведений корней их обычно приводят к одному показателю, в качестве которого целесообразно брать показателей всех корней. В нашем случае НОК(12, 6, 12)=12 , и к этому показателю придется приводить лишь корень , так как остальные два корня уже имеют такой показатель. Справиться с этой задачей позволяет равенство , которое применяют справа налево. Так . Учитывая этот результат, имеем

Теперь произведение корней можно заменить корнем произведения и выполнить остальные, уже очевидные, преобразования:

Оформим краткий вариант решения:

Ответ:

.

Отдельно подчеркнем, что для применения свойств корней необходимо учитывать ограничения, наложенные на числа под знаками корней (a≥0 и т.п.). Их игнорирование может спровоцировать возникновение неверных результатов. Например, мы знаем, что свойство имеет место для неотрицательных a . На его основе мы спокойно можем перейти, к примеру, от к , так как 8 – положительное число. А вот если взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, например, , и на базе указанного выше свойства заменить его на , то мы фактически заменим −2 на 2 . Действительно, , а . То есть, при отрицательных a равенство может быть и неверным, как могут быть неверными и другие свойства корней без учета оговоренных для них условий.

Но сказанное в предыдущем пункте вовсе не означает, что выражения с отрицательными числами под знаками корней невозможно преобразовывать с использованием свойств корней. Их просто предварительно нужно «подготовить», применив правила действий с числами или воспользовавшись определением корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство , где −a – отрицательное число (при этом a – положительное). Например, нельзя сразу заменить на , так как −2 и −3 – отрицательные числа, но позволяет нам от корня перейти к , и уже дальше применять свойство корня из произведения: . А в одном из предыдущих примеров переходить от корня к корню восемнадцатой степени нужно было не так , а так .

Итак, для преобразования выражений с использованием свойств корней, надо

• выбрать подходящее свойство из списка,
• убедиться, что числа под корнем удовлетворяют условиям для выбранного свойства (в противном случае требуется выполнить предварительные преобразования),
• и провести задуманное преобразование.

Преобразование выражений с переменными под знаками корней

Для преобразования иррациональных выражений, содержащих под знаком корня не только числа, но и переменные, свойства корней, перечисленные в первом пункте этой статьи, приходится применять аккуратно. Связано это по большей части с условиями, которым должны удовлетворять числа, участвующие в формулах. Например, опираясь на формулу , выражение можно заменить выражением лишь для таких значений x , которые удовлетворяют условиям x≥0 и x+1≥0 , так как указанная формула задана для a≥0 и b≥0 .

Чем опасно игнорирование этих условий? Ответ на этот вопрос наглядно демонстрирует следующий пример. Допустим, нам нужно вычислить значение выражения при x=−2 . Если сразу подставить вместо переменной x число −2 , то получим нужное нам значение . А теперь представим, что мы, исходя из каких-то соображений, преобразовали заданное выражение к виду , и только после этого решили вычислить значение. Подставляем вместо x число −2 и приходим к выражению , которое не имеет смысла.

Давайте проследим, что происходит с областью допустимых значений (ОДЗ) переменной x при переходе от выражения к выражению . ОДЗ мы упомянули не случайно, так как это серьезный инструмент контроля допустимости проделанных преобразований, и изменение ОДЗ после преобразования выражения должно как минимум насторожить. Найти ОДЗ для указанных выражений не составляет труда. Для выражения ОДЗ определяется из неравенства x·(x+1)≥0 , его решение дает числовое множество (−∞, −1]∪∪}